2020宝山数学一模

上海市宝山区2020届高三一模数学试卷

2019.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =

2. 已知4251

λλ-=-，则λ= 3. 函数13x y -=（1x ≤）的反函数是

4. 2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一 场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛

5. 以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

6. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为

7. 不等式22|2|36x x x x -->--的解集是

8. 已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =

9. 已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相 交所得的弦长为

10. 有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）

11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =?，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =

12. 已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +

-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若函数1()ln f x x a x

=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a << B. 11a e << C. 111a e -<< D. 111a e

+<< 14. 下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）

A. 2()log (41)x f x x =+-

B. ()||2cos f x x x =-

C. 2210()00x x f x x x ?+≠?=??=?

D. |lg |()10x f x =

15. 已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α?，b β?，c γ?，则直线a 、

b 、

c 不可能满足的是（ ）

A. 两两垂直

B. 两两平行

C. 两两相交

D. 两两异面

16. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b x a b x ?+=++， π?π-<<，下列判断错误的是（ ）

A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan

b a

?= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan b a

?π=+ C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan b a

?π=+ D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan b a ?π=-

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边

长为2的菱形，60BAD ?∠=，13DD =，E 是AB 的中点.

（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；

（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

18. 已知函数()sin cos()3sin cos 2f x x x x x π

=++.

（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；

（2）若()f x a =在区间[0,]2

π

上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.

19. 一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.

（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

20. 已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142

x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一 象限，M 是椭圆上一点.

（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；

（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB V 的面积最大时，求直线MB 的方程；

（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ?为定值.

21. 已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数）

，且2n a += ln n n b a =（n ∈*N ）.

（1

）证明：2n b +>

（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32

n n b -=--； （3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 2. 3 3. 31log y x =+，(0,1]x ∈ 4. 212

66C = 5. 223()92

x y ++= 6. 9- 7. (4,)-+∞ 8. 2k =±

9. 10. 4.5 11. 47- 12.

二. 选择题

13. C 14. A 15. B 16. B

三. 解答题

17.（1）V =

；（2）5arccos 8

. 18.（1）T π=，1(,)2122k ππ--，k ∈Z ；（2）123x x π+=. 19.（1）7小时；（2）17小时.

20.（1）M x =；（2）当且仅当4πθ=时，max ()MAB S =V

此时:0MB l x +=；（3）证明略.

21.（1）证明略；（2）证明略；（3）存在，1(,]2t ∈-∞.