曲线积分的计算法
曲线积分的基本概念与运算
曲线积分的基本概念与运算曲线积分是微积分中重要的一部分。
它主要处理的问题是沿着曲线的积分。
在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
曲线积分的基本概念和运算是学习曲线积分的前提，本文将对曲线积分的基本概念和运算进行阐述。
一、曲线积分的基本概念曲线积分是一种重要的线积分，指函数沿着曲线的积分。
对于一条曲线C，其方程可以表示为：C：r(t) = x(t)i + y(t)j 0 ≤ t ≤ 1其中，i和j分别表示x轴和y轴的单位向量，x(t)和y(t)分别表示C上点的横坐标和纵坐标，t表示C上点的参数。
设f(x,y)是在曲线C上连续定义的函数，则曲线积分的定义为:∫C f(x,y) ds其中，ds表示曲线C上的长度元素，即：ds = || r'(t) || dt其中，|| r'(t) || 表示 r(t) 的切向量的模长，也称作速度。
上述式子中，f(x,y)是被积函数，称为速度函数或微分形式。
曲线积分根据路径有向或路径无向分为有向曲线积分和无向曲线积分。
对于有向的曲线C，其有向曲线积分表示为：∫C f(x,y) ds其中，ds的各项都为正，表示沿着曲线从一个端点到另一个端点的积分。
如果积分方向和C的方向相反，则有向曲线积分变为负数。
对于无向曲线C，其无向曲线积分表示为：∫C f(x,y) ds无向曲线积分只考虑积分路径，不考虑积分方向。
二、曲线积分的运算1. 曲线积分的计算曲线积分的计算需要求出函数f(x,y)在曲线C上的值，并将其乘以曲线C的长度。
可以先将曲线C的参数限定在[0,1]区间上，并将积分区间划分为n个小区间，则：∫C f(x,y) ds = lim∑f(xk,yk) ∆s其中，∆s是C上相邻两点之间的距离，即：∆s = || r(tk) - r(tk-1) || = || r'(tk) ||∆t其中，∆t表示曲线C的参数t的步长（∆t=1/n），r'(tk) 表示曲线C在参数t=tk处的切向量。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是数学中重要的概念，用于描述沿着曲线的函数积分。
在本文中，将介绍曲线积分的定义、计算方法以及一些常见的应用。
一、曲线积分的定义曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种形式。
1. 第一类曲线积分设曲线C为参数方程r(t)=(x(t), y(t)), a≤t≤b，函数f(x, y)在C上有定义，则第一类曲线积分的定义为：∮C f(x, y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) |r'(t)| dt其中，ds表示曲线C上的线元素，|r'(t)|表示r(t)的速度。
2. 第二类曲线积分设曲线C为参数方程r(t)=(x(t), y(t)), a≤t≤b，函数P(x, y)、Q(x, y)在C上有定义，则第二类曲线积分的定义为：∮C P dx + Q dy = ∫[a,b] [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt其中，dx和dy表示曲线C上的x和y方向的线元素，x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)对于t的导数。
二、曲线积分的计算方法曲线积分的计算方法与具体的曲线形式和函数形式有关。
以下将介绍几种常见的曲线积分计算方法。
1. 直线积分如果曲线C为一条直线段，可以通过参数方程或直线段的斜率来计算曲线积分。
当曲线C为一条直线段时，可将曲线积分转化为定积分。
2. 圆弧积分如果曲线C为一条圆弧，可使用参数方程或极坐标方程来计算曲线积分。
对于圆弧积分，通常需要将曲线参数化，然后进行曲线积分的计算。
3. 闭合曲线积分如果曲线C为一条闭合曲线，即起点和终点重合，可以通过参数方程或极坐标方程来计算曲线积分。
在计算闭合曲线积分时，需要注意曲线方向的选择，通常选择沿着曲线的正向方向。
三、曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 流量计算曲线积分可以用来计算流体通过曲线边界的流量。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中非常重要的概念，它在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
设曲线C是由参数方程x=x(t)，y=y(t)（a≤t≤b）表示的光滑曲线，f(x,y)是定义在C上的连续函数。
那么曲线积分的定义如下：∫(C)f(x,y)ds=∫(a,b)f(x(t),y(t))√[x'(t)]^2+[y'(t)]^2dt。
其中，ds表示弧长元素，√[x'(t)]^2+[y'(t)]^2表示弧长元素的微元。
接下来，我们来介绍一种常见的计算方法，即参数方程法。
当曲线C由参数方程x=x(t)，y=y(t)（a≤t≤b）表示时，我们可以利用参数方程法来计算曲线积分。
具体步骤如下：1. 计算曲线C的参数方程x=x(t)，y=y(t)；2. 计算曲线积分∫(C)f(x,y)ds=∫(a,b)f(x(t),y(t))√[x'(t)]^2+[y'(t)]^2dt。
通过参数方程法，我们可以将曲线积分的计算转化为对参数t的积分，从而简化计算过程。
除了参数方程法，还有一种常见的计算方法是直角坐标系下的计算方法。
当曲线C可以用y=f(x)（a≤x≤b）表示时，我们可以利用直角坐标系下的计算方法来计算曲线积分。
具体步骤如下：1. 将曲线C表示为y=f(x)（a≤x≤b）的形式；2. 将曲线积分∫(C)f(x,y)ds转化为∫(a,b)f(x,f(x))√[1+f'(x)]^2dx的形式。
通过直角坐标系下的计算方法，我们可以将曲线积分的计算转化为对x的积分，从而简化计算过程。
除了参数方程法和直角坐标系下的计算方法，还有一些其他的计算方法，如极坐标系下的计算方法、复变函数下的计算方法等。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的计算方法来计算曲线积分。
总之，曲线积分是微积分中重要的概念，它在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法与应用
曲线积分的计算方法与应用曲线积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍曲线积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、曲线积分的计算方法曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，计算曲线上某一物理量的总量。
曲线积分有两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的标量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
若函数f(x,y,z)在曲线C上连续，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²)dt2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
若向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))在曲线C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]F(x,y,z)·dr=∫[a,b][P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt二、曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
下面将介绍曲线积分在电磁学和流体力学中的应用。
1. 电磁学中的应用在电磁学中，曲线积分常用于计算电场和磁场的环路积分。
根据安培环路定理和法拉第电磁感应定律，可以通过计算曲线上的磁场和电场的环路积分来求解电流和电动势。
曲线积分在电磁学中有着重要的地位，它帮助我们理解电磁现象并解决实际问题。
2. 流体力学中的应用在流体力学中，曲线积分常用于计算流体的流量和力的做功。
第一类曲线积分计算公式
第一类曲线积分计算公式曲线积分是微积分学中的重要概念之一，在物理学、工程学、统计学等方面有着广泛的应用。
曲线积分又分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，本文将为大家介绍第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用。
第一类曲线积分是指对于参数曲线C，取定其上的一个向量场F，对其在曲线C上的积分。
第一类曲线积分的计算公式为：∫CF·dr=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)dt其中，a和b为曲线C的参数范围，x(t)和y(t)为曲线C上点的参数方程，r(t)为C上对应点的位置向量，r'(t)为其对应点在曲线上的切向量，F(x,y)为一个二元向量函数。
需要注意的是，由于不同的参数方程对应的切向量r'(t)不同，因此在实际应用中可能需要通过对曲线进行参数化来确定正确的积分范围和积分方向。
第一类曲线积分在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来计算电场或磁场在曲线上的沿程积分；在工程学中，它可以用来计算流体在曲线上的流量或者力对物体的作用积分等等。
因此，掌握第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用是非常重要的。
除了以上所介绍的第一类曲线积分，还有第二类曲线积分。
第二类曲线积分是指对参数曲线C，取定其上的标量函数f(x,y)和向量函数F(x,y)，对其在曲线C上的积分。
第二类曲线积分的计算公式为：∫CF·ds=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)ds其中，ds表示曲线C上的线元素。
第二类曲线积分在实际应用中同样具有广泛的应用，例如在工程学中可以用来计算物体在曲线上的质心；在物理学中可以用来计算质点或者非定常电荷在曲线上的沿程积分。
总之，曲线积分在各个学科中都有着重要的应用，而第一类曲线积分的计算公式对于理解曲线积分的本质以及在实际运用中的具体应用都至关重要。
因此，我们建议大家认真学习并掌握这方面的知识，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有很多种，下面我们将逐一介绍。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
设曲线C为一条光滑曲线，其参数方程为x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b。
函数f(x,y)在曲线C上有定义，则曲线积分的定义为：∫f(x,y)ds=∫(f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²))dt。
其中，ds表示弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于参数t的导数。
接下来，我们介绍曲线积分的计算方法之一——参数方程法。
对于曲线积分∫f(x,y)ds，我们可以利用曲线C的参数方程x=x(t)，y=y(t)来进行计算。
首先，我们需要将曲线C的参数方程代入到被积函数f(x,y)中，得到f(x(t),y(t))。
然后，我们计算出弧长元素ds，即√(x'(t)²+y'(t)²)dt。
最后，将f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²)dt在参数区间[a,b]上进行积分即可得到曲线积分的值。
其次，我们介绍曲线积分的计算方法之二——直角坐标系下的计算方法。
在直角坐标系下，曲线积分∫f(x,y)ds可以转化为∫f(x(t),y(t))·√(x'(t)²+y'(t)²)dt的形式。
我们可以先将曲线C的参数方程x=x(t)，y=y(t)转化为直角坐标系下的参数方程x=x(t)，y=y(t)，然后按照参数方程法进行计算即可。
最后，我们介绍曲线积分的计算方法之三——极坐标系下的计算方法。
对于一些具有极坐标方程r=r(θ)的曲线C，我们可以利用极坐标系下的参数方程x=r(θ)cos(θ)，y=r(θ)sin(θ)来进行曲线积分的计算。
求曲线、曲面积分的方法与技巧
求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。
曲线积分与曲面积分总结
曲线积分与曲面积分总结standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分 (,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则 原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分 ⎰+L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。
曲线积分的定义和计算方法
曲线积分的定义和计算方法曲线积分是微积分中的一个概念，用于计算沿曲线的向量场或标量场的总量。
在本文中，我们将详细讨论曲线积分的定义和计算方法。
一、曲线积分的定义曲线积分可以分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是计算向量场沿曲线的总量，而第二类曲线积分则是计算标量场沿曲线的总量。
1. 第一类曲线积分设曲线C的参数方程为R(t)=(x(t),y(t))，向量场F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j在曲线C上连续。
第一类曲线积分的定义如下：∮CF⋅dr=∫CabF⋅Tds其中，C表示曲线C上的点，a和b是参数的起始值和终止值，r表示位矢。
2. 第二类曲线积分设曲线C的参数方程为R(t)=(x(t),y(t))，标量场f(x,y)在曲线C上连续。
第二类曲线积分的定义如下：∮Cf⋅ds=∫Cabf⋅ds其中，C表示曲线C上的点，a和b是参数的起始值和终止值，s表示弧长。
二、曲线积分的计算方法曲线积分的计算可以通过参数方程或者参数化直线两种方法进行。
1. 参数方程计算法使用参数方程计算曲线积分时，首先需要确定曲线的参数方程，并将其代入曲线积分的定义式中。
然后，计算被积函数在参数范围内的取值，并对其进行积分。
2. 参数化直线计算法对于直线段，常用的方法是将其参数化为一个参数为t的函数，然后将其代入曲线积分的定义式中。
通过计算被积函数的取值，并对其进行积分，可以得到曲线积分的结果。
三、曲线积分的应用曲线积分广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域。
以下是曲线积分的一些应用示例：1. 对物体沿闭合路径的力学量的计算曲线积分可以用于计算物体沿闭合路径的力学量，例如质量、动量和角动量等。
通过对力与路径的积分，可以得到物体在闭合路径上的总力学量。
2. 电场的计算曲线积分可以用于计算电场的大小和方向。
通过沿着电场线进行曲线积分，可以确定电场的强度和方向，从而帮助解决与电场相关的问题。
3. 流体流动的计算曲线积分可以用于计算流体流动的特性，例如流速、流量和压力等。
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曲线积分的计算法
1.基本方法
f第一类(对弧长)
曲线积分J
1 转化
第二类(对坐标)
C用参数方程
(1)选择积分变量用直角坐标方程
I用极坐标方程
对弧长曲线积分的计算
定理
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，
L的参数方程为X (t),( t )其中
y (t),
(t), (t)在[,]上具有一阶连续导数，且
L f(x,y)ds f[ (t), (t)h 2(t) 2(t)dt
( )
汪意:
1. 定积分的下限一定要小于上限；
2. f(x,y)中x, y不彼此独立，而是相互有关的
特殊情形
(1) L : y (x) a x b.
L f(x,y)ds f[x, (x)L.1 2(x)dx.
(2) L:x (y) c y d.
L f(x,y)ds : f[ (y), y] .,1 2(y)dy.定积分
(2)确定积分上下限下小上大
下始上终
x a cost,
xyds L :椭圆
(第象限). L
y bsi nt.
2 2
o 2
a cost bsi nt ( as int) (bcost) dt a
b 2 sin t cost . a 2 sin 2
t b 2
cos 2 tdt
ab
~ 2
a b
2
ab(a
解
[
2 ,— a 2 cos sin k v a 2
I
1 ka
2 . a 2 k 2.
2
求1
x 2ds,
例4 其中
2 2 2 2
为圆周x y z a,
2 0.
x y z
z k
)
k 2
d
解由对称性
故］1 (x 2
x 2ds z 2)ds
y 2ds z 2ds.
a
2 --------------------------------------- b u du (令u a 2sin 21 b 2 cos 21)
ab b 2)
3( a b)
求 I l yds,
其中 L: y 2 4x,从(1,2)到(1, 2)一段.
2
dy °.
-
L
2
\
\
\
xyzds, 其中 的一段.(0
a cos , y a sin ,
对坐标的曲线积分的计算
设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L 上有定义且连
续丄的参数方程为X
⑴，
当参数t 单调地由 变
y
(t),
到 时，点M(x,y)从L 的起点A 沿L 运动到终点B,
(t), (t)在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L
P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在,
且 L P(x,y)dx Q(x, y)dy
{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
特殊情形
(1)L: y y(x) x 起点为a , 终点为b.
则 Pdx
L
Qdy
b {P[x,y(x)]
a
Q[x, y(x)]y (x)}dx.
⑵L:x
x(y) y 起点为c , 终点为d.
则 Pdx
L
Qdy
d
c {P[x(y),y]x(y) Q[x(y), y]}dy
例5计算L (2a y)dx xdy,其中L 为摆线x a(t sint
),
y a(1 cost)上对应
t 从0至U 2
的一段弧.
2
a tsintdt
原式
2
2 n
a
t si ntdt
2 a
tcost sint
2
2 n a
ds
2 a 3
(2 a
ds,球面大圆周长)
提示 :(2a y)dx xdy
a(1 cost) a(1 cost)dt
a(t sint) asintdt
例6 计算 xyzdz 其中 由平面y = z 截球面
X 2 y 2 Z 2 1所得,从
z 轴正向看沿逆时针方向
提示：因在 上有X 2 2y2 1， 故
产 x cost
1 ・J.
z 2
si nt
原式=1 "coWtsi n 2tdt
2\'2 0 n
1
4 2
cos 21 (1 cos 2 t)d t
2 2 0
2 n
16
曲面积分的计算法 1.基本方法
(1) 选择积分变量 一代入曲面方程 第一类：始终非负
(2) 积分元素投影第二类:有向投影 (3) 确定二重积分域
—把曲面积分域投影到相关坐标面
y 霍 si nt (0
t 2 n )
曲面积分
第一类(对面积)
_________________________ !
对面积的曲面积分的计算法
定理： 设有光滑曲面
:z z(x,y), (x, y) D xy
f (x, y, 2)在 上连续，则曲面积分 f (x,y ,z)dS
存在,且有
f(x,y ,z)dS。
乂‘ f (x’y’zXy))
2
2
1 Z x (x,y) Z y (x,y)dxdy
例 7
计算
(x
y
z ) ds ,
其中 为
平面 y
z
5被柱面
x
2 y 2
25所截得的
部分
.
解
积分曲面
:
z
5 y ,
解干
投影域
:D xy
{(x,y)|
x 2 y 2 25}
dS . 1 Z z/dxdy
Ji 0
( 1)2 dxdy 2d xdy
x 2 y 2 z 2
1
外侧在第一和第五卦限部分
解：把
分为上下两部分
故 (x y z)ds
-2 (x y 5 y)dxdy
D xy
—2
5
.2 d (5 r cos )rdr
0、
丿
、
2 (5 x) dxdy
D xy
125、. 2
对坐标的曲面积分计算 :一投、二代、三定号
例8. 计算曲面积分1 xyzdxdy,其中
为球面
(X, y) D xy :
xyzdxd y
2 2
x y
X 0, y
2
D xy
xyzdxd y xy zdxd y
2
xy 1
y 2 dxdy
2
D xy
2
sin2
%5
sin .. Tr 2 rdrd 0" cos
1
计算
x)dydz 其中艺是旋转抛物面
z
平面
z
0及
z
2之间的部分的下侧
2(x
zdxdy y 2)介于
2 2
(z x) dydz (z x) cos ds
2
cos
(z x) dxdy 在曲面
cos
x
cos ------------------- , cos
J i X 2 y 2 2
(z x) dydz zdxdy 上,有
1 1 x
2 y 2
[(z 2 x)( 1
2
{[：(x 4
1(x 2
/ 2・
(r cos
x) z] dxdy
D xy
2
[x 2 D xy
2 0
y 2
) x] ( x) 2
)]dxdy 1(x 2 y 2)}dxdy
1
r 2)rdr 8 .
2。