生活中的不等式
§7.1 生活中的不等式
连云港市海州实验中学刘洪超
一、教学目标：
1、感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义。
2、经历由具体问题建立不等式的过程，初步体会不等式是刻
画现实世界的一种数学模型。
二、教学重点：
引导学生自主探究，发现现实生活中存在的大量不等关系，感受生活与数学的紧密联系，并增强学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯与方法。
教学难点：
如何正确引导学生养成良好的思维习惯，培养学生掌握科学的学习方法。
三、法方法与教学手段：
采用启发式教学方法，引导学生自主探究，促进学生学会在实践中思考、探索、交流、合作，获取数学知识。
四、教学过程
1、情景创设
在日常生活中，当一些同类量之间无法用相等的关系来表示时，人们就会用不等关系表示。
例如：①天山雪牌原味酸牛奶饮品的商标上注明蛋白质≥0.1﹪。
②一辆轿车在某公路上的行驶速度a Km/h是已知该公路对轿车
的限速是100Km/h，那么可以表示为a≤100。
2、探索活动
用数学式子表示下面数量之间的关系：
⑴某种袋装牛奶中，每100克牛奶含x克蛋白质，y克脂肪、该牛奶的营养成分含量如下表。
⑵一辆48座的旅游车载有游客x人，到一个站又上来2人，车内仍有空座位。
3、相互交流
每个同学举出有不等关系的实例，并与同学交流。
老师有选择的将一些不等式写到黑板上，提问“这些数学式子有什么共同特点？”“你能再写出几个类似的不等式吗？”
老师引导得出不等式的概念“用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式”
4、例题教学
用不等式表示：
⑴a是正数；
⑵b是非负数；
⑶x与3的差不大于2；
⑷y的一半与7的和不小于－5。
提醒学生注意不等式的书写格式。
5、完成课后练习
6、师生共同小结
五、布置作业
1、完成书本习题7.1的第
2、3题。
2、收集关于不等号表示的历史发展资料，撰写一篇不少与
300字的数学小论文。
用一元一次不等式(组)解决生活中的实际问题
用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。 一、打折问题： 例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？ 解析：利润 = 售价－进价。设可以打x折，则：400×0.1x－200≥120 解之得，x≥8 答：最低可以打8折。 二、赛球问题： 例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？ 解析：甲队总得分= 甲队胜场的得分＋甲队平场的得分。设甲队胜了x场， 则：3x＋1×（12－x）＞26解之得，x＞7 ∴x的最小整数值是8 。 答：甲队至少胜了8场。 三、购买问题： 例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八
折销售。在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？ 解析：设需要买x块肥皂，第一种方法的购价为：2＋2×0.7×（x－1）元， 第二种方法的购价为：2×0.8 = 1.6元。则：2＋2×0.7×（x－1）＜1.6 解之得，x＞3 ∴x的最小整数值是4 。 答：最少需要买4块肥皂。 四、分苹果问题： 例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。 解析：最后1名学生分得的苹果数= 苹果总数－7（学生数－1），设学生人数为x 名，则： 44－（x－1）×7＞0 ① 44－（x－1）×7＜3 ② 解之得，＜x＜∵x是整数，∴x=7 答：学生人数是7人。 五、方案决策问题： 例5，某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本如下表： 问：该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
数学八年级下册应用不等式解决生活问题
应用不等式解决生活问题 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面和同学们欣赏中考中的应用问题． 一、进货方案设计型 例1、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元． （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得 1(100),218001500(100)161800.x x x x ?≥-???+-≤? ，解不等式组，得 1333≤x ≤1393． 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案． （2）设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得 y ＝（2000－1800）x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000． ∵ 100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大． 即 当x ＝39时，商店获利最多为13900元 点评：本题是一道开方性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出最佳解决方案． 二、租赁方案设计型： 例2、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现
高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用
高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用 拉格朗日MJ 兰三中 摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。 关键词：cauchy不等式、radon不等式。 一、不等式的引入 数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。 二、不等式在数学问题中求解的重要性 不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。 不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。 不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。
生活中的一元一次不等式应用
生活中的一元一次不等式应用 山东张海生 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面就以例题的形式一块和同学们欣赏一下，这也是培养我们实际能力的好机会． 一.学校决策问题 学校为购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每个计算器按九折出售；乙公司表示购买１００个以上，按八折收费．请你为学校分析，应选择哪家公司较好． 解：设在学校集体购买的计算器为ｎ个， ①显然，当ｎ≤１００时，选择甲公司较好； ②当ｎ＞１００时，设每个计算器的价格为ｘ元， 那么，学校付给甲公司为：０．９ｘｎ元；付给乙公司为：１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ元 当０．９ｘｎ＜１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＜２００； 当０．９ｘｎ＝１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＝２００； 当０．９ｘｎ＞１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＞２００． 所以，当学校购买的计算器在200个以内时，选择甲公司较好；当购买200个计算器时，两个公司都一样；当购买计算器在200个以上时，选择乙公司较好． 二、工程预算问题 爆破时导火索燃烧的速度是每秒钟0.9cm，点导火索的人需要跑到120m以外才安全，如果他跑的速度是每秒6m，那么这个导火索的长度应大于多少cm？ 解：设导火索的长度应大于xcm． x＞18
答：导火索的长度应大于18cm． 四、生活娱乐问题 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地.猜猜小宝的体重约有多少千克？（精确到1千克） 解:设小宝的体重是x千克，则妈妈的体重是2x千克. 由题意得,由此可以得出小宝的体重. 五、能源节约问题 水是人类宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平．为节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划．如果实际每天比计划多用一吨水，那么本学期的用水总量将会超过２３００吨；如果实际每天比计划节约一吨水，那么本学期的用水总量将会不足２１００吨．如果本学期在校时间按１１０天（２２周）计算，那么学校计划每天用水量应控制在什么范围？（结果保留４个有效数字） 解：设学校计划每天用水ｘ吨，依题意，得： １１０（ｘ＋１）＞２３００１１０（ｘ－１）＜２１００， 解这个不等式组，得２１９１１＜ｘ＜２２１１１， 所以１９．９１＜ｘ＜２０．０９． 答：学校计划每天用水量应控制在１９．９１吨至２０．０９吨之间． 六、企业预算问题 某市某童装企业今年五月份工人每人平均加工童装１５０套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的６０％．为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资２００元；另一部分每加工１套童装奖励若干元．⑴为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准４５０元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工１套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ ⑵根据经营情况，企业决定每加工１套童装奖励５元．工人小张争取六月份工资不少于１２００元，问小张六月份至少加工多少套童装？ 解：⑴设企业每套童装至少奖励ｘ元，由题意，得：２００＋６０％?１５０ｘ≥４５０，解得：ｘ≥２７９≈２．７８． 因此，该企业每套至少应奖励２．７８元． ⑵设小张在六月份至少加工ｙ套，由题意，得：２００＋５ｙ≥１２００，解得ｙ≥２００． 答：小张在六月份至少加工２００套． 七、工程人力开发问题
生活中的不等式 练习题 1
第七章一元一次不等式 7.1生活中的不等式 【新知导读】 1、用 表示 关系的式子叫做不等式。 答：不等号,不等 2、用不等式表示： （1）x 的2倍大于x ；（2）a 与b 的差是非负数； 答：（1）2x ＞x ；（2）a －b ≥0 3、小明今年x 岁，小强今年y 岁，爷爷今年m 岁，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和不小于爷爷年龄． 答：3x+6y ≥m 【范例点睛】 例1用不等式表示下列各数或数量关系： (1)a 的3倍与b 的51 的和不大于3； (2)2 x 是非负数； (3)x 的相反数与1的差不小于2； (4)x 与17的和比它的5倍小． 思路点拨： (1)中不大于就是小于或等于，即“≤”；(2)中的非负数就是大于等于零，即“≥”；(3)不小于就是大于或等于；(4)中关键词“小”等． 易错辨析：对“非负数”、“至多”、“至少”、“不大于”等这样的表述，未能准确使用不等式的符号，如对x ≥2和x>2认为是同一个不等式； 方法点评：用不等式表示数或数量关系，这与列代数式、列方程一样，都是将语言叙述的数量关系转化为数学式子。 例2用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原 料 维生素及价格 甲种原料 乙种原料 维生素C(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 (1)现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C ，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x(千克)应满足的另一个不等式吗？ 思路点拨：先弄清题意，找出不等关系。（1）至少含有4200单位的维生素C ，所以600x ＋100(10－x)≥4200；(2) 费用不超过72元，所以8x ＋4(10－x)≤72． 易错辨析：（1）维生素C 、原料的费用来源于甲、乙两种原料；（2） 10－x 在解题中是一个整体，需加括号。 方法点评：解题时一定要搞清不等关系，以及每个数量的具体含义。 【课外链接】 数学史话：柯西不等式
基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++<
生活中不等式 教学设计
11.1生活中的不等式 主备人：杨仔艳 一、教学目标 1、感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义。 2、会用不等式表示实际问 题中数量间的不等关系。 3、经历由具体问题建立不等式的过程，初步体不等式是刻画现实世界的一种数学模型。 二、教学重难点 重点：理解不等式的意义并会列不等式 难点：列不等式 二、教学方法 启发式、讲练式相结合 三、教学过程 （一）情境创设 情境一： 小明和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg 、55kg 和75kg. 周末，他们准备去公园游乐场玩跷跷板，若小明和妈妈玩时，谁会向上跷？若小明和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？ 设计此情境的目的：自然引出课题 情境二： 1．用数学式子描述下列数量间的关系 （1）一个边长为a 米的正方形桌子的面积大于1平方米 （2）m （m ≠0）的倒数不大于5. （3）某种袋装牛奶中，每100克牛奶所含的蛋白质（x 克）不少于2.9克，脂肪（有y 克） 不少于3.1克。 （4)48座的客车载有游客x 人，到一个站又上2个人，车内仍有空位 (5)一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h,已知公路对轿车的限速是100km/h,那么 a 与100的关系如何？ 2．学生思考并给出答案 （二）新知探究 探究一： 1．观察刚才所列举的式子有什么特征？ 教师：提示从连接式子的符号观察并引导学生概括问题的答案 学生：都是用“＞”“＜”“≥”或“≤”号连接 教师：对学生给出的这个答案表示赞同并告诉学生这些都是不等号同时给出不等式的一个 描述性的定义。（注意补充常用不等号还有“≠”） 51≤m a ≤100， x ≥2.9， y ≥3.1， x +2＜48， a 2＞1 ， 51≤m
数学在生活中的应用
数学在生活中的应用 数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，“在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）。“在BC3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展”，而“在BC600—BC300年间古希腊学者登场后”，数学便开始“作为一名有组织的、独立的和理性的学科”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）登上了人类发展史的大舞台。 如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。由于这些内容所涉及的高中数学知识不是很多，在此就不赘述了。 由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。 下面，我就紧扣高中数学学习的实际，从函数、不等式、数列、立体几何和解析几何等五方面，简明扼要地谈一下数学知识在生产生活中的应用。 第一部分函数的应用 我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。这里重点讲前两类函数的应用。 一元一次函数的应用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。 随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。我在纸上写道： 设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;
苏教版七下11.1生活中的不等式
7.1 生活中的不等式 班级姓名成绩 一、情境创设： 1、小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？ 这说明：因为30kg55kg（填写不等号），所以会向上跷； 又因为30kg＋55kg75kg.(填写不等号)，所以会向上跷. 2、一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg. （1）填表：Array （2 在日常生活中，同类量（如长度与长度，质量与质量，速度与速度）之间常 常存在不等关系. （a）观察研究课本P118“例如”：a100. （b）完成“试一试”用数学式子表示下列数量之间的关系： （1）x 2.9、y 3.1；（2）x+248. (3) (4) 二、相互交流：请你举出至少两个有不等关系实例，并与同学交流. 举例：1、； 2、. 对自己所举出的例子用数学式子表示其中的数量之间的关系： 1、； 2、。 不等式：像30kg＜55kg 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等。 叫做不等式. 三、典型例题： 例1用“＞”或“＜”号填空： （1）－6＋4－1＋3；（2）5－20－2； （3）6×23×2（4）－6×（－4）－2×（－4）. 例2 用不等式表示： （1）a是正数；（2）b是非负数； （3）c是负数；（4）d不小于2的数. （5）x与3的差不大于2；（6）y的一半与7的和不小于－5。 例3 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。 例 4 某日盐城气象台预报本市气温是－2～6℃，这表示某日的最低气温 是 ℃，最高气温是 ℃.设盐城市某日某一时刻气温为t ℃，则关于t 的不等量关系是 . 四、当堂检测： 1. 适合不等式23x -≤<的整数是 。 2.满足不等式|x|<100的所有有理数之和为 。 3.根据下图，对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ） 4.某工程队爆破石头，导火线燃烧的速度为0.8cm /s ，点火工人跑开的速度是5m/s ，安全区在离点火地110m 外，，设这根导线的长度至少应大于xcm ，点火工人才能到达安全区，列出不等式. 课后作业： 1、用“>”或“<”填空：（1）π 3；（2）-22 （-2）2；（3）3 1 0.3； 2、用表示大小关系的符号填空：（1）a 2 0；（2）—|x| 0 ; (3)x 2+1 0; (4)已知a 、b 、c 为三角形的三边，则b+c a ，b －c a; (5)你和你父母的年龄的和S 50. 3、用不等式表示： （1）m 是正数： ； （2）a 与b 的差是负数： ； （3）代数式3a-1的值不大于0： ； （4）x 的3倍小于y 的2倍： ； （5）a 、b 两数的平方差不小于1： . 4、小明在图书室接了一本科普书共有a 页，每天读了10页，读了15天仍未读 完，对于上述事例，写出关于a 的一个不等式： .
数学：7.1《生活中的不等式》学案1(苏科版七年级下)
7.1生活中的不等式教学案 目标要求： 1．在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义； 2．会用不等式表示不等关系. 3．在对实际问题的数量关系进行比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣； 重点和难点： 重点：不等式的意义以及会用不等式表示不等关系； 难点：在实际问题中用不等式表示不等关系. 学案： 一、自学质疑 1.下列式子中，哪些是不等式？哪些不是? (1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a ； (3)3x +5； (4)2(-1)a ≥0； (5) s = vt ； (6)223x x +≠； (7) 3 > 5； (8) 5x ≤4x -1. 2. 用“<，>，≤，≥”填空： (1) －0.3___0； (2) 5____8-； (3) 4)6(3___)5(-?-?； (4)－ 6 5___43-； (5) x 2 0 (6) .0___12+x (7) - x 2 0 （8）x 2 -1 （9）- x 2 2 3. 用不等式表示： （1）x 小于-6 （2）x +1大于0 （3）x 大于或等于5 （4）x 小于或等于-8 （5）x 不大于6 （6）x 不小于-2 （7）x 是正数 （8）x 是负数 （9）x 是非负数 (10) x 与5的和大于2 （11）x 与a 的差小于2 （12）x 与y 的差是负数 教案： 二、互动探究 1、什么是不等式？ 2、认识不等号：> 大于； < 小于； ≠ 不等于； ≤ 小于或等于（不大于）； ≥ 大于或等于（不小于）
用数学式子表示下面数量之间的关系： ⑴某种袋装牛奶中，每100克牛奶含x 克蛋白质，y 克脂肪、该牛奶的营养成分含量如下表。 三、精讲点拨 例1、用不等式表示： ⑴a 是正数； ⑵b 是非负数； ⑶x 与3的差不大于2； ⑷y 的一半与7的和不小于－5。 例2、用适当的符号表示下列关系: （1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的4 1的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。 例3、用“＞”或“＜”号填空： （1）－6＋4 －1＋3； （2）5－2 0－2； （3）6×2 3×2 （4）－6×（－4） －2×（－4）. 四、巩固反馈 1、用不等式表示 1. 某种客车坐有x 人，它的最大载客量为40人． 2. 小明每天跑步x 分钟，学校规定每位学生每天跑步时间不少于30分钟． 3. 某校男子跳高记录是1.75 米，小强在今年的运动会上打破了校纪录． 4. 我班一位学生的身高为x 米，我班学生最高是1.70米．
不等式在公务员考试行测数学计算中的应用
不等式在公务员考试行测数学计算中的应用 公务员考试《行政职业能力测验》题量之大，时间之紧是众所周知的，提高做题速度与准确率是考生锲而不舍追求的终极目标。其中，《行政职业能力测验》的一些复杂的数学计算，如果能巧妙运用不等式相关性质则可以大大简化运算，提高判断、运算效率和准确率。本文中将通过实例来说明分数不等式、齐次不等式、非齐次不等式在数学计算中的应用。 1.分数不等式 设a>b>c>0，则，，这两条不等式性质可以总结为：真分数越加越大，越减越小。 设b>a>c>0，则，，这两条不等式性质可以总结为：假分数越加越越小，越减越大。 例1：比较与的大小 解析：应用真分数越加越大，越减越小性质可以快速得到： <=<，或者 例2：比较与的大小 解析：应用假分数越加越越小，越减越大性质可以快速得到： ，或者 当然，例1和例2亦可采用差分法来求解。 2.齐次不等式 设a> 0，b>0，有，，当a=b时等号成立。 例3：数列中数值最小的项是（）。[2010年福建省春季公务员考试行政职业能力测验真题-103] A. 第4项 B. 第6项 C. 第9项 D. 不存在 解析：首先观察数列，容易看出数列的通项为（N为自然数），此时可以应用齐次不等式性质，即，可知此数列最小一项一定大于或等于3，再结合选项判断，易知A选项即第4项大于3，第6项为，故答案为B（因为一道题目不可能有两个答案，所以第9项一定大于3）。 3.非齐次不等式 设a> 0，则，当时不等式的等号成立；其实根据高等数学相关知识我们知道，当时，（等
价），当取值越小，不等式两边的值越接近。此不等式在行测之资料分析中求解、估算平均增长率时十分有效，因为当a> 2时，对于方程我们无法用手工求解，但我们可以近似替代（增长率基本上都是一个很小的数，此替代几乎不影响结果。）即，用此式求解就极其简单了，还应知道原解一定小于用此式求解出的。 例4：近年来，我国卫生事业快速发展，卫生人力总量增加。2007年卫生技术人员达到4680万人，与2003年相比，增加了374万人。那么从2003年至2007年，卫生技术人员年平均增长( )。[2009年上海市公务员考试行政职业能力测验真题] A. 2.1% B. 2.2% C. 2.5% D. 8.7% 解析：设卫生技术人员年平均增长率为，则根据题意容易得到，显然此式根本无法用手工求解，但应用不等式性质有，，，显然答案为A。
小论文函数不等式数列在生活中的应用
小论文：函数、不等式、数列在生活中的应用 第一部分不等式的应用 日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。 包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=v（定值） =>s=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2) ≥2л3 (r h) /4 =3 2лv (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体. 2、“易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为r,高为h，若体积为定值v,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？ 分析：应用均值定理，同理可得h=2d∴应设计为h=2d的圆柱体.
第二部分数列的应用 在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a 元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数
7.1 生活中的不等式导学案
7.1 生活中的不等式 学习目标： 1．在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义； 2．会用不等式表示不等关系. 3．引导分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系； 4．通过分析、抽象得到不等式的概念 学习重点：不等式的意义以及会用不等式表示不等关系； 学习难点：在实际问题中用不等式表示不等关系. 学习过程： 一、情境创设： 1、小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？ 这说明：因为30kg55kg（填写不等号），所以会向上跷； 又因为30kg＋55kg75kg.(填写不等号)，所以会向上跷. 2、一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg. （1）填表： 在日常生活中，同类量（如长度与长度，质量与质量，速度与速度）之间常常存在不等关系. 观察研究课本P.6“例如”：a100. “尝试”中，（1）x 2.9、y 3.1；（2）x+248. (3) (4) 二、相互交流：请你举出至少两个有不等关系实例，并与同学交流. 举例：1、； 2、. 对自己所举出的例子用数学式子表示其中的数量之间的关系： 1、； 2、。 不等式：像30kg＜55kg 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等。 叫做不等式. 三、典型例题： 例1用“＞”或“＜”号填空： （1）－6＋4－1＋3；（2）5－20－2； （3）6×23×2（4）－6×（－4）－2×（－4）. 例2 用不等式表示： （1）a是正数；（2）b是非负数；（3）c是负数；（4）d不小于2的数. （5）x与3的差不大于2；（6）y的一半与7的和不小于－5。 例3 用适当的符号表示下列关系: （1）x的5倍与3的差比x的4倍大；（2）a的的相反数是非负数； （3）x的3倍不小于y的8倍。
生活中的数学---基本不等式
生活中的数学---基本不等式 【学习目标】恰当设立未知量，理解题意，建立解析式。 【学习重点】审题、立意、建立解析式。 【学习反思】 【作业布置】 【学习过程】 引言：已知矩形的面积是定值S ,何时周长最小，最小的周长是多少 已知矩形的周长是定值L,何时面积最大，最大的面积是多少 【例题选讲】 例1 某小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地， 在绿地的四周建有人行道，左右两侧人行道的宽都为 4米，前后两侧的人行道宽都为3米，怎样设计绿地 的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精 确到0.1米） 例2 一批救灾物资随26辆汽车从某市以h vkm /匀速直达灾区，已知两地的公路长是400km ，为安全起见，两汽车间的间距不得小于km v 2)20 (，汽车的车长忽略不计，那么救灾物资全部到达最少需要多少小时。答10小时。
例3 已知教室到食堂相距L 米，两个男同学同时下课着急赶往食堂就餐。甲同学用一半时间跑，一半时间急走的方式赶往食堂；乙同学用一般路程跑，一半路程急走的方式赶往食堂，如果两位同学急走速度与跑的速度分别相同，且跑与急走的速度不同，那么他们两个人谁先到食堂。 例4 某种饮料分两次提价，提价的方案有3种，方案甲：第一次提价m%,第二次提价n%； 方案乙：第一次提价n%,第二次提价m%；方案丙：每次提价均为 %2 n m +。已知n m >，则提价最多的方案是哪一种。 【选用习题】 1、已知直角三角形的周长是2，求面积的最大值。
2、甲乙两人两次在同一粮店购买大米（两次粮价不同），甲每次购粮10千克，乙每次购10元的大米，规定：谁两次购粮的平均价格低，谁的购粮方式合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个合算。说明理由。 3、已知阻值分别是R 1,R 2的不同电阻按图中的上下两种 形式连接，总阻值分别是R A ，R B 。比较R A ，R B 的 大小。 4、经过长期观察，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的 车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为： 160039202++=v v v y 。 (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 是多少时，车流量最大，最大流量是多少（精确到0.1） (2)要使在该时段内车流量超过10千米/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
数学中常用不等式及其应用
目录 数学中常用不等式及其应用 (2) 1.前言 (2) 2.研究背景及研究意义 (3) 2.1 不等式研究背景 (3) 2.2 研究意义 (4) 3.高等数学常用不等式举例介绍 (5) 3.1柯西不等式 (5) 3.2拉格朗日中值定理 (5) 3.3均值不等式 (8) 4.数学中不等式的中的应用 (9) 4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9) 4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12) 5.总结 (15) 参考文献 (17)
数学中常用不等式及其应用 1.前言 正所谓“问渠那得清如许。为有源头活水来”。回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。 回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。 不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。此外，不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。
七年级数学下册教案-11.1 生活中的不等式14-苏科版
11.1 生活中的不等式 班级：________ 姓名: __________ 学号:_ _________ 一、【学习目标】 1. 在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义； 2．会用不等式表示不等关系. 二、【学习重难点】 不等式的意义以及会用不等式表示不等关系；在实际问题中用不等式表示不等关系。 三、【自主学习】 1、用_______表示______关系的式子叫做不等式。 2、用不等式表示： （1）x的2倍大于x； （2）a与b的差是非负数。 3、小明今年x岁，小强今年y岁，爷爷今年m岁，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍和小于爷爷的年龄。 四、【合作探究】 1、小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？ 这说明：因为30kg55kg（填写不等号），所以会向上跷；又因为30kg＋55kg75kg. （填写不等号），所以会向上跷. 2、一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h,已知公路对轿车的限速
是100km/h,那么可以表示为 3、用数学式子表示下面数量之间的关系： (1)某种袋装牛奶中。每100克牛奶含xg蛋白质，yg脂肪，这种牛奶的营养成份含量如下表 营养成份表：(每100g) (2)一辆48座的客车载有游客x人，到一个站又来2个人，车内仍有空位 （3）一个边长为a m的正方形桌子的面积大于1 m2. （4）m（m≠0）的倒数不大于5. 小结：像上面出现的x>50，x<50，x+2<48，a≤100,3y≥8那样用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。 练一练：下列式子中，哪些是不等式？哪些不是? (1)–2 < 0 ；(4)(a-1)2≥0； (2)2a > 3-a；（5）s=vt (3) 3x+5；(6)x2+2x≠3； 五、例题讲解 例1、用不等式表示： (1)a是正数(2)b是非负数 (3)y的2倍与6的和比1小(4)x2 减去10不大于10 (5)设a,b,c为一个三角形的三条边长,两边之和大于第三边.
高中数学 导数在不等式中的应用(解析版)
第15讲-导数在不等式中的应用 一、 经典例题 考点一 构造函数证明不等式 【例1】 已知函数f (x )＝1－x －1 ex ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝x －1 x (x >0)， 当0
导数在不等式证明中的应用开题报告
集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表 设计（论文） 导数在不等式证明中的应用 题目 题目类型其它题目来源指导教师出题面向专业数学教育类 指导教师何晓霞职称副教授学位无从事专业大学数学教学 题目简介： 导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。 审核意见： 审核人签名： 年月日系（院）意见： 系（院）主任（院长）签名： 年月日 题目类型－－1、为结合科研；2、为结合生产实际；3、为结合大学生科研训练计划； 4、为结合学科竞赛； 5、模拟仿真； 6、其它 题目来源－－A.指导教师出题； B.学生自定、自拟
论文 题目 导数在不等式证明中的应用 年级四专业数学与应用数学学生 姓名 学号 主要内容： 利用导数的定义证明不等式 利用中值定理证明不等式 利用函数的单调性证明不等式 利用导数的几何意义证明不等式 利用函数的最值性(极值性）证明不等式 利用泰勒公式证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式 利用Jensen不等式证明不等式 利用导数的不等性证明不等式 利用偏导数证明不等式 主要任务及基本要求（包括指定的参考资料）： [1]华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社(下册) .156.293(上册) [2]扈志明,韩云端. 高微积分教程[M]. 北京:清华大学出版社, 1998 [3]刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报,2000 [4]朱士信.唐烁.宁荣健编.高等数学[M]上册.中国电力出版社,2007 [5]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报2000.03 [6]陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究2009 [7]马德炎.常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究2009 [8]陶伟.高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社2001 [9]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社2006 [10]李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期). 发出任务书日期：完成期限： 指导教师签名：专业主任签名： 年月日