古代数学中的一元一次方程
初一上数学真题专题练习---一元一次方程的应用(一)
一元一次方程的应用（一）【真题精选】1．《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设羊是x钱，可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（）A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．3．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（）A．13x＝12（x+10）+60B．12（x+10）＝13x+60C．D．4．一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早2h到达B地．若设A、B两地间的路程是xkm，可列方程（）A．B．C．70x﹣60x＝2D．5．用长为24cm的绳子围成一个封闭的长方形（绳子不重合），长方形的长是宽的两倍．设长方形的宽为xcm，根据题意可列方程为（）A．x•2x＝24B．x+2x＝24C．2（x+2）＝24D．2（x+2x）＝24 6．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（）A．70B．78C．161D．1057．已知下列四个应用题：①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？②甲乙两人从相距60km的两地同时出发，相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相遇后又相距20km？③甲乙两人从相距60km的两地相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，如果甲先走了20km后，乙再出发，问乙出发后几小时两人相遇？④甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中对应数量关系的应用题序号是（）A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②8．小王、小李和小张，同时各做120个同样的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了80个，照这样计算，小李做完时，小张还差个没做．9．一部书稿，甲打字员打完全书要20天，乙打字员用同样的时间只能完成书稿的，两人合打这部书稿要天完成．10．甲、乙两城相距750千米，一辆大客车从甲城开往乙城共用15小时，一辆小轿车从乙城开往甲城10小时可以到达．两车同时从两城出发相向而行，小时可以相遇．11．清代文言小说集《笑笑录》记载，清代诗人徐子云曾写过一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？设寺内有x名僧人，则列出一元一次方程为．12．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为．13．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，根据题意可列一元一次方程为．14．一件商品的标价是100元，进价是50元，打八折出售后这件商品的利润是元．15．《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”．《九章算术》大约成书于公元前200年～公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为．16．一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成．两人合作，天可以完成．17．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为40？如果能，求出这三个数；如果不能，请说明理由．18．列方程解应用题十一期间，张老师从北京出发走京津高速到天津．去时在京津高速上用了1.2小时，返回时在京津高速上比去时多用18分钟，返回时平均速度降低了22千米/小时．求张老师去时在京津高速上开车的平均速度．19．列方程解应用题：某学校组织初一年级学生参加公益劳动在甲处劳动的有16人，在乙处劳动的有12人，现在另调20人去甲乙两处支援，使得在甲处劳动的人数比在乙处劳动的人数的2倍少6人，问应调往甲、乙两处各多少人？20．一项工程，甲队单独施工需要15天完成，乙队单独施工需要9天完成．现在由甲队先工作3天，剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务？21．今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）22．某商场从厂家购进100个整理箱，按进价的1.5倍进行标价．当按标价卖出80个整理箱后，恰逢元旦，剩余的部分以标价的九折出售完毕，所得利润共1880元，求每个整理箱的进价．23．2020年9月的日历如图所示．（1）用1×3的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，用含x的式子表示这三个数的和为；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，用含y的式子表示这三个数的和为．（2）用一个2×2的正方形在此日历中框出4个数，被框住的4个数的和为84，则这四个数中最小的数为；（3）用一个3×3的正方形框在此日历中框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的和为a1，最后一行3个数的和为a2，若|a1﹣a2|＝15，请求出正方形框中位于最中心的数字m的值．24．甲班有45人，乙班有39人．现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加歌咏比赛．如果从甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛？25．列方程解应用题：2019年年底某高铁即将开通．以前小红回老家只能坐绿皮车，车速才60km/h，但某高铁开通之后，车速可以达到240km/h．这样就能早到4.5小时．请问提速后小红回老家需要多长时间？26．某商场进了一批豆浆机，按进价的180%标价，春节期间，为了能吸引消费者，打7折销售，此时每台豆浆机仍可获利52元，请问每台豆浆机的进价是多少元？27．列一元一次方程解应用题6月15日，新机场线一期工程正式开始试运行，轨道交通新机场线一期全长约42.75千米，全线从草桥站出发，途经磁各庄站，终到新机场北航站楼站，新机场线车辆首次采用基于城际平台的市域车型，全线行驶需20分钟（不含起始站和终点站停靠时间），若列车的平均时速为135千米，则列车在磁各庄站停靠的时间是多少分钟？28．整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？一元一次方程的应用（一）参考答案与试题解析一．试题（共28小题）1．《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设羊是x钱，可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】设羊是x钱，根据买羊的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设羊是x钱，根据题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（）A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1），故3（x+4）＝4（x+1）．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．3．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（）A．13x＝12（x+10）+60B．12（x+10）＝13x+60C．D．【分析】首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数＝原计划13小时生产的零件数+60，根据此等式列方程即可．【解答】解：设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件．根据等量关系列方程得：12（x+10）＝13x+60．故选：B．【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．4．一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早2h到达B地．若设A、B两地间的路程是xkm，可列方程（）A．B．C．70x﹣60x＝2D．【分析】首先根据题意，设A、B两地间的路程是xkm，然后根据：卡车行驶时间﹣客车行驶时间＝2，列出方程即可．【解答】解：设A、B两地间的路程是xkm，可得：，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答此题的关键是：审题找出题中的未知量和所有的已知量，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．5．用长为24cm的绳子围成一个封闭的长方形（绳子不重合），长方形的长是宽的两倍．设长方形的宽为xcm，根据题意可列方程为（）A．x•2x＝24B．x+2x＝24C．2（x+2）＝24D．2（x+2x）＝24【分析】根据题意用x的代数式表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，则可列方程：2（x+2x）＝24，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用矩形周长公式得出方程是解题关键．6．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（）A．70B．78C．161D．105【分析】设“U”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣15，x﹣8，x﹣1，x+1，x﹣6，x﹣13，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．【解答】解：设“U”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣15，x﹣8，x﹣1，x+1，x﹣6，x﹣13，这7个数之和为：x﹣15+x﹣8+x﹣1+x+1+x﹣6+x﹣13＝7x﹣42．由题意得：A、7x﹣42＝70，解得x＝16，能求出这7个数，不符合题意；B、7x﹣42＝78，解得x＝，不能求出这7个数，符合题意；C、7x﹣42＝161，解得x＝29，能求出这7个数，不符合题意；D、7x﹣42＝105，解得x＝21，能求出这7个数，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“U”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．7．已知下列四个应用题：①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？②甲乙两人从相距60km的两地同时出发，相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相遇后又相距20km？③甲乙两人从相距60km的两地相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，如果甲先走了20km后，乙再出发，问乙出发后几小时两人相遇？④甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中对应数量关系的应用题序号是（）A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数+乙生产的零件数+未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，根据甲的路程+乙的路程+相遇后又间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程；③设乙出发后x小时两人相遇，根据甲的路程+乙的路程＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程；④设经过x小时后两人相距60km，根据甲的路程+乙的路程+20＝两人间的间距，即可得出关于x的一元一次方程．综上即可得出结论．【解答】解：①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，依题意，得：4x+6x+20＝60，∴①可以用方程4x+6x+20＝60来表述；②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，依题意，得：4x+6x﹣20＝60，∴②不可以用方程4x+6x+20＝60来表述；③设乙出发后x小时两人相遇，依题意，得：4x+20+6x＝80，∴③方程4x+6x+20＝60来表述；④设经过x小时后两人相距60km，依题意，得：4x+6x+20＝60，∴④可以用方程4x+6x+20＝60来表述．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8．小王、小李和小张，同时各做120个同样的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了80个，照这样计算，小李做完时，小张还差24个没做．【分析】设当小李做完时，小张还差x个没做，根据两人的工作效率不变且工作时间相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当小李做完时，小张还差x个没做，依题意得：＝，解得：x＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．9．一部书稿，甲打字员打完全书要20天，乙打字员用同样的时间只能完成书稿的，两人合打这部书稿要12天完成．【分析】由两打字员打字效率之间的关系可求出乙打字员打完全书所需时间，设两人合打这部书稿要x天完成，根据两人合作一天的工作量×工作时间＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：乙打字员打完全书所需时间为20÷＝30（天）．设两人合打这部书稿要x天完成，依题意得：（+）x＝1，解得：x＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．甲、乙两城相距750千米，一辆大客车从甲城开往乙城共用15小时，一辆小轿车从乙城开往甲城10小时可以到达．两车同时从两城出发相向而行，6小时可以相遇．【分析】根据题意相遇问题中“两车路和等于750千米”列方程求解即可．【解答】解：设两车x小时可以相遇，由题意得：x+x＝750，解得：x＝6．答：两车同时从两城出发相向而行，6小时可以相遇．故答密为：6．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找等量关系．11．清代文言小说集《笑笑录》记载，清代诗人徐子云曾写过一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？设寺内有x名僧人，则列出一元一次方程为+＝364．【分析】设寺内有x名僧人，根据题意列出方程即可求出答案．【解答】解：设寺内有x名僧人，由题意得+＝364，故答案为：+＝364．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．12．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为．【分析】根据“完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时”列出方程即可．【解答】解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为，故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键．13．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，根据题意可列一元一次方程为5x+45＝7x+3．【分析】设合伙人数为x人，根据买羊需要的钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故答案为：5x+45＝7x+3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．一件商品的标价是100元，进价是50元，打八折出售后这件商品的利润是30元．【分析】设打八折出售后这件商品的利润是x元，根据题意列出方程即可求出答案．【解答】解：设打八折出售后这件商品的利润是x元，x＝0.8×100﹣50＝30，故答案为：30【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．15．《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”．《九章算术》大约成书于公元前200年～公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为400x﹣3400＝300x﹣100．【分析】设有x个人，根据金的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设有x个人，依题意，得：400x﹣3400＝300x﹣100．故答案为：400x﹣3400＝300x﹣100．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成．两人合作，6天可以完成．【分析】甲、乙合作完成工程的时间＝工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1．【解答】解：设工作量为1，甲乙的工作效率分别为、，故甲、乙合作完成工程的时间为1÷（）＝1÷＝6天．故答案为：6．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．17．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为40？如果能，求出这三个数；如果不能，请说明理由．【分析】联系已知条件，设中间的数为x，则其它两个为x﹣7与x+7，再根据等量关系：三个日期之和能否为40，即可列出方程．【解答】解：设中间的数为x，其它两个为x﹣7与x+7，根据题意得：x﹣7+x+x+7＝40，解得：x＝，则不存在．【点评】此题解题关键在于表示出三个数，列出等量关系，即可得到解答．18．列方程解应用题十一期间，张老师从北京出发走京津高速到天津．去时在京津高速上用了1.2小时，返回时在京津高速上比去时多用18分钟，返回时平均速度降低了22千米/小时．求张老师去时在京津高速上开车的平均速度．【分析】设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，根据路程＝速度×时间结合往返路程相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，依题意，得：1.2x＝（1.2+）（x﹣22），解得：x＝110．答：张老师去时在京津高速上开车的平均速度是110千米/小时．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．19．列方程解应用题：某学校组织初一年级学生参加公益劳动在甲处劳动的有16人，在乙处劳动的有12人，现在另调20人去甲乙两处支援，使得在甲处劳动的人数比在乙处劳动的人数的2倍少6人，问应调往甲、乙两处各多少人？【分析】设应调往甲、乙两处的人数分别为x人和（20﹣x）人．根据甲处劳动的人数比在乙处劳动的人数的2倍少6人，构建方程即可解决问题．【解答】解：设应调往甲、乙两处的人数分别为x人和（20﹣x）人．由题意：16+x＝2[12+（20﹣x）]﹣6，解得x＝14，则20﹣x＝6．答：调往甲、乙两处的人数分别为14人和6人．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．一项工程，甲队单独施工需要15天完成，乙队单独施工需要9天完成．现在由甲队先工作3天，剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务？【分析】设设还需x天才能完成任务，根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量＝总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可．【解答】解：设还需x天才能完成任务，根据题意得，解得x＝4.5．答：甲、乙两队合作还需4.5天才能完成任务．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出甲和乙的工作量，用到的公式是：工作量＝工作效率×工作时间．21．今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）【分析】首先根据题意，设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为x岁，然后根据：哥哥的年龄+小楠的年龄＝21，列出方程，求出x的值是多少，再用哥哥的年龄减去14，求出小楠的年龄即可．【解答】解：设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为x岁，则x+x＝21，解得x＝14．21﹣14＝7（岁）答：今年小楠7岁，哥哥14岁．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．22．某商场从厂家购进100个整理箱，按进价的1.5倍进行标价．当按标价卖出80个整理箱后，恰逢元旦，剩余的部分以标价的九折出售完毕，所得利润共1880元，求每个整理箱的进价．【分析】可设每个整理箱的进价为x元，则标价为1.5x元，根据该商店获得的利润一共是1880元这个等量关系列方程求解．【解答】解：设每个整理箱的进价为x元，则标价为1.5x元，标价的九折为（1.5x×0.9）元．根据题意列方程，得：80（1.5x﹣x）+20（1.5x×0.9﹣x）＝1880．解方程得：x＝40．答：每个整理箱的进价为40元．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．23．2020年9月的日历如图所示．（1）用1×3的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，用含x的式子表示这三个数的和为3x+3；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，用含y的式子表示这三个数的和为3y+21．（2）用一个2×2的正方形在此日历中框出4个数，被框住的4个数的和为84，则这四个数中最小的数为17；（3）用一个3×3的正方形框在此日历中框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的和为a1，最后一行3个数的和为a2，若|a1﹣a2|＝15，请求出正方形框中位于最。
人教版七年级上册数学实际问题与一元一次方程(古代问题)训练
人教版七年级上册数学3.4实际问题与一元一次方程（古代问题）训练一、单选题1．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林五日三返．”意思是说：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．设太仓到上林的距离为x 里，55070x x += B ．设太仓到上林的距离为x 里，55070x x -= C ．设重车行驶x 天，50x ＝70（5﹣x ）D ．设重车行驶x 天，70x ＝50（5﹣x ）2．“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚3x 人，根据题意可列方程为（ ）A ．100331003x x -+= B ．3(1003)100x x +-= C ．1001003x x -+= D ．3(100)100x x +-= 3．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有若干人乘车，每三人乘一车，刚好空余一辆；若每两人共乘一车，最终剩余七个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？如果我们设有x 辆车，则可列方程（ ）A ．3（x +1）＝2x ﹣9B ．3（x ﹣1）＝2x +7C ．3x +1＝72x - D ．3x ﹣1＝72x + 4．我国古代的数学著作《九章算术》中有下列问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？设她第一天织布x 尺，则下面所列方程正确的是（ ） A ．248165x x x x x ++++=B ．23455x x x x x ++++=C ．24685x x x x x ++++=D ．248105x x x x x ++++= 5．把19-填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图①是某学生按一个方向看到的部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．96．中国古代数学问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x 只羊，则下列方程正确的是（ ）A ．()123x x +=-B ．122x x -=+C ．()122x x +=-D ．112x x +-= 7．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行八十步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”把这道题翻译成现代文，意思就是：走路快的人走了80步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x 步就能追上走路慢的人，则下面所列方程正确的是（ ）A ．1006080x x -=B ．1008060x x -=C ．1006080x x +=D ．1008060x x += 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）A ．48里B ．36里C ．24里D ．18里二、填空题9．我国古代数学著作中有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．意思是：远远望见一座7层高的雄伟壮丽的佛塔，每层塔点着的红灯数，下层比上层成倍增加，共381盏．则塔尖有______盏灯．10．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走______步才能追上走路慢的人．11．中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程_____．12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百一十五里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为315里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才达到目的地，若设第一天走了x里，根据题意可列方程为________________．此人第六天走的路程为_________里．13．古代名著《算学启蒙》中有一题：“良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马____天可追上慢马．”14．鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一，书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何?意思是有若干只鸡兔在同一个笼子里从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则笼子中鸡________只，兔________只．15．我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”.其意是：有若干人共同买东西，如果每人出8元，则余3元，如果每人出7元，则少4元，问人数及所买东西的价格各是多少？若设有x人合买，则根据题意列出一元一次方程为______.16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．三、解答题17．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十六两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了16两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海，野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，问经过几天相遇.19．<<九章算术>>中有这样一个问题，原文如下。
数学史融入一元一次方程教学的实践研究
数学史融入一元一次方程教学的实践研究一、概要随着科学技术的不断发展，数学在人类社会中的地位越来越重要。
一元一次方程作为数学的一个重要分支，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
然而传统的一元一次方程教学往往过于注重理论知识的传授，忽略了学生的实际需求和兴趣。
因此将数学史融入一元一次方程教学的实践研究具有重要的现实意义。
本文通过对一元一次方程教学的历史沿革进行梳理，分析了一元一次方程教学中存在的问题，并提出了将数学史融入一元一次方程教学的策略。
首先文章回顾了一元一次方程的发展历程，从古希腊时期的毕达哥拉斯学派到现代的线性代数，揭示了一元一次方程的发展脉络。
其次文章分析了当前一元一次方程教学中存在的问题，如过于注重理论知识的传授、缺乏实际应用场景等。
文章提出了将数学史融入一元一次方程教学的策略，包括：结合数学史讲解概念、引导学生探究实际问题、激发学生的学习兴趣等。
通过实践研究，本文旨在为一元一次方程教学提供新的思路和方法，提高学生的学习兴趣和效果。
1. 研究背景和意义一元一次方程是中学数学的基本内容之一，也是后续学习几何、代数等学科的基础。
然而由于其概念抽象、运算繁琐等特点，很多学生在学习过程中感到困难重重。
因此如何在教学中有效地融入数学史的内容，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果，成为了当前数学教育改革的重要课题之一。
数学史作为一门独立的学科，研究的是人类在数学领域的发展历程和成就。
通过研究数学史，可以了解到不同时期、不同文化背景下的数学思想、方法和技术，从而更好地理解和应用现代数学知识。
同时将数学史融入到教学中，也可以帮助学生建立起对数学的兴趣和热爱，增强他们的自信心和自主学习能力。
本文旨在探讨如何将数学史融入到一元一次方程的教学中，以期为提高教学质量提供一些参考和借鉴。
具体来说本文将首先介绍一元一次方程的概念和特点，然后分析当前一元一次方程教学存在的问题和挑战，接着探讨数学史在一元一次方程教学中的应用策略和方法，最后总结研究结果并提出进一步的研究展望。
一元一次方程历史故事
一元一次方程历史故事在古代，人们对数学的认识还很有限，因此他们在解决数学问题时往往用文字叙述或者通过几何的方法来进行计算。
直到公元6世纪，一位名叫迪奥法努斯的数学家提出了一元一次方程的概念，给算术和代数的发展带来了巨大的推动。
迪奥法努斯生活在东罗马帝国的亚历山大城，他对数学有着极大的热爱和兴趣。
尽管当时的数学还远远没有达到今天的程度，但迪奥法努斯却能够通过自己的思考和观察得出一些规律和结论。
有一天，迪奥法努斯在思考一个几何问题时，发现了一个有趣的现象。
他注意到，当一个几何图形中的一些量发生变化时，其他量也会相应地发生变化。
这让他想到了是否存在一种关系，可以用简洁的方式描述这种变化。
经过一段时间的思考和研究，迪奥法努斯发现了一元一次方程的概念。
他将问题抽象成了一个方程，在方程中，未知数与已知数之间存在着一种线性的关系。
通过解方程，他能够计算出未知数的值，从而得到问题的答案。
迪奥法努斯非常兴奋地向他的同事和学生们展示了这个新的概念，并解决了许多实际问题。
在他的指导下，学生们不但更好地理解了数学，还能够将数学应用到实际生活中，并解决一些实际问题。
迪奥法努斯的发现在当时引起了轰动，人们对这个新的概念充满了好奇和兴趣。
在迪奥法努斯的指导下，越来越多的人开始研究一元一次方程，并在各个领域中应用它。
一元一次方程的研究和应用不仅在数学领域有了很大的影响，而且对其他科学领域也起到了推动作用。
在天文学中，一元一次方程可以用来计算星体的运动轨迹；在物理学中，它可以用来描述物体的运动状态；在经济学中，它可以用来分析经济变化的规律等等。
随着时间的推移，人们对一元一次方程的认识逐渐深入，这一概念也融入到了教育体系中。
学生们在学习数学的过程中，不仅需要掌握一元一次方程的基本定义和性质，还需要学会如何应用它解决实际问题。
迪奥法努斯给数学带来的这一重大突破不仅在当时具有里程碑式的意义，而且对后世的数学发展也起到了巨大的推动作用。
人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》单元测试题(含答案)
人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》单元测试题（含答案）一、单选题1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）A ．不盈不亏B ．盈利20元C ．亏损10元D ．亏损30元2．下列方程中，一元一次方程一共有( )①9x+2；②12x =；③(1-x)(1+x)=3；④()1113352x x x -=- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，则根据题意列出方程正确的是（ ） A ．8x+3=7x ﹣4B ．8x ﹣3=7x+4C ．8x ﹣3=7x ﹣4D ．8x+3=7x+44．下图是某超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙第一算，该洗发水的原价是：( )A ．22元B ．23元C ．24元D ．25元5．若关于x 的方程321(32)x a x a ++=-+的解是0，则a 的值为（ ）A ．15B ．35C ．15- D ．356．下列方程:21126740.343492x x x x x x x +=-=+=-=①；②；③；④；0x =⑤；328x y -=⑥；112x =⑦；12x=⑧中是一元一次方程的个数是( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个7．下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）A ．若x ﹣m ＝y +m ，则x ＝yB ．若a ＝b ，则ac ＝bcC ．若x ＝y ，则x ﹣m ＝y +mD ．若ac ＝bc ，则a ＝b8． 下列方程中,属于一元一次方程的是（ ）．A ．021=+xB ．2y 432=+x C ．22x 3x =+x D ．x 31232=++x x9．某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利20%，若该书进价为20元，则标价（ ） A ．24元 B ．26元 C ．28元 D ．30元10．方程3x ﹣6＝0的解是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝﹣3C ．x ＝2D ．x ＝﹣2第II 卷（非选择题）二、填空题11．关于x 的方程a 2x+x=1的解是__．12．某学校组织八年级6个班参加足球比赛，如果采用单循环制，一共安排______场比赛 13．某商品进价为40元，若按标价的8折出售仍可获利20%，则按标价出售可获利______元．14．当x=4时，式子5（x+b ）﹣10与bx+4x 的值相等，则b=_____．15．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x 个，依题意可列方程得_____．16．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数是____．17．若293x +＝2，且x y ＝94，则x ＝______，y ＝_______． 18．当a =____时，关于x 的方程314x -=-与方程562a x -=-的解相同.三、解答题19．解方程：x ﹣3＝﹣12x ﹣4． 20．解方程：（1）5(x－1)＋2＝3－x（2）2121 1=63x x-+ -21．某纺织厂收购某种特色棉花，若直接转卖这种特色棉花，则每吨可获得的利润为500元.若经过B级加工再转卖，则每吨可获得的利润为1000元；若经过A级加工再转卖，则每吨可获得的利润为2000元.已知该纺织厂对棉花进行B级加工，每天可加工16吨；进行A级加工，每天可加工6吨，且这两种等级的加工不能同时进行.若该纺织厂收购了140吨这种特色棉花，决定15天内加工完，且有如下三种可行方案：方案一：将所收购的特色棉花直接转卖.方案二：将尽可能多的特色棉花进行A级加工，余下的部分直接转卖.方案三：一部分进行A级加工，另一部分进行B级加工，恰好15天完成.若你是该纺织厂负责人，想要获利最多，你决定使用哪套方案？请说明理由.22．一列客车和一列货车同时从甲、乙两个城市相对开出，已知客车每小时行55千米，客车速度与货车速度的比是11:9，两车开出后5小时相遇，甲、乙两城市间的铁路长多少千米？23．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点.知识运用：（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4.①在点M和点N中间，数_______所表示的点是（M，N）的好点：②在数轴上，数________和数_________所表示的点都是（N，M）的好点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40，现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点？24．某电影院某日某场电影的票价是：成人票30元，学生票15元，满40人可以购买团体票（不足40人可按40人计算，票价打9折）．某班在4位老师带领下去电影院看电影，学生人数为x人．（1）若学生人数为31人，该班买票至少应付多少元？（2）若学生人数为32人，该班买票至少应付多少元？（3）请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元．25．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了______条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．26．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以6千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，以10千米/时的速度按原路追上去，用了15分钟追上了学生队伍，问通讯员出发前，学生走了多少时间？27．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=14，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ=3CN．设运动的时间为t（t＞0）秒．（1）写出点A表示的数，点B表示的数；（2）求MN的长（用含t的式子表示）；（3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．参考答案1．C2．A3．B4．C5．D6．C7．B8．C9．D10．C11．211a．12．1513．2014．615．（x﹣6）+（x﹣3）+x+（x+3）+（x+6）＝60．16．45.17．－32218．－319．x=-2320．（1）x＝1；（2）x＝5621．选方案二．理由见解析22．500．23．①2，②0或-8；（2）10秒、15秒或20秒24．（1）585；（2）594；（3）若0＜x≤31时，该班买票至少应付（120+15x）元；若32≤x≤36时，该班买票至少应付594元；若x＞36时，该班买票至少应付（108+13.5x）元．25．（1）8；（2）答案见解析：（3）200000立方厘米26．1627．(1)A:-12,B:2;(2) 18−116t;。
古代数学中的一元一次方程
古代数学中的一元一次方程古代一元一次方程：一、古代数学史1、古代对数学的发展古代数学可以追溯到公元前17世纪左右，那时可能不存在数学这一概念，但在创造物品、发明计算工具、农耕等活动中，人们就发现了某种数学思想，开始以正确的方法处理数学问题，这就是古代数学的开始。
2、古代的一元一次方程古代的一元一次方程是指一个未知数n的方程，它由只有一个未知数的导数表达式组成，这个方程可以用来解决数学问题，例如计算物体的质量、体积等。
解决这类方程需要用数学方法来解决，它是古代数学技术中的一个重要部分。
二、一元一次方程求解方法1、图像法图像法是一种比较容易掌握的解一元一次方程的方法，它利用方程式和对称性将相关信息画成等式解析图形，比如截距图、半径图等，以此来求解它的相关系数以及方程的解。
2、求根法求根法是一种比较有效的求解一元一次方程的方法，它通过连立解方程，使其获取相关系数来求得解。
这种方法比较容易掌握，能够有效地求解复杂的一元一次方程。
3、泰勒公式泰勒公式是一种用来求解一元一次方程的函数，它将一元一次方程分解成多个多项式，然后再求得方程的解。
它是古代数学技术中最容易掌握，也是最有效的一种求解一元一次方程的方法。
三、一元一次方程的应用1、物理学一元一次方程可以用来求解物理问题，比如求解物体的加速度、速度、力、能量等物理量，从而解决更多物理问题。
2、经济学一元一次方程也常用于经济学研究，利用一元一次方程可以计算出消费者需求、产品供给、生产成本等经济指标，从而预测未来的经济形势，为政府的经济政策和决策提供依据。
3、气象学古代一元一次方程也可用于气象学研究中，比如求解降雨量、温度、风向、降雪等气象指标，从而分析和预测气象情况，可以为我们进行气象预报提供重要依据。
四、结论从上述讨论可以看出，古代一元一次方程在几千年前就有了普遍存在，它也是古代数学技术中的重要一部分。
目前，它仍然在物理学、经济学和气象学等领域有着广泛的应用，并给我们的生活和社会发展带来重要的好处。
七年级数学上册第三章一元一次方程笔记重点大全
七年级数学上册第三章一元一次方程笔记重点大全单选题1、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量牵”问题；“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托．设绳索长x 托，则符合题意的方程是( )A ．2x ＝(x -1)-1B ．2x ＝(x +1)+1C ．12x ＝(x +1)+1D ．12x ＝(x -1)-1 答案：D解析：设绳索长x 托，则竿长(x −1)托，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．解：设绳索长x 托，则竿长(x -1)托，依题意，得：12x =(x −1)−1． 故选：D ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2、三个连续奇数之和为15，则它们之积为（ ）A ．15B ．21C ．105D ．−105答案：C解析：设这三个连续奇数为：2n-1，2n+1，2n+3，根据它们的和为15，可建立方程，解出即可得出答案．设这三个连续奇数为：2n-1，2n+1，2n+3，依题意得：2n-1+2n+1+2n+3=15，解得：n=2，则这三个奇数为：3，5，7．所以3×5×7=105．故选C小提示：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．3、下列变形正确的是（）B．由5－（x+1）＝0 ，得5－x＝－1A．由5x＝2，得x=52=1，得−x+1=5C．由3x＝7x，得3＝7D．由−x−15答案：D解析：根据等式的基本性质，逐项判断即可．解：∵5x＝2，∴x=2，5∴选项A不符合题意；∵5﹣（x+1）＝0，∴5﹣x﹣1＝0，∴5﹣x＝1，∴选项B不符合题意；∵在等式的左右两边要同时除以一个不为零的数，所得等式仍然成立，而3x＝7x中的x是否为零不能确定，∴3＝7不成立，∴选项C不符合题意；∵−x−15=1，∴−(x−1)=5，∴−x+1=5，∴选项D符合题意．故选：D．小提示：此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．4、下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a（x2＋1）＝b （x2＋1），则a＝bC．若a＝b，则ac =bcD．若x＝y，则x－3＝y－3答案：C解析：利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．解：A、a＝b，等式两边都乘以c，得到ac＝bc，正确；B、a（x2＋1）＝b （x2＋1），等式两边同时除以（x2＋1），得到a＝b，正确；C 、a ＝b ，等式两边同时除以c ，c 为零时不成立，故错误；D 、x ＝y ，等式两边都减3，得到x －3＝y －3，正确．故选：C ．小提示：本题主要考查等式的性质．运用等式性质1必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一个数或整式；运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．5、若代数式3x −7和6x +13互为相反数，则x 的值为（ ）A ．23B ．32C ．−32D ．−23 答案：D解析：根据相反数的定义，列出关于x 的一元一次方程，即可求解．∵3x −7和6x +13互为相反数，∴3x −7+6x +13=0，解得：x =−23，故选D ．小提示：本题主要考查相反数的定义以及一元一次方程，掌握解一元一次方程，是解题的关键．6、若方程(m −1)x |m−2|−8=0是关于x 的一元一次方程，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或3答案：C解析：根据一元一次方程的定义解答．解：由题意得|m−2|=1,m−1≠0，解得m=3，故选：C．小提示：此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程是一元一次方程．7、下列各式中，是方程的是（）A．x−2y3B．14﹣5=9C．a＞3bD．x=1答案：D解析：根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案．A、没有等号，故不是方程，故此选项错误；B、等式中没有未知数，不是方程，故此选项错误；C、是不等式，不是方程，故此选项错误；D、符合方程的定义，是方程，故此选项正确；故选D．小提示：此题主要考查了方程，关键是掌握方程定义．8、古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x，则所列方程为（）A．23x+17x+x=33B．23x+12x+17x=33C．23x+12x+17x+x=33D．x+23x+17x−12x=33答案：C 解析：根据题意列方程23x+12x+17x+x=33．解：由题意可得23x+12x+17x+x=33．故选C小提示：本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．填空题9、一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.答案：7解析：设其中的男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示出女生有（x-1）人．再根据每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍列方程求解．设男生有x人,则女生有(x−1)人，根据题意得x=2(x−1−1)解得x=4x−1=3.4+3=7人.故答案为7.小提示：此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.10、当x=__________时，3x+1的值与2（3–x）的值互为相反数．答案：-7解析：利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．解：∵3x+1的值与2（3﹣x）的值互为相反数∴3x+1+2（3-x）=0，去括号得：3x+1+6-2x=0，移项合并得：x=-7，故答案是：-7小提示：考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母；去括号；移项合并；将未知数系数化为1即可．11、将下列方程移项：（1）方程2x−1=3x+4移项后得_________________；（2）方程32x+1=12x−4移项后得____________．答案：2x−3x=4+132x−12x=−4−1解析：根据等式的性质进行移项变换即可．解：（1）对于方程：2x−1=3x+4，由等式性质①可得：2x−3x−1+1=3x−3x+4+1，∴原方程移项得：2x−3x=4+1；（2）对于方程：32x+1=12x−4，由等式性质①可得：32x−12x+1−1=12x−12x−4−1，∴原方程移项得：32x−12x=−4−1；所以答案是：2x−3x=4+1；32x−12x=−4−1．小提示：本题考查一元一次方程移项变化，理解等式的基本性质是解题关键．12、轮船从A地顺流开往B地所用的时间比逆流由B地开往A地少2小时，已知轮船在静水中的速度为20千米/时，水流的速度为4千米/时，若设A、B两地相距x千米，可列方程为__________________．答案：x20−4−x20+4=2解析：根据顺流的速度＝静水中的速度＋水速，逆流的速度＝静水中的速度-水速，然后根据等量关系：逆流用的时间－顺流用的时间=2，时间＝距离÷速度，即可列出分式方程．设甲乙两地相距x千米,则有x 20−4−x20+4=2所以答案是：x20−4−x20+4=2小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系即可列出分式方程；必须熟练掌握生活中基本公式，顺流的速度＝静水中的速度＋水速，逆流的速度＝静水中的速度-水速，时间＝距离÷速度．13、关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为_____．答案：x＝2或x=−2或x=-3．解析：利用一元一次方程的定义判断即可．解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，即x﹣2＝0解得：x＝2，（2）当m=0时，−x−2＝0，解得：x=−2（3）当2m-1=0，即m=12时，方程为12−12x−2=0解得：x=-3，故答案为x=2或x=-2或x=-3．小提示：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．解答题14、一建筑公司在一次施工中，需要从工地运出80吨土方，现出动大、小不同的两种类型汽车，其中大型汽车比小型汽车多8辆，大型汽车每次可以运土方5吨，小型汽车每次可以运土方3吨.如果把这些土方全部运完，问需要大、小不同的两种类型汽车各多少辆？答案：大型汽车13辆，小型汽车5辆.解析：设小型汽车x辆，则大型汽车(x+8)辆，根据题意列出一元一次方程进行求解.设小型汽车x辆，则大型汽车(x+8)辆，根据题意得5(x+8)+3x=80解得，x=5大型汽车5+8=13（辆）答:大型汽车13辆，小型汽车5辆.小提示：此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解.15、解下列方程：(1)9x=5x−2；(2)x+23−1=2−x6．答案：(1)x=-12；(2)x=43．解析：（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．(1)解：移项得：9x-5x=-2，合并得：4x=-2，系数化为1得：x=-12；(2)解：去分母得：2（x+2）-6=2-x，去括号得：2x+4-6=2-x，移项得：2x+x=2-4+6，合并得：3x=4，．解得：x=43小提示：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1．11。
例析中国古代数学名著中的一元一次方程问题
例析中国古代数学名著中的一元一次方程问题
中国古代数学名著中的一元一次方程问题，也被称为一元二次方程，是中国古代数学发展史上的重要环节。
它解决了数学问题，在农业、测量、天文和金融等应用中发挥着重要作用。
从古代文献来看，早在周朝时期，中国就已经具备了解决一元二次方程的能力。
商代时期，一元二次方程的概念就出现了。
《九章算法》中，以练习的方式求解一元二次方程的问题，为今天的学者提供了很多参考。
从早朵到今天，不断出现的新的数学解法，如弦等向量、矢量等，也充分表明了人们在追求一元二次方程解法的过程中，无尽的激情。
在解决一元二次方程问题上，众多古代数学家也做出了巨大的贡献。
著名的“张毅计算归纳公式”，就是由吴道子深入探索而得，他把研究情况做出总结，使得一元二次方程的解法又有了更新的飞跃。
而祖冲之、张择取和杨朱的数学研究，也带动了进一步解决初等方程组的发展。
不仅如此，古代数学家们还不断把解决一元二次方程问题理论化，最终走出了解决数学问题的抽象性思路。
这也是最终构成中国古代数学系统思想的重要过程，是世界数学发展史上不可缺少的部分。
中国古代数学家们发现一元二次方程，并开展了深入的探究和研究，丰富了数学理论，也使数学得以在农业、测量、天文和金融等领域应用。
由此可见，中国古代数学家对于一元二次方程的成果，仍然是今天数学基础理论的重要组成部分。
古代数学中的一元一次方程
３ ５ 一 ） 只． 初 年 编 定 的一 部 现 有 传 本 的 、 最 古 老 的 中 是 （
答： 笼 中鸡 有 ２ ３ 只， 兔 子有 １ ２ 只． ２ ．宝 塔 装灯 问题
鸡兔 同笼 是 中 国古 代 的数 学 名题 之
一 ．
我 国 明代 数 学 家 吴 敬 所 著 的 《 九 章算 载 了这 个 有 趣 的 问题 ．书 中是 这 样 叙 述 的 ： 术 比类 大 全 》 中， 有一道 数学 名题 叫“ 宝 塔
问题 和 其他 问题 的解 法 ， 分 问 题
解： 设 鸡 的 数 量 是 只， 则 兔 子 的 数 量 根据题意得 ， ＋ ４ （ ３ ５ ） ＝ ９ ４ ．
解之得 ， ｘ ＝ ２ ３ ．
３ ５－ ｘ＝１ ２．
几何追及 之？”
【 分析 】 根 据题 意 ， 驽马先行 一十二 日，
则 驽马先行 了 １ ８ ０ ０ 里， 这 个 问题 中数 量 之 间 有 这样 的相 等关 系 ： 驽 马 跑 的路 程 ＋ １ ８ ０ ０
里＝ 良马 跑 的路 程 ．
根据题意得 ， ＋ 三＋ ＋ ５ ＋ ＋ ４ ： ．
答 ： 甲、 乙 两 人 的速 度 分 别 为 ８ 千米／ ／ Ｊ 、 成 工 作 量 ｍ、 凡 的 时 间 分 别 为 天、 １ ８ 天 ， 乙 时、 １ ０ 千￣ ｇ ／ ｓ Ｊ ＇ ， 时． 完 成 工 作 量 ｍ、 ｎ 的时 间分 别 为３ ２ 天、 天， 例４ 甲、 乙两人 共 同完 成 某 项 工 程 需 有 ＝ ３ ２ ｘ １ ８ ， 故ｘ ＝ ２ ４， 若干天 ， 甲单 独做 则 需 多做 １ ８ 天， 乙单 独 做 ２ ４ ＋１ ８ ＝ ４ ２ （ 天） ， ２ ４ ＋ ３ ２ ＝ ５ ６ （ 天） ． 则 需 多做 ３ ２ 天， 问甲、 乙两人 单独 做 各 需 多 答 ： 甲 、 乙两 人 单 独 做 分 别 需 ４ ２ 天 、
专题07 一元一次方程篇(解析版)
专题07 一元一次方程考点一：一元一次方程之概念1. 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。
一般形式为：()00≠=+abax。
必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数。
②未知数的次数是1。
③是整式方程。
3. 方程的解与一元一次方程的解：是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解。
1．（2022•贵阳）“方程””．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 x+2y＝32 ．【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，所以该图表示的方程是：x+2y＝32．考点二：一元一次方程之等式的性质1. 等式的性质：性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。
即：cb c a b a ±=±=，则性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立。
即：()()0≠÷=÷==c c b c a bc ac b a ，则。
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）A ．若c b c a =则a ＝bB ．若ac ＝b c ，则a ＝bC ．若a 2＝b 2，则a ＝bD ．若﹣31x ＝6，则x ＝﹣2【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、若＝，则a ＝b ，故A 符合题意；B 、若ac ＝bc （c ≠0），则a ＝b ，故B 不符合题意；C 、若a 2＝b 2，则a ＝±b ，故C 不符合题意；D 、﹣x ＝6，则x ＝﹣18，故D 不符合题意；故选：A ．3．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I 跟导体两端的电压U 、导体的电阻R 之间有以下关系：I ＝RU ，去分母得IR ＝U ，那么其变形的依据是（ ）A ．等式的性质1B ．等式的性质2C ．分式的基本性质D ．不等式的性质2【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可．【解答】解：将等式I ＝，去分母得IR ＝U ，实质上是在等式的两边同时乘R ，用到的是等式的基本性质2．故选：B．考点三：一元一次方程之解一元一次方程1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
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古代数学中的一元一次方程
作者：吴强
来源：《初中生世界·七年级》2014年第12期
方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》. 《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作. 书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章.
1. 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一. 大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题. 书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？
【分析】这个问题中数量之间有这样的相等关系：鸡头的数量+兔头的数量=35，鸡脚的数量+兔脚的数量=94.
我们可以用一个相等关系设未知数，另一个相等关系建立方程.
解：设鸡的数量是x只，则兔子的数量是（35-x）只.
根据题意得，2x+4（35-x）=94.
解之得，x=23.
35-x=12.
答：笼中鸡有23只，兔子有12只.
2. 宝塔装灯问题
我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？（倍加增指从塔的顶层到底层）.
【分析】根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出方程，解方程即可得解.
解：设顶层的红灯有x盏.
由题意得：
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
127x=381
x=3.
答：塔的顶层有3盏灯.
3. 良马驽马问题
元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”
【分析】根据题意，驽马先行一十二日，则驽马先行了1 800里，这个问题中数量之间有这样的相等关系：驽马跑的路程+1 800里=良马跑的路程.
解：设良马x天能追上驽马.
根据题意得，150x+1 800=240x.
解之得，x=20.
答：良马20天可以追上驽马.
4. 丢番图的墓志铭
希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）被认为是代数学的鼻祖，但人们对于丢番图的生平知道得非常少，历史上甚至没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍. 他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的. 这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”. “墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人，这儿埋葬着丢番图. 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年. 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭. 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半. 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年. ”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命. （2）丢番图开始当爸爸时的年龄.（3）儿子死时丢番图的年龄.
【分析】根据题意，只要知道丢番图的寿命，其他的年份都可以通过他的寿命算出来.
解：设丢番图的寿命是x岁.
根据题意得，+++5++4=x.
解之得，x=84.
+++5=38.
84-4=80.
答：丢番图的寿命是84岁，丢番图当爸爸时是38岁，儿子死时丢番图80岁.
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说：“程，课程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式. 一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程. 方程这个概念在《九章算术》中的“方程”章最早出现. 其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上一份非常宝贵的遗产. 这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.
（作者单位：江苏省常州外国语学校）。