10变质量系统动力学
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。
然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。
一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。
2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。
根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。
二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。
此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。
2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。
假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。
在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。
3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。
通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。
变质量问题公式
变质量问题公式一、火箭发射类问题。
题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。
在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。
解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。
当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。
若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。
题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。
设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。
求雨滴的速度随时间的变化关系。
解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。
系统动力学第3讲-系统流图n
明确系统的范围和要素，将系 统与其他外部环境区分开来。
确定因果关系
分析系统中各要素之间的相互 影响和作用，明确因果关系的 方向和强度。
绘制反馈回路
根据因果关系，绘制出系统中 的反馈回路，包括正反馈和负 反馈。
完善系统流图
在初步绘制出系统流图后，需 要经过多次修改和完善，确保 系统流图的准确性和完整性。
感谢您的观看
VS
详细描述
供应链系统是一个复杂的系统动力学问题 ，涉及到供应商的选择、采购过程的控制 、物流配送的优化等环节。通过系统流图 可以清晰地表示出这些环节之间的相互影 响和反馈关系，例如供应商的供货能力会 影响采购计划的实施，物流配送的效率又 会影响产品的交付时间和成本等。
THANKS FOR WATCHING
特性
流位变化率是时间的函数， 其值取决于流入速率和流 出速率的变化。
流率变量
01
定义
流率变量表示某一时间内流位变 量的变化量，通常用小写字母表 示。
02
03
例子
特性
库存变化量、人口增长率、货币 增量等。
流率变量是时间的函数，其值取 决于流入速率和流出速率的变化。
辅助变量
定义
辅助变量是用来描述系统其他特性的变量，通常用小写字母表示。
详细描述
销售系统是一个典型的系统动力学问题，涉及到市场需求的分析、销售计划的制定、销 售渠道的管理等环节。通过系统流图可以清晰地表示出这些环节之间的相互影响和反馈 关系，例如市场需求的变化会影响销售计划的调整，销售渠道的管理又会影响产品的销
售量和市场份额等。
实例四：供应链系统
总结词
描述了供应链系统的动态变化过程，包 括供应商的选择、采购过程的控制、物 流配送的优化等环节。
动力学中的质量和加速度有什么关系
动力学中的质量和加速度有什么关系知识点：动力学中的质量和加速度的关系在动力学中，质量和加速度之间的关系是一个重要的概念。
质量是物体所具有的惯性大小，而加速度是物体速度变化的快慢。
它们之间的关系可以通过牛顿的第二定律来描述。
牛顿的第二定律表明，物体的加速度与作用在它上面的合外力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为：其中，F 表示合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
从这个公式可以看出，质量越大，物体的加速度越小；质量越小，物体的加速度越大。
这意味着，对于相同的合外力，质量越大的物体加速越慢，质量越小的物体加速越快。
此外，加速度的方向与合外力的方向相同。
这意味着，如果合外力与物体的速度方向相同，物体将加速；如果合外力与物体的速度方向相反，物体将减速。
总结起来，动力学中的质量和加速度之间的关系可以通过牛顿的第二定律来描述。
质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。
同时，加速度的方向与合外力的方向相同。
这些概念对于理解物体运动的基本规律非常重要。
习题及方法：一个质量为2kg的物体受到一个合外力为6N的作用，求物体的加速度。
根据牛顿的第二定律，F = ma。
将已知的力F和质量m代入公式，得到加速度a = F/m = 6N / 2kg = 3m/s²。
因此，物体的加速度为3m/s²。
一个质量为5kg的物体受到一个合外力为10N的作用，求物体的加速度。
同样根据牛顿的第二定律，F = ma。
将已知的力F和质量m代入公式，得到加速度a = F/m = 10N / 5kg = 2m/s²。
因此，物体的加速度为2m/s²。
一个质量为3kg的物体受到一个合外力为9N的作用，求物体的加速度。
应用牛顿的第二定律，F = ma。
将已知的力F和质量m代入公式，得到加速度a = F/m = 9N / 3kg = 3m/s²。
因此，物体的加速度为3m/s²。
变质量相对运动动力学系统的对称性与守恒量
（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
１ 口 ２
。 ，＝ ， 一 ，２， ＿ ＝， ＝２， ＋ ） ， ＿ ０ 口 １删 ２ ０ （１） ， ｓ，
（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
《地球系统科学》课程教学大纲
《地球系统科学》课程教学大纲课程名称：地球系统科学 / Earth System Science课程编码：12024007 课程类型：专业选修课课程性质：专业主干课适用范围：06地理信息系统学时数：36 其中：实验/实践学时：课外学时：学分数： 2 先修课程：自然地理学、地理信息系统、遥感概论考核方式：考查制定单位：广州大学地理科学学院制定日期：2006年审核者：夏丽华执笔者：千怀遂一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务地球系统科学以全球性、统一性的整体观和系统观，从多种时空尺度研究地球的整体行为，其理论的构建，将使人类更好地认识所赖以生存的环境，更有效地防止和控制可能突发的灾害对人类所造成的损害，更有利于人类与地球的和谐发展。
该学科是在全球变化、地理信息科学和可持续发展等领域深入研究和不断拓展的基础上发展起来的一门新兴学科，本课程以专业选修课的形式，向学生介绍地球系统科学的形成与发展及其基本概念、基本理论和基本方法，并使学生了解其在全球变化、生态环境、资源开发、土地利用、管理决策、灾害防治等方面的应用。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的教学，让学生：1) 树立地球系统科学研究的整体观和系统观，了解地球系统科学的多时空尺度，并理解只有更好地认识人类所赖以生存的环境，才能更有效地防止和控制可能突发的灾难。
2) 了解可持续发展的内涵是以资源的可持续利用和良好的生态环境为基础，以经济可持续发展为前提，以谋求社会的全面进步为目标。
3) 初步了解地球系统科学研究中的遥感和地理信息系统技术，学会常用遥感图像处理软件的基本操作，能够初步运用地理信息系统技术进行空间数据的基本分析。
（三）课程教学方法与手段课程的主要教学方法包括课堂讲授与自学讨论。
课堂讲授部分全部使用多媒体技术授课。
（四）课程和其它课程的联系本课程的先修课程包括自然地理学、地理信息系统、遥感概论，并要求学生具有一定的数学基础。
（五）教材与教学参考书教材：毕思文，地球系统科学导论，科学出版社，2004年第一版。
《分析力学(上、下卷)》评介
《分析力学(上、下卷)》评介陈立群【摘要】评介梅凤翔编著《分析力学(上、下卷)》.概览了该书两卷共25章的主要内容.分析了该书的突出特点,基本内容部分是教材专著化,提高部分内容是专著教材化.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2015(037)004【总页数】2页(P563-564)【关键词】分析力学;教材;书评【作者】陈立群【作者单位】上海大学力学系,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O316分析力学既是动力学与控制学科的研究领域，也是力学、数学、物理学、机械、航天、航空等专业本科生和研究生的课程.梅凤翔教授新著《分析力学（上、下卷）》［1-2］在贯通基础课程和研究前沿方面做了成功的尝试，既对分析力学的基础知识做了准确清晰的阐述，又对分析力学的研究进展做了简明扼要的综述.该书作者梅凤翔教授长期从事分析力学研究，在非完整系统动力学、伯克霍夫系统动力学、对称性和守恒量等多个方面都取得了有国际影响的研究成果.同时，他也注重分析力学的教学，已出版多部分析力学的教材和专著［2-15］，并在《力学与实践》上发表系列教学文章“分析力学札记”.更难能可贵的是，作者近年钻研达朗贝尔、拉格朗日、阿佩尔等分析力学大师的经典著作，“对分析力学的起源与发展有了进一步的认识”［1］.因此该书也反映了作者阅读这些经典著作的心得体会.《分析力学（上卷）》是分析力学的基础部分，共13章.前4章是分析力学的基本概念，包括约束及其分类、广义坐标与准坐标、虚位移与自由度、理想约束.第5章是分析静力学，虚位移原理.第6章为运动学基础.第7章是达朗贝尔--拉格朗日原理.第8至11章为拉格朗日力学，包括拉格朗日方程的理论推广（事件空间表述、可控系统、机电系统、变质量系统、受冲击系统）、具体应用（稳定性和小振动、刚体定点转动、非惯性系中运动）和其他专题（准坐标表示、耗散函数引入、幂级数求解和逆问题）.最后2章是哈密尔顿力学，包括哈密尔顿方程及其积分.《分析力学（下卷）》是分析力学的提高部分，共12章.第14章和第15章分别是非完整系统和伯克霍夫系统.随后7章均叙述积分方法.第16至18章为传统的解析积分方法，具体分别为场积分方法、势积分方法和雅可比最终乘子法.第19至22章为对称性方法，具体为诺特对称性、李对称性、形式不变性、拉格朗日对称性与伯克霍夫对称性.第23章为力学系统与梯度系统.第24章为动力学逆问题.第25章为力学变分原理.该书基础部分的突出特点是教材专著化，在基础性教材中有研究性的内容.该书有不少内容未见于国内外教材.例如，广义坐标概念的产生（文献［1］第12页），虚位移概念的发展（文献［1］24页），理想约束概念的形成（文献［1］344页）等，都在理解大师原著的基础上给出了翔实可信的描述.对于有争议有分歧的内容，作者也博采众家之长，给出了全面的说明.例如，虚位移原理的表述及其证明（文献［1］39-44页），达朗贝尔原理的诠释（文献［1］102-105页），哈密尔顿正则方程的推导（文献［1］256-261页）等.这些都有助于促使读者深入思考.该书提高部分堪称专著教材化，是总结研究进展引领读者直达研究前沿专著，又具有教材的可读性.作者以提纲挈领的方式把分析力学的若干前沿性课题解释得脉络明确.对于有争议的问题也作了清晰的说明，如微分运算与变分运算的交换性（文献［2］102-105页）.多数章节的内容取材于作者及其合作者的研究论文，特别是形式不变性是作者提出的具有原创性的概念，被一些同行称为梅对称性.部分内容是作者的最新研究成果.例如，雅可比最终乘子法对广义哈密尔顿系统和伯克霍夫系统的推广（文献［2］427-438页），几类力学系统化为梯度系统（文献［2］564-581页）等.与基础部分一样，提高部分各章也有例题、思考题和习题，对帮助读者透彻理解大有裨益.【相关文献】1梅凤翔.分析力学（上卷）.北京：北京理工大学出版社，20122梅凤翔.分析力学（下卷）.北京：北京理工大学出版社，20123梅凤翔.非完整系统力学基础.北京：北京工业学院出版社，19854梅凤翔，刘桂林.分析力学.西安：西安交通大学出版社，19875梅凤翔.非完整动力学研究.北京：北京工业学院出版社，19876梅凤翔.分析力学专题.北京：北京工业学院出版社，19887杨来伍，梅凤翔.变质量系统力学.北京：北京理工大学出版社，19898梅凤翔，刘端，罗勇.高等分析力学.北京：北京理工大学出版社，19919梅凤翔，史昌荣，张永发等.BIRKHOFF系统动力学.北京：北京理工大学出版社，199610梅凤翔，史昌荣，张永发等.约束力学系统的运动稳定性.北京：北京理工大学出版社，199711赵跃宇，梅凤翔.力学系统的对称性与不变量.北京：科学出版社，199912梅凤翔.李群和李代数对约束力学系统的应用.北京：科学出版社，199913梅凤翔.约束力学系统的对称性和守恒量.北京：北京理工大学出版社，200414梅凤翔.动力学逆问题.北京：国防工业出版社，200915梅凤翔，吴惠彬.微分方程的分析力学方法.北京：科学出版社，2012。
10变质量系统动力学解析
推导变质量系统动量定理的思路 与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难是什么？ 研究对象(质系)也随时间变化！ 设 S t 是变质量系统，S t 是常质量系统。
在 t t , S t St * b, c, d , e
* *
* * P t P t 的动量
P P* P 1 P 2
对系统 Q 用动量定理:
e
*
dP * Re dt
R 是t t * 时刻作用在 Q* 上的外力主向量。
d d * P P F1 F2 R e F dt dt
P1 F1 lim , t
P2 F2 lim t
M M 0 M1 M 2
dM 1 dM 2 dM dt dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1 v u2 v dt dt dt
记
uir ui v (相对速度)， 则
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
在
t * t 时刻系统 S
与系统 S 的动量之间关系为
P t * t P t * t P1 P2
即:
P t * P P t * P P1 P2
P P P1 P2
两边同时除以 t ，取极限后可得:
F 称为反推力。
如何借助牛顿第三定律 理解反推力？
变质量系统动量矩定理
设O为惯性空间不动点或质心，同上可推出：
dLO e e M O M1 M 2 M O M dt
LO1 M1 lim , t
LO 2 M 2 lim t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F 称为反推力。
如何借助牛顿第三定律 理解反推力？
变质量系统动量矩定理
设O为惯性空间不动点或质心，同上可推出：
dLO e e M O M1 M 2 M O M dt
LO1 M1 lim , t
LO 2 M 2 lim t
M 称为反推力矩。
变质量质点的运动
推导变质量系统动量定理的思路 与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难是什么？ 研究对象(质系)也随时间变化！ 设 S t 是变质量系统，S t 是常质量系统。
在 t t , S t St * b, c, d , e
* *
* * P t P t 的动量
第10章 变质量系统动力学
2014年3月13日
变质量系统动量(矩)定理
变质量系统：质量随时间连续变化的质点系。
例：雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小，由于水
汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由于溶解而质量
变小，也会由于下雪而质量变大。(自然界的变质
量系统) 又如火箭、电梯、洒水车等(工程中的变质量系统)
P P* P 1 P 2
对系统 Q 用动量定理:
e
*
dP * Re dt
R 是t t * 时刻作用在 Q* 上的外力主向量。
d d * P P F1 F2 R e F dt dt
P1 F1 lim , t
P2 F2 lim t
模型假设：设质点系的质量 M(t) 在 t=0 时为 M 0 在任意时刻为
M t M 0 M1 t M 2 t
M1 t ——从零时刻到 t 时刻离开系统的质量， M 2 t ——从零时刻到 t 时刻进入系统的质量，
M1, M 2 是时间的非负、非递减、连续可微函数。
dM 1 F1 u1 , dt
*
dM 2 F2 u2 dt
M 1 是从 t 0 到 t 时刻离开Q的质量之和， M 2 是从 t 0 到 t * 时刻并入Q的质量之和。
而 P M (t )v ，v 为质点Q的绝对速度。
dM 1 dM 2 dM dv vM R u1 u2 dt dt dt dt
提高火箭特征速度的途径
煤油+液氧 (苏联“卫星号”芯级) ur = 3000 m/s 偏二甲肼+红烟硝酸 (长征一号 一.二级) ur = 2500 m/s 偏二甲肼+四氧化二氮 (长征三号 一.二级) ur = 2900 m/s 液氢+液氧 (长征三号 三级) ur = 4300 m/s
提高喷射速度ur，需研制新型推进剂
dv dM M R u2 r dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
3)若 M 2 0 且 u1 0
d ，则 Mv R dt
即当没有并入，只有分离质量，并且其绝对速度为 零时，质系动量对时间导数等于外力。 注意：这个结论对一般变质量系统不成立。 4)若 M 2 0 且 u1r 0 ，则
Q(t * )
经过时间 t 后，S内质系 Q的动量变化为 P * P 而 在 t t *时刻在S内的 Q* 的 动量变为 P * P *
S
Q(t * )
Q1
S
Q2
Q(t)
显然：P* P P* P* P1 P2 P1 是 t 内离开S的部分质量 Q1 的动量。 P2 是 t 内进入S的部分质量 Q2 的动量。
R e t *
变质量系统的推导 设S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动(包括变形) 中有质点并入或离开S围成的区域，这是变质量系统。 记Q为任意时刻S内质点构成的质系，其动量为 P
* * 在某时刻 t t *, S内的质点构成的系为 Q(t ) Q , 动量为 P(t* ) P* 。 S
dP dt
t t *
dP dt
t t *
P1 P2 lim t t t 0
dP
t t
*
对常质量系统 S 用动量定理： dt
P1 P2 * (e) * P (t ) R (t ) lim t t t 0
Mf2 第二级 v2 v1 ur ln 1 M gt2 s2
Mf3 第三级 v3 v2 ur ln 1 M gt3 s3
ห้องสมุดไป่ตู้
设
M fi M si
6
，则
v3 5ur
dv M R dt
即当没有并入，只有分离质量，并且相对速度为零 时，质系动量定理的形式与常系统相同。
例1 火箭的运动
设火箭在太空中运动，不受任何外力作用 R 0
dv dM M ur dt dt
其中 ur 是燃料向后喷射的相对速度，设v 与 ur 共线，取公共作用线为Ox轴，则
dv dM M ur dt dt
在
t * t 时刻系统 S
与系统 S 的动量之间关系为
P t * t P t * t P1 P2
即:
P t * P P t * P P1 P2
P P P1 P2
两边同时除以 t ，取极限后可得:
提高质量比，需使用新材料及新结构
铝合金、镁合金、钛合金、高分子材料、复合材料 薄壳结构、薄壁结构、蜂窝夹层结构、杆系结构： M0/M 9 ，鸡蛋而言，M0/M = 7
按目前的技术水平，考虑空气阻力、重力影响， 实际到达速度小于第一宇宙速度。目前都用多级 火箭入轨。
多极火箭
M f1 第一级 v1 v0 ur ln 1 M gt1 s1
M M 0 M1 M 2
dM 1 dM 2 dM dt dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1 v u2 v dt dt dt
记
uir ui v (相对速度)， 则
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
dM 1 dM 2 dv R u1r u2 r 讨论 M dt dt dt
1)若 M 2 0 ，即只有分离质量，没有并入质量，则
dM 1 dM dt dt
dv dM M R u1r dt dt
2)若 M 1 0，即只有并入质量，没有分离质量，则
dM dM 2 dt dt
P
x
v
o
ur
若 ur const ，则
M0 v v0 ur ln M t , M 0 M 0
当燃料燃完时 t T ，火箭速度为
Mf vT v0 ur ln 1 M s
f: fuel
s : shell structure M0 M f M s
t t * t : S t * t a, b, c
S t * t S t * b, c, d , e
的动量P t * P P t * t
的动量P t * P P t * t
记变质量质点(质点是一种模型，不一定是几何
点)为Q。设 u1 是 t t * 时刻离开Q的部分质量的 绝对速度， u2 是 t t * 时刻并入Q的部分质量的 绝对速度。则
P 1 M1u 1,
M 1 是 t 内离开Q的质量 M 2 是t 内并入Q的质量
P2 M 2u2