互斥事件有一个发生的概率.doc3
概率(一)
北京四中撰稿：安东明审稿：严春梅责编：张杨概率(一)目标认知重点：概率与频率的区别，概率的加法公式，对古典概形的理解与判断.难点：互斥事件与对立事件的确定，对古典概形的理解与判断.学习内容：第一部分事件与概率一、随机现象与随机事件1．必然现象与随机现象：必然现象：在一定的条件下必然发生的现象(强调在一定条件下).随机现象：在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象(事先很难预料).例如：(1)地球上，向上抛一块石头，石头会落到地面上；(2)在标准状态下，水在100o C下沸腾；(3)掷一枚硬币，正面向上；(4)从粉笔盒中取粉笔，取出的是红粉笔.对于现象我们通过观察与实验(统称为试验)得出所需要的规律性.2．事件与事件空间在同样条件下重复进行试验时，始终不发生的结果称为不可能事件，一定发生的结果称为必然事件，有可能发生也可能不发生的结果成为随机事件.基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述的事件.基本事件空间：所有基本事件构成的集合.例如：下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？①在标准大气压下，水加热至沸腾；②某人买彩票中奖；③将一根长为a的铁丝，随意折两下，构成一个三角形；④连续两次抛一枚硬币，两次都出现正面朝上；⑤当时，二、随机事件的频率与概率通过掷硬币的实验的结果理解频率与概率的区别.一般地，在次重复的试验中，事件A发生的频率，当很大时，总在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作.(注：P是概率一词的英文Probability的第一个字母)很明显,是0和1之间的一个数，即.=0是什么意思? 这时我们称事件为不可能事件，如太阳从西边升起；=1是什么意思? 这时我们称事件为必然事件，如地球绕着太阳转.不可能事件和必然事件虽然具有确定性，但它们可视为随机事件的两个极端情况，这样我们可完整认识随机事件，完整地理解概率的意义.这里，我们需要区分“频率”和“概率”这两个概念.(1)频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映随机事件出现的可能性；(2)概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.随机事件的两个特征：(1)结果的随机性：在相同的条件下进行重复的试验时，如果试验的结果不止一个，那么在试验前难以预料哪种结果将发生；(2)频率的稳定性：即大量重复试验时，任意结果(事件) 出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率.例如：对某种子在两种不同条件下进行发芽试验，在乙条件下结果如表2 ：①填写表中的发芽率(用计算器计算，结果保留三个有效数字)②在甲条件下发芽的概率约是___0.90______；在乙条件下发芽的概率是___0.85______；当试验的种子数很多时，选择在___甲______条件下进行发芽较适宜.三、互斥事件的概率(概率的加法公式)1．互斥事件与互斥事件有一个发生的概率互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就称事件彼此互斥.互斥事件有一个发生的概率：如果事件互斥，那么事件(即中有一个发生)的概率等于事件分别发生的概率的和.即：如果事件彼此互斥，那么事件(即中有一个发生)的概率等于事件分别发生的概率的和.即：2．对立事件与对立事件的概率对立事件：如果事件是两个互斥的事件，且事件必有一个发生，那么事件叫做对立事件，记作.(从集合的角度来看：事件所含结果构成的集合与事件所含结果构成的集合互为补集)对立事件的概率：根据对立事件定义知，是一个必然事件，必然事件的概率为，而事件与事件互斥，因此对立事件的概率和为1，即：，.注意：一定要分清互斥事件与对立事件的区别.四、例题选讲：1．掷两枚骰子，所得的点数之和为6的概率为______________.分析：写出基本事件空间，得到基本事件的个数.解答：掷两枚骰子的基本事件空间共有36个基本事件，即：，所得的点数之和为6的事件共有5个基本事件，所得的点数之和为6的概率.评述：显然每次都要写出基本事件空间很麻烦，而我们需要的只是基本事件的个数，因此我们可以应用前面所学的两个计数原理，以及排列组合的知识来解决问题.2．从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位数，求：所得数为偶数的概率.分析：利用排列的知识得到三位数的总个数及偶数的个数.解答：从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位数的个数：，从1，2，3，4，5中任取三个数组成没有重复数字的三位偶数的个数：，所得数为偶数的概率评述：概率的问题实际上就是两个排列组合的问题.大家可把1，2，3，4，5换成0，1，2，3，4同样解决这个问题，结果应该是.3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为______________.解答：这4张卡片中随机抽取2张共有中选法，这4张卡片中随机抽取2张数字之和为奇数共有，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为.第二部分古典概型实例：1．掷一(两)枚硬币；2．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的两位数；3．投掷两粒相同骰子，其数字的和；4．从三男两女五个人中选两个人参加会议；通过实例我们可以发现上述实验具有两个特征：(1)有限性：在试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：在试验中，可能出现的结果(基本事件)的可能性是均等的.具备上述两个特征的试验称为古典概型.一般地，对于古典概型，如果试验的个基本事件为由于基本事件是两两互斥，那么根据互斥事件的概率的加法公式得：又因为每个基本事件发生的可能性相等，即：，因此每个基本事件发生的概率为.如果随机事件包含着个基本事件，那么随机事件的概率，即在古典概型中，.因此在解决古典概型的概率时，要把基本事件的总数以及满足特殊要求的基本事件数找出来，这就与排列组合的知识联系在一起了.例题选讲：1．一个口袋中装有编号为1、2的2个白球和编号为1、2、3的3个黑球.(1)从中摸出两个球，求：两球恰好颜色不同的概率；(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率.解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为事件A，摸出两个球共有方法C=10种，其中，两球一白一黑有C·C=6种，则；(2)记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为事件B，按要求一共有种方法，事件B中包含：种方法，则.2．把张卡片分别写着2、4、6、7、8、11、12、13任取两张，求：这两张卡片上数字互质的概率.()解：记“所取两张卡片上数字互质”为事件A，8张卡片任取两张共有，2、4、6、7、8、11、12、13中质数：2、7、11、13，和数4、6、8、12事件A共有：，.课后练习：1．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.如果从中取出一件，然后放回，再取一件，则连续3次取出的都是正品的概率为______________.2．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取2张，则抽出的2张卡片上最大的数字是4的概率是______________.3．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，12的12名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为______________.练习答案：1.P(A)==0.5122.3.。
几种常见事件的概率讲解
几种常见事件的概率一、等可能事件的概率假设一次试验中共有n 种可能出现的结果，并且每种结果出现的可能性相等，如果事件A 包含的结果有()n m m ≤种，那么事件A 的概率()nm A P = 如：从一副52张（没有大小王）的扑克牌中，任取1张，恰为黑桃的概率为二、互斥事件有一个发生的概率（一）假设B A ,是互斥事件（不可能同时发生的事件），如果记B A ,有一个发生的事件为B A +，那么事件B A +的概率()()()B P A P B A P +=+如：（1）掷一枚骰子，出现点数为2或5的概率为（2）从一副52张（无大小王）的牌中取1张，恰为J 或Q 或K 的概率为（二）对立事件如果两个互斥事件B A ,必有一个发生，那么B A ,叫做对立事件事件A 的对立事件记作A ，且有()()1=+A P A P如：打靶，击中目标和未击中目标；掷骰子，出现点数为奇数和出现点数为偶数三、相互独立事件（发生与否互不影响）同时发生的概率假设B A ,是相互独立事件，记B A ,同时发生的事件为B A ⋅，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅如：（1）掷两枚硬币，都正面朝上的概率为（2）掷三枚骰子，分别出现3,2,1点的概率为四、独立重复试验（同一个试验的重复，且相互独立）的概率如果在一次试验中事件A 的概率是P ，那么事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为()()k n k k n n p p C k P --=1如：掷一枚硬币5次，恰有两次正面朝上的概率为五、练习1、假设一枚骰子掷一次，出现的点数为奇数叫做事件A ，那么()=A P2、任选一个两位数，它恰好是11的整数倍的概率是3、从5名男生和4名女生中选出3名代表，选出的代表全是女生的概率是4、甲、乙两人各自向同一目标射击一次，若甲击中目标的概率是7.0，乙击中目标的概率为6.0，则（1）恰有一人击中目标的概率是（2）击中目标的概率是5、连续掷两枚硬币，恰有一枚正面朝上的概率是6、五个人站成一排照相，甲、乙两人恰好站在两边的概率是7、从分别写有E,,,的5张卡片中任取2张，这2张上的字母按字母顺序、DCBA,恰好相邻的概率是8、在车间里工作着6名男工和4名女工，根据工牌号码随机地选择7名，则选择的人中恰有3名女工的概率为9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选出5台，求其中至少有原装与组装计算机各2台的概率。
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题22 概率问题(解析版)
专题22 概率问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．1．答案 310解析 从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=，甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所 以甲、乙都入选的概率310P =，答案为310． 2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 2．答案 635解析 从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的 有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为635． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片 上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15 B ．13 C ．25D ．23 3．答案 C 解析 从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=．故选C ． 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．234．答案 D 解析 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不 互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==．故选D ． 5．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大5．答案 D 解析 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p 甲，则21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦甲123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙，则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙．记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙．则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<⎡⎤⎣⎦甲乙，()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<⎡⎤⎣⎦乙丙，即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大．选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A 判断错误．故选D ．【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 6．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．【题型突破】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．451．答案 C 解析 方法一 (将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A ,1B ,1C ,1D ,2个0分别设为0A ,0B ，将4个1和2个0随机排成一行有A 66种排法，将1A ,1B ,1C ,1D ，排成一行有A 44种排法，再将0A ,0B 插空有A 25种排法，所以2个0不相邻的概率P ＝A 44A 25A 66＝23． 方法二 (含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C 26种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C 25种排法．所以2个0不相邻的概率P ＝C 25C 26＝23． 2．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3112．答案 A 解析 由题意得，从4个选项里选两个选项，共有C 24＝6(种)方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C 23＝3(种)方法．由古典概型的概率公式得所求的概率为P ＝36＝12． 3．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5213．答案 C 解析 由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，表示所得 到的4个数中包含2和4，且前3次只能出现2或4中的一个(不限次数)，第4次又摸到另外一个偶数，有1234,1224,3124,1224,4312,2234，共有6组，所以恰好在第4次停止摸球的概率P ＝621＝27． 4．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．344．答案 C 解析 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为C 38，这3只鞋子中任意两只都不成 双，选取的方法为C 34×23，所以所求概率为P ＝C 34×23C 38＝47． 5．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1205．答案 D 解析 由题意知，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有12 543,13542,14 532,23 541,24 531,34 521，共6个，所以恰好为“凸数”的概率为P ＝6120＝120． 6．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．6．答案 16解析 设齐王的上、中、下三个等次的马分别记为a ，b ，c ，田忌的上、中、下三个等次的 马分别记为A ，B ，C ，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，所有的可能为Aa ，Bb ，Cc ，田忌得0分；Aa ，Bc ，Cb ，田忌得1分；Ba ，Ab ，Cc ，田忌得1分；Ba ，Ac ，Cb ，田忌得1分；Ca ，Ab ，Bc ，田忌得2分；Ca ，Ac ，Bb ，田忌得1分，田忌得2分的概率为P ＝16． 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．答案 A 解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n ＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C 36＝20．故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p ＝2064＝516． 8．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．458．答案 B 解析 依题意，所选四艺要令该人和两个孩童都满意，则四艺中必选“礼”，“数”，两个孩童再分别从剩余的四艺“乐”、“射”、“御”、“书”中选两艺，共有n ＝C 24·C 24＝36(种)等可能选法，其中两孩童都不选“御”共有C 23·C 23＝9(种)等可能选法，其概率为936＝14，则两孩童至少有一个选到“御”的概率p ＝1－14＝34． 9．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．199．答案 C 解析 甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗的情况有A 33＝6种，符合题意的情况有3种，故所求概率为P ＝36＝12．故选C ． 10．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521 10．答案 B 解析 从七颗星中随机选两颗，共有C 72＝21种可能的结果，玉衡和天权至少一颗被选中共有C 21C 51＋C 22＝11种可能的结果，所以所求概率P ＝1121．故选B ． 题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立11．答案 B 解析 事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙) ＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16．事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D 错误．12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 12．答案 ABD 解析 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35， P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确． 13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．13．答案 0.18 解析 由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C 23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C 13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2914．答案 C 解析 易知小明三次共前进了8步时，只能是2次前进3步，1次前进2步的情况．根据题意得，前进1步、前进2步、前进3步的概率相同，均为13．故所求概率P ＝C 32×(13)2×(13)1＝19．故选C ．15．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能15．答案 B 解析 方法一中每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率p 1＝1－⎝⎛⎭⎫91020．方法二中每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率p 2＝1－⎝⎛⎭⎫4510．p 1－p 2＝⎝⎛⎭⎫4510－⎝⎛⎭⎫91020＝⎝⎛⎭⎫4510－⎝⎛⎭⎫8110010<0，则p 1<p 2．16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2316．答案 B D 解析 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，在A 中，目标恰好被命中一次的概率为12×13＋12×23＝12，故A 错误；在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得目标恰好被命中两次的概率为12×13＝16，故B 正确；在C 、D 中，目标被命中的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝23，故C 错误，D 正确．故选B 、D ． 17．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．17．答案 1354解析 甲以3∶2获胜，则第5局甲获胜，前四局甲两胜两负．根据规则，甲执红棋开局， 则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋．前四局甲取胜可能的情况是：①甲2次执红棋取胜；②甲2次执黑棋取胜；③甲1次执红棋和1次执黑棋取胜．故概率为⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－232×122×23＋⎣⎡⎦⎤C 2123⎝⎛⎭⎫1－23·C 2112⎝⎛⎭⎫1－12×23＝1354． 18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7818．答案 C 解析 由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡亮的概率为12×12×12＋12×12×12＋12×12×12＋2×12×12×12＝58．故选C ． 19．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 19．答案 ①②③ 解析 对于①，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P 1＝⎝⎛⎭⎫233＝827，故①正确；对于②，乙队以3∶0获胜，即第三局乙队获胜，概率为13，故②正确；对于③，乙队以3∶1获胜，即第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，概率为23×13＝29，故③正确；对于④，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为23×23×13＝427，故④错误． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．32520．答案 C 解析 分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P 1＝12×35×12×25＝350；②后四 球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P 2＝12×25×12×25＝125．所以所求事件概率为：P 1＋P 2＝110． 题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3421．答案 D 解析 ∵P (AB )＝12，P (A )＝23，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1223＝34.故选D ． 22．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2322．答案 B 解析 ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，∴依题意，得P (A )＝C 12C 13＋C 12C 14＋C 13C 14C 29 ＝1318．又∵取出2个球的颜色不同，且1个球为红球，1个球为白球的概率为P (AB )＝C 12C 13C 29＝16，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝161318＝313． 23．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3523．答案 D 解析 根据条件概率的计算公式可得，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝36×3536＝35． 24．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2924．答案 B 解析 设A ＝{甲第一次拿到白球}，B ＝{甲第二次拿到红球}，则P (AB )＝A 12A 13A 210＝115，P (A ) ＝C 12C 110＝15，所以P (B |A )＝P AB P A ＝13． 25．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09625．答案 B 解析 设事件B 1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B 2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B 3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P (B 1)＝20%，P (B 2)＝50%，P (B 3)＝30%．设事件A 表示“被保险人在一年内发生事故”，则P (A |B 1)＝0.05，P (A |B 2)＝0.15，P (A |B 3)＝0.30．由全概率公式，得P (A )＝ i ＝13P(B i )P (A |B i )＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175．26．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13026．答案 B 解析 设B 表示汽车中途停车修理，A 1表示公路上经过的汽车是货车，A 2表示公路上经过的汽车是客车，则P (A 1)＝23，P (A 2)＝13，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝23×0.02＋13×0.01＝160． 27．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1227．答案 ABC 解析 P (A )＝C 13C 15＝35，故A 正确；P (AB )＝C 13C 12C 15C 14＝310，故B 正确；P (B |A )＝P AB P A ＝31035＝ 12，故C 正确；P (A )＝1－P (A )＝1－35＝25，P (A B )＝C 12C 13C 15C 14＝310，P (B |A )＝P A B P A ＝31025＝34，故D 错误．28．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1228．答案 ABD 解析 由已知得P (A )＝24×24＋24×24＝12，P (B )＝P (C )＝24＝12，所以P (A )＝P (B )＝P (C )， 则A 中结论正确；P (AB )＝24×24＝14，P (AC )＝14，P (BC )＝14，所以P (BC )＝P (AC )＝P (AB )，则B 中结论正确；事件A ，B ，C 不相互独立，故P (ABC )＝18错误，即C 中结论错误；P (B |A )＝P AB P A ＝1412＝12，则D 中结论正确．29．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．29．答案 815 解析 记事件A i 为“球取自于i (i ＝1,2,3)号箱”，记事件B 为“取得红球”，B 发生总是 伴随着A 1，A 2，A 3之一同时发生，即B ＝A 1B ＋A 2B ＋A 3B ，且A 1B ，A 2B ，A 3B 两两互斥，P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝13，P (B |A 1)＝15，P (B |A 2)＝25，P (B |A 3)＝1，所以P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝13×15＋13×25＋13×1＝815． 30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2730．答案 BC 解析 记A i 为事件“零件为第i (i ＝1,2,3)台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为次 品”，则P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45．对于A ，即P (A 1B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＝0.25×0.06＝0.015，故A 错误；对于B ，P (B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，故B 正确；对于C ，P (A 2|B )＝P (A 2)·P (B |A 2)P (B )＝0.3×0.050.052 5＝27，故C 正确；对于D ，P (A 3|B )＝P (A 3)·P (B |A 3)P (B )＝0.45×0.050.052 5＝37，故D 错误．。
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率一．课题：互斥事件有一个发生的概率二．教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式运算一些事件的概率． 三．教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教学过程： 〔一〕要紧知识：1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．假设,A B 为两个事件，那么A B +事件指 ．假设,A B 是互斥事件，那么()P A B += ． 〔二〕要紧方法：1．弄清互斥事件与对立事件的区不与联系； 2．把握对立事件与互斥事件的概率公式；〔三〕基础训练：1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，假设产品中显现乙级品的概率为0.03，显现丙级品的概率为0.01，那么在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为〔 〕()A 0.04 ()B 0.96 ()C 0.97 ()D 0.992．以下讲法中正确的选项是 〔 〕()A 事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 ()B 事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 ()C 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件()D 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 〔 〕()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1574．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是〔 〕()A 都不是一等品()B 恰有一件一等品()C 至少有一件一等品()D 至多一件一等品5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，显现二级品的概率为 〔 〕()A 35350C C ()B 123555350C C C C ++ ()C 1－345350C C ()D 1221545545350C C C C C + 〔四〕例题分析：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，那么(1)摸出2个或3个白球的概率：223153531121224488C C C C 336()()()C C 777P P A A P A P A =+=+=+=+= (2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ〔B 4〕＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ〔A 4〕＝1－1413C C 4845=答：(1)摸出2个或3个白球的概率是67；(2)至少摸出1个白球的概率是1； (3)至少摸出1个黑球的概率是1314. 例2． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求以下事件的概率：(1)取到的2只差不多上次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只差不多上次品情形为22＝4种.因而所求概率为91364=.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P =9436423624=⨯+⨯(3)由于〝取到的两只中至少有一只正品〞是事件〝取到的两只差不多上次品〞的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=答：(1)取到的2只差不多上次品的概率为19；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为49；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为89.例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.假如选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名?解：设男生有x 名，那么女生有36-x 名.选得2名委员差不多上男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员差不多上女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ，解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 答：男女生相差6名.例4．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个小孩，假定男孩出生率是21.(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；解： (1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-(21)4＝1615；(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1-161-161＝87；五．课后作业：1．假如事件A 、B 互斥，那么 〔 B 〕()A A +B 是必定事件 ()B A +B 是必定事件()C A 与B 一定互斥()D A 与B 一定不互斥2．甲袋装有m 个白球，n 个黑球,乙袋装有n 个白球,m 个黑球,(m n ≠),现从两袋中各摸一个球,A ：〝两球同色〞,B ：〝两球异色〞，那么()P A 与()P B 的大小关系为( )()A ()()P A P B < ()B ()()P A P B = ()C ()()P A P B > ()D 视,m n 的大小而定3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，那么甲袋中的白球没有减少的概率为 ( )()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 4494．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 ( )()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1575．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，那么所取5件中至多有1件次品的概率为〔 〕()A 114 ()B 97 ()C 21()D 92 6．从装有10个大小相同的小球〔4个红球、3个白球、3个黑球〕口袋中任取两个，那么取出两个同色球的概率是 〔 〕()A 415 ()B 51 ()C 31()D 527．在房间里有4个人，至少有两个人的生日在同一个月的概率是 〔 〕()A 41 ()B 21()C 4196 ()D 55968.战士甲射击一次，咨询： (1)假设事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)假设事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分不求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.10.某单位36人的血型类不是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.12.在房间里有4个人，咨询至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：9641。
2013概率解答题训练及答案
1．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ. 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i i i P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+=所以ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.2．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得:应购进17枝3．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C===; 21543920(4)42C C P XC===; 12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P XC ===.故,所求X 的分布列为(Ⅱ) 所求X E (X )=6413()3i i P Xi =⋅==∑.4．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++ 2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++= (2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯=()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,221131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)5．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分(2)由题意,P(ξ=0)=1000110133=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=10007291011101333=-）（）（C所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为:E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯.6．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y 1 2 3 4 5P0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y===+==+===⨯+⨯+⨯=0.10.30.30.10.40.40.22(2)解法一X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客1办理业务所需的时间为2分钟.所以(1)(1)(1)(2)=⨯+=P X P Y P Y P Y===>+=0.10.90.40.49X=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.51解法二X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y==-=-==(1)1(0)(2)0.49P X P X P X所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.517．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E X . 解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ; (Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P ,1)2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PEX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241=.8．（2012年高考（江西理））如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,2,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望.解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V ===(2)V 的所有可能值为11240,,,,,因此V 的分布列为 EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=; (2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱. ∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1,的共有6对, ∴212661(6611P Cξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--.∴随机变量ξ的分布列是:10．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超．．过．2 钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p Xp X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( [来源:数理化网] 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980.11．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:Y 300解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X PX PX ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.12．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.13．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==.(2)依题意12,X X 的分布列分别如下: 1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯= 219() 1.8 2.92.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.14．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=10001015．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率;(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望). 【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m nm n +⨯+++(Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==111(1)(2)1424E X n n n n =⨯++⨯++⨯=+ 答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m nm n +⨯+++(Ⅱ)求X 的均值为1n +。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
第3章 2.3 互斥事件
2.3 互斥事件学习目标 1.了解互斥事件、事件A ＋B 及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．知识点一 互斥事件思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？ 答案 不能．梳理 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件．知识点二 事件A ＋B给定事件A ，B ，我们规定A ＋B 为一个事件，事件A ＋B 发生是指事件A 和事件B 至少有一个发生．知识点三 互斥事件概率加法公式思考 一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A ＝“向上的点数大于2”；B ＝“向上的点数大于3”；则P (A ＋B )是否等于P (A )＋P (B )? 答案 A ＋B 即：向上的点数大于2， ∴P (A ＋B )＝46＝23，而P (A )＝46，P (B )＝36，P (A )＋P (B )＝76≠P (A ＋B )．梳理 互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中，如果随机事件A 和事件B 是互斥事件，那么有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)如果随机事件A 1，A 2，…，A n 中任意两个是互斥事件，那么有P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 知识点四 对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？答案共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．梳理在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A；对立事件概率公式P(A)＝1－P(A)．1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(×)2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√)3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√)类型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．反思与感悟如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．解A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．类型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．解 分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.类型三 对立事件的概率例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？ (2)他参加不超过2个小组的概率是多少？解 (1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35＝0.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6. (2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”， 则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于1315.反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．跟踪训练3某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)A的概率为多少？(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解(1)因为A与A互为对立事件，所以P(A)＝1－P(A)＝0.05.(2)事件B与事件C互为对立事件，所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(A)＝0.3－0.05＝0.25.1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；只有当A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对答案 C解析 由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件．又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件．3．在同一事件下，若P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．以上答案都不对答案 C4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球；都是红球 B ．至少有一个红球；都是白球 C ．至少有一个红球；至少有一个白球 D ．恰有一个红球；恰有两个红球 答案 D解析 可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中排除还是对立的事件后，即可获得互斥而不对立的事件．在各选项所涉及的四对事件中，仅选项B 和D 中的两对事件是互斥事件．同时，又可以发现选项B 所涉及事件是一对对立事件，而D 中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件． 5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________． 答案512解析 记甲队胜为事件A ， 则P (A )＝1－14－13＝512.1．互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B 互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁I B 或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.一、选择题1．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定答案 D解析由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A＋B)的值不能确定．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述几对事件中是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 答案 C解析 从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故选C.4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 答案 C解析 设“质量小于4.8g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在4.8 g ～4.85 g ”为事件C ，则A ＋C ＝B ，且A ，C 为互斥事件，所以P (B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )，则P (C )＝P (B )－P (A )＝0.32－0.3＝0.02.5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A ，B ，C ，D ，E ，则A ，B ，C ，D ，E 互斥，取到理科书的概率为事件B ，D ，E 概率的和． ∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.6．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.56 答案 A解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T ≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为110＋16＋13＝35.7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”， 事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式， 可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.8．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )A ．都是一级品B ．都是二级品C ．一级品和二级品各1件D ．至少有1件二级品 答案 D解析基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种，因此至少有1件二级品的基本事件有7种，故“至少有1件二级品”的概率为710.二、填空题9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．答案 59解析 记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，至少有一个5点或6点的事件为B .则A 与B 是对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A 表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P (A )＝310，P (B )＝12，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________．答案 45解析 记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A “3个球中有1个红球，2个白球”和事件B “3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A 与事件B 是互斥的，所以P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45. 11．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人． 答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120. 再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120. 三、解答题12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A 1)＋P (A 2)＝0.3＋0.2＝0.5，P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．13．玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解 方法一 (1)因为事件A ，B ，C ，D 彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.四、探究与拓展14．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 答案 35解析 由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又P (A )＝2P (B )，联立方程组解得P (A )＝25，P (B )＝15，故P (A )＝1－P (A )＝35. 15．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )＝13，P (B ＋C )＝512，P (C ＋D )＝512，P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝512，13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14， 故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
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互斥事件有一个发生的概率学习指导1、互斥事件（1）两个互斥事件：不可能同时发生的两个事件（2）多个互斥事件：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件都是互斥事件，则说事件A1，A2，…，A n彼此互斥。
（3）从集合角度看：记某次试验的结果为全集U如果A、B是这次试验的两个互斥事件所含有的结果组成的集合，则A∩B=φ，A∪B≠⊂I。
如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集。
2、对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样两个互斥事件叫做对立事件。
符号：事件A的对立事件用A表示从集合角度看，记某次试验的结果为全集U，A与A是两个对立事件的结果组成的集合，则A∩A=φ，A∪A=U。
也就是说，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。
3、互斥事件与对立事件比较区别：互斥事件强调两个事件不可能同时发生，并非说明两个互斥事件不可能同时不发生，即在一次试验中两个互斥的事件可能都不发生，因此互斥事件不一定是对立事件。
如果A与B是互斥事件，那么在一次试验中可能出现的结果是：①A发生B不发生，②B发生A不发生，③A与B均不发生。
对立事件是指在一次试验中必然有一个发生的两个事件。
用Veen图表示联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生。
对立事件一定是互斥事件，对立事件是特殊的互斥事件，两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件。
4、加法公式（1）两个互斥事件至少有一个发生的概率的计算公式①两个事件的和。
设A、B是两个事件，如果在一次试验中，A或B至少有一个发生。
符号A+B即A+B表示这样的事件：如果在一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示该事件发生。
特例，当事件A与B互斥时②两个互斥事件的和：两个互斥事件至少有一个发生此时P(A+B)=P(A)+P(B) ……加法公式即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之和推广（2）多个互斥事件至少有一个发生的概率①多个事件的和：若事件A1，A2，…，，A n中至少有一个发生符号：A1+A2+…+A n特别地，当A1，A2，…，A n彼此互斥时②多个互斥事件的加法公式：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。
即 P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)（3）对立事件的加法公式P(A+A)=P(A)+P(A)=1或 P(A)=1-P(A)5、用加法公式求概率的一般步骤：第一步，确定这些事件彼此互斥第二步，确定这些事件中有一个发生第三步，分别求出每一事件发生的概率（用等可能事件概率的求法），然后再求这些概率的和6、思想方法：（1）化归思想，例在求某些稍复杂的事件的概率时，通常将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，此时应达到不重不漏的要求。
或转化为求对立事件的概率。
（2）集合思想，借助于Veen图理清各事件构成的集体之间的关系。
四、典型例题例1、每1万张有奖明信片中，有一等奖5张，二等奖10张，三等奖100张。
某人买了1张，设事件A“这张明信片获一等奖”，事件B“这张明信片获二等奖”，事件C“这张明信片获三等奖”，事件D“这张明信片未获奖”，事件E“这张明信片获奖”，则在这些事件中（1）与事件D互斥的有哪些事件？（2）与事件D对立的有哪些事件？（3）与事件A+B对立的有哪些事件？（4）与事件------+BA互斥的有哪些事件？解题思路分析：用Veen图表示上述事件构成的集合之间的关系，如图，由图可知（1）与事件D互斥的事件有：A、B、C、E、A+B、B+C、A+C（2）与事件D对立的事件为E，也就是A+B+C（3）与A+B对立的事件：C+D（4）因------+BA=C+D，所以与------+BA互斥即与C+D互斥，事件有：A，B，A+B例2、一个不透明的袋中装入4个白球与黑球，从中任意摸出3个球（1）可能发生哪些事件？（2）指出其中每个事件的互斥事件；（3）事件“至少摸出一个白球”是哪几个事件的和事件？它的对高水平事件是哪个事件？解题思路分析：（1）以白球或黑球的个数作为讨论标准。
可能发生下列事件：①摸出3个白球，记为事件A②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C④摸出3个黑球，记为事件D（2）事件A、B、C、D彼此互斥；（3）“至少摸出1个白球”的事件为A、B、C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D。
评注：由（3）可知，“至少摸出1个白球”的事件组成比较复杂，但其对立事件“摸出3个黑球”则组成较为简单。
因此，如果要求“至少摸出1个白球”的概率，则改为对立事件的概率，再利用公式P(A)=1-P(A)较简单。
例3、一副扑克抽掉大小主之后，还有52张，从这52张中任意抽出1张（1）求抽出的这张是红桃A的概率；（2）求抽出的这一张是红色牌的概率；（3）求抽出的这一张是A、K、Q、J的概率。
解题思路分析：（1）52张片中任意抽取一张，结果是等可能的∴抽出的这张牌是红桃A的概率为1/52（2）红色牌包括红桃与方块两种。
记“抽1张红桃牌”为事件T，“抽1张方块牌”为事件F，所以抽出的一张红色牌是指抽取一张红桃牌或一张红方块牌，即F+T∵ F与T互斥∴ P(F+T)=P(F)+P(T)∵红桃牌有13张∴抽取1张牌得红桃的概率P(T)=13/52=1/4同理，P(F)=1/4∴ P（F+T）=1/2（3）记“抽1张牌得A”为事件A“抽1张牌得K”为事件K“抽1张牌得Q”为事件Q“抽1张牌得J”为事件J∵ 52张牌中A有四种花色∴ P(A)=4/52=1/13同理，P(K)=P(Q)=P(J)=1/13又∵事件A、K、Q、J彼此互斥∴抽1张牌为A或K或Q或J的概率为P(A+K+Q+J)=P(A)+P(K)+P(Q)+P(J)=1/13+1/13+1/13+1/13=4/13评注：问题（2）、（3）也可以用等可能事件的概率来解。
问题（2）中，红桃与红方块共有26张，而抽出任何一张牌都是等可能事件。
所以抽1张牌得到红桃或方块的概率为26/52=1/2同理问题（3），由于A 、K 、Q 、J 共有4×4=16张，故P(A+K+Q+J)=16/52=4/13例4、袋中有9个编号分别为1，2，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个编号为奇数的概率。
解题思路分析：“至少有一个编号为奇数”包含两种情形：“一编号为奇一编号为偶数”，“两编号均为奇数”。
记其中恰有一个球上的编号是奇数的为事件A ，恰有两个球上的编号为奇数的为事件B 、B 互斥。
由等可能事件的概率公式 185C C )B (P 95C C C )A (P 2925291415====∴ 6518595)B (P )A (P )B A (P =+=+=+ 评注：运用加法公式的前提是判断事件间是否互斥，要学会把一个事件分为几个互斥事件。
例5、有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码末位数字相同的概率。
解题思路分析：直接计算符合条件的事件个数情形较多，因此可转化为求对应事件的概率。
记事件A 为“至少有两位同学彩票号码的末位数字相同”，则A 为“4位同学所买彩票号码的末位数字不相同”，因每人所买彩票的末位数字均有0，1，2，…，9十种可能，故基本事件的总数为10×10×10×10=104个，A 所包含的基本事件个数对应着从0，1，2，…，9这10个数字取4个不同数字的全排列，有A 104个。
∴ 1256310A )A (P 4410==∴ 12562125631)A (P 1)A (P =-=-= 评注：本题只需考虑末位数字。
当题目条件含有“至少”、“至多”等情形，从正面直接求解较繁烦时，应考虑转化为求对应事件的概率。
这种“正难则反”的思想在本章学习中常常用到。
例6、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位。
设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。
设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求（1）P(A)、P(B)、P(C) （2）1张奖券的中奖概率（3）1张奖券不中特等或一等奖的概率 解题思路分析：（1）由等可能事件概率求法1100050)C (P ,1001100010)B (P ,10001)A (P =====（2）“1张奖券中奖”指1张奖券中特等奖，或一等奖，或二等奖，即指事件A+B+C∵ A 、B 、C 是互斥事件∴ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.001+0.01+0.05=0.065 （3）1张奖券不中特等奖或一等奖是指------+B A∵------+B A 与A+B 是对立事件∴ P(------+B A )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=1-0.001-0.01=0.989 例7、10台彩电中有8台正品，2台次品，从中任取2台，求： （1）“1台正品，1台次品”的概率 （2）“2台都是次品”的概率（3）“1台正品，1台次品”或“2台都是次品”的概率解题思路分析：记从10台彩电中任取2台的事件为U记取“1台正品，1台次品”的事件为A ，取“2台都是次品”的事件为B （1）、（2）是等可能事件的概率（1）45169528C C C )U (card )A (card )A (P 2101218=⨯⨯=== （2）451C 1)I (d 5car )B (card )B (P 210===（3）法一：本小题即求P(A+B)∵ A 、B 是互斥事件 ∴ P(A+B)=P(A)+P(B)=45174514516=+ 法二：记“2台都是正品”为事件C ，则本小题求)C (P ∵ 4528C C )C (P 21028==∴ 251745281)C (P 1)C (P =-=-= 例8、黑暗中从4双鞋子中任意摸出2只鞋子不能配成1双的概率是多少？ 解题思路分析：法一：记“从4双鞋子中任意摸出2只鞋的所有结果”为事件U ，“其中不能配成1双”为事件A 则由等可能事件的概率公式：76C C C C )U (card )A (card )A (P 28121224=== 法二：用对立事件加法公式：A 表示“从4双鞋子中任意摸出2只恰好配成一双”，其结果为C 41种∴ 71C C )U (card )A (card )A (P 2814=== ∴ 76)A (P 1)A (P =-= 例9、公元前73年在罗马暴发了斯巴达克斯领导的奴隶起义，起义军接连取得了胜利。