高三月考模拟考试文科数学试卷

高三月考模拟考试文科数学试卷

一. 选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{}

A x x x =>|2，集合{}

B x x =>|0，则A B ∩等于（ ） A. {}x x |<-1 B. {}x x |<0

C. {}x x |>1

D. {}x x |>0

（2）函数y x =+?

? ??

?232cos π的最小正周期为（ ）

A. 2π

B. π

C.

π

2

D.

π3

（3）等差数列{}a n 中，a a a S n 159198=+=，，为其前n 项和，则S 9等于（ ）

A. 291

B. 294

C. 297

D. 300

（4）函数()f x x x ()=-≤-212的反函数为（ ） A. ()

f x x x -=-+≥12

13() B. ()

f x x x -=+≥12

13()

C. ()f x x x -=-+≥1213()

D. ()

f x x x -=--≥12

13()

（5）“x >1”是“x x

>1

”的（ ） A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件

（6）若点()P 31，-为圆()x y -+=2252

2的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. x y +-=20 B. 270x y --=

C. 250x y +-=

D. x y --=40

（7）设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：m n αβγ

①∥∥∥②⊥∥⊥③⊥∥⊥④

∥∥αβαγβγαβαβαβαβαα?

????

????

??

???

??

?m m m m m n n m

其中，真命题是（ ）

A. ①④

B. ②③

C. ①③

D. ②④

（8）定义在R 上的函数f x ()既是奇函数又是周期函数，若f x ()的最小正周期是2，且当()x ∈01，时，()f x x ()log =-12

1，则f x ()在区间（1，2）上是（ ）

A. 增函数且f x ()>0

B. 增函数且f x ()<0

C. 减函数且f x ()>0

D. 减函数且f x ()<0

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）在平面直角坐标系中，由满足不等式组380

0x y x y x y --≤≥+≥???

?

?的点所组成图形为F ，

则A （4，4）、B （5，0）、C （2，-1）三点中，在F 内（含边界）的所有点是_______________。

（10）x a x a -?

? ???-21606

的展开式中常数项为则常数的值为，___________。

（11）由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有__________个。 （12）平面上有三个点A （，）-2y ，B y

C x y （，

），（，）02

，若 AB BC →→

⊥，则动点C 的轨迹方程为______________________。

（13）若球O 的半径长为13，圆O 1为它的一个截面，且OO 112=，则圆O 1的半径长为___________；点A 、B 为圆O 1上的两定点，AB =10。若C 为圆O 1上的动点，则△ABC 的最大面积为_____________。

（14）△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若tanA 和tanB 是关于x 的方程x mx m 2

10+++=的两实根，则角C ＝___________；实数m 的取值范围是___________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤。

（15）（本小题共13分） 已知0235

<<

=x x π，cos 。 （I ）求sin2x 的值； （II ）若

ππ2<

5

13

，求cosy 的值。

（16）（本小题共13分）

一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分。某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响。 （I ）求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率； （II ）求该同学至多答对4道题的概率；

（III ）求该同学在这次测验中恰好得80分的概率。

（17）（本小题共14分）

已知四棱锥P —ABCD 的底面是菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点。AC 与DE 交于点O ，PO ⊥平面ABCD 。 （I ）求证：PD ⊥BC ；

（II ）若AB PC ==6362，，求二面角P —AD —C 的大小；

（III ）在（II ）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。

（18）（本小题共14分）

设函数()f x ax bx cx a a b c R a ()=+++-∈≠3230，，，且。当x =-1时，f x ()取得极大值2。

（I ）用关于a 的代数式分别表示b 与c ； （II ）当a =1时，求f x ()的极小值； （III ）求a 的取值范围。

（19）（本小题共13分） {}

已知数列满足：为奇数

为偶数，，，a a a a n n

a n n n n n n 11

11

2

2==+-????

?+ （I ）求a a a a 2345，，，；

（II ）设b a n N n n =-∈22，*，求证：数列{}b n 是等比数列，并求其通项公式； （III ）在（II ）条件下，求数列{}a n 前100项中的所有偶数项的和S 。

（20）（本小题共13分）

()已知椭圆其右准线与轴交于点，x a y

b

a b x A 2

22

210+=>>l ，椭圆的上顶点为B ，过它的右焦点F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点P ，直线AB 恰经过线段FP 的中点D 。

（I ）求椭圆的离心率；

（II ）设椭圆的左、右顶点分别是A A 12、，且BA BA 123→→

=-·，求椭圆方程；

（III ）在（II ）的条件下，设Q 是椭圆右准线l 上异于A 的任意一点，直线QA QA 12、与椭圆的另一个交点分别为M 、N ，求证：直线MN 与x 轴交于定点。

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参考答案

一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）B （3）C （4）A

（5）B

（6）D

（7）C

（8）B

二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）A 、C （多填B 或少填一个扣2分） （10）1 （11）10

（12）y x 2

8=

（13）5（2分） 25（3分）

（14）

34

π

（2分） -<≤-1222m （3分） 三. 解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）∵，0235

<<

=x x πcos 则sin cos x x =-=

14

5

2………………3分 ∴sin sin cos 222453524

25

x x x ==?

?=

………………6分 （II ）∵，022

<<

<

π ∴

ππ

232

<+

12

13

………………9分 ()[]()()cos cos cos cos sin sin y x y x x y x x y x =+-=+++

=-

?+?=-121335513451665

………………13分 （16）（共13分）

解：（I ）()P C C =???=

32

2

21

0802050524

125

....·………………4分

（II）该同学至多答对4道题的概率为

1

1

2

4

5

109

125

23

-

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?=………………8分

（III）设该同学在这次测验中恰好得80分为事件A，他恰好答对2道选择题和2道填空题为事件B

1

，他恰好答对3道选择题和1道填空题为事件

B

2

………………9分

则A B B B B

=+

1212

，，为互斥事件

()()

P A P B P B

()=+

12

………………10分

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?+

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?=

C C C C

3

2

2

2

2

2

3

3

3

2

1

2

4

5

1

5

1

2

4

5

1

2

44

125

·····

………………13分

（17）（共14分）

解法一：（I）在菱形ABCD中，连结DB

∵∠BCD＝60°，则△BCD为等边三角形

∵点E是BC边的中点

∴DE⊥BC………………2分

∵PO⊥平面ABCD

∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影

∴PD⊥BC………………4分

（II）∵四边形ABCD是菱形

∴AD∥BC

由（I）PD⊥AD，DE⊥AD

∴∠ODP是二面角P—AD—C的平面角………………6分

∵，∴，AB DE AC ===63918

由

OC OA OE OD ==1

2

∴∴OD OC PD PC ====662

在直角三角形POD 中，cosPDO =

=662

2

2………………8分 ∴∠PDO =

π4 即二面角P —AD —C 为π

4

………………9分 （III ）取AD 中点F ，连BF 、PF

由点E 是BC 边的中点，所以DE ∥BF ，且DE ＝BF ＝9………………11分 ∴∠PBF 或其补角是异面直线PB 与DE 所成角

在直角三角形PDF 中，PF PB PC ===31162，………………12分 在△PBF 中，cosPBF =+-??=7281992629

2

4………………14分 解法二：

（I ）同解法一………………4分

（II ）在菱形ABCD 中，AC ⊥DB 由（I ）△BCD 为等边三角形

∵点E 是BC 边的中点，DE 交AC 于O ∴点O 是△BCD 重心………………5分

∵，∴AB OD OC ===636

∵，∴PC PO ==626………………6分

过点O 作AD 平行线交AB 于F ，以点O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系

()()()

()∴，，，，，，，，，，，A B C D 636033303330060---，P （0，

0，6）………………7分

()

()∴，，，，，AD PD →=-→

=--6300066

设平面PAD 的法向量为()s a m n =，，，则

s PD s AD a m n a m n a m n

······∴→=→=?

????--=-++=?????==-??

?00066063000

∴不妨取()s =-011，，

()OP →

=006，，是平面ADC 法向量

∴，··cos ||||

<→>=→

→=s OP s OP s OP 2

2

………………9分 ∴二面角P —AD —C 的大小为

π

4

………………10分 （III ）由（II ）点E （0，3，0） ()

()∴，，，，，PB DE →=-→

=3336090………………12分

∴，··cos ||||

<→→>=→→

→→=PB DE PB DE PB DE 2

4

即异面直线PB 与DE 所成角的余弦值为2

4

………………14分 （18）（共14分）

解：（I ）f x ax bx c '()=++322

由已知可得：f f ()'()-=-=???12

10

即-+-+-=-+=???a b c a a b c 32320

∴b a c a =+=-??

?1

2………………4分 （II ）当a =1时，b c ==21，

f x x x x ()=+++3

2

22………………5分

()f x x x x x '()=++=++?

? ??

?34131132

令f x x x '()==-=-

011

3

12，，………………6分 x ∈--

?

?

?

?

?113，时，f x f x '()()<0，为减函数

()x x ∈-+∞?? ?

?

?∈-∞-131，，，时，f x f x '()()>0，为增函数

………………8分

∴f x ()有极小值 f -?? ?

??=-+-+=13127291325027

………………9分

（III ）()()f x ax a x a x a ()=+++-+-32123

()f x ax a x a '()=+++-32122

………………10分

由()321202ax a x a +++-=，则()31230a x x a a +--?

? ??

?=………………11分

∴，x x a a

1212

3=-=

- 要使f x ()有极大值f ()-=12，则：

a a a >->-?????0231或a a a <-<-???

??0231………………13分 ∴a >

1

2

………………14分 （19）（共13分）

解：（I ）a a a a 234532527425

4

=

=-==-

，，，…………………4分

（II ）

()b b a a a n a a n n a n n

n n n n n n +++=--=++--=-+--1

222212222

2122122124212……6分

=--=1

21

212

22a a n n ………………8分

b a 1221

2

=-=-

………………9分

∴数列{}b n 是等比数列，且b n n n

=-?? ?????? ?

?

?

=-?? ?

?

?-1212121

………………10分

（III ）由（II ）得：()a b n n

n n

2221212350=+=-?? ?

?

?

=，，，…，

………………11分

S a a a =+++=?-?-?? ??

?-

24100

5025012112112

…………………12分

=-+

=+1001129912

5050………………13分 （20）（共13分）

解：()

（）∵椭圆方程为，，I x a y b

a b c c a b 2

22

2222

100+=>>>=-

∴，，（，），（，），（，）A a c F c B b P c b a 22

000?? ??

?

FP 的中点D 的坐标为c b a ，2

2??

?

??………………2分

直线AB 的方程为：

x a c

y b 2

1+= ∵D 在直线AB 上

∴··c c a

b b a 22

121+=………………3分

化简得：3422a c =

∴e =

3

2

………………4分 （II ）()()()A a A a B b 12000-，，，，，

()()BA a b BA a b 12→=--→

=-，，，………………5分

BA BA a b 122233→→

=--=·，∴………………6分

由（I ）得：a b =2………………7分

∴，，a b c ===213

∴椭圆方程为：x y 2

24

1+=………………8分

（III ）设直线QA 1和QA 2斜率分别为k 1、k 2，则

由()

x y y k x 2214402+-==+????? ()141616401

2

2

1212

+++-=k x

k x k

解得：，x k k

y k k

M M =

-+=

+28144141

21

211

2………………10分

由()x y y k x 2224402+-==-????

?

()141616402

2

2

222

2+-+-=k x

k x k 解得：，x k k

y k k

N N =

-+=-

+8214414222

2

22

2

直线的方程为

MN y y y y x x x x N M N N

M N

--=--

令，得··y x x y x y y y N M M N

M N

==

--0

化简得：x k k k k =?-+221

12

∵y k k Q =+?? ???=-?? ?

?

?12432432

∴

k k 1

2

743=-

∴k k k k k k k k 21121

2121

13

2-+=-+=

∴x =?

=23

2

3 即直线与轴交于定点（，）MN x 30………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分。