弧长与扇形面积()x
数学弧长和扇形面积公式
数学弧长和扇形面积公式1. 引言1.1 数学弧长和扇形面积的重要性数学弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，它们在实际生活和工作中有着广泛的应用。
弧长和扇形面积的计算是解决各种几何问题的基础，比如建筑设计、工程测量、地图制作等。
通过准确计算弧长和扇形面积，可以确保各种建筑和工程项目的精确度和可靠性。
数学弧长和扇形面积的概念也是许多其他数学问题的基础，比如圆的周长和面积、圆周角的计算等。
掌握了弧长和扇形面积的计算方法，可以帮助我们更好地理解和解决其他与圆相关的数学问题。
数学弧长和扇形面积的概念也经常出现在考试中，比如中学生的数学考试、高考、SAT等。
掌握了弧长和扇形面积的计算方法，可以帮助学生更好地备战考试，提高数学成绩。
数学弧长和扇形面积的重要性不仅体现在实际生活和工作中的应用，还体现在数学学习和考试中的重要性。
深入理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法对我们的数学学习和工作具有重要意义。
1.2 数学弧长和扇形面积的定义数学中的弧长是指圆周上的一段弧的长度，通常用字母L表示。
而扇形面积则是圆周上的一段弧所夹的扇形区域的面积，通常用字母A表示。
在数学上，弧长和扇形面积是圆形的基本性质，也是许多几何和数学问题中常见的计算对象。
弧长的定义是指圆周上连接两点之间的弧的长度。
根据圆的性质，整个圆周的长度是360度或2π弧度，因此可以通过弧度制或度数制来描述弧的长度。
在弧度制中，一周的弧长为2π，而在度数制中，一周的弧长为360度。
对于任意一段弧来说，其弧长可以通过弧度或度数来表示，具体计算公式为：1. 弧长（弧度制）= 弧度× 半径2. 弧长（度数制）= 度数× π × 半径/ 180扇形面积的定义是指由圆心、圆周上一段弧和两条半径组成的扇形所围成的区域的面积。
扇形面积的计算公式是：面积= 1/2 × 弧长× 半径弧长和扇形面积的定义和计算公式是数学中非常基础和重要的概念，涉及到许多几何和数学问题的解决。
弧长公式和面积公式
弧长公式和面积公式
圆弧的弧长公式和面积公式：
1、已知弧长L与半径R：S扇形＝1/2LR。
2、已知弧所对的圆心角n°与半径。
S扇形＝nπR^2/360。
弧形计算公式：S=1/2LR=nπR²/360（L是弧长，R是半径）。
弧长计算公式：L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）／180（角度制），L=α（弧度）×r(半径）（弧度制）。
其中n是圆心角度数，r 是半径，L是圆心角弧长。
弧形面积的计算方法
弧长、两弧点间的距离、弧高这三个条件知道任意两个就够了。
（1）由已知弧长和已知弦长（两弧点间的距离）求得圆半径和弧所对的圆心角的度数。
（2）由半径和圆心角求得扇形面积和三角形面积。
（3）扇形面积减去三角形的面积的弧形的面积。
弧长和扇形面积的计算
弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积是数学中与圆相关的重要概念。
在几何学、物理学、工程学等领域中，我们经常需要计算弧长和扇形面积来解决问题。
本文将介绍如何计算弧长和扇形面积，并提供相关的公式和示例。
一、弧长的计算方法弧长是圆弧上的一段弯曲的长度，也是圆周上两个端点之间的弧段长度。
弧长的计算需要用到圆的半径和夹角。
弧长的计算公式如下：弧长 = 半径 ×弧度其中，半径是从圆心到弧上任一点的距离，弧度是圆心角所对的弧长与半径的比值。
示例一：假设一个半径为5米的圆，计算其1/4圆弧的长度。
解：根据弧长的计算公式，弧长 = 半径 ×弧度。
1/4圆弧的弧度为1/4 × 2π ≈ π/2因此，弧长= 5 × π/2 ≈ 7.85米所以，该1/4圆弧的长度为7.85米。
二、扇形面积的计算方法扇形是由圆心、两条半径和圆弧所围成的部分。
扇形面积的计算需要用到圆的半径和夹角。
扇形面积的计算公式如下：扇形面积 = 1/2 ×半径² ×弧度示例二：假设一个半径为8米的圆，计算其对应的圆心角为60度的扇形面积。
解：根据扇形面积的计算公式，扇形面积 = 1/2 ×半径² ×弧度。
60度对应的弧度为60/180 × π ≈ π/3因此，扇形面积= 1/2 × 8² × π/3 ≈ 33.51平方米所以，该圆心角为60度的扇形面积约为33.51平方米。
三、弧长和扇形面积的应用举例1. 建筑设计在建筑设计中，我们经常需要计算圆形的路径长度，例如园林景观的曲线走道长度、圆形大厅的墙壁长度等。
通过计算圆弧的弧长，可以得到精确的路径长度，从而确定施工材料的使用量。
2. 科研实验在科研实验中，圆形的扇形面积经常用来计算样本所占的百分比，例如细胞培养皿中的细胞密度分析、微孔板中试剂的摆放容量等。
通过计算扇形面积，可以得到样本在整个实验区域中的占比，从而帮助科研人员进行数据分析和实验设计。
弧长和扇形面积的计算
弧长计算公式：弧 长 = 圆心角 / 360° × 圆的周长
圆心角单位：弧长 计算中的圆心角单 位必须是弧度制， 而不是度数
圆周率取值：弧长 计算中一般采用圆 周率π的近似值， 如3.14或3.14159
弧长与半径关系： 弧长随着圆心角和 半径的增大而增大 ，与半径成正比关 系
扇形是圆的一部分，由两条半径和一条弧围成 扇形面积的计算公式为：S = (θ/360) × π × r^2，其中θ为扇形的圆心角，r为半径 当θ=90°时，扇形面积=1/4×π×r^2 扇形面积也可以通过底边长度和高的关系计算得出
弧长和扇形面积在几何图形中的应用：通过具体实例说明弧长和扇形面积在几何 图形中的重要性和应用价值
弧长和扇形面积在解决实际问题中的应用：通过具体案例说明弧长和扇形面积在 实际问题中的应用方法和技巧
弧长和扇形面积与其他几何量的关系：说明弧长和扇形面积与其他几何量之间的 联系和相互影响
弧长和扇形面积在几 何学中有着密切的联 系，它们是描述二维 图形的重要参数。
题目：一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的半径为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的面积是 _______． 题目：已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则扇形的弧长为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为135°，弧长为3，则扇形的面积是 _______．
考虑扇形所在的圆的整体：在计算扇形面积时，需要考虑扇形所在的整个圆的情况， 以确保计算结果的准确性。
弧长和扇形面积的计算公式 弧长和扇形面积的关系：弧长越大，扇形面积越大 弧长和扇形面积的几何意义 弧长和扇形面积在几何图形中的应用
弧长和扇形面积的关系：弧长和扇形面积的计算公式及其推导过程
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
扇形面积公式三种
扇形面积公式三种
扇形面积公式3个有：S扇=（n/360）πR²，S扇=1/2lr（知道弧长时），S 扇=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)，S扇=（lR）/2 （l为扇形弧长）。
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。
扇形面积公式与形状关联：
1、扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
如果其顶角采用弧度单位，则可简化为1/2×弧长r。
2、扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：1/2×弧长r，与三角形面积：1/2×底×高相似。
弧长=n/360·2πr=nπr/180，扇形的弧相似三角形的一条边。
3、扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：弧长与半径乘积的一半，与三角形面积，为底和高乘积的一半相似。
4、R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率。
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度。
S=nπR²/360。
S=LR/2。
[扇形周长公式]扇形的公式
[扇形周长(zhōu chánɡ)公式]扇形的公式扇形(shàn xínɡ)的公式一:弧长与扇形面积课件弧长和扇形(shàn xínɡ)面积一、导学目标(mùbiāo)1、利用(lìyòng)圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式。
2、掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题。
3、体会转化的数学思想，培养学生利用内涵获取外延的能力。
二、导学重点利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式。
难点：利用弧长和扇形面积公式解决实际问题。
三、导学方法探究、引例、当堂训练。
四、导学过程创设情境、导入新课问题：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算展直长度〔下列图中虚线的长度〕，再下料。
〔1〕展直长度分为哪几局部？〔2〕怎样计算展直长度？〔3〕在计算展直长度时，遇到的新问题是什么？课堂导学、探知提能〔一〕自学并探究弧长计算公式1、自主学习、合作探究根据以下问题并结合课本110页，将你对问题的理解记录下来，在小组内与同学交流，展示你的认识和收获。
〔1〕请你写出圆的周长计算公式： ;并求半径为3cm的圆的周长：_________ 。
〔2〕如下列图，圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？你能求出半径为3cm的圆中，圆心角分别为180、90、45、1所对的弧长分别是多少？假设在半径为R的圆中，有一个n的圆心角，如何计算它所对的弧长l 呢？圆周长C=_________1圆心角所对弧长=_________n圆心角所对弧长_________小结：在半径为R的圆中，n圆心角所对的弧长计算公式中，n的意义是什么？哪些量决定了弧长？〔3〕你能用所学习的公式求出上述弯形管道的展直长度吗？2、典例导航、积悟提能例1、一块边长为8 的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至ABC的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为〔点A、B、C在同一直线上〕〔〕A。
弧长及扇形面积计算公式
弧长及扇形面积计算公式弧长计算公式：弧长是圆的一部分的弧所占据的长度。
弧长的计算公式如下：1.当弧是圆的整个周长的一部分时：弧长=圆的周长×(弧所占的角度÷360°)2.当弧的角度已知时：弧长=(圆的周长×弧的角度)÷360°3.当弧的度数已知时：弧长=(2π×弧的度数)÷360°注意：在计算弧长时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。
扇形面积计算公式：扇形是由圆心和弧所围成的部分，计算扇形的面积需要知道扇形的半径和对应的弧度。
1.当扇形的角度已知时：扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°2.当扇形的弧度已知时：扇形面积=(半径²×扇形的弧度)÷2注意：在计算扇形面积时，角度的度数要用度制，不要用弧度制。
示例问题：1. 如果一个圆的半径为10 cm，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的角度为60°。
解：对于弧长，使用公式弧长=(圆的周长×弧所占的角度)÷360°，得到弧长= (2π × 10 cm × 60°) ÷ 360° = 20π cm ≈ 62.83 cm 对于扇形面积，使用公式扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°，得到扇形面积= (π × 10 cm² × 60°) ÷ 360° ≈ 5.24π cm² ≈ 16.42 cm²所以，该圆的弧长为约62.83 cm，扇形面积为约16.42 cm²。
2. 如果一个扇形的半径为8 m，计算它的弧长和扇形面积，其中扇形的弧度为2.5 rad。
弧与扇形的关系
弧与扇形的关系在几何学中，弧与扇形是密切相关的概念。
弧是指圆上的一段曲线，而扇形则是由圆心、圆弧和两条半径组成的图形。
本文将探讨弧与扇形之间的关系及其性质。
一、弧的定义与性质在圆中，我们可以将任意一段圆上的曲线称为弧。
弧可由圆心角来确定，圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别为圆弧。
圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数。
弧的长度与圆的半径和弧所对应的圆心角有关。
当圆的半径长度固定时，圆弧的长度与圆心角成正比。
换句话说，圆心角越大，对应的圆弧长度也越大。
二、扇形的定义与性质扇形是指由圆心、圆弧和两条半径构成的图形。
其中，圆心角所对的圆弧称为扇形的弧长，两条半径则是扇形的半径。
扇形的面积可以通过以下公式计算：扇形的面积 = (圆心角度数/ 360°) × πr²其中，r为圆的半径。
根据这个公式，我们可以推断，扇形的面积与圆心角的大小成正比。
当圆心角为360°时，扇形就变为整个圆，其面积为πr²。
三、弧与扇形的关系在一个圆中，弧与扇形之间有着密切的关系。
实际上，扇形可以看作是一个截取的圆，而弧则是扇形的一部分。
扇形的弧长可以通过以下公式计算：弧长 = (圆心角度数/ 360°) × 2πr同样地，我们可以观察到，扇形的弧长与圆心角的大小成正比。
当圆心角为360°时，扇形的弧长就等于整个圆的周长，即2πr。
四、应用举例现假设有一个半径为5厘米的圆，圆心角为60°，我们来计算扇形的面积和弧长。
根据前面提到的计算公式，我们可以得出：扇形的面积= (60° / 360°) × π × 5² ≈ 13.09平方厘米弧长= (60° / 360°) × 2π × 5 ≈ 5.24厘米通过以上计算，我们得出了扇形的面积和弧长。
这个例子说明了弧与扇形的关系及其计算方法。
九年级上册数学弧长和扇形面积
九年级上册数学弧长和扇形面积一、弧长公式。
1. 公式推导。
- 在圆中，圆心角n^∘所对的弧长l与圆周长C = 2π r（r为圆的半径）存在比例关系。
- 因为整个圆的圆心角是360^∘，所以圆心角为n^∘所对的弧长l=(n)/(360)×2π r=(nπ r)/(180)。
2. 应用示例。
- 例：已知圆的半径r = 5cm，圆心角n = 60^∘，求弧长l。
- 解：根据弧长公式l=(nπ r)/(180)，将r = 5cm，n = 60^∘代入公式，得到l=(60×π×5)/(180)=(5π)/(3)cm。
二、扇形面积公式。
1. 公式推导。
- 方法一：与弧长公式推导类似，因为扇形面积S与圆面积S=π r^2也存在比例关系，对于圆心角为n^∘的扇形，其面积S=(n)/(360)×π r^2。
- 方法二：由S=(1)/(2)lr（l为弧长，r为半径），把l = (nπ r)/(180)代入可得S=(1)/(2)×(nπ r)/(180)× r=frac{nπ r^2}{360}。
2. 应用示例。
- 例：已知扇形的半径r = 4cm，圆心角n = 90^∘，求扇形面积。
- 解：- 方法一：根据S=(n)/(360)×π r^2，将r = 4cm，n = 90^∘代入，得到S=(90)/(360)×π×4^2=4π cm^2。
- 方法二：先求弧长l=(nπ r)/(180)=(90×π×4)/(180)=2π cm，再根据S=(1)/(2)lr，l = 2π cm，r = 4cm，得到S=(1)/(2)×2π×4 = 4π cm^2。
三、弓形面积。
1. 弓形的定义。
- 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形。
2. 弓形面积的计算。
- 当弓形所含的弧是劣弧时，弓形面积S_弓=S_扇-S_（S_扇为扇形面积，S_为三角形面积）。
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2. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm,则
这个圆锥的侧面积为 240 _________ cm2，全面积为_______ 384 cm2 3. 圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm,求它的
全面积.
S全=5200
cm
2
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4. 已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形,它的表 面积为 ,求这个圆锥的底面半径和母线的长. A 解:∵ 圆锥轴截面△ABC是正三角形, ∴ l =2r, ∴ π r×2r+π r2=75π , ∴ r=5 cm，l =10 cm .
B
O
C
答：圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm.
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通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫 做圆锥的母线. 2.圆锥的侧面展开图是扇形.
3.圆锥的侧面积及全面积公式：
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必做题：
P114
第 2题,
P116
第 9、10题.
A
圆锥可以看做是一个直角三
角形绕它的一条直角边旋转
一周所成的图形.
C
O
┓
B
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1. 圆锥的有关概念： ① 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线.
② 连接顶点S 与底面圆的圆心O的 线段叫做圆锥的高.
母 线
s
侧面
高
底面半径
A2
O
B
h
A1
A
底面
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A
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§24.4 弧长与扇形面积 （3）
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1. 了解圆锥的有关概念及侧面展开图．
2. 掌握圆锥侧面积和全面积的计算公式并应
用它解决现实生活中的一些实际问题．
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请 你 欣 赏
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根据你以前的所学，说说你对圆锥的一些
认识.
A
O
B
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l
6 则 r =___.
图 23.3.6
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圆锥的侧面展开图是扇形.
侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2r .
S
l
A O
┓
2r
r
B
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2. 圆锥的侧面积和全面积:
如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r， (1)此扇形的半径(R)是 圆锥的母线 ， (2)此扇形的弧长(L )是 圆锥底面的周长 ， (3)此圆锥的侧面积(S侧)是 圆锥的母线与扇形弧长积的一半 ； (4)它的全面积(S全)是 底面积与侧面积的和 .
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例1. 圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为
38.7cm,求这个烟囱帽的面积.
l h r
解：∵l=80，h=38.7, ∴ r= l 2 h2 802 38.72 70 ∴ S侧=π rl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2） 答：烟囱帽的面积约为1.8×104 cm2 .
根据图形，圆锥的底面半径、 母线及其高有什么数量关系？
O B
③ 设圆锥的底面半径为r，母线长为l ,
高为h，则有： l 2＝r2+h2. 即：OA2+OB2=AB2 .
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填空: 根据下列条件求值（其中r 、h 、 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1) l = 2，r=1 则 h =_____. 5 (2) h =3, r=4 则 l =____. (3) l = 10, h = 8
h1
r
h2
r
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例4. 已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=20 cm,现 在有一只蚂蚁从底边上一点A出发.在侧面上爬行一周 又回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离.
【解析】设扇形的圆心角为n°,圆锥的顶点为E,
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1. 已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆 10cm 锥的母长为_______.
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例2. 如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角 θ=144ﾟ.
用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1) 求这个圆锥的底面半径r; ( r=4.) A (2) 求这个圆锥的高. 2 21
C
┓
O
r
B
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例3. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如 果想用毛毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高为 3.2 m ，外 围高1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取 3.142，结果取整数）？
选做题：
《大视野》：P76-77 “课堂训练”.
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§24.4 弧长与扇形面积 （3）
1.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 母线.连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高. 2.圆锥的侧面展开图是扇形. 3.圆锥的侧面积及全面积公式： h r l
4.例1、例2、例4.