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专题3.4 函数的应用(解析版)
专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。
高二数学(文)期末复习微专题函数
(1) 求 f ( x) 在[0,1]内的值域； (2) c为何值时，不等式 a2xbxc0在[1,4]上恒
成立？
函数性质综合运用
15.已知定义域为R的函数 （a,ba 2x1 b
(1) 当a=b=1时，证明： f ( x) 不是奇函数；
(2) 设 f ( x)是奇函数，求 a 与 b 的值；
2 1lg a
的取值范围为
.
8.若关于x的方程 a2x(11)ax10(a0,a1 ) m
有解，则m的范围为
.
复合函数
9.已知函数 f(x ) lo a (x 3 g a)(a x 0 ,a 1 ) ，如果
函数 f ( x)在区间 1 ,0 内单调递增，则实数a的
范围为
. 2
函数性质综合应用
(1)
证明函数
y
f
ax a (x)的图象关于点
1
,
1
对称；
2 2
(2) 求 f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 的值.
含有参数的二次函数
13. 设函数 f(x ) 3 a 2 x 2 (a c )x c (a c 0 )
三个零点，则 a 的取值范围是
.
含有参数的函数性质讨论
11.已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数a,b满足 ab0.
(1) 若ab>0，判断函数f ( x) 的单调性；
(2) 若ab<0，求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围.
变式：19.已知函数 f(x)x3a2x b (a ,b R )
(3) 当 f ( x)是奇函数时，证明：对任何实数 x , c
微专题：三角函数题型归纳：4凑角.docx
有型有法--掌握题型，掌握方法，掌握套路考向四凑角凑角不是臭脚cos(— 一 ° tan (0 + 耳【例4] (1)当。
£(0,兀)时，若 16丿5,贝ij I6丿的值为(TT\ 3 (n 5n\a ——=-a 6 I ——4/ 5,(2 4 丿，贝0皿= 。
sirrah s 吨询亠吧 °Q(3)已知5 ,10,化"均为锐角，则角”等于(5). &为第三象限角，叫贝回―=【套路】L 三角函数式的化简要遵循"三看”原则(1) 一看"角"，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 而看"函数名称"看函数名称Z 间的差异，从而确定使用公式，常见的有"切化眩"； (3) 三看"结构特征"，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如"遇到分式通分"等.2 •凑角基本思路看倍数:看a 前的系数是否为2倍数关系，如果是，提出2,后进行下一步，如果否也进行下一步。
加减法:将两角进行相加或相减得出特殊角，如果是90度的倍数运用诱导公式，否则运用两角和差。
代入算：要求的角用特殊角与已知角拼凑求解(4). 71、 JT 71若03＜「＜0＜°叫+纠1 ' —.COS3兰-0L 晅，则心”3I(4 2丿【变式】5TT 3 ncos" ( -- 0)=——tan H(0 + —)1.当0€(0皿)时，若’ 65,贝『6的值为2.sin己知(2TCcos[ -- 2ct133.si皆已知锐角°满足\2 6,4.cos5，则5.sin若sinla + —I 615,则sin^la ——6. 己知sin a + —62^5 \71贝ijcos --- a(37.已知sin ----- a若cos(Ji、则cos 2a =1310.若sin (714 …/ 、------- X=—,则sin -- F 2x「6丿5（6丿的值为参考答案5n , n 5TT/57T\ 3-- Os ( —, ,—cos] 01 =—二V 0 【例4】(1)因为化(。
微专题：三角函数题型归纳：3齐次与三兄弟.docx
有型有法…■掌握题型，掌握方法，掌握套路 考向三齐次与三兄弟 sina + cosa【例3】（1）已知tana = 2^贝^sina-3cosa 的值为一 sin 2a + cos 2cr =（2）已知直线3x-y+l = 0的倾斜角为①则2『【套路】! 1.齐次问题：看齐次找分式，非分式请找1,分子分母同除哦。
（1二si/a+cos 力丿；已知tana=m 的条件下，求解关于sina cosa 的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于I I ；sina cosa 的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.②因为cosa^O,所以可以用cosM^e M ）I I ! 除之，这样可以将被求式化为关于tana 的表示式，可整体代入tana=m 的值，从而完成被求式的 I II 求值运算.③注意l = sin 2cr+cos 2a 的运用.\ 2•三兄弟问题：看至U 加减先平方，平方后可见1+sinacosa【强化练习】aG C tan-= 1.若aG(Ojr),且^3sina + 2cosa = 2^ 贝|J2 o 43 sinO 一 cosO = - 0 G (-") 2..若 3,且4 ,贝gsi?tO-0)-cos (7r-O) = __________5.已知a 为第二象限角，且 sina + cosa=—,贝ij s\na - cosa = ______________(3). 若 aw(Ojr),sin (兀-a) + cosa = 则sina - cosa 的值为cos 3-己知 tanla^ 4.若 I 4 =一 3 ，则 cos2a + 2sin2a = cos2a J2sin\a-—\ (4)已知 V 4丿 1tana + 贝 tana 4 5,贝ijsm2a =6. 已知tan ( \ 兀4»Tf.1 •0/ 、-- a=—则sin--- FU丿3<4 )O【来源】a a a a sin —工 0 2J3cos — = 4sin- tan —=—— ,所以2 所以原式可化为 2 2,即2 216 7 一 2sin0cos0 =——< 09,于是 9 3 ___________由于& W (4"，"), sin (7i - - cos (7i - 0) = sinO + cosO =- ^(sinO + cosO)2 =-、/l + 2sin0cos0 32 1 + Isinacosa =—— 5 ,之后将其平方，求得25, c 32 7 1 + 2sinacosa =—— sin2a =—— 25,所以 25n tana + 1 n sin(— + 0) + 3cos(n - 0) = sin( - 0) 7.已知 2 ,贝^inOcosO + sin2a = sirua - —|cos(zr + a) 8若口为第一象限角，且 I 2丿 ,则a 1 tan —= 一 9.若 2 2,贝^cos2a + sin2a = o COS20的值为TV 2a —— 4 的值为 参考答案 sina + COSE【例3】(1) sina-3cos£变形为: tana + 1 = —=-3. tana - 3 - 11 .2 sinacosa + cos a tana +1 4 2 —sin2a + cos a = ------ --------- --- = ---------- —=—=-(2)由题设有tana = 3, 2 cos 2a + sir^a 1 + tan 1 a 1。
微专题——函数
函数一、知识梳理1.平面直角坐标系（1）各象限内点的坐标的特征：点P(x,y)；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)；点P(x,y)在第四象限；（2）坐标轴上点的坐标的特征：点P(x,y)在x 轴上；点P(x,y)在y 轴上；原点的坐标为；（3）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上；（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的各点的相同；位于平行于y轴的直线上的各点的相同；（5）点与坐标轴之间的距离：点M(a，b)到x轴的距离为，到y轴的距离为；（6）点与点之间的距离：①点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为，点M1(x1，y)，M2(x2，y)之间的距离为；②点M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为，点M1(x，y1)，M2(x，y2)之间的距离为；（7）点P(a，b)的对称点坐标：关于x轴对称的点P1的坐标为，关于y轴对称的点P2的坐标为，关于原点对称的点P3的坐标为；（8）点在平面内的移动规律：①点M(a，b)沿x轴正方向平移n个单位长度得到M1()，点M沿x轴负方向平移n个单位长度得到M2( )；②点M(a，b)沿y轴正方向平移n个单位长度得到M1()，点M沿y轴负方向平移n个单位长度得到M2()；2.函数（1）在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做，数值发生变化的量叫做；（2）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是，，y是x的；（3）确定函数自变量的取值范围一般原则为：整式为；分式的分母；开偶次方的被开方数为；二、巩固训练1．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是；2．在平面直角坐标系中，点p（-3，m²+1）关于原点的对称点在第象限．的取值范围是．5．平面直角坐标系中点A（1,2）与B（-4，2）之间的距离是，点C（3,5）到原点的距离是，点M（-2,3）与N（0，-1）之间的距离是．6．在平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数有()A．5个B．6个C．7个D．8个7．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值)3（ug/my随时间()t h的变化如图所示，设2y表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则2y与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．一次函数一、知识梳理1．一次函数（1）定义：一般来说，形如的函数叫做一次函数.特别地，当b＝0时，称为；（2）一次函数的图象：k<0b>0经过第象限y随x的增大而b<0经过第象限y随x的增大而b＝0经过第象限y随x的增大而（3）性质：①必过点：（0，）和（，0）；②倾斜度：k越大，图像越接近轴；k越小，图像越接近轴；k，b符号图象经过象限y随x的变化情况k>0b>0经过第象限y随x的增大而b<0经过第象限y随x的增大而b＝0经过第象限y随x的增大而③图像的平移：直线y ＝kx ＋b （b >0）可以看成是将直线y ＝kx 平移 个单位长度得到. 2．用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： (1)设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)或y ＝kx (k ≠0)； (2)代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； (3)解：求出k 与b 的值，得到函数表达式；二、巩固训练 （第2题图） 1．一次函数 y ＝2x ＋1 的图象与 y 轴的交点坐标为 ，与 x 轴的交点坐标为 ． 2．如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A (2,1)．当x <2时，y 1________y 2．(填“>”或“<”)3．函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A (m,3)，则根据图象可得关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，ax －y ＋4＝0的解是____________． 4．一次函数y ＝kx －1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为( ) A ．(－5,3) B ．(1，－3) C ．(2,2) D ．(5，－1)5．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(－6,0)C ．⎝⎛⎭⎫－32，0D ．⎝⎛⎭⎫－52，0 6．若直线l 1经过点（0，4），l 2经过点（3，2），且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为（ ） A ．（-2，0） B ． （2，0） C ． （-6，0） D ．（6，0）7．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y 元，选择这两种卡消费时，y 与x 的函数关系如图所示，解答下列问题(1)分别求出选择这两种卡消费时，y 关于x 的函数表达式； (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算。
微专题18 函数的应用(解析版)
微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1、一次函数模型：y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）2、二次函数模型：2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）3、指数函数模型：x y ba c =+（,,a b c 为常数，0b ≠，0a >且1a ≠）4、对数函数模型：log a y m x n =+（,,m a n 为常数，0m ≠，0a >且1a ≠）5、幂函数模型：n y ax b =+（,a b 为常数，0a ≠）6、分段函数模型：,,ax b x my cx d x m+<⎧=⎨+≥⎩知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）⇒数学问题（数量关系与函数模型）⇒建模（数学语言）⇒求模（求解数学问题）⇒反馈（还原成实际问题的解答）．【题型归纳目录】题型一：几类不同增长的函数模型题型二：二次函数模型题型三：分段函数模型题型四：分式型函数模型题型五：对数函数模型题型六：幂函数模型题型七：利用给定函数模型解决实际问题【典型例题】题型一：几类不同增长的函数模型例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本(Q 单位：元/100kg)与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t 50120150种植成本Q26005002600由表知，体现Q 与t 数据关系的最佳函数模型是（）A ．Q at b =+B ．2Q at bt c =++C ．Q at =D ．log b Q a t=【答案】B【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A ，C ，D 对应的函数，在0a ≠时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B ，故选：B ．例2．（2022·全国·高一课时练习）已知三个变量1y ，2y ，3y 随变量x 的变化数据如下表：x12468 (1)y 241664256...2y 14163664 (3)y 0122.5853…则反映1y ，2y ，3y 随x 变化情况拟合较好的一组函数模型是（）A ．21y x =，22x y =，32log y x =B ．12xy =，22y x =，32log y x=C ．12log y x =，22y x =，32x y =D ．12x y =，22log y x =，23y x=【答案】B【解析】从题表可以看出，三个变量1y ，2y ，3y 都随x 的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长呈指数函数型变化，变量2y 的增长呈幂函数型变化，变量3y 的增长呈对数函数型变化．此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.例3．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，当x 很大时，y 随x 的增大而增大速度最快的是（）A ．1e 100xy =B ．100ln y x =C ．100y x =D ．1002xy =⋅【答案】A【解析】由题意，当x 很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，又e 2>，所以当x 很大时，y 随x 的增大而增大速度最快的是1e 100xy =.故选：A变式1．（2022·全国·高一课时练习）下面对函数12()log f x x =，1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x 与12()h x x -=在区间()0,∞+上的衰减情况的叙述正确的是（）A ．()f x 的衰减速度逐渐变慢，()g x 的衰减速度逐渐变快，()h x 的衰减速度逐渐变慢B ．()f x 的衰减速度逐渐变快，()g x 的衰减速度逐渐变慢，()h x 的衰减速度逐渐变快C ．()f x 的衰减速度逐渐变慢，()g x 的衰减速度逐渐变慢，()h x 的衰减速度逐渐变慢D ．()f x 的衰减速度逐渐变快，()g x 的衰减速度逐渐变快，()h x 的衰减速度逐渐变快【答案】C【解析】由函数12()log f x x =，1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x 与12()h x x -=在区间()0,∞+上的图象以及性质知函数()f x ，()g x ，()h x 的衰减速度均逐渐变慢，故选:C ．变式2．（2022·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x－2－10123y0.240.5112.023.988.02则x ，y 的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中a ，b 为待定系数）（）A ．y a bx=+B ．xy b =C ．2y ax b=+D ．by x=【答案】B【解析】根据题表中的数据描点如图所示．∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立；∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立；∵0x =时，bx无意义，∴D 不成立；对于B ，当0x =时，1y =，当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各数据比较接近.故选：B.题型二：二次函数模型例4．（2022·上海市莘庄中学高一阶段练习）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离()m s 与汽车的车速()km/h v 满足下列关系：2100400nv vs =+（n 为常数，且N n ∈），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中12681417s s <<⎧⎨<<⎩．(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6m ，则行驶的最大速度是多少？【解析】（1）观察图象知，1227494,5104n n s s =+=+，而12681417s s <<⎧⎨<<⎩，即264857491417104n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得95514n <<，因N n ∈，于是得6n =，所以n 的值为6.（2）由（1）知，2350400v v s =+，当12.6s ≤时，2312.650400v v +≤，整理得：(84)(60)0v v +-≤，解得8460v -≤≤，显然0v >，因此060v <≤，即max 60v =，所以行驶的最大速度是60km/h .例5．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为()21400,0400280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的产量（单位：台）(1)将利润()f x （单位：元）表示为产量x 的函数（利润＝总收益－总成本）；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）依题意，总成本为20000100x +，当0400x ≤≤时，()2210020000300200114002200f x x x x x x --=--=+-，当400x >时，()800001002000060000100f x x x =--=-，综上所述()2130020000,0400260000100,400x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其中x N ∈；（2）当0400x ≤≤时，()()2211300200003002500022f x x x x =-+-=--+，当300x =时，()max 25000f x =；当400x >时，()60000100f x x =-是单调递减函数，()()600001004002000025000f x x f ∴=-<=<，∴当300x =时，()max 25000f x =.答：当产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.例6．（2022·江苏·常熟中学高一阶段练习）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD 、CD 分别靠现有墙DM 、DN （墙DM 长为27米，墙DN 足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角CED △和长方形ADEB 两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设AB 长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；(2)当AB 多长时，游乐场的面积为320平方米？【解析】（1）212CDESx =，因为AB 长为x 米，所以DE CE x ==米，因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门,所以()()5422254342603BE x x x x =---+=-++=-米，由DM 长为27米，墙DN 足够长，可知0060327x x >⎧⎨<-≤⎩，解得：1120x ≤<，所以长方形ADEB 的面积为()2603360BE AB x x x x ⋅=-=-+，所以222153606022y x x x x x =-+=-+，1120x ≤<；（2）令320y =平方米，即25603202x x -+=，解得：16x =或8，因为1120x ≤≤，所以16x =，所以当AB 长为16米时，游乐场的面积为320平方米.变式3．（2022·广东汕头·高一期末）为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．(1)求函数()y f x =；(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】（1）当5x ≤时，60120y x =-，令601200x ->，解得2x >，*N x ∈，3x ∴≥，35x ∴≤≤，*N x ∈，当5x >时，2[602(5)]120270120y x x x x =---=-+-，令22701200x x -+->，其整数解为：233x ≤≤，*N x ∈，所以533x <≤，*N x ∈，所以*2*60120,35,N 270120,533,Nx x x y x x x x ⎧-≤≤∈=⎨-+-<≤∈⎩（2）对于*60120,35,N y x x x =-≤≤∈，显然当5x =时，max 180y =元，对于2*270120,533,N y x x x x =-+-<≤∈，因为22(17.5)492.5y x =--+，所以当17x =或18时，max 492y =元，492180>，∴当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.题型三：分段函数模型例7．（2022·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产x 千件装备，需另投入资金()R x （万元）.经计算与市场评估得()22,080301275010000,80x ax x R x x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金()102100R =万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.(1)写出2022年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）由题意知，当10x =时，()21010102100R a =+=，所以200a =，当080x ≤<时，()2230020010001001000W x x x x x =-+-=-+-；当80150x ≤≤时，2230127501000027501000030010001000x x x x W x x x-+-+-=--=-，所以221001000,0802750100001000,80150x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+--≤≤⎪⎩；（2）当080x ≤<时，函数W 在[)0,50上是增函数，在[)50,80上是减函数，所以当50x =时，W 有最大值，最大值为1500；当80150x ≤≤时，由基本不等式，得10000175017501550W x x ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=时取等号，所以当100x =时，W 有最大值，最大值为1550；因为15001550<，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.例8．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()21400,0400280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（其中x 是仪器的月产量）．(1)将利润y 表示为月产量x 的函数()f x ；(2)当月产量x 为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？【解析】（1）设每月产量为x 台，则总成本为20000100x +，从而2130020000(0400)()260000100(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，（2）设平均每件产品的月利润为()g x ，则110000300(),04002()60000100,400x x xg x x x⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，当[]0,400x ∈时，设任意的120400x x ≤<≤，则()()()1212212121121000011000010000122x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然当12100x x <≤时，()()120g x g x -<，当21100x x >≥时，()()120g x g x ->，所以，函数()g x 在区间[]0,100上单调递增，在区间[]100,400上单调递减，当100x =时，()g x 取得最大值为200元；当400x >时，()()40050g g x <=，∵50200<，所以当100x =时，平均每件产品所获利润最大为200元．例9．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】（1）10000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+，综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩.（2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时，()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，10000()61006100900W x x x =--+≤-=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.变式4．（2022·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x （010x <<，且x ∈Z ）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.(1)求x 的值；(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.【解析】（1）由题意得()5180%36x -⨯=，解得=6x .（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a ，b ，c ，d ，且,,,a b c d +∈N .由题意得2+1+1+13>+1a b b c c d d a ≥≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得()()3222122421426d b c c d d ≥+≥++=+≥++=+，得6d ≥，所以7c ≥，8b ≥，17a ≥.当乙、丙购买的文具总数最少时，17a =，=8b ，7c =，6d =.未选择优惠活动之前，文具总价格为172810714625362⨯+⨯+⨯+⨯=元.方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动①，可以优惠35042850⨯=元.方案2，乙，丙一起购买，选择优惠活动②，可以优惠6636⨯=元.方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动②的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动②，另一个人购买11支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动①.因为1122101456⨯+⨯+=，所以可以优惠66440⨯+=元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为36240322-=元.故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.题型四：分式型函数模型例10．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）甲乙两地相距5000km ，汽车从甲地以()km /h 60120v v ≤≤的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为a 元()0144a ≤≤，可变成本与速度v 的平方成正比，比例系数为k .已知当速度v 为60km /h 进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本y 元.(1)求全程运输成本y 关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【解析】（1）由题意可设每小时运输的可变成本为2b kv =，因为当速度v 为60km /h 进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，所以有3636000.01k k =⇒=，即20.01b v =，因此250005000(0.01)50ay a v v v v =+=+()60120v ≤≤；（2）因为500050ay v v =+在0v <<上单调递减，在120v <≤上单调递增，所以当60≥时，即当36144a ≤≤时，有500050a y v v =+≥=当且仅当500050av v=时取等号，即当v =时取等号，当60<时，即036a ≤<时，应以速度v 为60km /h 速度行驶，所以为使全程运输成本最小，当36144a ≤≤时，汽车应以/h 的速度行驶，当036a ≤<时，应以速度v 为60km /h 速度行驶.例11．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x 千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速60100x ≤≤（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电210800x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭千瓦时，轮胎磨损费为800x 元/千米，道路通行费为0.2元/千米．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当行车速度x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】（1）22403600933600310 1.52400.2240484880080020104x x x x xy x x x ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⨯=+++=++ ⎪⎝⎭()60100x ≤≤．（2）因为60100x ≤≤，360034x x +=≥所以48y +≥，所以行车费最低为（48）元．当360034xx =，即24800x =，[]60,100x =时取得．答：行车速度为x =/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（48+）元．例12．（2022·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m 宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为x (m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为y (2m).(1)写出y 与x 之间的关系式()=y f x ，并写出x 的取值范围∶(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长x 的取值范围.【解析】（1）根据题意，温室的室内长为()m x ，则宽为900(m)x ，所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：()()()9009007200331111822916f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=------=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由8>09002>0x x--⎧⎪⎨⎪⎩，可得()8,450x ∈；（2）由()72002916656f x x x =--+≥，可得213036000x x -+≤，解得4090x ≤≤，即室内长x 的取值范围为[]40,90(单位m).变式5．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A 企业国庆节期间加班追产提供[]()0,20x x ∈（万元）的专项补贴.A 企业在收到政府x （万元）补贴后，产量将增加到()2t x =+（万件）.同时A 企业生产t （万件）产品需要投入成本为7272t x t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（万元），并以每件406t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求A 企业国庆节期间加班追产所获收益()R x （万元）关于政府补贴x （万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业国庆节期间加班追产所获收益最大？【解析】（1）由题意，销售金额：()40406622t x t x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（万元），政府专项补贴：x（万元），成本：()7272727222t x x x t x ++=++++（万元）.所以收益()()()40726272222R x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+++-+++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦723822x x =--+，[]0,20x ∈.（2）由（1）可知()723822R x x x =--+()7242222x x =-+-+()7242222x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，[]0,20x ∈.其中()7222242x x ++≥=+，当且仅当()72222x x +=+，即=4x 时取等号，所以()()7242224224182R x x x ⎡⎤=-++≤-=⎢+⎣⎦，所以当=4x 时，A 企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元，即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元.题型五：对数函数模型例13．（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为喷流相对火箭的速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，0km m 被称为火箭的质量比．(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln 20.69≈）【解析】（1）由题意，2ω=，0160m =，40k m =，∴0160ln2ln 2ln 44ln 2 2.840k m v m ω==⨯==≈，∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．（2）∵010k m m ≤，2ω=，∴0ln 2ln10km v m ω=≤．∵7.97.97e 22128>>=，∴7.97.9ln e ln128ln1002ln10=>>=，即max 2ln107.9v =<．∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．例14．（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①()0y kx b k =+>，②()1.20xy k b k =⋅+>，③()2log 2015x y k n k ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.1.414≈，结果保留整数）【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当0k >时，匀速增长；对于模型二，当0k >时，先慢后快增长；对于模型三，当0k >时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选2log 215⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x y k n .第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到20log 43k n k n +=⎧⎨+=⎩，即023k n k n +=⎧⎨+=⎩，解得3,3k n ==-，即23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y .第四步：验证模型是否合适当90x =时，()23log 6236y =+-=，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y .（2）由23log 23 4.515⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭x y ，得5222log 2 2.5log 215⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭x ，得5222 5.65615+≥=x，得54.84≥x ，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.例15．（2022·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y （单位：万元）随年产值x （单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%.(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型()lg 5y f x x kx ==++（k 为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；(2)设0a >，若函数模型()158x ag x x -=+符合奖励原则，试求a 的取值范围.参考数据：lg20.3≈.【解析】(1)对于函数模型lg 5y x kx =++（k 为常数），当100x =时，9y =，代入模型解得150k =，所以1()lg 550f x x x =++，奖励原则为：①()f x 在区间[50,500]上递增；②7()0.15f x x ≤≤恒成立，当[50,500]x ∈时，模型是增函数，符合奖励原则①；当50x =时，(50)lg 5068lg 27.77f =+=-≈≥；0.150.15507.5(50)x f =⨯=<，所以，模型不符合奖励原则②，故该函数模型不符合奖励原则.(2)对于函数模型15()8x a g x x -=+，可得120()158ag x x +=-+，因为0a >，故函数()g x 在(8,)-+∞递增，则在[50,500]递增，符合奖励原则①；由奖励原则②得max ()(50)7g x g =≥，即12015758a+-≥，解得344a ≤；又由奖励原则②得()0.15g x x ≤，即150.158x ax x -≤+在[50,500]恒成立，即23276200x x a -+≥，2203276a x x ≥-+，设2()3276h x x x =-+，则抛物线()y h x =开口向下，对称轴为276466x ==，所以当[50,500]x ∈时，max ()(50)6300h x h ==，由206300a ≥得315a ≥，综上，315344a ≤≤.所以a 的取值范围是[315,344].变式6．（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中0v （单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ．参考数据：ln 230 5.4≈，0.51.648 1.649e <<．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？【解析】(1)当总质比为230时，2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯=，即A 型火箭的最大速度为10800m /s .(2)A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为20001.53000/m s ⨯=，总质比为3Mm ，由题意得：3000ln 2000ln 5003M M m m -≥0.50.5ln 0.5272727M M M e e m m m⇒≥⇒≥⇒≥因为0.51.648 1.649e <<，所以0.544.4962744.523e <<，即44.49644.523T <<，所以不小于T 的最小整数为45．变式7．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y （百万元）与年投资成本x （百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y x b =-+；②x y ab =（0,0a b ≠>，且1b ≠）；③log ()a y x b =+（0a >，且1a ≠）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【解析】（1）由表格中的数据可知，年利润y 是随着投资成本x 的递增而递增，而①y x b =-+是单调递减，所以不符合题意；将()3,1，()5,2代入x y ab =（0,0a b ≠>，且1b ≠），得3512ab ab ⎧=⎨=⎩，解得a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩3224x xy -==.当9x =时，93228y -==，不符合题意；将()3,1，()5,2代入log ()a y x b =+（0a >，且1a ≠），得1log (3)2log (5)a a b b =+⎧⎨=+⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，∴2log (1)y x =-.当9x =时，2log 83y ==；当17x =时，2log 164y ==.故可用③来描述x ，y 之间的关系.（2）由题知2log (1)6x -≥，解得65x ≥.∵年利润610%65<，∴该企业要考虑转型.题型六：幂函数模型例16．（2022·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y 与年份代码x （记2017年的年份代码为1x =，2018年年份代码为2x =，依此类推）有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a与(0)y q p =>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．1.41≈，1.73≈，lg 20.30≈，lg 30.48≈）【解析】（1）因为函数(0,1)=>>x y ka k a 中，y 随x 的增长而增长的速度越来越快，而函数(0)y q p =>，y 随x 的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选(0,1)=>>x y ka k a ；则有12200240ka ka ⎧=⎨=⎩，解得 1.25003a k =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴*5001.2,N 3x y x ⨯∈=；（2）设经过x 年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，则225005001.2 1.233x =⨯⨯⨯，即21.22x -=，∴21.2lg 2lg 20.32log 3.75lg1.22lg 2lg 310.08x -===≈=+-，∴6x ≈，故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．例17．（2022·广东珠海·高一期末）果园A 占地约3000亩，拟选用果树B 进行种植，在相同种植条件下，果树B 每亩最多可种植40棵，种植成本y （万元）与果树数量x （百棵）之间的关系如下表所示.x14916y14.47.811.2(1)根据以上表格中的数据判断：y ax b =+与y d =+哪一个更适合作为y 与x 的函数模型；(2)已知该果园的年利润z （万元）与,x y 的关系为20.1z y x =-，则果树数量x 为多少时年利润最大？【解析】(1)①若选择y ax b =+作为y 与x 的函数模型，将()()1,1,4,4.4的坐标分别带入，得14.44a b a b =+⎧⎨=+⎩解得1715,215a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1721515y x ∴=-此时，当9x =时，15110.0715y =≈，当16x =时，18y =，与表格中的7.8和11.2相差较大，所以y ax b =+不适合作为y 与x 的函数模型.②若选择y d =+作为y 与x 的函数模型，将()()1,1,4,4.4的坐标分别带入，得1,4.42c d c d =+⎧⎨=+⎩解得175,125c d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩125y ∴=此时，当9x =时，397.85y ==，当16x =时，5611.25y ==，刚好与表格中的7.8和11.2相符合，所以y d =+更适合作为y 与x 的函数模型.(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定x 的取值范围为[]0,1200，()122411,20.148551010y z y x x x =-=-=-=--+当时(0t t =≤≤，则()21684810z t t =--+经计算，当34t =时，()21684810z t t =--+取最大值110.8（万元），即，1156x =时（每亩约38棵），利润最大.例18．（2022·全国·高一专题练习）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润y （万元）与投资额x （万元）成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y （万元）与投资额x （万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【解析】（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题设1()f x k x =，()g x k =，由图可知f （1）14=，所以114k =，又g （4）52=，所以254k =，所以1()(0)4f x x x = ，()0)g x x ；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10)x -万元，设企业的利润为y 万元，1()(10)4y f x g x x =+-=(010)x ，t =，则221051565()444216t y t t -=+=--+，(0t ，所以当52t =时，6516max y =，此时251510() 3.7524x =-==，。
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微专题一一函数部分一、考试内容与要求二、样题示例设函数/(x) = lnx-o¥ , = e x - ax ,其中。
为实数.(1)若/(X)在(1,+8)上是减函数,且g(x)在(1,4-00)±有最小值,求Q的取值范围;(2)若g(兀)在(-1,+-)上是单调增函数，试求/(兀)的零点个数，并证明你的结论. 解：(1) G的取值范围为：a >e. 过程略。
(2) = 0 在(一1,+°°)上恒成立，则Q We",故：d wf .= --a = -——(x > 0).X X(「)若0VQW£ ,令f\x) >0 得增区I'可为(0, + )；令f\x) <0得减区间为(+ , + 8)・当X-*0 时，./U)f - °°；当兀〜+ 8 时，J(兀)f - OO ；当x=a时,用)=・喩一恃0,当且仅当a =£时取等号・故：当d三时，/W有1个零点；当0<。
<占时，.心)有2个零点.C v(ii)若。
=0,则/(兀)=-lnx,易得/W有1个零点.B|J ： f （x ） = \nx-cuc 在（0, +oo ）上是单调增函数，当0时，几¥）-*・8；当兀_> + 8时，几r ）-> + 8. 此时，7U ）有1个零点.综上所述：当a =占或aVO 时，/W 有1个零点；当0时，/W 有2个零点. v/ V 三、近几年真题1. （2011江苏2）函数/（尤）=1085（2兀+ 1）的单调增区间是 ______2. （2011江苏8）在平面直角坐标系兀°’屮，过坐标原点的一条直线与函数/ W- 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_4 ________2x + a,x<lf(x)=，函数 \-x-2a,x>l f 若 /(I 一 Q) = /(I + a),则a 的值为 _______a > 0,2 — 2ci + a = —1 — Q — CI ——2,不符合; a <0,-\ + a-2a = 2^-2a + a,a =——4■木题主要考查函数概念，函数与方程，函数模型及其应用，含参的分类讨论，中档题.4. （2011江苏12）在平面直角坐标系"6中，已知点P 是函数/⑴（兀>0）的图象 上的动点，该图象在P 处的切线'交y 轴于点M,过点P 作/的垂线交y 轴于点N,设线 段MN 的中点的纵坐标为t,贝91的最大值是 ___________________________【解析】设则/：『一沪=ep-如（0,（1-如0）,过点p 作伽垂线 y- e A° = -e~XQ（x _ x Q ）, r.N （0, e x<,+ x o e~v °）/ = * [(1 _ 兀比心 + 幺勺 + x Q e~XQ ] = e XQ+ g %(e ~x °3.（2011江苏11）己知实数 【解析】一沪）V 宀宀（7）,所以,在（°,1）上单调增，在（1,+°°）单调减，I1 / 1、•••如=Umax =£（« + _）2e■本题主要考查指数运算，指数函数图象、导数的概念，导数公式，导数的运算与几何意义、利用导5.（2011江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边反为60cm的正方形硕纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB ±是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm~ ）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.（自己解答后对答案）即x=20包装盒容积V （cm3）最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为亍解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题屮的应用，屮档题.6.（2011江苏19）已知a, b是实数，函数/⑴="+俶,g（x） = * +加，厂⑴和以⑴是的导函数，若fMg\x）＞0在区间I上恒成立，则称mo和g⑴在区间I上单调性一致.⑴设a>Q，若函数f （X ）和&（兀）在区间［7+°°）上单调性一致，求实数b 的取值范围;（2）设且若函数/（兀）和&（力在以a, b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a ・b|的最大值.属于难题，有兴趣的可以自己看答案。
解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、 线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行 探索分析和解决问题的综合能力.（1）屮档题；（2）难题.7. （2012年高考（江苏））设/（兀）是定义在R 上且周期为2的函数，在区|'可［-1,1］上,处 +1, — 1 W 兀 v 0,bx + 2 八” / 其中 ct ，beR •若 f x + 1【解析】・・・兀兀）是定义在R 上且周期为2的函数，A/（-l ） = /（1）,即_a +匸字①..（0, 76］9. （2012年江苏）如图，建立平而直角坐标系xoy,尤轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点•已知炮弹发射后的轨迹在方程y = kx-^（\ + k 2）x 2 （k > 0）表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. 炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】解：⑴在y"-箱（1 + /疋伙>o ）中,令尸0,得尬一占（1 +疋）宀0.由实际意义和题设条件知x>0, £ > 0 .丄 a + l= 2宁②.联乂①②，解得，ci=2. b= — 4 ・二 d + 3b= — 10.8. （2012年高考（江苏））函数f （x ） = 71-21og 6x 的定义域为 （1）求炮的最大射程;⑵设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行 高度为3. 2千米试问它的横坐标a 不超过多少时,•20R •• X= ----- 7=1 +疋20 20= < -10,当月•仅当时取等号. ”k 2・••炮的最大射程是10千米.⑵・・・G > 0 ,・・・炮弹可以击中目标等价于存在k > 0,使滋-占(1 +疋)/=3.2成立,即关于k的方程a % 一20加+ / + 64=0有正根.由A=(-20«)2 - 4a2 (护 + 64)X 0 得a S 6 .20a + J(-20ay - 4a2 (a2+64)此时，k= ---- 世——「 --------- -------- >0 (不考虑另_根).2a~・・・当a不超过6千米时，炮弹可以击屮目标.【解析】⑴求炮的最大射程即求尸尬-丄(1 +疋戾伙>o)与兀轴的横坐标,求出后20应用基本不等式求解.(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.10・已知a, b是实数，1和-1是函数f(x) = x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求°和b的值；(2)设函数g(x)的导函数/(x) = /(X)4-2,求g(x)的极值点；(3)设h(x) = f(f(x))-c,其中CG[-2, 2],求函数y = h(x)的零点个数.【答案及解析】•本小J■主SOStt的tK念、性质及另敷等知识•考査运算求解能力.运用敷老结合、分类讨论的思想方法分析与解决问尴的能力•満分16分・解：(1)由題设知/*(*)» 3J・2az・6.且/*(-!)» 3・2a・“O•厂(1)= 3・2"“0・解彳0a = 0. “-3・(2)由(】)知/^)"'-3丘因为/(*”2珂鼻-1)"“2),所以^(x)= 0的根为斗*“1 •巧“2.于楚丙数《(*)的极值点只可能建1或・2・当X-2 时.g (x)<0；当-2<x<l 时.g'(*)>0.故-2J^g(x)的极｛ft点. 当-2<«1或"1时./(*)>0・故I不ftg(x)的极值点.所以g")的极10点为(3)令/(x)=/.则h2f(X先讨论关于*的方程/(*)= d根的情况.旅[-2. 2]・当IJI=2时.由(2)可知./(x)=-2的两个不同的根为1和・2.注盘到/(x)M奇函数.所以/(x)=2的两个不同的根为和2・当Idlv2 时.因为/(-1)-</=/(2)-</=2-</>0,/( 1 )-d=/(-2)-d=-2-d<0. 所以-2. -1,1.2郷不是/(x)=</的根.由(1)知厂©)=3(珀1)(—1).①当XG(2. 2)时•厂⑴>0.于数.从而/(x)V(2)=2, 1 此时/(«) = </无实根同理• /(小d在(-x ,・2)上无实根.②当xc(1.2)BLr(x)>0,于慝心)媳单砒| 函数.X/(D-</<0./(2)-J>0,- d的图象不间斯•所以/(x) = J ft(l t2)内有唯一实根•同理,/(<)=</* (-2. -D内有唯一实根・③当xc(-l. l)B|./r(>)<0.故"唏于驚;忍U ・/h)Y<0 ・的图線不何新•所以心)呼乎内欝氓讥.1由上可知:当⑹・2时•/(*)■外两个不同的七計警：•当ldl<2时・/(*)・</材三个不同的III巧•儿•旳.足匕Id•―现考虑函效厂人(・)的零点•I. |，£ f(9\ .虫一缶⑴当⑹“时/g有两个眾匕丄呼叫：匕？急皿二个不同的根•/(小皿两个不同的吹故E窖狀耸豊3 4 S B(ii)当Iclv2时・/0)“有三个不同的根1；小,澹号.：'；,「• ，5-面心Ki・3 4 5)看三个不4】的根•故□'(*)有9个缭上可知•当lcl；2•时.西效y“(・)有5个年点；当1十2时.函数y“(.)有9\ 冬点. ...—*3C 上C3 6Ai K ■ ZW【点评】本题综合考查导数的定艾、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解.本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大.11. (2013年江苏卷)已知/(兀)是定义在/?上的奇函数.当兀>0时® f(x) = X2 - 4x,则的収值范围是___________ •【答案】(-¥，oj9 b13.【2014江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy .中，若曲线y = ax1-^-{a,b为常数)X过点P(2,—5),且该曲线在点P处的切线与直线7x + 2y + 3 = 0平行，贝Tb=・3 .14.已知.f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当XE[0,3)时，/(x)= r-2x+| .若函数y = f(x)-a在区间[-3,4] ±有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范圉是___________ .【答案】(0冷)15.(本小题满分16分)已知函数/(x) = c' +c-其屮e是自然对数的底数.(1) 证明：/(兀)是R 上的偶幣数;(2) 若关于兀的不等式nif(x) W e -4 + tn-1在(0, +x)上恒成立,求实数m 的取值范围; (3)已知正数a 满足：存在x 06 [1, + oo),使得f(x 0)<a(-x^ +3x 0)成立.试比较尹与 Qi 的大小，并证明你的结论.【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数 学思想方法分析与解决问题的能力.(1) V XG R, /(-%) = e-x +e J(=/(x), ：. f(x)是 R 上的偶函数 (2) 由题意，m(Q x+ e l ) e~A + m-1 ,即加(e" +-1) W e" -1V XG (0, + CO ), . \ e r +e-r -l>0 ,即 mWf 对 xw(0, + oc)恒成立 e l+ e * — 1令r = e r (/>l),则mW」一'对任意fw (1, + oo )恒成立V — t +l(3) fXx) = e'-e x,当兀>1时广(兀)>0, A f(x)在(1, +呵上单调增令 h(x) = a(-x 3+ 3x) , h '(x) = -3ox(x 一 1)Va>0,x>l,・••力 G)vO,即 〃(x)在 XG (1, + OO )± 单调减：•存在兀°w[l, + oo),/(x 0) < at-xj + 3x (1) , /. /(I) = e + |<2t7 ,即 +Tin 弓=In a^' - In e " = (e — 1) In a — a +1e设 tn{a) = (c 一 1)Ind — d +1 ,贝！J m\ci) = -1 = °一1一°, a > ±(c +丄)aa2 \ e/当 *(e + £) va ve-l 时，m\a) > 0 ,加(a)单调增； 当d>e-l 时，m\a) < 0 ,加(a)单调减1-r ________ /_[ t 2-t + \~ (t-\y +(r-l) + l当且仅当u2时等号成立・：mW因此加(a)至多有两个零点，而m(l) = m(e) = 0 ・••当a > e 时，m(a) < 0 , a"~' < e,,_1；当*(c + £)<dvc 日寸，m(a) < 0 , a c{> e a_1； 当 a = e 时，m(a) = 0 , a (~' = e,,，_,.16. _________________________________________ 不等式2宀* < 4的解集为_XG (-1,2) _____________________________________________数为 ____ 4 _________0,0 v 兀51,g(x) = < 2-x 2,1 < x < 2 x" - 6, x > 2-In x, 0 < ^ < 1,f(x) + g(x) = lnx-x 2 +2,1 <x<2 ,由于: lnx + x 2 -6,x> 2XG (0,1］时，f(x) + g(x)单调递减，且取值范围在［0,+oo),故在该区域有1根;xe(l,2］时, m ：) + g (兀)单调递减,且取值范围在［ln2-2,l),故该区域有1根; XG (2,+oo)时，y (x) + ^(x)单调递增，且取值范围在(ln2-2,+oo),故该区域有2 根。