劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法.
第三章劳斯判据1
lim c n ) = A 其中 0〈ζ k 〈1 q +2γ =( t 拉氏反变换为 临界稳定
t→ ∞
j =1
k =1
c(t ) = ∑ Aj e
j =1
q
s jt
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ζ k ω k t
cos(ω k 1 − ζ k )t
2
2
+∑
r
C k − Bkζ kω k
k =1
ωk 1−ζ k2
稳 定 的 摆 不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后， 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。 范围稳定。 小扰动恢复到原平衡状态， 小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 系统为小范围稳定 小范围稳定。 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定 大范围稳定。 必然大范围稳定。 扰动消失后， 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡， 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 稳定状态。 经典控制论中， 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。 为不稳定。
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 行列式第一列不动第二列右移 不动第二列 对角线减 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 第一列出现零元素时， 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε 穷小量ε代替。 一行可同乘以或同除以某正 7 一行可同乘以或同除以某正数
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
系统稳定性分析实验报告
一、实验目的1. 理解系统稳定性的基本概念和稳定性判据。
2. 掌握控制系统稳定性分析的方法和步骤。
3. 分析系统开环增益和时间常数对系统稳定性的影响。
4. 通过实验验证稳定性分析方法的有效性。
二、实验原理系统稳定性分析是自动控制理论中的一个重要内容，主要研究系统在受到扰动后能否恢复到原来的稳定状态。
根据系统传递函数的极点分布，可以将系统分为稳定系统和不稳定系统。
稳定系统在受到扰动后，其输出会逐渐恢复到原来的平衡状态；而不稳定系统在受到扰动后，其输出会发散，无法恢复到原来的平衡状态。
三、实验仪器1. 自动控制系统实验箱一台2. 计算机一台3. 数据采集卡一台四、实验内容1. 系统模拟电路搭建根据实验要求，搭建一个典型的控制系统模拟电路，如图1所示。
电路中包含一个比例积分（PI）控制器和一个被控对象。
被控对象可以用一个一阶环节表示，传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)，其中K为开环增益，T为时间常数。
图1 系统模拟电路图2. 系统稳定性分析（1）观察系统的不稳定现象在实验箱上设置不同的K和T值，观察系统在受到扰动后的响应情况。
当K值较大或T值较小时，系统容易产生增幅振荡，表现为不稳定现象。
（2）研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响通过改变K和T的值，观察系统稳定性的变化。
分析以下情况：1）当K值增加时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；2）当T值减小时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；3）当K和T同时改变时，系统稳定性受到双重影响。
（3）验证稳定性分析方法的有效性使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统传递函数的极点分布，判断系统是否稳定。
将实验得到的K和T值代入传递函数，计算特征方程的根，判断系统稳定性。
五、实验步骤1. 搭建系统模拟电路，连接实验箱和计算机。
2. 设置实验箱参数，调整K和T的值。
3. 观察系统在受到扰动后的响应情况，记录数据。
4. 使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统稳定性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
第五章劳斯稳定性判据
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
线性定常系统稳定性分析
5/15/2020
21
[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
5/15/2020
26
劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
5/15/2020
27
确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
自动控制 控制系统的稳定性分析
例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解： 劳斯表为: 由为零上一行的元素 s6 1 8 20 16 组成辅助多项式： s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 dP(s)=8s3+24s s4 2 12 16 ds 3 s 代入 0 0 8 24 系统有虚根,不稳定。 2 s 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数， s1 8/3 不影响系统稳定性的判断。 0 s 16
第五节 控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件 , 求得特 征方程的根 , 就可判定系统的稳定性 . 但对 于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数 特征方程式的各项系数 , 按一定的规则排 列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符 号的变化情况来判别系统的稳定性。 下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。
第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 = -∞ -3 劳斯表为: b31= ε -3 s3 1 b31→ -∞ ε →0 s2 ε0 2 第一列元素的符号变化了 1 s b ∞ 31 两次,有一对不稳定根。 0 s b 241 s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某一行的元素全为零， 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。 此时，应以上一行的元素为系数，构 成一辅助多项式，该多项式对s求导后， 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:
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邢台学院物理系
《自动控制理论》
课程设计报告书
设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进
措施
专业：自动化
班级：＿
学生姓名:
学号: 4
指导教师：
2013年3月24日
邢台学院物理系课程设计任务书
专业：自动化班级：
2013 年 3 月 24 日
摘要
劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。
本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。
关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性
目录
1 劳斯稳定判据
1.1 劳斯稳定判据原理
1.2 实际例题分析
1.3 全零行与临界稳定
2 结构性不稳定系统的改进措施
2.1 改变环节的积分性质
2.2 加入比例微分环节
3 总结及体会
参考文献
1 劳斯判据
1.1 劳斯判据原理
劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。
根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。
c c
a a c c c c a a c c c c a a c c s a a a a a c a a a a a c a a a a a c s a a a s a a a s n n n n 13
43171334133315132413231313143
1
7061331504123130211325311420-=-=-=-=-=-=---
若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均
为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。
否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。
劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。
1.2 实际例题分析
例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。
解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24
s 2 8 100 s 1 92 s 0
100
第一列同号，所以系统稳定。
例题2：设闭环系统传递函数为5
43220
17123)(2
34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。
解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表 ： s 5 1 1 4
s 3 －0.5 1.5 0 s 2 9 5 0 s 1 16／9 0 0 s 0 5 0 0
第一列元素中出现负数，系统不稳定
例题3：某反馈控制系统的特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 试确定使该闭环系统稳定的K 值。
解：系统特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 劳斯表 ： s 3 1 2k+3 s 2 5k 10
s 1 2
232
k k k +- 0
s 0 10 0 解得K>0.5
1.3全零行与临界稳定
1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零
用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例题：某系统特征方程为： 判定该系统是否稳定。
如不稳定，求不稳定根的个数。
解：系统特征方程为: 0122234=++++s s s s 0
122234=++++s s s s
s 3 2 2 0 s 2 0（ε） 1 0
s 1 2ε-2
ε 0 0
s 0 1 0 0
系统不稳定，有两个位于S 右半平面的根。
2）劳斯表某行系数全为零的情况。
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。
至少要下述几种情况之一出现：
1）大小相等，符号相反的一对实根； 2）一对共轭纯虚根；
3）对称于虚轴的两对共轭复根；
例题：某系统的特征方程为： 判断系统稳定性。
解：系统特征方程为: 劳斯表 ： s 5 1 3 －4 s 4 1 3 －4 s 3 0 0 0 s 2 25 0 0
-∞
=-
→ε
ε2
2lim 0
+
-
-
+
→--→1
2
2,2
2εεε044332345=--+++s s s s s 044332345=--+++s s s s s
s 0 －8 0 0
构造辅助方程43)(24-+=s s s A 对A(s)求导
s s ds
s dA 64)
(3+= 由劳斯表可知有一个特征根在S 的右半平面，系统属于临界稳定，即不稳定。
2. 结构性不稳定系统的改进措施
如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。
如图3-17所示的系统。
闭环传递函数为
特征方程式为
=0
根据劳斯判据，由于方程中s 一次项的系数为零，故无论K 取何值，该方程总是有根不在s 左半平面，即系统总是不稳定。
这类系统称为结构不稳定系统。
解决这个问题的办法一般有以下两种：
2.1 改变环节的积分性质
可用比例反馈来包围有积分作用的环节。
例如，在积分环节外面加单位负反
馈，见图3-18，这时，环节的传递函数变为
从而使原来的积分环节变成了惯性环节。
图3-17所示系统中的一个积分环节加上
单位负反馈后，系统开环传递函数变成为系统的闭环传递函数为
特征方程式：
劳斯表： s3 T 1 s2 1+T K
s1 1
1
T TK
T +-
+
s0 K
根据劳斯判据，系统稳定的条件为,即
所以，K的取值范围为
可见，此时只要适当选取K值就可使系统稳定。
2.2. 加入比例微分环节
如图3-19所示，在前述结构不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，系
统的闭环传递函数变为
劳斯表： s3 T Kτ
s2 1 K
s1 K(τ－T)
s0 K
系统的稳定条件为,即
可见，此时只要适当选取系统参数，便可使系统稳定。
三、总结及体会
稳定性是对控制系统的最基本要求，稳定性完全取决于系统本身的结构和参数。
线性系统稳定的充分必要条件是其特征方程根全部位于s平面左半平面上。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
判断系统是否稳定通常采用系统稳定性判据，其中劳斯判据就是最常采用的一种稳定性判据。
劳斯判据是根据系统特征方程系数构成的劳斯阵列来判断系统稳定性的。
劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。
另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
物理中所用到的系统模式很多，然后系统稳定性判据的主要意义在于能够在判断的基础上对不稳定系统进行改进，使其变成稳定性系统，最终到达进行操作系统的目的。
参考文献
[1] 黄坚. 自动控制原理. 科学出版社, 2007
[2] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社, 2007
[3] 广西物理报期刊. 2010
[4] 张静.MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社. 2007
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指导教师签名：年月日。