我国工科线性代数课程必须改革

我国工科线性代数课程必须改革陈怀琛现在线性代数的用途比过去任何时候都更广泛。

在20世纪后半期，它的应用不断扩展到了越来越多的新领域。

它在数学课程中的角色已经上升到可与微积分学相比美。

线性代数的这种发展主要是由于人们所研究的问题的规模愈来愈大，愈来愈复杂，牵涉的变量成百上千，这样复杂的问题，目前只能把变量之间的关系简化为线性才好解，所以大规模的线性代数问题就成为热门的数学工具。

除了上述应用的‘需求牵引’之外，线性代数的发展的另一个动力是‘技术推动’，那就是计算技术高速发展的推动,线性代数是一门应用性很强，但在理论上又可进行高度抽象的数学学科，因此它可以有两种发展方向。

为了进一步搞数学理论，可以向抽象方向引导；为了解决工程实际问题，就应当向应用方向发展。

在教学中，这个方向性的问题必须十分清楚。

其实，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法可能是每个人会记忆一辈子的，这就是最简单的线性代数。

当把方程的变量提高到了三元以上时，她不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题。

对于数学家来说，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能用理论指导完成实际的计算。

事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予它在应用方面的生命力。

原来，线性代数主要是对理科、特别是数学系开设的。

由于它的愈来愈广泛的应用价值，理、工、经、管各个大学专业都把它列为必修课。

但因为由数学系开课，其内容和要求难免带有很深的数学专业的烙印，很难适应大量工科学生的要求。

针对这种情况，美国的线性代数教育从1990年起开始了一次大的改革，该年1月，一些有名望的数学家们组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究线性代数教育如何满足数学和非数学专业的不同需求, 以及如何使线性代数的教育得到更大的关注。

同年8月，美国国家科学基金会赞助了大学线性代数课程计划的一次会议，它把数学界和其他专业的许多代表聚集在一起。

会产议生了五条重要的建议，简称为LACSG Recommendation它们是[1]：(i) 线性代数的第一门课程（简称线性代数1）一定要满足非数学专业的需要；(ii) 这一门课程应该是面向矩阵的;(iii) 这一门课程应该是根据学生的需要来组织的；(iv) 这一门课程应该利用新的计算技术;(v) 对于数学专业，至少还要开设一门线性代数2。

第 (i)条建议强调了，学线性代数的学生中只有少数会攻读数学学位，大量的非数学专业的学生要更多注重于应用。

教材中大量的应用篇幅；可以提高学生的理解水平和学习动力；第(ii)条建议强调了矩阵运算，即教材中要摆脱单个元素运算的中学方法；第(iii)条建议强调了从学生需要而不是教师思路出发，这里有两个要点：一是阐述问题应该从具体到抽象，从R2或R3的例子引到高维空间；二是要让学生主动学习，就是要‘带着问题学’，而不是从定义出发。

所以新教材大多由线性方程组引出行列式，并由二阶、三阶、递归地定义高阶行列式；第(iv)条建议使用数学软件或图形计算器. 大多数的教材今天都采用了MATLAB。

第(v)条建议说明，他们只对数学系的学生强调抽象思维，且用线性代数2来实现。

这样，LACSG就减少了线性代数1的抽象性，强调这门课程应当给工业界和科学界以工具。

LACSG 的这五点建议已经被教科书作者所普遍接受。

美国有在线性代数教学中使用计算机的传统，所以个人计算机和科学计算软件的普及立即推动了这门课程的教学方法改善，使得计算机的使用渗入到了日常课程教学。

尽管如此，他们的教学指导部门仍然对推广新型科学计算软件作出了巨大的投入和努力。

1992年美国国家基金会(NSF)资助了一个ATLAST计划，ATLAST是Augment The Teaching of Linear Algebra through the use o f Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。

该计划在1992 到1997 六个暑期组织了十八个教师学习班。

学习班配置在十三个地方。

共有来自各大学的425 个教师参加。

参加者接受了使用MATLAB 软件包的训练，并研究如何利用此软件作为课堂部份讲课内容。

在学习班上，参加者对于本科的线代数课程拟定适当的计算机习题和计划。

然后选编成一本ATLAST 线性代数计算机习题书，正式出版，在使用MATLAB方面，从他们的教材发展来看，在1995年算起的头几年，主要还是反映在采用MATLAB的习题并介绍一些MATLAB的矩阵计算入门，见文献[8~10]。

到近几年就完整地有一套办法，把MATLAB掺合到线性代数的各章中去。

反映在教材[2~6]中。

当然线性代数的整个理论体系，并不受使用计算机而有所改变，只是有些理论可以通过计算机来验证，而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或大作业中，加强它的工科特性。

于是，符合上述五点建议和利用ATLAST成果的大批新型教材出版了，线性代数逐渐成为受学生广泛欢迎的课程。

在我国，由于计算机的发展和应用比较落后。

在改革开放以前，大学中就没有计算机，不但是学生，连老师都没有摸过计算机，这种情况大体一直延续到20世纪末。

现在虽然计算机很普及，但整整50年造成了数学老师不用计算机的习惯，难以改变。

我们国家的线性代数课程和教材出现了崎型的发展，理论抽象愈来愈深，应用和实际计算则毫不沾边。

它成了一门非常抽象和困难的课程，由于讲课没有生动的应用背景，后续课又往往怕烦而避开矩阵，学生在是理论上害怕矩阵建模，实践中不会用矩阵算题。

它的后果是很坏的。

比如，给现在的大学毕业生一个四元一次代数方程组（这样的题目如果用MATLAB，几秒钟就可解出）。

可以看看他们用什么方法解？用多少时间能解出来？有百分之多少能得到正确结果？比他们中学毕业时有多少提高？事实证明，他们的解题能力并没比中学提高。

改革开放初期，教育部曾为在大学中推动计算机的普及投过很大的资金，第一批世行贷款实际上主要都买了计算机，各高校也都开了FORTRAN语言，但却没有购买相应的程序库，对课程内容中如何用计算机更没下功夫，所以对本科教学没起什么作用。

现在计算机硬件不成问题了，人家从FORTRAN改成MATLAB了，我们却把科学计算语言不要了。

连线性代数这么与计算机密切相关的课程都不提计算要求了，加上教师没有使用计算机的传统，大多数本科课程对近十多年来计算工具普及的反响都太迟钝。

而在线性代数课程计划和教材方面的反应更几乎是零。

就线性代数的教材而言，可以拿我国的得奖（中国高校2000年科学技术二等奖！）教材[11]与美国教材[2,3]做一个比较，我看至少有以下几点主要的差别：1． [2,3]的写法以需求为动力，先提出实际应用实例，激励学生的兴趣和好奇，然后展开问题，这两本书在各章中介绍了几十个各领域的应用实例，有的就成为大作业的实用背景；就电子领域而言，实例有在计算机图形学中的应用、在文献检索技术中的应用、在图论和网络分析中的应用、在信息保密中的应用、…等等，对我这样教过50年书的老师都很有新奇感，对学生的吸引力更可想而知。

[11]则完全不讲实际应用问题，按老师心中的理论体系和思维逻辑，从顶向下地叙述。

学完全课学生也不知道线性代数有什么用。

2．[2,3]的写法从低阶到高阶，从具体到抽象；比如行列式的定义，[2,3]用的是归纳法，先讲二阶，推广到三阶，然后四阶是三阶的推广，最后N阶是N-1阶的推广，从而完全避开了正序倒序的讨论，在实际计算中，它也是没有用的，所以[2]中甚至把克拉默法则列为可学可不学的选项；而[11]虽然也讲了二阶、三阶行列式，但高阶行列式则重起炉灶，从数论的全排列和数倒序的定义出发，再定义N阶行列式，这个定义让我们这些智商颇高的工科老师都头疼，不要说刚从中学出来的中等学生感觉会是如何了。

3．[2,3]中各章都有使用软件工具MATLAB 的习题，使学生知道，三、四阶以下的整实数或符号系数的线性代数问题可以手工解，其他稍复杂些的问题必须用计算工具，而且知道用计算工具时应该如何减少误差（[2]中有一章：‘数值线性代数’，[3]中在各章各节中有专门用灰底色框出的‘计算方法提示’）；在[11]则完全不提计算机，使学生只会用手工（计算器）算题，看完这本书，不知道实际问题该用计算机算，更不知道怎样用计算机算，他们算题时仍要一个一个数据用计算器算，与中学差不多。

所以四元一次代数方程组求解要做22次乘法和加法，而且一次不能出错，当然是少慢差费了。

4．[2,3]中非常重视形象教学，特别是线性代数在两维和三维空间的几何意义，全书的图约为100幅[2]和300幅[3]，不仅是立体图，而且有彩色的，使学生很易接受。

其实线性代数的许多术语都来自几何，可见即使学科的创始人的概念都是从几何向代数延伸的。

所以图是线性代数学习路上的桥，我们都是从这桥上走过来的。

但[11]全书只有六张图，版面总面积不到一页,占全书篇幅的0.5%，这等于有桥不搭，要初学者跳过来，不知道为什么这样做？5．[2,3]的作者对线性代数课程和教材的热情和敬业也是极具特色的。

他们在序言中对于线性代数在国家经济和科学技术发展中能发挥日益重要的作用的欣喜之情溢于言表，这势必能极大地感染年青的读者来学好这门课，他们每过几年都改新版，每一版都精心听取意见，补充例子，修改讲法，使教材能跟上应用中的最新实例和计算软件的新发展，或使不同领域和不同取材方法的读者学起来更方便，体现出思想的活跃和与读者进行交互的的愿望；我们的[11]好像是几十年一贯制，以不变应万变。

当然也可以理解，既不涉及应用，又不去管计算，把最具活力的不断更新发展的两头都不要，书中剩下的只是抽象的恒定不变的理论，所以序言中也就冷冰冰地无话可说了。

从上可见，我国工科中的线性代数教学水平，比美国落后了10多年（按用PC 和MATLAB计算为对比标准），按用大型计算机和FORTRAN为对比标准则更长。

最大的问题是课程的指导部门缺乏对国外教育情况的了解,对国内后续课程的需要也没有调查,既不看‘需求牵引’,又不管‘技术推动’。

这种闭门造车、固步自封的状况极大地妨碍着教学内容的‘与时俱进’。

我建议，线性代数的课程目标应该由应用方参与制订，不能清一色由数学专业教师参加，教材的评优评奖、精品课程的评定，都要有‘用户’ （后续应用课的教师代表）参加，不然这种局面会长期无法扭转。

修订计划要求时，要有国内外的比较报告，有后续课的需求调查，不然有些老师只想着数学系高等代数、数论的朦胧需求，而不了解工科高年级各课对线性代数的直接需求，那做出的计划当然差之千里了。