高一数学第6章知识点
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切(第3课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，
例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a
, cos a
,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．
【解析】解：由题意可得，x=4
故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=
||
= ，
高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数高一第一册数学
堂 小
导
学
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
结 提
探
新 知
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究
素 养
其它象限的图象．
课
合
时
作
2．幂函数在第一象限的图象与性质
分
探
层
究 释
(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函
作 业
疑
难 数．
返
首
12/9/2021
课 堂 小
导
结
学 探 新 知
∴1312>1412．
提 素 养
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 课
合 作 探
且－23<－35，
时 分 层
究
作
释 疑 难
∴－23－1>－53－1．
业
返
首
12/9/2021
页
第二十一页，共五十五页。
课
情 景 导 学
(3)0.25－14＝14－14＝212，
堂 小 结 提
返 首 页
第五页，共五十五页。
2．幂函数的图象和性质
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返
首
12/9/2021
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第六页，共五十五页。
课
情
堂
景
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导
结
学
提
高一数学第6章知识点汇总
高一数学第6章知识点汇总在高一学习数学的过程中，第6章是一个非常重要的章节。
这一章主要涉及到了数学中的一些重要概念和运算规则，例如集合的性质与运算、二次函数与一元二次方程、指数与对数等。
下面将针对这些知识点进行汇总和总结。
1. 集合的性质与运算集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在集合的定义中，我们需要了解集合的元素以及集合的性质。
集合的元素可以是数字、字母、符号等，而集合的性质可以是包含关系、相等关系、交集、并集等。
2. 二次函数与一元二次方程二次函数是一个非常重要的函数形式，在高中数学中经常会遇到。
一元二次方程则是由二次函数所导出的方程形式。
对于二次函数，我们需要了解其图像的特征，包括顶点、对称轴、开口方向等。
而在求解一元二次方程时，我们需要掌握配方法和公式法等求根的方法。
3. 指数与对数指数与对数是数学中的一对互逆运算，它们可以互相转换。
指数运算是将一个数按照指数的次数进行重复相乘，而对数运算则是指数运算的逆运算。
在学习指数与对数时，我们需要熟悉它们的基本性质和运算规则，例如指数的乘法法则、对数的换底公式等。
4. 几何向量几何向量是数学中的一个重要概念，它具有大小和方向两个属性。
在研究几何向量时，我们需要了解向量的表示方法、向量的加减法、数量积与向量积等基本运算规则。
通过学习几何向量，我们可以更好地理解平面几何和立体几何中的一些基本概念和定理。
5. 概率与统计概率与统计是数学中的一门应用性较强的学科，它主要研究的是事件的可能性和数据的收集与处理方法。
在学习概率与统计时，我们需要掌握事件的概率计算方法、随机变量的期望和方差等基本概念，以及样本调查和统计推断等基本方法。
通过对以上知识点的学习和总结，我们可以更好地掌握高一数学第6章的内容。
在学习过程中，我们应该注重理论的学习和实际应用的联系，通过解题的方式不断巩固和加深对知识点的理解。
此外，数学的学习需要注重提高解题能力和思维能力，要善于运用已有的知识和方法解决实际问题。
高一数学讲义 第六章 三角函数
高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。
高一数学第6章知识点总结
高一数学第6章知识点总结第一节直线方程的表示及其应用直线的斜率公式：两点A（x1,y1）和B（x2,y2）确定的直线的斜率为k=（y2-y1）/（x2-x1）直线的截距式方程：已知直线的斜率k和截距b，直线的方程可表示为y=kx+b直线的点斜式方程：已知直线的斜率k和直线上的一点（x1,y1），直线的方程可表示为y-y1=k(x-x1)直线的一般式方程：直线的方程可表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0应用：直线方程的表示及其应用在解决平行线、垂直线和过定点直线等问题中起到重要作用。
第二节直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括以下几种情况：1. 直线与圆相交：当且仅当直线与圆的方程组有实数解时，直线与圆相交。
2. 直线与圆相切：当直线与圆的切点为唯一点时，直线与圆相切。
3. 直线位于圆内：当直线与圆的方程组无实数解时，直线位于圆内。
4. 直线位于圆外：当直线与圆的方程组有两个实数解时，直线位于圆外。
第三节二次函数二次函数的标准式：f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）二次函数的图像特征：1. 抛物线开口向上或向下，取决于二次函数的系数a的正负性。
2. 顶点表示二次函数的最值点。
3. 零点为二次函数与x轴的交点，也即方程f(x)=0的解。
二次函数的性质及应用：1. 利用二次函数求最值：对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的纵坐标。
2. 利用二次函数求零点：解二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
3. 利用二次函数解决实际问题：二次函数在建模和物理问题中有广泛应用，如求最优解、研究抛物线的形状等。
第四节空间几何空间几何涉及点、线、面等物体在三维空间中的形状和位置关系。
1. 平面方程的表示：平面的方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数且A、B、C不同时为0。
2. 直线与平面的位置关系：a) 直线在平面上：直线的方程与平面的方程满足相容方程组。
高一数学每一章知识点梳理
高一数学每一章知识点梳理【高一数学每一章知识点梳理】第一章：数列与数学归纳法数列的概念和性质- 数列的定义与表示方法- 等差数列与等差中项- 等比数列及其性质- 数列的求和公式- 等差数列与等比数列的和的性质- 斐波那契数列数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与原理- 数学归纳法的应用第二章：函数基本概念函数的定义与表示- 自变量与因变量- 函数的定义及表示方法- 函数的值域与定义域- 函数的图像与性质函数的基本性质- 函数的奇偶性- 奇偶函数的性质- 函数的单调性与最值- 函数的周期性- 函数的反函数线性函数与二次函数- 线性函数的概念与性质- 线性函数的图像与应用- 二次函数的概念与性质- 二次函数的图像与应用第三章：三角函数单位圆与三角函数的定义- 单位圆的坐标体系- 弧度与角度的互换- 正弦、余弦、正切函数的定义- 三角函数的周期性与奇偶性三角函数的诱导公式- 诱导公式的概念与推导- 角和差公式- 二倍角公式与半角公式三角函数的图像性质与变换- 正弦、余弦、正切函数的图像性质- 幅值、周期、相位的变化- 三角函数的平移与反转第四章：平面向量向量的概念与表示- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向与共线性- 零向量与相反向量向量的运算- 向量的加法与减法- 数乘与向量的数量积- 向量的数量积与夹角- 向量的向量积及其性质平面向量的应用- 平面向量的共线性、共面性- 利用平面向量解决几何问题第五章：解直角三角形勾股定理与三角函数- 直角三角形的性质与定义- 勾股定理的概念与应用- 单位圆上的三角函数与直角三角形的关系解直角三角形- 已知两边求夹角- 已知一边一角求其他边与角度解决初等几何问题- 利用三角函数解决初等几何问题第六章：平面几何向量向量的基本运算法则- 向量的加法、减法与数量积- 向量运算的几何意义- 平面向量与坐标的转换向量的线性相关与线性无关- 向量的线性组合- 向量的线性相关性与线性无关性平面向量的数量积- 数量积的概念与性质- 向量夹角的数量表示- 零向量与向量垂直的判定平面向量的应用- 平面向量解决几何问题- 向量平行和垂直的判定第七章：不等式与不等式组一元一次不等式- 一元一次不等式的概念与解法- 一元一次不等式的综合应用一元二次不等式- 一元二次不等式的概念与解法- 一元二次不等式的综合应用一元函数不等式- 一元函数不等式的概念与解法- 一元函数不等式的综合应用多元函数不等式组- 多元函数不等式组的概念与解法- 多元函数不等式组的应用第八章：平面几何直线与圆直线的方程与性质- 直线的斜截式与截距式- 直线的点斜式与两点式- 直线的平行与垂直关系- 直线的夹角与交点性质圆的方程与性质- 圆的一般方程与特殊方程- 圆的位置关系- 切线与切点的性质圆的切线方程- 切线的定义与判定条件- 切线方程的推导与应用- 切线长度的求解【总结】以上是高一数学每一章的知识点梳理，通过系统的学习与掌握这些知识点，可以帮助同学们打下牢固的数学基础，为后续学习提供有力支持。
高一上册数学知识点
高一上册数学知识点高一上册数学知识点第一章导数与函数1. 初步认识函数2. 数列与函数3. 函数的概念4. 初等函数的图象与性质5. 导数的概念6. 导数的简单应用7. 函数的单调性和极值8. 综合应用：函数的综合运用第二章三角函数1. 弧度制与角度制2. 正弦函数3. 余弦函数4. 正切函数5. 函数的性质与图象6. 诱导公式和倍角公式7. 三角函数的简单应用第三章概率初步1. 事件与概率2. 概率的基本规则3. 互斥事件与全概率公式4. 条件概率与乘法公式5. 贝叶斯公式6. 离散型随机变量7. 二项分布8. 正态分布第四章平面向量1. 向量的概念2. 向量的基本运算3. 向量的数量积4. 向量的向量积5. 平面向量的应用第五章常微分方程初步1. 常微分方程基本概念2. 初值问题与解的存在唯一性3. 一阶可分离变量微分方程4. 一阶线性微分方程5. 微分方程的应用第六章空间几何初步1. 空间点、直线和面2. 点、直线和面的位置关系3. 球与球面4. 空间中的方向角与方位角5. 空间向量的数量积与向量积6. 平面与直线的交点问题7. 空间几何的应用第七章解析几何初步1. 平面直角坐标系2. 直线的一般式方程3. 直线的截距式方程和点斜式方程4. 圆的一般式方程与标准式方程5. 解析几何的应用以上是高一上册数学知识点的简单介绍，希望能为同学们的学习提供帮助。
在学习过程中，同学们需要注重对基本概念的理解，同时也要善于运用所学知识进行综合运用。
同时，也要注重实际问题的应用，力求掌握知识点的实际应用能力。
高一数学必修第一册 第6章 第四节 课时4 百分位数(解析版)
第6章 第四节 课时4 百分位数一、单选题1．已知一组数据为4,5,67,8,8,,第40百分位数是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5 【答案】C【解析】直接利用百分位数的定义求解.【详解】因为有6位数，所以640 2.4⨯=%，所以第40百分位数是第三个数6.故选：C2．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）A ．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数D ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数【答案】C【分析】举反例否定选项AB ；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.【详解】若100个数据全为9.3，满足题意，但不满足选项A ，故A 错误；当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.选项B 判断错误；把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数. 则选项C 判断正确，选项D 判断错误.故选：C3．已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27、28、39、40、m 、50；乙组：24、n 、34、43、48、52.若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则m n 等于（ ） A ．127 B ．107 C ．43 D ．74【答案】A【分析】根据百分位数的定义，求出30%6 1.8⨯=，故选取第2个数据为30百分位数，同理选取第5个数据作为80百分位数，求出48m =，28n =，进而求出结果.【详解】因为30%6 1.8⨯=，大于1.8的比邻整数为2，所以30百分位数为28n =，80%6 4.8⨯=，大于4.8的比邻整数为5，所以80百分位数为48m =，所以4812287m n ==. 故选：A二、填空题4．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为______.【答案】122.【解析】通过计算成绩在130分以下的学生和成绩在110分以下的学生所占比例，确定80%分位数所在位置，利用比例求解即可.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为10.0050200.9-⨯=，成绩在110分以下的学生所占比例为()10.01250.0050200.65-⨯⨯=，因此80%分位数一定位于[)110,130内，由0.80.65110201220.90.65-+⨯=-，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122. 故答案为：122【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用和分位数的计算，考查学生分析数据的能力，属于中档题.三、解答题5．为了了解甲､乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：分别求甲､乙两厂样本轮胎宽度的10%分位数与75%分位数.【答案】甲厂样本轮胎宽度的10%分位数193mm ；75%分位数为196mm ；乙厂样本轮胎宽度的10%分位数为193mm ，75%分位数为196mm .【分析】先由折线图得出数据，再将其从小到大排列，最后求出百分位数.【详解】甲厂轮胎宽度的数据为195，194，196，193，194，197，196，195，193，197， 从小到大排列，得193，193，194，194，195，195，196，196，197，197.又1010%1⨯=，10757.5%⨯=，所以甲厂样本轮胎宽度的10%分位数为第1项与第2项数据的平均数，即193mm ；75%分位数为第8项数据，即196mm .乙厂轮胎宽度的数据为196，197，194，193，196，195，196，193，196，194， 从小到大排列，得193，193，194，194，195，196，196，196，196，197， 所以乙厂样本轮胎宽度的10%分位数为193mm ，75%分位数为196mm .6．从某珍珠公司生产的产品中，随机抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g ）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)求出这组数据的四分位数.(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量.(3)若用25%，50%，95%分位数把该公司生产的珍珠划分为次品､合格品､优等品和特优品，依照这个样本数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.【答案】(1)8.15，8.5，8.75(2)7.8g ，7.9g .(3)答案见解析【分析】（1）将所有数据从小到大排列，由四分位数的定义求解即可；（2）由1215% 1.8⨯=，得出产品质量较小的前15%的产品有2个；（3）先计算95%分位数，再根据25%，50%，95%分位数将珍珠等级进行划分.【详解】(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，1225%3⨯=，1250%6⨯=，1275%9⨯=，所以25%分位数是8.08.38.152+=， 50%分位数是8.58.58.52+=， 75%分位数是8.68.98.752+=. 故这组数据的四分位数分别为8.15，8.5，8.75.(2)因为共有12个数据，1215% 1.8⨯=，所以产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g ，7.9g .(3)由（1）可知样本数据的25%分位数是8.15，50%分位数是8.5因为1295%11.4⨯=，所以95%分位数是第12个数据，即9.9，所以质量小于等于8.15g 的珍珠为次品，质量大于8.15g 且小于等于8.5g 的珍珠为合格品，质量大于8.5g 且小于等于9.9g 的珍珠为优等品，质量大于9.9g 的珍珠为特优品.。
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高一数学第6章知识点
第一节：函数与方程
函数与方程是高一数学中非常重要的概念。
在这一章中，我们将学习如何理解、运用和解决函数与方程的问题。
1. 什么是函数？
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
在数学中，我们可以用不同的方式来表示函数，如显式表达式、隐式表达式、图像等。
函数的定义域（输入）和值域（输出）是确定函数特性的重要因素。
2. 函数的性质
函数具有许多重要的性质，如有界性、单调性、奇偶性、周期性等。
通过研究函数的性质，我们可以更好地理解函数的行为和特点。
3. 方程与不等式
方程和不等式是表示数学关系的重要工具。
通过解方程和不等式，我们可以找到使其成立的未知数的值。
方程和不等式在解决
实际问题中起着重要的作用，例如确定最大值、最小值、等速率
等问题。
第二节：多项式函数
多项式函数是高中数学中的关键概念之一。
它是一种形式为
f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 的函数，其中 a_n
是非零常数，n 是非负整数。
1. 多项式的基本性质
多项式函数具有许多重要的性质，如奇次多项式和偶次多项式
的图像特点、多项式函数的极值、多项式函数与方程的关系等等。
2. 多项式的运算
多项式函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
这些
运算在多项式函数的化简和计算中非常有用。
3. 多项式的根与因式分解
多项式的根是使多项式等于零的解。
通过寻找多项式函数的根，我们可以将其因式分解为不可再分解的因子。
第三节：指数与对数函数
指数与对数函数是高中数学中一个重要的研究对象，它们在科学、工程和经济学等领域有着广泛的应用。
1. 指数函数
指数函数可以用 f(x) = a^x 来表示，其中 a 是正实数且不等于1。
指数函数具有许多重要的性质，如单调性、连续性、收敛性等等。
2. 对数函数
对数函数是指数函数的反函数。
对数函数可以用 f(x) = log_a(x) 来表示，其中 a 是正实数且不等于1。
对数函数具有与指数函数相对应的性质，如增长速度、反函数性质等等。
3. 指数与对数的运算
指数与对数具有一系列重要的运算定理，如指数函数与对数函
数的互反性、指数函数与对数函数的乘法法则、幂函数的运算法
则等等。
结语
高一数学第6章的内容十分广泛且重要，掌握这些知识点对于
后续数学学习的深入和应用至关重要。
通过理解和运用函数与方程、多项式函数、指数与对数函数等概念，我们可以解决各种实
际问题，提高数学思维和解决问题的能力。
希望同学们能够认真
学习、理解和掌握这些知识点，为进一步的学习打下坚实的基础。