我国工科线性代数课程必须改革
我国工科线性代数课程必须改革陈怀琛现在线性代数的用途比过去任何时候都更广泛。
在20世纪后半期，它的应用不断扩展到了越来越多的新领域。
它在数学课程中的角色已经上升到可与微积分学相比美。
线性代数的这种发展主要是由于人们所研究的问题的规模愈来愈大，愈来愈复杂，牵涉的变量成百上千，这样复杂的问题，目前只能把变量之间的关系简化为线性才好解，所以大规模的线性代数问题就成为热门的数学工具。
除了上述应用的‘需求牵引’之外，线性代数的发展的另一个动力是‘技术推动’，那就是计算技术高速发展的推动,线性代数是一门应用性很强，但在理论上又可进行高度抽象的数学学科，因此它可以有两种发展方向。
为了进一步搞数学理论，可以向抽象方向引导；为了解决工程实际问题，就应当向应用方向发展。
在教学中，这个方向性的问题必须十分清楚。
其实，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法可能是每个人会记忆一辈子的，这就是最简单的线性代数。
当把方程的变量提高到了三元以上时，她不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题。
对于数学家来说，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能用理论指导完成实际的计算。
事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予它在应用方面的生命力。
原来，线性代数主要是对理科、特别是数学系开设的。
由于它的愈来愈广泛的应用价值，理、工、经、管各个大学专业都把它列为必修课。
但因为由数学系开课，其内容和要求难免带有很深的数学专业的烙印，很难适应大量工科学生的要求。
针对这种情况，美国的线性代数教育从1990年起开始了一次大的改革，该年1月，一些有名望的数学家们组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究线性代数教育如何满足数学和非数学专业的不同需求, 以及如何使线性代数的教育得到更大的关注。
同年8月，美国国家科学基金会赞助了大学线性代数课程计划的一次会议，它把数学界和其他专业的许多代表聚集在一起。
会产议生了五条重要的建议，简称为LACSG Recommendation它们是[1]：(i) 线性代数的第一门课程（简称线性代数1）一定要满足非数学专业的需要；(ii) 这一门课程应该是面向矩阵的;(iii) 这一门课程应该是根据学生的需要来组织的；(iv) 这一门课程应该利用新的计算技术;(v) 对于数学专业，至少还要开设一门线性代数2。
第 (i)条建议强调了，学线性代数的学生中只有少数会攻读数学学位，大量的非数学专业的学生要更多注重于应用。
教材中大量的应用篇幅；可以提高学生的理解水平和学习动力；第(ii)条建议强调了矩阵运算，即教材中要摆脱单个元素运算的中学方法；第(iii)条建议强调了从学生需要而不是教师思路出发，这里有两个要点：一是阐述问题应该从具体到抽象，从R2或R3的例子引到高维空间；二是要让学生主动学习，就是要‘带着问题学’，而不是从定义出发。
所以新教材大多由线性方程组引出行列式，并由二阶、三阶、递归地定义高阶行列式；第(iv)条建议使用数学软件或图形计算器. 大多数的教材今天都采用了MATLAB。
第(v)条建议说明，他们只对数学系的学生强调抽象思维，且用线性代数2来实现。
这样，LACSG就减少了线性代数1的抽象性，强调这门课程应当给工业界和科学界以工具。
LACSG 的这五点建议已经被教科书作者所普遍接受。
美国有在线性代数教学中使用计算机的传统，所以个人计算机和科学计算软件的普及立即推动了这门课程的教学方法改善，使得计算机的使用渗入到了日常课程教学。
尽管如此，他们的教学指导部门仍然对推广新型科学计算软件作出了巨大的投入和努力。
1992年美国国家基金会(NSF)资助了一个ATLAST计划，ATLAST是Augment The Teaching of Linear Algebra through the use o f Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。
该计划在1992 到1997 六个暑期组织了十八个教师学习班。
学习班配置在十三个地方。
共有来自各大学的425 个教师参加。
参加者接受了使用MATLAB 软件包的训练，并研究如何利用此软件作为课堂部份讲课内容。
在学习班上，参加者对于本科的线代数课程拟定适当的计算机习题和计划。
然后选编成一本ATLAST 线性代数计算机习题书，正式出版，在使用MATLAB方面，从他们的教材发展来看，在1995年算起的头几年，主要还是反映在采用MATLAB的习题并介绍一些MATLAB的矩阵计算入门，见文献[8~10]。
到近几年就完整地有一套办法，把MATLAB掺合到线性代数的各章中去。
反映在教材[2~6]中。
当然线性代数的整个理论体系，并不受使用计算机而有所改变，只是有些理论可以通过计算机来验证，而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或大作业中，加强它的工科特性。
于是，符合上述五点建议和利用ATLAST成果的大批新型教材出版了，线性代数逐渐成为受学生广泛欢迎的课程。
在我国，由于计算机的发展和应用比较落后。
在改革开放以前，大学中就没有计算机，不但是学生，连老师都没有摸过计算机，这种情况大体一直延续到20世纪末。
现在虽然计算机很普及，但整整50年造成了数学老师不用计算机的习惯，难以改变。
我们国家的线性代数课程和教材出现了崎型的发展，理论抽象愈来愈深，应用和实际计算则毫不沾边。
它成了一门非常抽象和困难的课程，由于讲课没有生动的应用背景，后续课又往往怕烦而避开矩阵，学生在是理论上害怕矩阵建模，实践中不会用矩阵算题。
它的后果是很坏的。
比如，给现在的大学毕业生一个四元一次代数方程组（这样的题目如果用MATLAB，几秒钟就可解出）。
可以看看他们用什么方法解？用多少时间能解出来？有百分之多少能得到正确结果？比他们中学毕业时有多少提高？事实证明，他们的解题能力并没比中学提高。
改革开放初期，教育部曾为在大学中推动计算机的普及投过很大的资金，第一批世行贷款实际上主要都买了计算机，各高校也都开了FORTRAN语言，但却没有购买相应的程序库，对课程内容中如何用计算机更没下功夫，所以对本科教学没起什么作用。
现在计算机硬件不成问题了，人家从FORTRAN改成MATLAB了，我们却把科学计算语言不要了。
连线性代数这么与计算机密切相关的课程都不提计算要求了，加上教师没有使用计算机的传统，大多数本科课程对近十多年来计算工具普及的反响都太迟钝。
而在线性代数课程计划和教材方面的反应更几乎是零。
就线性代数的教材而言，可以拿我国的得奖（中国高校2000年科学技术二等奖！）教材[11]与美国教材[2,3]做一个比较，我看至少有以下几点主要的差别：1． [2,3]的写法以需求为动力，先提出实际应用实例，激励学生的兴趣和好奇，然后展开问题，这两本书在各章中介绍了几十个各领域的应用实例，有的就成为大作业的实用背景；就电子领域而言，实例有在计算机图形学中的应用、在文献检索技术中的应用、在图论和网络分析中的应用、在信息保密中的应用、…等等，对我这样教过50年书的老师都很有新奇感，对学生的吸引力更可想而知。
[11]则完全不讲实际应用问题，按老师心中的理论体系和思维逻辑，从顶向下地叙述。
学完全课学生也不知道线性代数有什么用。
2．[2,3]的写法从低阶到高阶，从具体到抽象；比如行列式的定义，[2,3]用的是归纳法，先讲二阶，推广到三阶，然后四阶是三阶的推广，最后N阶是N-1阶的推广，从而完全避开了正序倒序的讨论，在实际计算中，它也是没有用的，所以[2]中甚至把克拉默法则列为可学可不学的选项；而[11]虽然也讲了二阶、三阶行列式，但高阶行列式则重起炉灶，从数论的全排列和数倒序的定义出发，再定义N阶行列式，这个定义让我们这些智商颇高的工科老师都头疼，不要说刚从中学出来的中等学生感觉会是如何了。
3．[2,3]中各章都有使用软件工具MATLAB 的习题，使学生知道，三、四阶以下的整实数或符号系数的线性代数问题可以手工解，其他稍复杂些的问题必须用计算工具，而且知道用计算工具时应该如何减少误差（[2]中有一章：‘数值线性代数’，[3]中在各章各节中有专门用灰底色框出的‘计算方法提示’）；在[11]则完全不提计算机，使学生只会用手工（计算器）算题，看完这本书，不知道实际问题该用计算机算，更不知道怎样用计算机算，他们算题时仍要一个一个数据用计算器算，与中学差不多。
所以四元一次代数方程组求解要做22次乘法和加法，而且一次不能出错，当然是少慢差费了。
4．[2,3]中非常重视形象教学，特别是线性代数在两维和三维空间的几何意义，全书的图约为100幅[2]和300幅[3]，不仅是立体图，而且有彩色的，使学生很易接受。
其实线性代数的许多术语都来自几何，可见即使学科的创始人的概念都是从几何向代数延伸的。
所以图是线性代数学习路上的桥，我们都是从这桥上走过来的。
但[11]全书只有六张图，版面总面积不到一页,占全书篇幅的0.5%，这等于有桥不搭，要初学者跳过来，不知道为什么这样做？5．[2,3]的作者对线性代数课程和教材的热情和敬业也是极具特色的。
他们在序言中对于线性代数在国家经济和科学技术发展中能发挥日益重要的作用的欣喜之情溢于言表，这势必能极大地感染年青的读者来学好这门课，他们每过几年都改新版，每一版都精心听取意见，补充例子，修改讲法，使教材能跟上应用中的最新实例和计算软件的新发展，或使不同领域和不同取材方法的读者学起来更方便，体现出思想的活跃和与读者进行交互的的愿望；我们的[11]好像是几十年一贯制，以不变应万变。
当然也可以理解，既不涉及应用，又不去管计算，把最具活力的不断更新发展的两头都不要，书中剩下的只是抽象的恒定不变的理论，所以序言中也就冷冰冰地无话可说了。
从上可见，我国工科中的线性代数教学水平，比美国落后了10多年（按用PC 和MATLAB计算为对比标准），按用大型计算机和FORTRAN为对比标准则更长。
最大的问题是课程的指导部门缺乏对国外教育情况的了解,对国内后续课程的需要也没有调查,既不看‘需求牵引’,又不管‘技术推动’。
这种闭门造车、固步自封的状况极大地妨碍着教学内容的‘与时俱进’。
我建议，线性代数的课程目标应该由应用方参与制订，不能清一色由数学专业教师参加，教材的评优评奖、精品课程的评定，都要有‘用户’ （后续应用课的教师代表）参加，不然这种局面会长期无法扭转。
修订计划要求时，要有国内外的比较报告，有后续课的需求调查，不然有些老师只想着数学系高等代数、数论的朦胧需求，而不了解工科高年级各课对线性代数的直接需求，那做出的计划当然差之千里了。
工科线性代数教学中存在的问题及改革实践
工科线性代数教学中存在的问题及改革实践摘要:本文从线性代数课程自身特点和工科学生的实际情况出发,分析了线性代数教学中存在的实际问题,针对这些问题提出对应的一些解决方案,以达到提高学生学习效率和教学质量的目的。
关键词:线性代数教学改革行列式矩阵1 引言随着21世纪科技的快速发展,全球经济化时代的到来,用代数方法解决实际问题已渗透到现代科学、技术、经济、管理、计算机、电子等各个领域,线性代数以线性问题为主要研究对象,具有广泛的应用性,它作为理工科专业的一门理论课程,对培养一个人的逻辑思维能力、抽象思维能力、计算能力、推理能力都起着非常重要的作用。
但学生的数学层次和水平参差不齐,这样就给如何组织教学提出了挑战。
工科院校的学生上完这门必修课后,教师,学生均不太满意,效果也不理想。
主要存在以下几个方面的问题:(1)线性代数中每一章都有很多基本概念,基本计算方法等新的知识点。
学生学习了诸多概念后,抓不住重点,难点,理不清解题思路,而且易出现几种概念混淆,概念之间的联系不十分清楚的现象。
(2)不少教师在线性代数讲授过程中照本宣科,罗列公式概念等等,使得学生对这门课的教学目的以及用途不清楚,认为所学非用;教师在课堂上滔滔不绝,而学生却听得糊里糊涂,囫囵吞枣,一知半解。
这样一来,学生的课后作业也就做得一塌糊涂,而教师却没有时间处理作业中存在的问题。
(3)工科院校普遍压缩课时,使得线性代数的学时较少(我校一般安排30学时),教师为了赶教学进度而降低了教学质量;于是,学生上课有些内容听不懂,课后作业不会做,久而久之,自然产生厌学的思想,有的干脆放弃这门课。
2 实践与改进措施面对这些问题,究其原因,一方面是这门课的学时很紧,另一方面是这门课的理论性强,概念和定理多,计算量大。
因此,教师常常向学校要求增加该门课程的学时数来解决这个问题,但各门课均有层出不穷的新知识需要学生去掌握,因而不可能增加过多的学时数,面对这一情况,只有在教学方法上进行一些大胆的改进。
浅谈线性代数课程建设和教学改革
浅谈线性代数课程建设和教学改⾰2019-08-22【摘要】⾼校线性代数是⾼中数学知识的延续和发展，但在教材内容与教学⽅式上存在明显的差异.本⽂探究了新时期下线性代数的课程特点，为进⼀步提⾼线性代数的教学质量提供了三点建议，即从师资队伍建设、授课⽅式及考核⽅式等⽅⾯进⾏教学改⾰.【关键词】线性代数；课程建设；教学改⾰线性代数是全国⾼等院校理⼯科学⽣的必修课，对于培养学⽣的发散思维起着重要的作⽤，该课程的学习效果会影响许多专业课的学习.因此，在课程建设中，应同时注意⼈才培养的专业需求及学⽣的可持续发展.考虑到各专业的特点，及当下普遍缩减线性代数教学学时的情况下，探寻整体提⾼线性代数的教学质量的⽅法具有重要的意义.从蝴蝶效应理论中，我们可知混沌系统对初始条件具有敏感的依赖性，这⼀特性为探寻线性代数的教学效果提供了理论依据和改进的⽅向.本⽂为进⼀步提⾼线性代数的教学质量提供了以下三点对策.⼀、师资队伍的梯队建设教学梯队建设是每门课程建设的核⼼，如何提⾼教师的整体教学⽔平是提⾼课程教学质量的关键点.线性代数是所有理⼯农林类院校的必修课之⼀，该课程的理论性强，解题技巧较灵活，涉及的学⽣专业及⼈数多，因此⼀般⽽⾔承担该课程的教师是⼀个教学梯队.所以，应把教学梯队的整体建设和提⾼总体教学⽔平作为线性代数课程建设的重点来抓.为此，本⽂建议采取如下⼏项措施.⾸先，可实施课程负责⼈制度.课程负责⼈应当由具有先进的教学理念、科研成果显著、教学效果优秀、具有较强组织能⼒及丰富教学经验的⽼教师担任.课程负责⼈应明确⾃⼰的责任，对该门课程的教学⽅法、教学效果、课程建设及改⾰等各⽅⾯负责.其次，严格实⾏青年教师导师制.为了使青年教师尽快成长，提⾼教学⽔平，应为每位青年教师指定⼀名校内有优秀教学经验的⽼师作为其导师，协助青年教师制订短期的培养⽬标及长期的培养计划，对其教学过程进⾏跟踪指导，以期提⾼青年教师的教学质量.第三，应坚持定期开展学⽣评教制度.通^每学期的学⽣评教活动，可以收集并了解学⽣对主讲教师的评价，及时对教学中存在的问题进⾏归纳总结，同时可制订相应的整改措施，以便教师在今后的教学中进⾏改进.同时学⽣的评分还可作为教师教学效果的评定依据之⼀.第四，应长期坚持开展教学研究活动.通过定期组织成员开展教学交流，可使教师们共同探讨遇到的问题及处理⽅法，交流教学经验，及时更新教学内容，并⿎励教师间相互听课，取长补短，共同提⾼.第五，⿎励教师开展教研及科研课题的申报，每位教师争取拿到⼀门研究性课题，学术和教学相辅相成，形成良好的循环，全⾯提⾼教师的科研及教学素质.第六，积极⿎励青年教师提⾼学历和出外进修.学历⽔平是教师队伍的质量和整体⽔平的重要标志之⼀，反映了教师队伍的理论⽔平及其在教学、科研⽅⾯的发展潜⼒.按照上述⽅案，经过各单位全体教师的共同努⼒，期望能建成⼀⽀⽔平较⾼的师资队伍.⼆、授课⽅式的改进多年来，线性代数课程的授课⽅式是：学⽣课前阅读教材、参考书预习课程内容，教师通过书写板书来讲授理论知识，学⽣按要求完成作业，不懂之处找⽼师进⾏课下辅导等.随着近年来⾼校的⼤规模扩招，各学校在校⼈数⼤幅度增加，传统的授课⽅式已远远不能满⾜学⽣的需求.为了让更多的学⽣爱上线性代数，也为了培养更多的应⽤型⼈才，本⽂建议运⽤现代教学⼿段，将线性代数的教学和计算机的运⽤进⾏有机结合，开发出⼀套该课程的⽹络教学学习系统，将静态的教学过程转变为动态的教学过程.把教学内容置于多媒体课件中，这样即可将枯燥、抽象的数学概念和理论变得更⽣动活泼、直观可视，加⼤了教学的信息量，同时舒缓了学⽣的学习压⼒，激发出更多的学习热情.另⼀⽅⾯，通过该⽅式，⽼师能与学⽣进⾏“⾯对⾯”的交流，增强了互动效果.但是多媒体教学⼿段决不能完全代替传统的教学⼿段，⽼师还应该对⼀些必要的推导过程、解题过程及疑难点在⿊板上板书演⽰，由此可以加深学⽣对理论知识的进⼀步理解.⽼师还可不定期地给学⽣留⼀些思考题，让学⽣在课后切磋交流，使学⽣加深对知识的理解和⽅法的掌握，进⼀步提⾼课堂教学的效率.此⽅法的应⽤，⼀⽅⾯可以提⾼学⽣的计算机应⽤⽔平；另⼀⽅⾯有助于学⽣对理论的理解和消化.三、考核⽅法的改⾰以往线性代数课程的考核⽅法⼀般是以期末闭卷考试分数为主，结合期中和平时成绩进⾏综合评分.该⽅法的弊端是：注重记忆多于理解；注重知识多于智⼒；注重理论多于实践.因此，本⽂建议应对考核制度进⾏改⾰，以培养学⽣对知识活学活⽤的能⼒为最终⽬的.考试内容应尽可能全⾯，综合考察学⽣的知识记忆能⼒、分析能⼒、创造⼒等不同⽅⾯.考核制度应尽可能灵活，教学的⽬的在于引导学⽣掌握正确的学习⽅法，真正掌握该门知识.因此在评分过程中，应逐步降低期末考试在最终评分中的⽐例，提⾼平时考核所占的⽐重.平时考核可包括期中考试、平时作业、⼩论⽂及学⽣的⾃主创新建议等.这种综合评分法有利于调动学⽣的学习积极性，促进学⽣对专业知识的理解，有助于学⽣提⾼分析问题、解决问题及创造性思维的综合能⼒.随着科学理论的快速发展及⼈们对世界的深⼊探索，混沌理论逐渐应⽤到各个领域中，其对教学效果的提⾼具有了重要理论依据，同时也为教学改⾰提供了⼀种新思维.在混沌理论的指导下，充分地调动学⽣学习线性代数的兴趣，开阔学⽣与⽼师的思维，改变传统式的单⼀教学，⽅可真正做到因材施教.【参考⽂献】[1]孙杰.应⽤型⼈才培养中的线性代数课程教学模式的研究与实践[J].⾚峰学院学报（⾃然科学版），2009，25（12）：21-22.[2]韩加坤，黄键.线性代数课程设置构想[J].⼤学教育，2016（2）：143-145.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
《线性代数》教学改革探析
表 １
１《 线性代数》 课程改革的必要性
《 线性代数｝Ｌ ｅ ｌ ｂ ）是教育部工科数学教学指导委员 （ｉ ａ Ａｇ ｒ ｎ ｒ ｅａ 会列 出的重点基础理论课之一 ， 也是我校计算机 、 物理 、 市场 营销等 专业 的基础理论课 。 多数学家将《 许 线性代数》 定义为讨论线性方程 和线性运算 的代数 ， 是高等代数一个分支 。《 线性代数》 起源 于欧氏 现 总公 司要统计两个 月份 ｓ Ｔ两个部 门的联想 、 、 戴尔 、 苹果计 几何 、 线性方程组理论 、 解析几何 。其 内容包括矩阵理论 、 性空间 算机销售总情况 线 理论和代数型理论 。 ｛２ １ ０ ６ ｌ０ １０ ８ １０ ０ Ｏｌ １ ０ ２ Ｏ｛ 在发展之初 ， 行列式和矩阵不过是一种语言或速记。 ２ 在 ０世纪 ＋Ｂ ＝ １０ １ Ｏ ８ ＋ １０ １ ０ ６ ｌ Ｉ７ ２ ０ｌ Ｉ６ ６ ＯＩ Ｉ ｉ ｌ 后半期 ， 线性代数 的应用不 断扩展 到了越来越多 的新领域 ， 如工 程 技术 、 国民经济 、 生物技术 、 航天 、 航海等领域。 它在数学课程 中的角 ０＋１ ０ １ ０＋１ ０ ６ Ｉ２ １ ０ ０ ２ ０＋８ ０ｌ 色已经上升到可与微积分学相比美 。 由于人们所研究 的问题的规模 ０ ６ ２ ＋１ ０ ０ ０｝ Ｉ ７ ＋１ ０ １ ０ ６ ８ ＋６ １ 愈来愈大 ， 愈来愈复杂 ， 牵涉 的变量成百上千 ， 这样复 杂的问题 ， 目 前只能把变量之 间的关系简化为线性才好解 ， 许多实际问题 都可以 ［２ ２０ ４ ７ － ０ ２ １ｏ ２ 通过离散化 的数值计算得到定量 的解决 。 于是作为处理离散问题 的 ｆ ３ ２ ０ １ ０ｌ ０ ８ ４ ３ 线性代数 ， 成为从事科 学研究和工程设计 的科技人员必备的数学 基 础 。我国廖振鹏 院士谈线性代数在地震理学研究 中的重要性 中， 提 及我 国西南地 区高坝的抗震设计 问题 。 这类问题 和工程 中的电磁 波 数值模拟问题相似 ， 常涉及上百万 自由度 系统 的代数方 程求解 。 然而《 线性代数》 课程的教学现状 不容乐 观 ， 主要存在一下以下 问题 ： 第一 、 教学 内容过于理论化 ， 缺少实用性 和专业 的针对性 ， 学 生觉得教学内容过 于抽象 ， 缺少趣味性 ； 第二 、 教学手段落后于时代 的发展 ， 多年来其教 学方 法仍 沿袭“ 一支粉笔 、 份教案 、 本理论 一 一 教科书” 这一传统教学模式 。但《 线性代数 》 课程课堂教学 中书写量 多， 式子偏大 ， 比如有时很难用 书写方式 描述一个复杂 的实 际应 用 示例等 。因此 ，线性代数》 《 教学改革势在必行 。 ｔ。 ｔ。 ６ ２ 。 。 ２《 线性代数》 教学改革思路 ２１教学 内容改革 ． 首先 ， 弱化理论的抽象性 。线性代数》 《 虽然是一 门工具学科 ， 但 是也有 自身的发展历史和应用背景。所 以在教学 内容上 ， 当的讲 适 解它 的发展史 和各方面 的应用 ， 让学生理解这 门课程并不是凭空产 生的 ， 也不是毫无用处的。相反 ， 它是一 门非常重要 的学科 ， 正像 廖 振鹏院士所说线性代数是通向把代数 、 几何和分析 的现代数学工具 结合在一起用以发展算法 的人 口， 是各专业应用计算机技术进行科 学计算 的基础 。 《 线性代数》 是从实 际生活中抽象出来 的一 门学科 ， 它的理论体 系是与实际生活相符 的。因此 ， 我们 可以从实例 中引导学生 自己归 纳整理 出线性代数 的理论体系。 比如：
新工科背景下线性代数教学改革初探
新工科背景下线性代数教学改革初探作者：钱宇锋来源：《世界家苑》2020年第01期摘要：“新工科”是我国教育部在2016年提出的教育改革的基本方向，在这一工科改革的主要背景下，许多高校提出线性代数教学改革的新方向。
新工科的基本目标是培养杰出的工程人才，这种新工科的技术人才既有扎实的有关相应专业的基础知识，熟练基本技能。
既要运用所学知识解决相应的问题，又能根据时代的发展，不断更新自己的知识储备量。
在此目标下，本文主要对线性代数改革进行初步探索。
关键词：新工科;线性代数;教学改革;初步探索线性代数为高等院校理科、工科、管科等专业的一门重要数学的基础课，线性代数是数学学习过程中的一门工具，它有利于培养学校学生的抽象思维，逻辑推理，空间计算等能力。
随着技术的发展，线性代数发也发展的领域也越来越多，广泛应用于金融信息等领域。
線性代数具有高度的抽象性，这远远超出了学生已有的学习经验，所以很多高校生都说这门功课复杂不易理解。
面临这个问题，线性代数教师如何改进和完善课堂教学设计，在学习高等代数的基础下，提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题能力，提高学生的学习效果，让学生学以致用，在工科的发展中占有重要的地位。
1 建立基础课程与专业知识相统一的教学模式线性代数是大学数学中的基础课程，它的基本概念和理论不应该只采用传统的教授式的教学模式，在不同的专业，教师要根据专业自身的特点，循序渐进，引导学生进行研究性的教学，也能够提高教学效率。
教学研究方法要注重创新，结合专业特点，学生能够更好地理解到深奥的理论逻辑背后所蕴含的知识背景，将复杂的数学理论应用于生活和工程工业的问题中，既有利于应用所学知识解决专业问题，也能够更好推动学生研究性思维的形成。
教师在教授线性代数课程时，首先考虑的问题应该是不同专业学生需要怎样的数学知识，如果教师了解这个背景，会帮助教师的教学具有针对性，若忽视了学生所学的专业，将会导致学生学习的内容无法学以致用，用所学知识解决实际生活中的问题，这会使学生产生懈怠的心理，认为所学的知识并不重要，缺乏学习线性代数的动力。
《线性代数》课程教学策略与改革浅谈
《线性代数》课程教学策略与改革浅谈【摘要】线性代数是工科院校各专业的一门重要基础课，教育部将其列入重点评估课程之一。
在科学计算、经济学等领域有着广泛的应用。
如今关于线性代数的教学策略和改革方面的研究也越来越受学者们的青睐。
【关键词】线性代数教学策略教学改革一、关于线性代数线性代数的概念很多，而数学符号和概念本身就是长期科学抽象的结晶，所以弄清符号的含义，掌握概念的内涵是学好这门课的前提。
二、线性代数的教学策略1.直观介绍概念数学概念一般较为抽象，若不注重引入方法直接介绍，对学生而言，文物一时难以接受，即使勉强接受也理解不透，难以应用。
《线性代数》中的一些概念，往往是由若干特殊情况，通过不完全归纳法在一般性定义得出的，它注重具体，淡化抽象。
概念都有严格的定义，而定义的叙述或易或难。
在教学中，为了让学生弄清某些定义叙述较为抽象的概念，用大量的实例将概念具体化。
2.注重习题课作用在线性代数的学习中，学生会普遍感到“做题困难”、“做题没有思路”等问题，原因是由于这门课程的研究对象和基本思想方法与学生的原有认知结构之间不相匹配产生的，是非常正常的。
解决这一问题的最好教学策略就是尽量多上习题课。
上好习题课，发挥习题课的作用，便于学生对概念的理解。
线性代数习题课的基本作用是：使学生正确理解和掌握有关基本概念和基本结论；使学生逐步熟悉和掌握有关基本方法；使学生学会和掌握基本解题技巧，培养学生的思维品质；澄清一些模糊的或者错误的认识；培养准确规范地使用数学语言的能力。
习题课采用师生共同讨论的教学模式，形成互动。
通过一个阶段的适应，一般学生就能逐渐形成分析问题和解决问题的能力。
3.比较法在线性代数中的应用所谓比较法，即把某些有一定相关性的知识点或练习题放在一起对照讲授或练习，找出它们的共同点和不同点的教学方法。
它包括：相反概念的比较；易混概念的比较；新旧知识的比较；同类事物的比较。
比较法在线性代数教学中应用可以使学生加深对知识的理解，准确把握题意，提高分析理解的能力.通过比较可以辨别真伪、正误，提高认识水平；可以举一反三，拓宽视野，更好地把握数学知识的本质特征。
浅谈《线性代数》教学改革与实践
是相互渗透 、 紧密联系 的， 以教师在授课过程 中 所 应注意各章节内容之间的联 系， 尤其是对各个概念
的等 价 条 件 ， 一定 要 引 导 学生 去 总 结 发现 ， 这样 既
围下 ， 再逐步引出四阶 、 五阶直至 ｎ阶行列式的定 义 ，这样学生就较容易掌握 ｎ阶行列式的概念； 再
第２ ６卷 第 ８期
２１ ０ ０年 ８月
赤 峰 学 院ห้องสมุดไป่ตู้学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌｆ ｈｆ ｇ ｎ ｅｓｙ（ ａ ｒｌｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏＣ ｉｎ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａ ｉ ｅ ｉｏ ） ｅ Ｕ ｖ ｔ ｕ Ｓ ｎ Ｅ ｉ
Ｖ０ ＿ ． ｌ２６ ＮＯ ８ Ａｕ ２ ０ ｇ． ０１
使学生不会产生概念混淆 ， 条理混乱 ， 又锻炼 了学
生的逻辑思维能力． Ａ是 ｎ阶方阵 ， ＩＩ （ 如 若： ≠０ Ａ 称 Ａ为非奇异阵） 以下命题等价 ｔ 则 （） １存在若干个初等阵 Ｐ，２…，ｎ 。 ， Ｐ， Ｐ 使得 Ｐ
…
论这样一个问题 ：矩阵可不可 以有类似于数的除
法， 如果 可 以怎样 来做 ？ 如果 不可 以为 什么 ？ 个 问 这 题 提 出 以后 ， 同学 们众 说 纷 纭 ， 因为 数 的除法 实 质
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ａ１ ｍ ａ … ａ ｌ Ｉｌ ｌ
Ｘ＝
Ｍ
Ｘｎ
Ｉ＝ ｂ
Ｍ ｂ
线 性代 数一 般继一 年 的微 积分 课程 后开 设 ， 此
关于_线性代数_教材改革的几点想法
1 = ( x n - x1 ) …( x 2 - x1 )
x2 x2
n- 2
… …
1
xn
= …
- 1 … xn n
- 2 … xn n
= ( x n - x 1 ) …( x2 - x 1 ) ( x n - x 2 ) …( x 3 - x2 ) …( x n - x n - 1 ) =
1 ≤j < i ≤n
x
2
2!
+ …+
x + …, e x e x′ = e x + x′. 而在矩阵运算中 , 幂零阵 n!
n
0
X=
0
…
0
3 … 0 … … ω
0
3 3 …
0
…
与幂幺阵 3 0 1 … …
1
Y=
… 3 … 3 ω … … 1
0 0
x
0
0
之间的关系就与上面说到的 x 与 y 的关系相类似 . 为简单计 , 我们只考虑 2 阶幂零阵 X = 到 X2 =
∏
( xi - xj ) .
同时 , 我们可以适当增加有关行列式的几何意义的内容 :2 阶行列式
[ 收稿日期 ] 2005204213
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大 学 数 学 第 22 卷
D=
T
a11 a21
T
a12 a22 a12 a22 a32 a13 a23 a33
可以看作是平面向量 α 和α2 = ( a12 , a22 ) 所张成的平行四边形的面积 ; 3 阶行列式 1 = ( a11 , a21 )
| a + bi| = a2 + b2 = det
a a b
浅谈线性代数课堂教学改革
浅谈线性代数课堂教学改革线性代数课程是各个学院理工系开设的一门数学基础课，本文从线性代数的发展历史和学习的重要性入手，讨论了线性代数学科的教学现状及注意的问题，并提出了线性代数学科的教学方法与改革措施。
标签：线性代数课堂教学改革线性代数课程是各个学院理工系开设的一门数学基础课，课程的内容是研究线性空间的重要基础，为解决线性问题提供重要工具。
线性代数课程对于培养学生线性问题的求解能力和线性空间思维能力具有重要意义。
如何随着时代的发展来改革线性代数的课堂教学，是本文研究的重点。
一、线性代数的发展历史及其学习的重要性1.线性代数学科的发展历史线性代数属于代数学的一个分支，“代数”在清代时才传入我国，在1859年时被数学家李善兰翻译成为“代数学”，一直沿用至今天。
随着科学技术的发展，特别是信息科学技术的发展，我国高等数学的教学理念也逐渐发生了变化。
从20世纪70年代末开始，一些大学的工科教学中增添了线性代数和概率论以及数理统计等教学内容。
在20世纪80年代后期，一些学院把线性代数独立出来，成为数学基础课的一门独立课程。
到了20世纪90年代年代，线性代数成为了工科数学教学的主要课程之一。
2.线性代数学科的改革线性代数对理工科学生来说是一门极其重要的学科。
线性代数主要处理线性关系的问题。
随着数学科目的发展，线性代数的含义也在不断的扩大着。
线性代数的理论渗透到数学的许多分支中，在物理、化学、工程技术、生物技术、航天和航海等领域中都有着广泛的应用，过去的三十年里，线性代数课程的教学发生过几次较大的改革；第一次改革是线性代数成为了一门独立的工科数学的教学课程，第二次改革是线性代数的教学内容的扩充与重组，而第三次改革是注重软件的使用与线性代数学科课程的实验。
近年来，线性代数课程的教学改革已经涉及到对一些传统的教学内容、数学概念和授课方式等方面的改革，有其重视与实际应用的结合，以及使用软件计算和解决有关线性代数中的问题。
工科院校线性代数教学改革的探索与实践
工科院校线性代数教学改革的探索与实践结合工科院校线性代数教学现状及实践经验，针对线性代数课程的自身特点，从调动学生主动学习的积极性、丰富教学手段、改进教学内容、培养计算能力等方面，谈谈教学过程中的探索与实践，目的在于提高线性代数课程的教学效果，培养学生能力。
线性代数教学方法教学效果数学教学以传授知识、培养能力、增强思维为目的。
线性代数作为工科院校的重要基础必修课程，它的任务一方面，是通过传授有效的数学理论知识培养学生的基本数学素养；另一方面，通过传授常用的数学方法培养学生的创造性地应用数学处理实际问题的能力。
线性代数的教学内容具有明显的特点：内容抽象、逻辑性强、概念多、定理多、方法多，证明方法独特不易理解。
目前，大多数高校都是将线性代数课程安排在大学一年级，由于大一还有高等数学课程。
因此，如何看待线性代数与高等数学的区别？如何正确认识和掌握线性代数的学习方法？教师如何带领学生跨越这一障碍，尽快适应线性代数学习的要求，培养学生们以严密的逻辑思维方式处理代数系统的能力呢？下面结合自己从事工科院校线性代数教学实际，提出几点意见供大家探讨，为线性代数教学及改革增进新的思路。
一、端正思想、正确认识线性代数的学习方法，强调学好线性代数的重要性线性代数教学中学生普遍反映该课程较难，比高等数学难学。
针对这一点，教师应该让学生认识到高等数学与线性代数是大学数学的两个不同分支。
高等数学属于数学中的分析系列，它与中学数学衔接较紧，处理问题的方法和中学有共同的地方；而线性代数属于数学中的代数系列，其内容的描述分为三种模式：抽象模式，代数模式和几何模式。
代数模式使用代数语言，抽象模式使用形式语言，几何模式使用几何语言，主导这三种语言发展的是三种思维形式：综合几何思维形式用于几何模式，解析算法思维形式用于代数模式，解析结构思维形式用于抽象模式。
三种模式的转换使学生感觉到代数的抽象性，面对线性代数内容高度的抽象性，学生的学习习惯、思维方式还是中学期间所固有的方式、方法，因而在短时间内较难适应线性代数的教学，再加上线性代数学时较少，使得更难掌握该课程的学习方法，因此教学中要求老师注意以下问题：1.必须强调该课程在学习方法方面的转变问题，引起学生的重视，同时对课程学习提出意见和建议。
新工科背景下“线性代数”课程教学改革探索
㊀㊀㊀㊀㊀㊀新工科背景下线性代数课程教学改革探索新工科背景下 线性代数 课程教学改革探索Һ张静静㊀（华东交通大学理学院，江西㊀南昌㊀３３００１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ 线性代数 是高等院校新工科基础课程体系中的一门重要的数学基础课，在实际教学中存在教学内容不生动㊁概念抽象难理解㊁无法有效激起学生的学习兴趣等问题，与新工科建设对课程教学的要求不相适应．本文通过分析我校当前线性代数课程教学存在的问题，提出相应的教学改革对策，为适应和完善新工科人才培养模式提供一定的教学参考．ʌ关键词ɔ新工科；线性代数；教学改革ʌ基金项目ɔ江西省高等学校教学改革研究省级立项课题（课题编号：ＪＸＪＧ－１８－５－２５）一㊁引㊀言线性代数是高等院校新工科基础课程体系中的一门重要的数学基础课，主要讨论有限维线性空间的线性理论与方法．解线性方程组㊁求矩阵的特征值等是工科技术人员经常遇到的课题．因此，线性代数所介绍的方法广泛地应用于各个学科，不仅为学生提供后续工科专业学习所必需的基础数学知识，对培养学生的抽象思维㊁逻辑推理㊁空间想象和计算等能力也具有不可替代的作用．但是目前线性代数课程的教学效果不理想，存在的主要问题有教学目标定位不清晰㊁工科教学内容理科化㊁数学通识教育与工程实践教育脱节太大㊁学生学习兴趣不高㊁有畏难情绪等．另一方面，线性代数的教学课时少，内容知识点多，高度的抽象性和严密的符号体系，使很多理工科学生望而却步，导致学生学习主动性不高，学习目标不明确，不能理论联系实际解决实际问题，动手能力不足等．线性代数课程应用范围广泛，处理问题的方法灵活多变．传统的教材重理论轻应用，重公式推导轻数值计算，不符合工科数学 以应用为目的，以够用为度 的原则，很少能和其他学科知识或生活中的实例紧密联系起来，因此，传统的线性代数教学模式已经不能满足新工科建设对人才培养的要求，积极探索新工科背景下线性代数课程的教学改革与实践具有重要意义．二㊁线性代数教学现状及问题目前，国内多数高等院校采用的线性代数教材主要分为理工类和经管类，无论是理工类还是经管类，都缺乏必要的专业背景介绍和与相关专业知识的联系和对接，忽视了学生的主体地位和实用性需求．除此之外，线性代数在教学方面还存在以下主要问题：１．课程内容难度较大，学生学习兴趣不高线性代数的主要内容有行列式㊁向量组的线性相关性㊁矩阵㊁线性方程组㊁二次型等，内容较抽象，和中学知识的联系较少，给学生造成一定的畏难心理，难以充分调动学生的学习积极性㊁主动性，容易形成教师满堂灌㊁学生被动学的填鸭子教学模式，实际教学效果不太好．２．讲解缺乏应用实例，课堂缺乏教学互动线性代数逻辑性强，公式定理定义多，解题方法灵活多变，初学者往往难以一下子厘清知识脉络．教师在课堂讲授时，大多注重公式的推理，很少举应用型例子和实际生活联系起来，特别是和工科学生后续的专业课程学习挂不上钩，学生感受不到学线性代数的价值，这种教学方式容易使课堂气氛沉闷，教师上课也缺乏激情，不能起到很好的教学相长的作用．３．线性代数侧重理论教学，实验教学欠缺我校线性代数的总学时只有３２学时，上课时间紧，课程内容多，任课教师想在规定学时内把教学大纲要求的内容讲完都感觉不够用，部分教师想在课堂上演示用ＭＡＴＬＡＢ，ＭＡＰＬＥ等数学实验软件解决线性代数方面的问题亦有心无力，只能在课上简单介绍，缺少应用数学软件解决实际应用问题的详细讲解．总之，目前的线性代数教学现状使学生感觉难学，教师感觉难教，现有的教学模式已经难以适应新工科建设对人才培养的要求，迫切需要对教学方式㊁教学内容进行改革，以适应新工科对人才培养的需要．三㊁线性代数教学改革措施针对线性代数日常教学中存在的以上诸多问题，可以考虑如下教学改革措施：１．以学生为中心，更新教学观念．在线性代数课程的教学过程中，教师要把学生视为整个课堂教学过程的主体，关注学生的需求点和兴趣点，充分发挥学生的主观能动性和学习积极性，培养学生的自主思维和创新意识．在新工科视域下，以学生为主体，提高学生的自主知识构建能力，以应对变化，塑造未来．随着时代的发展，教师要转变教育观念，从教师变成 导 师，从以知识传授为导向，转到以学生学习成果和核心能力为导向，培养学生的自主学习和团队协作能力，以拥有更强的创新能力和适应能力．把整个线性代数课程教学过程视为提出问题㊁分析问题㊁解决问题的过程．教师在教学过程中把数学思想和方法放在首要位置，重点分析知识点的结构㊁逻辑关系㊁内在联系．例如，分析线性方程组求解㊁矩阵运算㊁向量组的线性相关性三者之间的联系，将看似不相关的概念通过矩阵工具建立统一的表达式．通过类似案例，有意识地引导学生透过现象看本质，有创造性地学习．２．加入应用案例，优化教学内容．线性代数在工程领域具有广泛应用，例如，线性系统理论，信息传输，编码理论等．㊀㊀㊀㊀㊀结合学生所在专业，将线性代数知识和学生将要学习的专业课程联系起来，提高课程教学的针对性．这也对任课教师提出了更高的要求，需要对学生后续的专业课程有所了解．除此之外，课堂上可以增加一些具有实际背景的应用案例，增强线性代数知识的趣味性和应用性，激发学生主动学习的欲望．例如，在讲矩阵概念时，可以介绍灰度图像就是矩阵，且每个元素都是０ ２５５中的某个整数；教师上课所用的电脑屏幕也是与矩阵密切相关的实例，介绍屏幕的彩色是由红㊁绿㊁蓝３种基色复合而成的，即３个１０２４ˑ７６８矩阵复合而成．然后介绍数学上为什么引入矩阵的问题 为了表示线性方程组及其解．通过这些例子可以让学生体会到实际生活中无处不在的矩阵，又能拓宽学生的知识面，提高学生的学习兴趣．３．加强实践教学，培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力．积极鼓励感兴趣的同学参加学校举办的数学建模培训和各级数学建模竞赛，使高大上的理科学术形态的教学转化为接地气的应用形态的教学．引导学生在探索专业问题过程中逐步厘清线性代数的知识体系和脉络，加深学生对课程内容本质的理解，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力．例如，在讲到矩阵转置的概念时，可以使用ＭＡＴＬＡＢ命令ｉｍｒｅａｄ（ ｐｉｃ．ｊｐｇ ）（ｐｉｃ．ｊｐｇ为图片名称）演示，运行该命令后可以得到一个取值范围为０ ２５５的２５６阶的方阵Ｍ，现在对Ｍ进行转置运算得到ＭＴ，再使用命令ｉｍｓｈｏｗ（ＭＴ）就会呈现一幅旋转９０ʎ的图像．通过这个例子，学生容易理解图像可以存储为一个矩阵，对矩阵进行转置运算相当于将图像旋转９０ʎ．同理，在讲矩阵乘法和矩阵求逆时，可以引导学生联想利用矩阵乘法对数字进行加密解密等运算，使学生对线性代数的应用有更深刻的认识．４．提高教师教学能力和水平，创新教学方法．利用现代化信息手段，开展 课内课外相结合，线上线下相结合 的混合式教学模式．利用好学校现有的网络教学平台，积极探索师生互动教学法，例如，利用 课堂派 雨课堂 ｉ花椒 等教学Ａｐｐ，建立学习群等方式，增加师生间的课后互动和线上互动，弥补课堂时间紧张无法进行有效交流的缺点．教师通过与学生的交流和反馈，及时发现自身教学过程中的盲点，并予以快速解决．在具体教学过程中，以学生为中心，以问题为导向，突出线性代数数学思想和方法的传授，着重培养学生的自主学习能力㊁运用所学知识解决实际问题的数学建模能力，着力引导和开发学生的创新精神和创造能力，让学生在研究中学习，在学习中研究，充分发挥教师的引导作用．５．改革学生考核方式．目前，多数高校采取平时成绩加期末考试成绩的方式得到学生最后的综合成绩．平时成绩主要考核出勤率和作业完成情况，其缺点是不能反映学生自主学习㊁自主思维能力和逻辑思维能力的差别，也不能有效促进学生学习的主观能动性．为此，要设计全新的学生考核体系，重点考查学生的学习能力㊁逻辑思维能力和对课程的总体理解把握能力，增加线性代数实验考核分数．通过改革线性代数课程的考核方式，有效利用考核指挥棒，引导学生不断地进行思考㊁研究㊁总结，进而提升课堂教学效果．６．争取学院和学校教务部门的政策支持，做好线性代数课程改革顶层设计．主动构建适应新工科发展的公共数学课程体系和教学大纲，适应新工科发展需求，将产业和技术的最新发展㊁行业对人才培养的最新要求引入线性代数教学过程，不断更新教学内容和课程体系，为学生的专业发展提供基础知识保障，形成聚焦学生专业素质和综合素质的人才成长氛围．有条件的专业和班级还可以试点选用国外成熟的原版教材，例如，Ｄａｖｉｄ编写的‘线性代数及其应用“，里面有很多的应用实例，可以帮助学生深入理解线性代数概念在实际问题中的应用，还可以提高学生应用所学知识解决实际应用问题的能力，同时扩展教师和学生的知识面，提高教师的双语教学能力和水平，做到教学相长．四㊁结束语线性代数的矩阵理论及其运算是非常重要的内容，应该鼓励学生将所学理论知识和实际应用相结合，加强常用数学软件如ＭＡＴＬＡＢ的培训及熟练运用，不断提高学生动手解决实际问题的能力．特别是数学软件的绘图功能，可以实现可视化求解，对促进学生对线性代数的深刻理解具有重要作用，同时，为学生的进一步深造打下坚实的数学基础．新工科背景下的线性代数教学改革是一个长期探索㊁不断改进的过程，培养更多的优秀工科人才是线性代数教学改革的出发点和落脚点．只要任课教师解放思想，不断探索教学新方法，勇于实践教学新理念，不断总结教学过程中的经验和教训，就一定能找到符合实际的方法来提升教学效果，为优秀工程人才的培养奠定扎实的基础．ʌ参考文献ɔ［１］李尚志．线性代数教学改革漫谈［Ｊ］．教育与现代化，２００４（１）：３０－３３．［２］李清华．应用型大学的 线性代数 课程教学改革探索［Ｊ］．新课程研究，２０１８（１）：９１－９２．［３］王利东，刘婧．从应用实例出发的线性代数教学模式探讨［Ｊ］．数学教育学报，２０１２（３）：８３－８５．［４］王跃恒，李应求．关于以学生为中心的线性代数教学研究［Ｊ］．中国大学教学，２０１１（８）：５９－６１．［５］兰瑞平，雒晓良．应用型本科院校 线性代数 教学改革探讨［Ｊ］．教育理论与实践，２０１７（９）：４５－４６．［６］韦兰英，张振强．基于应用能力培养的 线性代数 教学探讨［Ｊ］．教育与职业，２０１０（２３）：１３７－１３８．［７］李尚志．从问题出发引入线性代数概念［Ｊ］．高等数学研究，２００６（５）：６－８．［８］汤鹏志，刘二根．复变函数与积分变换考核改革初探［Ｊ］．华东交通大学学报，２００７（２４）：１３６－１３８．［９］肖志华，张涛，李治．浅谈问题驱动的线性代数教学方法［Ｊ］．教育现代化，２０１９（７０）：５８－６０．。