计量经济学第五章 异方差性参考答案讲解

第五章 异方差性课后题参考答案 5.1

（1）因为22()i i f X X =，所以取221i

i

W X =，用2i W 乘给定模型两端，得 31232222

1i i i

i i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即

2

2221

()()i i i i

u Var Var u X X σ==

（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为

***12233???Y X X βββ=-- ()()()()

()()()

***2***

*22232322

322*2*2**

2223223?i i i i i i i i i i i i i i i i i i

W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

()()(

)()()(

)(

)**

*2

**

**

232222223

3

2

*2

*2**

2223223?i

i i

i i i i

i

i i i i

i i i i i i

W y x W x W y x W x x W

x W x W x x β-=

-∑∑

∑

∑

∑∑∑

其中

2223

2***23222,

,

i

i

i i i i i

i

i

W X

W X W Y X X Y W

W

W =

=

=

∑∑∑∑∑∑

*****

*222333

i i i i i x X X x X X y Y Y

=-=-=- 5.2 （1）

22222

11111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1

Y X Y X Y

u u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0

()[ln()1][ln()]11

E u E E u E u μ=∴=+=+=又

（2）

[ln()]ln ln 0 1 ()11

i i i

i

P P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===?====∑∏∏∑∏∏不能推导出

所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3)对方程进行差分得：

1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln

则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln

5.3

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：

Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)

t= 3.152752 31.54097

20.944911R =

20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326

（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。 a.将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。

b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

21624.3004e =∑ ,

2

22495.840e =∑

求F 统计量为

F= 2

2

21

e e ∑∑=2495.840624.3004=3.9978

给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。

c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White 法进行检验。具体结果见下表 White Heteroskedasticity Test: F-statistic 6.105557 Probability 0.003958 Obs*R-squared

10.58597 Probability

0.005027

给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得2

5.9915χ=。

比较临界值与卡方统计量值，即22

10.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。

（2）用权数1/|e|W =，作加权最小二乘估计，得如下结果

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 05/28/07 Time: 00:20

Sample: 1 60

Included observations: 60

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob.

C 27.50000 6.09E-08 4.52E+08 0.0000

Weighted

Statistics

R-squared 1.000000 Mean dependent

var 70.0196

4

Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependent

var

379.890

9

S.E. of regression 8.44E-10 Akaike info

criterion -38.916

22

Sum squared resid 4.13E-17 Schwarz criterion -38.846

41

Log likelihood 1169.487 F-statistic 4.88E+1

7 Durbin-Watson 0.786091 Prob(F-statistic) 0.00000 Unweighted

R-squared 0.883132 Mean dependent

var 119.666

7

Adjusted R-squared 0.881117 S.D. dependent

var

38.6898

4

S.E. of regression 13.34005 Sum squared

resid 10321.5

Durbin-Watson 0.377804

F-statistic 2.357523 Probability 0.10382

2 Obs*R-squared 4.584017 Probability 0.10106 Test Equation:

Dependent Variable: STD_RESID^2 Method: Least Squares

Date: 05/28/07 Time: 00:27 Sample: 1 60

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic

Prob.

C 3.86E-19 1.73E-19 2.233756 0.0294 X 3.21E-21 2.16E-21 1.489532 0.1419 X^2

-7.59E-2 6.18E-24 -1.229641 0.2239

R-squared

0.076400 Mean dependent

var

6.88E-1

9 Adjusted R-squared 0.043993 S.D. dependent var

1.56E-1

9 S.E. of regression 1.52E-19 Sum squared

resid

1.32E-3

6

F-statistic 2.357523 Durbin-Watson

stat

1.19153

1 5.4

令Y 表示农业总产值，X1-X5分别表示农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、户均固定资产和农机动力。 建立模型：

01122334455Y X X X X X ββββββ=+++++ 回归结果如下：

1234522? 4.7171980.039615-0.0368950.2632560.0134630.025469(0.516910) (1.452697) ( -0.474813) (0.479104) (2.712997) (1.625993)R 0.974539 R =0.953321 DW=1.969898 F=45.93047

Y X X X X X t =++++== 从回归结果可以看出，模型的2R 和2R 值都较高，F 统计量也显著。但是除4X 的系数显著之外，其他系数均不显著，模型可能存在多重共线性。 计算各解释变量的相关系数。

相关系数矩阵

X1 X2 X3 X4 X5 X1 1.000000 0.851867 0.963173 0.456913 0.892506 X2 0.851867 1.000000 0.843541 0.549390 0.856933 X3 0.963173 0.843541 1.000000 0.583048 0.924806 X4 0.456913 0.549390 0.583048 1.000000 0.543765

X5 0.892506 0.856933 0.924806 0.543765 1.000000

由相关系数矩阵可以看出，解释变量之间的相关系数较高，存在多重共线性。 采用逐步回归的办法，来解决多重共线性问题。分别做Y 对X1、X2、X3、X4、X5的一元回归，结果如下表所示：

一元回归结果 其中加入X3的方程2R 最大，以X3为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果如下：

加入新变量的回归结果（一）

变量

X1 X2 X3 X4 X5 2R X3， X1

0.002636 （0.089770） 1.481909 (2.879293

0.915816 X3， X2 0.066909 0.789958 1.360291 5.456584

0.921204

X3， X4 1.352291 9.776764 0.009691 2.159071

0.944492

X3， X5

1.115680 (3.355936) 0.023552 (1.335921)

0.929684

经比较，新加入X4的方程2R 0.944492 ，改进最大。且从经济意义来看，户均固定资产对农业总产值有影响，因此保留X4，再加入其他变量逐步回归，结果如下：

加入新变量的回归结果（二）

变量 X1 X2 X3 X4 X5 2R X3，X4 X1 0.035438 （1.365712） 0.696651 (1.399128) 0.012887 （2.638461）

0.949360

X3，X4 X2 0.047486 （1.487193） 1.241502 （5.528062） 0.009296 （1.984375）

0.940595

X3， X4 ，X5 0.951924 （3.375236） 0.009594 （2.312344） 0.023059 （1.592574） 0.952585

加入X1后方程的2R 增大，但是t 值不显著；加入X2后2R 降低，且系数不显著；

变量 X1 X2 X3 X4 X5 参数估计值 0.084078 0.456767 1.526410 0.035277 0.078269 t 统计量 8.097651 5.099371 11.62132 2.991326 8.197929 2R 0.867676 0.722250 0.931061 0.472241 0.870476 2R

0.854443

0.694475

0.924167

0.419465

0.857524

假如X5后方程的2R 增大，但是t 值不显著。 修正多重共线性影响的回归结果为： 3

4

22?14.74802 1.3522910.0096911.835441 9.776764 2.159071

R =0.954584 R 0.944492 DW=2.482223 F=94.58409

i

Y

X X t =++==

White 检验：

220.054.132927(5)11.0705nR χ=<=

接受原假设，模型不存在异方差。 5.5

（1）建立样本回归模型。

2?192.99440.0319

(0.1948)

(3.83)

0.4783,..2759.15,14.6692Y X R s e F =+=== （2）利用White 检验判断模型是否存在异方差。

给定0.05α=和自由度为2下，查卡方分布表，得临界值2 5.9915χ=，

而White 统计量2

5.2125nR =，有22

0.05(2)nR

χ<，则不拒绝原假设，说明模型中不存在异方差。

（3）有Glejser 检验判断模型是否存在异方差。经过试算，取如下函数形式

e β?= 得样本估计式

2

?(4.5658)

0.2482e

R ==

由此，可以看出模型中随机误差项有可能存在异方差。

（4）对异方差的修正。取权数为1/w X =，得如下估计结果

2

?243.49100.0367( 1.7997)

(5.5255)

0.1684,..694.2181,30.5309Y

X R s e F =-+-===

0.656142

5.6

回归结果如下： 22?0.890.237200(4.356086) (15.89724) se=0.2043120.014921

R 0.933511 R =0.929817 DW=1.363966 F=252.7223

i

i

Y

X t =+==（）（）

222

2120.05210.3 2.024 F=

6.7467

F 88=3.44i i

i

i

e

e

e

e

===∑∑∑∑（，）

拒绝原价设，模型存在异方差。取权数为1

W X

=，加权后回归结果：

22?0.7529230.249487 se=0.098255 0.011723(7.662934) (21.28124)

R 0.765382 R =0.752348 DW=1.240480 F=452.8914

i

i Y X t =+==（）（）

5.7

（1）求回归估计式。

2?4.6103

0.7574(4.2495)(5.0516)

0.5864,..3.3910,25.5183

Y X R s e F =+=== 作残差的平方对解释变量的散点图

由图形可以看出，模型有可能存在异方差。

（2）去掉智利的数据后，回归得到如下模型

2?6.73810.2215(2.8254)(0.3987)

0.0093,..3.3906,

0.1589

Y X R s e F =+=== 作残差平方对解释变量的散点图

从图形看出，异方差的程度降低了。

（3）如果去掉智利数据后得出不存在异方差的结论，则说明异方差性还会因为异常值的出现而产生。 5.8

（1）回归结果如下：

Y = 12.12542711 + 0.1043661755*X （19.51012） (0.008439) t= (0.621494) (12.36777)

20.854718R = 2R =0.849130 S.E.=56.89947 DW=1.212859

F=152.9617

销售收入每增长一元，销售利润平均增长0.104366元

给定0.05α=，0.02512.36777(26) 2.056t t =>=，拒绝原假设，说明销售收入对销售利润有显著性影响。

0.05152.9617(1,26) 4.23F F =>= 2R 0.8546

96=，表明方程显著，且拟和程度较好

（2）图形法：

01000

20003000

4000

5000

-200

-100

100

RESID

X

从图中可以看出，2i e 有随着X 增大而增大的趋势，所以模型可能存在异方差。 用Glejser 检验模型是否存在异方差。经过试算，取如下函数形式

e β?=

得样本估计式

|?e

t =8.075394 2R =0.306629

系数显著不为0，由此，可以看出模型中随机误差项有可能存在异方差。 White 检验：

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 3.609579 Probability 0.041959 Obs*R-squared

6.273796 Probability

0.043417

2 6.273796nR =＞20.05(2) 5.91147χ=

拒绝原假设，模型存在异方差。 （3）对异方差的修正。取权数为

21

W X =，得如下估计结果

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 05/28/07 Time: 00:16

Sample: 1 28

Included observations: 28

Variable Coefficien

t

Std. Error t-Statistic Prob.

C 6.454896 3.485634 1.851857 0.0754

Weighted

R-squared 0.922863 Mean dependent

var

67.93474

Adjusted

R-squared

0.919896 S.D. dependent var 75.46572

S.E. of regression 21.35880 Akaike info criterion 9.029554 Sum squared

resid

11861.15 Schwarz criterion 9.124711 Log likelihood -124.4137 F-statistic 95.02675 Durbin-Watson 1.909174 Prob(F-statistic) 0.000000 Unweighted

Statistics

R-squared 0.854132 Mean dependent

var

213.4650

Adjusted

R-squared

0.848522 S.D. dependent var 146.4895 S.E. of regression 57.01397 Sum squared resid 84515.42 Durbin-Watson 1.244888

White 检验：

F-statistic 3.143257 Probability 0.060574

2 5.626143

nR=＜2

0.05(2) 5.91147

χ=不存在异方差.

5.9

（1）建立样本回归函数。

2

?43.8967

0.8104(2.1891)(37.7771)

0.9854,..60.4920,1427.112

Y X R s e F =+=== 从估计的结果看，各项检验指标均显著，但从残差平方对解释变量散点图可以看出，模型很可能存在异方差。

（2）用White 检验判断是否存在异方差。

由上表可知，2

11.2109nR =，给定0.05α=，在自由度为2下，查卡方分布表，

得临界值为2 5.9915χ=，显然，211.2109nR =>2 5.9915χ=，则拒绝原假设，说

明模型存在异方差。

进一步，用ARCH 检验判断模型是否存在异方差。经试算选滞后阶数为1，则ARCH 检验结果见下表 由上表可知，

2

()7.0314n p R -=，在0.05α=和自由度为1下，查卡方分布表，得临界值为20.05(1) 3.8415χ=，显然，2()7.0314n p R -=>20.05(1) 3.8415χ=，则说明

模型中随机误差项存在异方差。

（3）修正异方差。取权数为21/W e =，得如下估计结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/28/07 Time: 02:15 Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Weighting series: W2

C 6.659027 0.253761 26.24133 0.0000 R-squared

1.000000 Mean dependent var 224.0761 Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependent var 988.1865 S.E. of regression 0.206384 Akaike info criterion -0.235219 Sum squared resid 0.894478 Schwarz criterion -0.136481 Log likelihood 4.705022 F-statistic 777560.3 Durbin-Watson stat 1.281139 Prob(F-statistic)

0.000000

R-squared

0.980282 Mean dependent var 633.0004 Adjusted R-squared 0.979343 S.D. dependent var 490.5345 S.E. of regression 70.50182 Sum squared resid 104380.6

Durbin-Watson stat

0.279924

Y = 6.65902728 + 0.8686910728*X

White 检验

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 1.021337

Probability

0.378144

Obs*R-squared

2.131389

Probability

0.344489 经检验异方差的表现有明显的降低。

5.10剔除物价上涨因素后的回归结果如下：

22?36.664530.753946(3.516150) (22.43266)

R 0.959941 R 0.958033 F=503.2243

Y

X t =+===

其中 Y 代表实际消费支出，X 代表实际可支配收入 用White 方法来检验模型是否存在异方差： F-statistic 1.647288 Probability 0.21764

7

Obs*R-squared 3.252914 Probability

0.19662

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares

Date: 05/07/07 Time: 17:14 Sample: 1978 2000

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic

Prob.

C 105.9636 475.5182 0.222838 0.8259 X1 0.264290 3.037330 0.087014 0.9315 R-squared

0.141431 Mean dependent var 275.881

8

Adjusted R-squared 0.055574 S.D. dependent var 272.6726 S.E. of regression 264.9875 Akaike info criterion 14.1183

5

Sum squared resid 1404368. Schwarz criterion 14.26646 Log likelihood -159.3610 F-statistic 1.64728

8

Durbin-Watson 1.456581 Prob(F-statistic) 0.21764220.053.252914(2) 5.9915nR χ=<=，表明模型不存在异方差。 G-Q 检验：

Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares

Date: 05/07/07 Time: 17:18 Sample: 1978 1986

Included observations: 9

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic

Prob.

C 4.185124 18.09918 0.231233 0.8237 R-squared

0.933647 Mean dependent var 180.260

1

Adjusted R-squared 0.924168 S.D. dependent var 39.01106 S.E. of regression 10.74272 Akaike info criterion 7.77946

4

Sum squared 807.8425 Schwarz criterion 7.82329

resid

2

Log likelihood -33.00759 F-statistic 98.4962

Durbin-Watson 2.717044 Prob(F-statistic) 0.00002

Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares

Date: 05/07/07 Time: 17:18 Sample: 1992 2000

Variable Coefficie Std. Error t-Statistic

Prob.

C 104.0936 20.84532 4.993622 0.0016 R-squared

0.950583 Mean dependent var 339.048

Adjusted R-squared 0.943523 S.D. dependent var 62.54899 S.E. of regression 14.86470 Akaike info criterion 8.42898

5

Sum squared resid 1546.715 Schwarz criterion 8.472813 Log likelihood -35.93043 F-statistic 134.650

6

Durbin-Watson 0.987995 Prob(F-statistic) 0.000001i e =807.8425，2i e =1546.715，F=1546.715/807.8425=1.9146，0.05

F （7，7）=3.79，表明模型不存在异方差。

表明剔除物价上涨因素之后，异方差的问题有所改善。