一题多变 触类旁通
论小学数学教学中提高学生一题多解能力的方法
论小学数学教学中提高学生一题多解能力的方法摘要：一题多解的数学解题形式多变，教师在执教时要有意识地启发学生从不同的角度探索问题，用不同的方法去解决及剖析相同的数理问题，这样有利于学生拓展思维，掌握学习方法。
一题多解教学方法有利于提高学生综合分析问题的能力，促进学生智力发展，培养动手动脑的习惯，注重培养学生的创新思维，从而提高学生的数学学习能力。
关键词：小学数学；一题多解；教学数学新课标强调“鼓励学生采用多种方法解决问题”，许多教学实践也表明，在我国小学数学教学实践中，应以解决常见问题为例，通过多样化的解题方式来使学生的头脑更加灵活变通，培养他们形成良好的思维习惯,不断提升自身对数学问题一题多解的能力。
一、引导打破固化思维，启发学生的创新思路数学思维能力包括数字运算、数学想象、逻辑推理和数学应用能力，这些能力有助于培养学生的问题意识，激发他们的创新思维，培养他们解决数学问题的综合能力，有助于培养他们的数学探究能力。
但是，在解题过程中，一题多解往往反映出解决问题的能力和思维发展的水平。
基于此，教师应引导学生进行多解训练,,既要激发学生多解思维，延伸学生思维广深度，深化新知的认识，提高学生分析和解决问题的能力，培养学生灵活多变的思维方式。
问题解决教学中，教师应启发学生的创新思维，引导学生敢于求异，从而帮助学生突破思维的舒适区和瓶颈，树立创新意识，摆脱过去一贯的思维模式。
例如：以教学“长方体的表面积”为例，笔者引导学生归纳出求解长方体的表面积公式后，为学生展示了有关长方体的物品，并提出问题：“倘若这个长方体少了一个底面，请大家想一下这个面的面积公式？若前部少了一面，那个面的面积公式又如何呢？若个底面少了，那个底面的面积公式又如何呢？个底面被删除，此时实际只需要什么？哪个物体只需要个面？通过讨论，学生们很快就能说出个面的面积计算公式，知道少了个底面，实际仅需要长方体的侧面积，通风管就是只需要个面。
以此为基础，通过实物与教学工具的应用，引导学生深入探究，不仅培养了他们的问题意识，还促进了其创造性思维能力，提高他们多思多解决的能力。
谈一题多解 一题多变迁移能力的培养
由 动量定律：（ 一ｒ＝ ｍ 一 ｍ ＦＬ ２） ÷ 。 ÷３ｕ
即 方得 ￣Ｆ ２ 解 程 ＝３Ｌｒ ／（ ） －一
所以要使 两球不接解 ， Ａ球的初速度为 ：
Ｃ ｎ 一 ～ … ｂ 一 Ｏ … ； 一 … Ｏ一 一． Ｏ
一 一
ｉ—
ｓ
． — — —
时 ， 球之间无相互作用力 ； 两 当两 球 心 间 的 距 离 等 于 或 小 于 时， 两球间存在相互 作用 的恒定斥力 ， 设 Ａ球从远离 曰球处 ，
即ｏ ／（ ２ Ｖ￣Ｆ －） ＜３Ｌ ｒ 一
解法 四： 利用 动量 守恒 和动能定理 。 若两球刚好接触 ， 两球 最低速 度相 等 ， 共 同速度 为 ， 设 两球相互作用过程 中动量守恒 ， ｍ） ＝ ｍ 则 ／ ３ｙ 。 Ａ球做匀减速直线运动 ， 由动能定理得 ：
谈 一题 多解 一 题 多变 迁 移 能 力 的培 养
５５ ０ 贵州省石 阡民族 中学 卢正强 ５ １０
发散 思维 能力 是创新 思 维 能力 的重 要组 成 部 分 。在 习题 教
学中， 教师应启发学生对 问题以不 同角度进行分析， 多个侧 面 从 进行思考 ， 通过一题多解 、 一题多变、 一题多用、 多解归一 等形式 让学生从单一的思维模式解放出来 ， 促进学生对物理知识的灵活 运用 ， 拓宽学生的解题思路 。力求用最少的时问 ， 做最少的习题 ， 实现知识的迁移和灵 活运用 ， 实现物理规律在认识上 的质 的飞 跃。从而达到举一反三 ， 触类旁通的目的， 具体看下面例题分析。 例一 ： 在光滑的水平轨 道上有 两个 半径都 是 ｒ 的小 球 Ａ 和 Ｂ， 质量分别为 ｍ和 ２ 当两球 之间的距离大 于 （ ２ ） ｍ， Ｌ＞ ｒ
论述小学数学课堂中“一题多变”导学训练策略
论述小学数学课堂中“一题多变”导学训练策略在小学数学的课堂中，导学训练策略是非常重要的，而“一题多变”就是其中的一种有效的导学训练策略。
本文将详细论述小学数学课堂中“一题多变”导学训练策略的重要性和实施方法。
一、“一题多变”导学训练策略的重要性在小学数学课堂中，学生往往需要通过课堂练习来巩固所学知识。
而“一题多变”导学训练策略正是为了帮助学生更好地理解和掌握知识而提出的。
该策略通过将一个基础题目的解题思路进行多次变换，展示不同的解题方法和思维路径，从而激发学生的思维，培养他们的解决问题的能力。
“一题多变”策略也能够促进学生之间的交流和合作，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。
在小学数学的课堂教学中，老师们可以通过“一题多变”导学训练策略，让学生在解题过程中不断地触类旁通，提高他们的解决问题的能力，从而帮助他们更好地掌握数学知识。
1. 选择基础题目在进行“一题多变”导学训练时，老师首先需要选择一个相对简单的基础题目。
这个基础题目应该能够囊括学生已经掌握的知识点，同时也能够扩展出多种解题方法。
在讲解小学生的加减法时，可以选择一个简单的加法题目作为基础题目。
2. 展示不同的解题方法接下来，老师需要展示不同的解题方法。
这些解题方法可以是学生自己的解题思路，也可以是老师在讲解中给出的其他解题方法。
通过比较多种解题方法，可以帮助学生更好地理解基础题目，并且启发他们的思维。
3. 引导学生自主发现在展示完不同的解题方法后，老师可以引导学生进行自主发现。
让学生们根据自己的理解和思考，尝试使用不同的解题方法来解决基础题目。
这样可以激发学生的主动学习意识，培养他们独立解决问题的能力。
4. 练习类似题目在学生对基础题目有了一定的掌握之后，老师可以提供类似题目来进行练习。
这些类似题目可以是在基础题目上稍作修改，也可以是与基础题目同一类型的其他题目。
通过这样的练习，可以帮助学生更好地巩固所学知识。
通过以上的实施方法，可以有效地引导学生进行“一题多变”的导学训练，帮助他们更好地掌握数学知识。
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。
因此，教师必须打破禁锢。
想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。
在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。
一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。
学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。
因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。
那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。
为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。
例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。
一题多解 触类旁通
A
A
A
C
C
C
E
E
EG
BD 图1
B D FB D F
图2
图3
1 应用角平分线、垂线构造等腰三角形模型
关注已知条件，如何应用角平分线、垂线？能
否利用题目告知的条件 AD 平分 ∠BAC ， AD ⊥ BD ，
构造等腰三角形？
1.1 构造等腰三角形 ∆ABF ，再利用平行线求线
段比例
如图 2，分别延长 BD，AC 交于点 F ，构造等腰
36
福建中学数学
2018 年第 7 期
等．我们可以当作原点是他们的“基准点”，互为相反 数的两个数是关于原点的“基准变换点”互为相反数 相加得 0，类似的，本题中的“基准变换点”相加得 2．
3.3.2 在问题解决研究中表现出来的第二种一 般策略是采用局部目标的策略．成功的问题解决者 不是一步登天，而是使用逐步的“爬山式”方法
为少了“策略性知识”．某些简单的策略可以很快学
会，但有的策略需要反复练习、应用，只有坚持不
懈，才有收到良好的效果．培养认知策略，必然在
整个中学数学学习中提高学生的学习效果．
一题多解 触类旁通
黄晚霞 福建省莆田市第十七中学（351111）
解决问题是数学的核心，新课程标准重视对问 题解决能力的培养，明确提出了课堂教学要形成解 决问题的一些基本策略，让学生通过问题解决的活 动过程体验方法、形成策略，让学生“经历从不同角
题，学会一题多解，以达到触类旁通，学一道题，
会一类题的效果，也可以培养学生灵活、敏捷的思
维能力，开阔学生的视野，让学生收获成功的喜悦．
本文以福州市 2017—2018 学年上学期九年级期
末考试数学试卷填空题的第 16 题为例，谈谈在解题
《课堂教学中“一题多变”的训练策略研究》
《课堂教学中“一题多变”的训练策略研究》【摘要】数学教学的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是要优化学生的思维品质，培养学生的多种能力，使学生积极参与到分析知识的形成过程中去，从而使学生的思维能力得以有效的培养和开发。
而一题多变的教学正是有目的地从多方面、多层次、多角度去培养学生理解数学概念，提高思维品质的一种教学方法。
【关键词】课堂教学一题多变以不变应万变【引言】在多次参加市区教研的活动中，市教研员在指导中考命题的过程中，一再强调“中考题要立足课本例题，习题。
注重例题，习题的变式训练，例题的改造”。
因此在平常的教学中教师若能充分挖掘课本例题和习题的潜在智能，巧妙改变，恰当地对它进行演变、引伸、拓广，充分发挥课本上例题、习题的作用，使学生对所变习题既有熟悉感又有新鲜感。
这样不但能诱发学生的解题欲望，激发求知欲，调动积极性，而且又能训练思维能力，培养思维素质，提高课堂教学质量教材是教学的依据，教材上的例、习题是经过认真筛选后设置的，具有一定的示范性、典型性、探索性。
在教学中要善于以这些例、习题为原形进行适当的引申、拓展和解题后的反思，这不但使例、习题的教学功能得到充分的发挥，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养探索、创新的意识，使之不断提高观察、分析、解决问题的能力。
通过借题发挥，适当变换、引申、拓展，培养学生思维的变通性；通过有意识的隐去结论，使学生必须根据题设作一番思考，先探究问题的结论，再给出证明或计算。
这一高强度的思维活动，从传授知识变到注重培养学生的思维品质，从注重让学生“学会”书本知识转变到注重让学生“会学”知识，有利于开发学生的智力，培养学生勇于探索的进取精神，从而培养学生思维的创造性。
而一题多变是应用教学中常用的一种教学手段，它正是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使知识向纵向和横向延伸。
这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁绊，都是极其有益的。
一题多变探“均值不等式”命题
变式２ ： 函￣ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ ， ， ｘ ＋ ３ （ ａ ＞ ０ ， 口 ≠１ ） 的图像恒过定 点Ａ， 若点Ａ 在 直线ｍ ｘ ＋ ｎ ｙ 一 １ － ０ Ｊ ｌ ， 其 中ｍ ｎ ＞ ０ ， 则 ＋ 的最小 值为一
均值不 等式 ： 当ａ ， ｂ 都 为正数 ， 且 为定 值 时 ， 有ａ＋
２ ０ １ ３ 年 １ ２月
命 题 感悟
坛 线
一
题 多变探 “ 均值不等式 ’ ’ 命题
◎ 江 苏 省 赣 榆 高 级 中学 郭 新 祝
值 为一
一
题多变 就是对 同一道题多 次改变 条件或 结论 ， 达
到举 一反 三 、 触类 旁 通 的 目的 ， 培养 学 生思 维 的深刻 性 和灵 活性 ． 牛顿 说过 ： “ 没有 大 胆 的猜想 ， 就做 不 出伟 大
ｘ＋３ ｙ＋ — ｘ＋ ３ ｙ
—
—
－
Ｊ ｙ
３ ｖ
： １ ＋ ＋ ＋ １ １４ ＞ ， 当且仅 当 ： 时， 等
・ ３ ｙ ３ ｙ
号成立 ， 又卅３ ｙ ＝ １ ， 所 以ｘ １
， ｙ＝
吉 时 等 号 成 立 ．
法， 锻炼举 一反三 的能力 ， 从而提 高学 习效 率 ． 这也 正是 新课标所 倡导的． 下面 以均值不 等式 命题为例 ， 以求 抛砖
ａ ＝ ｂ 时取 “ ＝ ” 号， 此时 有最大值．
一
变式３ ： 设ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ ． 若、 ／ 了是３ ａ 与２ ７ 的等 比中项 ， 则
＋ 的最小值为— —
、
隐藏 定 值 条 件
分析 ： 由已知得 （ 、 ／ 了） ２ ＝ ３ ｎ ・ ２ ７ ， ￣ａ ＋ ３ ｂ ＝ １ ， 进而 问题
解一变三 触类旁通
龙源期刊网
解一变三触类旁通
作者：郭鋆宇
来源：《初中生世界·七年级》2014年第04期
在数学学习中，最重要的就是拥有发散性和创造性的思维，而这种思维的重要性在几何“一题多变”中体现得淋漓尽致，灵活运用可以使许多问题迎刃而解. 下面就让我们体验一下“一题多变”的魅力吧！
如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.
第一次看到这道题真是把我难住了，条件只有一组平行线，而且经过仔细观察后连同位角、内错角、同旁内角都找不到，这可把我急坏了. 当我绞尽脑汁时突然想起老师上课时说过，“没有，但可以自己去创造”. 于是我就在∠BED内部作了一条AB、CD的平行线，这样，就构造出了两组内错角，从而很快解决了这个问题.
后来，在活动课上，我对这个问题有了更深的认识，从图形的变换到条件和结论的交换，一个到两个、三个……真是太神奇、太有趣了！这节课的容量虽然很大很大，可是我们一点都不觉得累，不觉得难，新鲜好奇的感觉一直陪伴着我们，大家你一言我一语，争先恐后地发表着自己的发现. 再后来，我们还寻找出了这类题目的规律：“凹”图形上三个角的关系是大角等于另外两个小角的和. 这以后，我就能轻松对付这一类题目了，真是有收获啊！看来，每次做完题目后，我也要主动想想，这个题目可不可以有其他变化？可以怎么变？我相信，坚持这样的解题习惯，我一定会成为一个编题高手的！。
浅谈“一题多变”锻炼学生思维能力(2020)
浅谈“一题多变”锻炼学生思维能力（2020）思维的积极性、求异性、广阔性、理想性等是发散思维的特征，在数学教学中有意识地抓住这些特征进行训练与培养，既能提高学生的发散思维能力，又能提高数学质量。
教师在数学教学中不仅要让学生获得新的知识，更重要的是如何利用数学的学科优势培养学生的思维，发展学生的能力。
在数学教学中,常用一题多变的方法开拓学生的思路,克服思维定势,培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目，有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
利用一题多变培养学生的广阔思维。
“一题多变”是题目结构的变式，将一题演变成多题，而题目实质不变,让学生解答这样的问题，能随时根据变化的情况思考，从中找出它们之间的区别和联系，以及特殊和一般的关系。
使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识，而且使学生把所学的知识、技能、方法、技巧学牢、学活，培养思维的灵活性和解决问题的应变能力。
提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过多变的练习可以达到这一目的。
教学时，可以根据教学需要和学生实际情况，组织对应用题改变问题，改变条件或问题和条件同时改变的练习，达到目的。
但“变”要为“练”服务，“练”要做到有计划、有针对性。
因此，教师就要精心设计练习题，加强思维训练，使学生练得精、练得巧、练到点子上。
一般可以采用“纵变”和“横变”两种形式。
（一）、“纵变”：使学生对某一数量关系的发展有一个清晰的认识。
例1：某工人原来每天生产40个零件，现在每天生产50个零件，是原来的百分之几？解：50÷40=1.25=125%变式一：某工人原来每天生产40个零件，现在每天生产50个零件，比原来增产了百分之几？解：（50-40）÷40=0.25=25%变式二：某工人现在每天生产50个零件，比原来增产了25％，原来每天生产多少个零件？解：50÷（1 25%）=40（个）变式三：某工人原来每天生产40个零件，现在比原来增产了25％，现在每天生产多少个零件？解：40×（1 25%）=50（个）（二）、“横变”：训练学生对各种数量关系的综合运用。
探究课本 触类旁通 提高能力——对一道数学课本习题的赏析
（ ） ａ， ａ，７ １求 １ ５ ； 锄， ａ （） ２ 求数列｛ｎ的前 ２ 项 的和 ｓ ； ａ｝ ｎ
（） ３ 记
ｓｎ ３， １（ ｉ ＋ ） ｎ ＋ （ １ ｆ３ ＋ － （） ）
评析 ： 本题所给的递推公式 ， 其一般形式为 “ｎ ａ＋ ｄｃ ， ≠０ Ｃｄ （ ≠１ ｄ ，， Ｒ） ． ”在数学竞赛 中 ， 该类递推公 式 将 称为一阶线性递推公式． 其通项公式可根据不动点原理求
同 ， ＋ ＋＋ 时 鲁一 ． １ ． ．
≤
奇一 ＋１ ＋＋ ） ‘ ＋ ．去 １ ． ‘
鲁一 ＋ ‘＋ ＋＋ ） ｝ … １１ １
５
一
意义 ， 用统一的数学观点组织材料 ， 重体现对知识 的理 侧
解和应用 ， 尤其是综 合灵活的应用 ， 以此来检测考生将知
｛ ｝足４ ． …． ＝ １ ， Ｎ． ｛ ｝ 差 ６满 ６ ． ＝ ） ★ （ ｂ 证明： ６是等
。
教参叠 ２／ 学考 ０ ＿ ２ ０ ８
维普资讯
一
、
公式复 习
诱导公式 、 降方 、 方公 式 、 化和差公式 、 升 积 和差化积
公式等．
二 、 法探 究 解
图 １
普通思路 ： 见方降方 ， 积化和差 ， 和差化积
方法 一 证明：
故 ＝ 右． ｝＝
此法干脆利 落 ， 简单 明了 ， 一种新颖 的解法完美地展 示出来 ， 体现了数形结合 的数学思想．
四 、 究感 悟 研
左 ：一 － ｓ ０ １ ｃ ｓ Ｏ ￣ １ ｃ ４ ￣． ＋ ｏ ｌ ０ ＋１ （ －ｏ ￡ 一 ５ ｓ ０＋ ， ０ ） ９ ７ 。 ｓ （ ３ 。 ） ７ ｉ 十ｉ ＿ｓ ｎ ｍｒ ｎ－
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一题多变 触类旁通
（原题展示）原浙教版八下课本第147页作业题第3题
如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为一边向外作正方形AEDB 和正方形ACFG ，连结CE 、BG 。
求证：BG=CE
变式一：条件不变、增加探究结论
（2）观察图形猜想CE 与BG 之间的位置关系，并证明你的猜想。
（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？
变式二：图形旋转，探究原结论
（4）正方形AEDB 绕点A 逆时针方向旋转，使AE 与AG 重合时，如图（1）上述两个结论是否成立？ （5）继续旋转到如图（2）位置，上述两个结论是否成立？
变式三：图形旋转，探究新结论
（6）如图（2），连结DF ，求CE:BG:DF 的值.
变式四：添加条件，探索新结论
如图，AB ＝11，AC ＝7，连结EG ，求2
2
BC EG 的值
变式五：改变图形，探究原结论
把“正方形AEDB 和正方形ACFG ”改为“矩形AEDB 、ACFG （长宽不等）”且AG AC AE AB
， 线段CE 、
BG 有怎样的关系呢？
变式六：改变图形，挖掘内在联系
如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为一边向外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连结CD 、BE 。
（1）求证：BE=DC
（2）求直线CD 与直线BE 的所夹锐角
变式七：根据结论，探究条件
如图，在△ABC 中，分别以AB,AC,BC 为边在BC 的同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；
（2）探究下列问题
①当△ABC 满足什么条件时，四边形DAEF 是矩形？ ②当△ABC 满足什么条件时，四边形DAEF 是菱形？ ③当△ABC 满足什么条件时，以D,A,E,F 为顶点的四边形不存在？
变式八：改变图形，冲击中考题
（义乌市中考题）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE
图4 图5
图6 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =
1
2
，求22BE DG +的值．
变式九：改变图形，掌握中考题
(2013 年山东潍坊)如图 Z10-4，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF .现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至CE ′F ′D ′，旋转角为α.
(1)当点 D ′恰好落在 EF 边上时，求旋转角α的值；
(2)如图 Z10-5，G 为 BC 中点，且 0°＜α＜90°， 求证：GD ′＝E ′D ；
(3)小长方形 CEFD 绕点C 按顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 图3
3.（广东佛山市中考题）如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.
(1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形；
(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接
写出构成图形的类型和相应的条件.
变式十：根据图形或变式图形求面积
（1）如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7和11则△CDE 的面积等于 .
(2)如图，分别以Rt △ABC 的三边向形外作正方形ABGH 、BCEF 、ACDI ，若直角边BC=1，AC=2，则六边形DEFGHI 的面积是 .
(3)如图，直线上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55 (4)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ .
(5)如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ， ∠ADC ＋∠BCD ＝90°，且DC=2AB ，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是 .
变式十二：图形改变，探究定点定值问题
如图，已知C 为定线段AB 外一动点，分别以AB 、BC 为边在△ABC 外作正方形CADF 和CBEG ，求证：不论点C 的位置在AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点。
D
C
B
A S 3
S 2
S 1
I
H
G
F
D C B A
E
F
D
A
B
C。