离散数学(微课版) 第2章习题答案

离散数学（微课版）第2章习题答案

2.1 集合与运算

习题1

给定两个集合A={1，3，5，7，9}和B={2，4，6，8，10}，求A∪B和A∩B。

解答：

集合A和B的并集（A∪B）是包含了A和B中所有元素的集合。根据题目给出的集合A和B，可以得到并集A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。

集合A和B的交集（A∩B）是包含了A和B中共有的元素的集合。根据题目给出的集合A和B，可以得到交集A∩B={}，因为集合A和B中没有共有的元素。

习题2

给定两个集合A={奇数}和B={偶数}，求A和B的交集和并集。如果集合B改为B={2，4，6，8}，结果是否有变化？

解答：

集合A表示奇数，集合B表示偶数。

当集合A和B中元素的范围比较广泛时，它们的交集为{}，因为奇数和偶数没有共有的元素。

当集合B改为B={2，4，6，8}时，集合A和B中共有的

元素为{}，并集为A∪B=奇数∪{2，4，6，8}={奇数，2，4，6，8}。

2.2 命题与逻辑运算

习题3

给定两个命题p：“小明喜欢篮球”和q：“小明是篮球队的队长”。请判断以下复合命题是真还是假：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p→q。

解答：

命题p：“小明喜欢篮球” 是真命题。

命题q：“小明是篮球队的队长” 是假命题。

（1）p∧q：当p和q都为真时，命题p∧q才为真。根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∧q是假命题。

（2）p∨q：当p和q中至少一个为真时，命题p∨q就为真。根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∨q是真命题。

（3）p→q：当p为真时，命题p→q为真，否则为假。根

据题目中给出的p和q的真值，可以确定p→q是真命题。

习题4

给定一个命题p：“2是偶数”。请判断以下复合命题是真还是假：（1）¬p；（2）p∧¬p；（3）¬p∨p。

解答：

命题p：“2是偶数” 是真命题。

（1）¬p：取命题p的否定，即“2不是偶数”，根据命题p

的真值，可以确定¬p是假命题。

（2）p∧¬p：当p为真且¬p为真时，命题p∧¬p为真。根

据命题p的真值和¬p的真值，可以确定p∧¬p是假命题。

（3）¬p∨p：当¬p为真或p为真时，命题¬p∨p为真。根据命题p的真值和¬p的真值，可以确定¬p∨p是真命题。

2.3 谓词与量词

习题5

给定命题p(x)：“x+1=3”，其中x∈Z（整数集）。请判断以下命题的真值：（1）∃x，p(x)；（2）∀x，p(x)。

解答：

命题p(x)：“x+1=3” 是一个关于x的命题。

（1）∃x，p(x)：存在一个整数x，使得x+1=3。根据题目给出的命题p(x)，可以确定存在x=2，使得x+1=3。因此，命题∃x，p(x)为真。

（2）∀x，p(x)：对于所有整数x，都满足x+1=3。根据题目给出的命题p(x)，可以确定x=2满足x+1=3。因此，命题∀x，p(x)为真。

习题6

给定命题p(x)：“x>2”，其中x∈N（自然数集）。请判断以下命题的真值：（1）∃x，p(x)；（2）∀x，p(x)。

解答：

命题p(x)：“x>2” 是一个关于x的命题。

（1）∃x，p(x)：存在一个自然数x，使得x>2。根据自然数的定义，存在一个自然数3，满足x>2。因此，命题∃x，p(x)为真。

（2）∀x，p(x)：对于所有自然数x，都满足x>2。根据自然数的定义，所有的自然数都大于等于0，因此不存在一个自然数x使得x>2。因此，命题∀x，p(x)为假。

2.4 递归与数学归纳法

习题7

使用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2-n是一个偶数。

解答：

首先证明当n=1时，n2-n是一个偶数。我们有12-1=0，0是一个偶数。

假设当n=k时，n2-n是一个偶数，即k2-k是一个偶数。

当n=k+1时，我们有(k+1)2-(k+1)=k2+2k+1-k-1=k2+k，根据归纳假设，k2-k是一个偶数。

因此，根据数学归纳法，对于任意自然数n，n^2-n是一个偶数。

习题8

使用递归法求解斐波那契数列的第n项。

解答：

斐波那契数列是一个以0和1开头，后续每一项都是前两项之和的数列。

根据递推关系，我们可以定义一个递归函数fibonacci(n)来求解斐波那契数列的第n项：

def fibonacci(n):

if n <= 0:

return 0

elif n == 1:

return 1

else:

return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

接下来，我们可以调用fibonacci(n)函数来计算斐波那契数列的第n项。