2002年考研数学二试题及答案

2002年考研数学二试题及答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）设函数

???????≤>-=0,

e ,0,2arcsin

e 1)(2tan x a x x

x f x

x

在0=x 处连续，则

=

a ______．

【答案】2-

【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 若函数)(x f 在0

x x =处连续，则有;)

()(lim )(lim

00

x f x f x f x x x x ==+-

→→

解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin

22

x x x x e x

f x x x

+++→→→--=-==

20

lim ()lim ,(0),x

x x f x ae a f a --

→→===

()

f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +

-

?==即 2.a =-

（2）位于曲线x

xe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______． 【答案】1

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积

【难易度】★★

【详解】解析：所求面积为

1

)(0

=-=+-=-==+∞

-∞

+-+∞--∞

+∞

+-???x

x x

x x

e

dx e xe

e xd dx xe S ．

其中，()0

1

lim lim lim =--=-+∞

→+∞

→-+∞

→x

x x

x x

x e e x xe 洛必达.

（3）微分方程0

2

='+"y yy 满足初始条件1

==x y

，2

1|

0=

'=x y 的

特解是______． 【答案】

y =

【考点】可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dy dp p y p y =''=',. 解析：方法1：将2

yy y '''

+=改写为()0yy ''=，从而得1

yy C '=.

以初始条件1(0)1,(0)2

y y '==代入，有1

112C ?=，所以得1

2yy '=.即

21yy '=，改写为2

()1y '=.解得2

,y x C =+y =再以初值代

入，

1=""+且2

1

C

=.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命

,dp dp dy dp

y p y p dx dy dx dy

'''==

==.

原方程2

yy y '''

+=化为2

dp

yp p dy

+=，得0p =或0dp y p dy

+=

p =即0dy dx =，不满足初始条件1

'02

y x ==，弃之， 由0dp

y p dy

+=按分离变量法解之，得1

.C

y 由初始条件1

1,'

2y

y x x ==

==可将1

C 先定出来：1

1

11

,212

C C ==.于是得12dy dx y =,

解之，得2

2,y x C y =+=以0

1

x y

==

代入，得1=以应取“+”号且2

1

C

=.

于是特解是y =（4）++++∞

→n

n n

n π

2cos 1πcos

1[

1lim =

++]πcos 1n n Λ______．

【答案】π

【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析：记

1n u n =

11n i n == 所以

1

1lim lim n n n n i u n →∞→∞===?

1

1

cos

cos

2

2

x

x

dx dx

ππ===?

1

2

sin

2x ππ

π

==

.

（5）矩阵??

??

?

?????-----222222220的非零特征值是______．

【答案】4

【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：

2222222

02

2

22

22E A λ

λ

λλλλ

λλ-=--=--20

001

1

(4)

222

λλλλλ==--

故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得

增量1.0-=?x 时，相应的函数增量y ?的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1． （C ）1．

（D ）0.5．

【答案】D

【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ?的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；

解析：在可导条件下，0

()

x x dy

y x o x dx =?=?+?.

当0

x x dy

dx

=≠时0

x x dy

x

dx

=?称为y ?的线性主部，

现在2

()2dy x f x x x dx

'?=?，以1,0.1x x =-?=- 代入得(1)0.2dy x f dx '?=?，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.

（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(2

t t f x

?

（B ）.

d )(2

t t f

x ?

（C ）.d )]()([0

t t f t f t x --?

（D ）

.

d )]()([0

t t f t f t x

-+?

【答案】D

【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★

【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，0

[()()]x

t f t f t dt

+-?

为

x

的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）

可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.

（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程x

qy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y

0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)

()1ln(2x y x +的极限

（ ）

（A ）不存在． （B ）等于1． （C ）等于

2． （D ）等于3．

【答案】C

【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：

220000ln(1)222lim lim lim lim 2()

()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛

方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有

2

2()00()

2

x y x o x =+++，代入，有

22200022

2ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x

→→→+==++=.

（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ）

（A ）当0)(lim =+∞

→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞

→x f x

（B ）当)

(lim

x f x '+∞

→存在时，必有.

0)(lim ='+∞

→x f x

（C ）当0)(lim 0=+

→x f x 时，必有.

0)(lim

0='+

→x f x （D ）当)

(lim

0x f x '+

→存在时，必有.

0)(lim

0='+

→x f x

【答案】B

【考点】导数的概念 【难易度】★★★★

【详解】解析：方法1：排斥法

（A ）的反例2

1()sin ,f x x x

=它有界，221

()sin 2cos ,lim ()0

x f x x x f x x

→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞

'不存在.(C)与(D)的

反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+

=,但0lim ()10x f x →+

'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+

'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都

不对，故选（B ）．

方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞

'存在，记为A ，

求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在0

x

>，当0

x x >时()2

A f x '>,在区间0

[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有

00000()()()()()(),.

2

A

f x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+

-<<

,

x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0

A <亦矛盾.

（5）设向量组3

2

1

,,ααα线性无关，向量1

β可由3

21,,ααα线性

表示，而向量2

β不能由3

21,,ααα线性表示，则对于任意

常数k ，必有（ ） （A ）3

2

1

,,α

αα2

1,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα2

1,ββ+k 线性相关．

（C ）3

2

1

,,α

αα2

1,ββk +线性无关．

（D ）

321,,ααα2

1,ββk +线性相关．

【答案】A

【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组1

2

3

,,ααα，

12

k ββ+线性无关.

用反证法，若1

2

3

,,ααα，1

2k β

β+线性相关，因已知123,,ααα线性

无关，故

12k ββ+可由123

,,ααα线性表出.

设1

2

112233k ββ

λαλαλα+=++,因已知1β可由123

,,ααα线性表出，设

为1

112233l l l β

ααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-

这和2

β 不能由123

,,ααα线性表出矛盾.故向量组

123

,,ααα，1

2

k β

β+线性无关，

应选（A ）.

方法2：用排除法 取0k =，向量组1

2

3

,,ααα，1

2

k β

β+即1

2

3

,,ααα，2

β线性相关

不成立，排除（B ）.取0k =，向量组1

2

3

,,ααα，1

2

k β

β+，即

123

,,ααα，1

β线性无关不成立，排除（C ）.

k ≠时，1

2

3

,,ααα，1

2

k β

β+线性相关不成立（证法与方

法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.

三、（本题满分6分）

已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： ①切线方程：)(00

x x y y y -'=- ②法线方程：)(1

00

x x y y

y -'-

=-

解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为

(1cos )cos (1cos )sin x y θθ

θθ

=-??

=-? 即

2cos cos sin cos sin x y θθθθθ

?=-?

=-?

曲线上6

πθ=

的点对应的直角坐标为31,,,2424

--

226

6

6

cos sin cos 1.

sin 2cos sin dy dy

d dx dx

d π

π

θθπ

θθθθθθθθ

θ

=

=

=+-==

=-+

于是得切线的直角坐标方程为13(()2

424

y x --=--

，即

504

x y -=

法线方程为113

(()),2

4124

y x --=---

即1044

x y +-

+=.

四、（本题满分7分）

设

???

???

?≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x 求函数t

t f x F x

d )()(1

?

-=的表达式．

【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数

【难易度】★★★ 【详解】解析： 当10x -≤<时22

33213111()(2)().12222

x

x F x t t dt t t x x -=+=+=+--?

当01x ≤<时，01

1

()()()()x x

F x f t dt f t dt f t dt

--==+?

??

2

3200011

()12(1)2

11021121

11ln(1)0212t x t x t t x

t x x

te t t dt e x t dt x e e e x x x e e e -=++=---+=--+=--+++=---+=--++

???所以

32

11,1022

()1ln ln 2,0111

2x

x x

x x x F x e x x e e ?+--≤

五、（本题满分7分）

已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim

,0)(=>+∞

→x f x f x ，且满足

,e ))

()((lim 1

1

0x h

h x f hx x f =+→

求)(x f ．

【考点】导数的概念、一阶线性微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

e

=?+?

→?10

)1(lim ；?

-?+='→?)

()(lim

)(0

x f x f x f ，其中?可以代表任何形

式； 解析：

11

()ln h ()()()f x hx h

f x f x hx e

f x ??

+ ??

?

??+= ???

，

001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→??++-=+ ???

001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()

h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠

从而得到 1()1()

0()lim ()xf x h

f x x

h f x hx e e

f x '→??+= ???

由题设

于是推得

()1

()xf x f x x

'=， 即

2

()1

()f x f x x '=

解此微分方程，得

1

1

ln ()f x C x

=-+

改写成 1()x

f x Ce -= 再由条件lim ()1x f x →+∞

=，推得1C =，于是得1().x

f x e -=

六、（本题满分7分）

求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线

)

(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴

旋转一周的旋转体体积最小．

【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数

的最大值与最小值

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：dx

x f

V b

a

x

?=)(2

π

解析：一阶线性微分方程21y y x

'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y e

e

dx C ??

??

--- ? ???

??

?

?=-+?221[]x dx C x =-+?

22

1(),12x C x Cx x x

=+=+≤≤

由曲线2

y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

2

22

2

1

31157

()()523

V x Cx dx C C ππ=+=++?, 令6215()052

dV C dC π=+=,得75

.124C =- 又()0V C ''>，故75

124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值

点，

于是所求曲线为2

75.124y x x =-

七、（本题满分7分）

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？

【考点】定积分的物理应用—压力 【难易度】★★★★

【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，

因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为

110

2(1)h

P gx h y dy

ρ+=+-?

其中以1x =代入，计算得 2

1

P gh ρ=.

抛物板AOB 上所受的总压力为 1

2

2(1),P gx h y dy ρ=+-?

其中由抛物线方程知x y

=

212

4()

315

P g h ρ=+，

由题意1

2:5:4P P =，即，

25

12

4

4()315

h h =+

解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m .

八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,301

1

Λ=-=<<+n x x x

x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，

并求此极限．

【考点】数列的极限 【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：考虑

（1）

19

(3)3343222

n n n x x x ---

-==

222

93

3()42033

22

n n n x x x -+---==≤

所以13

2

n x

+≤

（当1,2,n =L ），即3

2

n

x

≤

（当2,3,n =L ），数列

{}

2,3,n x n =L 有上界32

. 再考虑

（2

）21

n n n x

x x --==

0.

=

≥

2,3,n =L

.

所以{}n

x 单调增加.单调增加数列{}n

x 有上界，所以lim n

n x

→∞

存在，记为.a

(3)

由1

n x

+=两边取极限，于是得

a =2230,

a a -=

得32

a =或0a =，但因0

n

x

>且单调增，故0a ≠，所以3lim 2

n

n x

→∞

=

.

方法2：由1

03x <<知1

x 及1

3x -（）

均为正数，故

)

2

1

1

13

0(3).22

x x x *<≤+-=

设302

k

x

<≤

，则

113

(3).

22

k k k x x x ++-=

由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有3

02

n

x

<≤

.

210.

n n n x x x +≤

=

≥-

所以{}n

x 单调增，单调增加数列{}n

x 有上界，所以lim n

n x →∞

存

在，记为a .

再由1n x

+=

两边命n →∞

取极限，得a =

3

2

a =

或

a =，

但因0

n

x

>且单调增加，故0a ≠，所以32

a =. 九、（本题满分8分） 设

b a <<0，证明不等式?

<--<

+ab a b a b b

a a 1

ln ln 22

2

【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★

【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，

方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.

ln ln 1

(ln ),0.

x b a

x a b b a

ξ

ξξ

=-'

==

<<<-而

2

2

1

12a b a b ξ

>

>+.

其中第二个不等式来自不等式2

22a b ab

+>（当0a b <<时），

这样就证明了要证明的左边.

方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命

22

2()()ln ln a x a x x a a x ?-=--

+，有()0a ?=.

22222124()

()()

a ax x a x x a x a x ?-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=

+>++（当0a x <<），

而推知当0x a >>时()0x ?>，以x b =代入即得证明. 再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x a

φ=--

有()0a φ=，及

1()0,

x x φ'==<

所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得

ln ln ),b a b a

-<

-即ln ln b

a

b a

-<-.

右边证毕.

十、（本题满分8分）

设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且

)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .

证明：存在惟一的一组实数3

2

1

,,λλλ，使得当0→h 时，

)

0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2

h 高阶的无穷小．

【考点】无穷小的比较，洛必达法则 【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组1

2

3

,,λλλ,

1232

0()(2)(3)(0)

lim 0

h f h f h f h f L h λλλ→++-==

由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有

123 1.

λλλ++=

（1）

由洛必达法则，1

2

3

2

()(2)(3)(0)lim h f h f h f h f L h λλλ→++-=

1230

()2(2)3(3)

lim

2h f h f h f h h

λλλ→'''++=

（2）

分子的极限为1

2

3

1

2

30

lim(()2(2)3(3))(23)(0)

h f h f h f h f λλλλλ

λ→''''++=++，

若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 1

2

3230

λλ

λ++= （3）

对（2）再用洛必达法则，

1231230

()4(2)9(3)

1

lim

(49)(0)2

2

h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++

由(0)0f ''≠，故应有 1

2

3490

λλλ++=

（4）

将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式

111

12320,149

=≠

由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.

方法2：由佩亚诺余项泰勒公式

2

21

1

()(0)(0)(0)(),2

f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),

f h f f h f h o h '''=+++ 2239

(3)(0)3(0)(0)(),2

f h f f h f h o h '''=++

+ 代入

1232

()(2)(3)(0)

0lim

h f h f h f h f h

λλλ→++-=

2

123

123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→?'''++-++++++?=??

?

2221122332

()()()o h o h o h h

λλλ?

+++

??

，

上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有

1231231

231230490

λλλλλλλλλ++=??

++=??++=? 由于系数行列式

111

12320,149

=≠

由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.

十一、（本题满分6分） 已知B A ,为3阶矩阵，且满足E

B B A 421

-=-，其中E 是3阶单

位矩阵．

（1）证明：矩阵E A 2-可逆； （2）若

??

??

?

?????-=200021021B ，求矩阵A ．

【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 若有E AB =则称B A ,互逆. 解析：（1）由题设条件1

24A

B B E

-=-

两边左乘A ，得 24B AB A

=- 即

24AB B A

-=

(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+

(2)(4)8A E B E E

--= 1

(2)(4)8

A E

B E E

--=

得证2A E -可逆（且1

1

(2)

(4)8

A E

B E --=-）.

(2) 方法1：由（1）结果知

1

1

1(2)(4)8(4)8A E B E B E --??

-=-=-????

18(4)2A B E E

-=-+ 1204003204120040120002004002B E ---??????

??????-=-=-??????

??????-??????

[]3201001200104120010320100002001002001B E E ?--??-?

????-=-→--????????--????

M

0101200101201308013001008800110011000022??

???

???--??

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→-→--????????-?

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