飞行器结构力学讲义
西工大飞行器结构力学电子教案
西工大飞行器结构力学电子教案第一章：飞行器结构力学概述1.1 飞行器结构力学的定义介绍飞行器结构力学的概念和基本原理。
解释飞行器结构力学的研究对象和内容。
1.2 飞行器结构的特点与分类讨论飞行器结构的特点，包括轻质、高强度、耐腐蚀等。
介绍飞行器结构的分类，包括飞行器壳体、梁、板、框等。
1.3 飞行器结构力学的基本假设阐述飞行器结构力学分析的基本假设，如材料均匀性、连续性和稳定性。
第二章：飞行器结构受力分析2.1 飞行器结构受力分析的基本方法介绍飞行器结构受力分析的基本方法，包括静态分析和动态分析。
2.2 飞行器结构受力分析的实例通过具体实例，讲解飞行器结构受力分析的过程和方法。
2.3 飞行器结构受力分析的计算方法介绍飞行器结构受力分析的计算方法，包括解析法和数值法。
第三章：飞行器结构强度分析3.1 飞行器结构强度理论介绍飞行器结构强度理论的基本原理，包括最大应力理论和能量原理。
3.2 飞行器结构强度计算方法讲解飞行器结构强度计算的方法，包括静态强度计算和疲劳强度计算。
3.3 飞行器结构强度分析的实例通过具体实例，展示飞行器结构强度分析的过程和方法。
第四章：飞行器结构稳定分析4.1 飞行器结构稳定理论介绍飞行器结构稳定理论的基本原理，包括弹性稳定理论和塑性稳定理论。
4.2 飞行器结构稳定计算方法讲解飞行器结构稳定计算的方法，包括解析法和数值法。
4.3 飞行器结构稳定分析的实例通过具体实例，讲解飞行器结构稳定分析的过程和方法。
第五章：飞行器结构动力学分析5.1 飞行器结构动力学基本原理介绍飞行器结构动力学的基本原理，包括振动理论和冲击理论。
5.2 飞行器结构动力学计算方法讲解飞行器结构动力学计算的方法，包括解析法和数值法。
5.3 飞行器结构动力学分析的实例通过具体实例，展示飞行器结构动力学分析的过程和方法。
第六章：飞行器结构疲劳与断裂分析6.1 飞行器结构疲劳基本理论介绍飞行器结构疲劳现象的基本原理，包括疲劳循环加载、疲劳裂纹扩展等。
飞行器结构力学电子教案PPT课件
目
CONTENCT
录
• 飞行器结构力学概述 • 飞行器结构力学基础知识 • 飞行器结构静力学分析 • 飞行器结构动力学分析 • 飞行器结构疲劳与损伤容限分析 • 飞行器结构优化设计
01
飞行器结构力学概述
定义与特点
定义
飞行器结构力学是研究飞行器结构强度、刚度和稳定性的学科， 主要关注飞行器在各种载荷作用下的响应和行为。
迭代算法
通过不断迭代更新解，逐步逼近最优解，常用的 算法包括梯度下降法、牛顿法等。
飞行器结构优化设计方法
尺寸优化
通过改变结构件的尺寸，以达到最优化的结构性 能。
拓扑优化
在给定的设计区域内，寻找最优的材料分布和连 接方式。
形状优化
通过改变结构的形状，以实现最优的结构性能。
多学科优化
综合考虑多种学科因素，如气动、热、强度等， 进行多学科协同优化。
技术发展
飞行器结构力学的发展推动了航空航天技术的进步 ，为新型飞行器的设计和研发提供了技术支持。
飞行器结构力学的历史与发展
历史
飞行器结构力学的发展可以追溯到20世纪初期，随着航空工 业的快速发展，结构力学逐渐成为飞行器设计的重要学科。
发展
近年来，随着新材料、新工艺和计算技术的不断发展，飞行 器结构力学在理论和实践方面都取得了重要进展。未来，随 着环保要求的提高和新能源的应用，飞行器结构力学将面临 新的挑战和机遇。
损伤容限
指材料或结构在受到损伤后仍能保持一定承载能力的程度，是评估结构剩余寿命的重要 指标。
疲劳与损伤容限分析的必要性
飞行器在服役过程中受到各种复杂载荷的作用，结构疲劳与损伤是不可避免的现象，因 此进行疲劳与损伤容限分析是确保飞行器安全的重要手段。
1.1-飞行器结构力学的主要任务
1. 什么是结构
结構
• 在古代，结构与造房子有关，故“结构”的常见 解释为建筑物上承担重力或外力的部分及其构造 形式。
• 广义上，结构指由一个或多个零件在空间组合在 一起，能够承担和传递载荷的系统。
常见的结构
桥梁——人造结构河狸坝蚁丘盐丘——地质构造飞机结构——主要指机翼、尾翼、机身、发动机舱和起落架等，通常由数 量众多的零件结合在一起构成，相互之间没有相对的刚体运动，能承受和 传递指定的外载荷，满足一定的强度、刚度、寿命、可靠性等要求。
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飞机设计的阶段
总体设计
确定全机的主要参数——如重量、发动机推力、翼载 确定飞机的基本外形——如机翼、尾翼形状、尺寸、气动布局 进行飞行性能估算 形成飞机的三面图 确定结构形式和主要受力构件布置，给出各部件的重量控制指标
结构设计
飞机各部件结构的初步设计（打样设计） 全机结构进行强度计算 零部件的详细设计和细节设计 结构的全部零部件图纸和部件、构件安装图
• 外载荷的确定——由飞机的机种、总重、外形尺寸、使用 要求等条件，根据飞机强度规范得出。
2. 结构的分类
从几何角度来看，结构可分为三类：
• 杆件结构
• 板壳结构
• 实体结构
Mornae-Saulnier飞机 长征5号火箭舱体
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接头耳片
3. 结构力学的任务
根据力学原理计算在外力作用下结构内部的变形，挠 度和内力、应力等，用于设计新结构或评估已有的结构。
输入条件：结构载荷、几何参数、支撑条件以及材料的属性 输出量：支持反力、应力和位移等。 深入的结构分析包括：稳定性、非线性和动载荷的影响。
飞行器结构力学电子教本7-2资料
▄ 已知杆一端轴力和板的剪流，求另一端的轴力。
N2 N1 q L
【例1】试求图示加强肋后段在外力作用下的内力图。 解： 1、组成分析。 梯形格子与基础单边连接，故为无多余约
束的几何不变体，静定系统。 2、求内力。 判断零力杆端：
N21 N32 N34 0
解： 1、组成分析。
q1
q3
内“十”字结点被切断，结构为静定系统。
2、求内力。
q2
q4
判断零力杆端，如图所示。
根据受力情况，假设各板的剪流方向如图 所示。
由1-4-7杆的平衡： q1 q2
由3-6-9杆的平衡： q3 q4
由4-5杆的平衡： q1 q2 0 由5-6杆的平衡： q3 q4 P / a
用结点法时，可由结点的平衡条件求出各杆在该结点处的轴力，再 由杆子的平衡求得板的剪流。或者求出杆子一端轴力及板的剪流之后， 再由杆子的平衡求出另一端的轴力。根据具体情况灵活地、交替地运 用结点和杆子的平衡条件，求出结构的全部内力。
用截面法时，因为薄壁结构的元件有杆也有板，而杆的轴力是变化 的，所以切面通常取在杆板交界处，且应注意在切开处有板的未知剪 流存在。
无论用何种方法，若适当运用分析桁架时所提到的判定零力杆端的 原则，就会使计算更为简便。
▄ 零力杆端的判断 （1）若一杆与共线的二杆交于无载
荷作用的结点，则此杆在该结点处的杆 端轴力为零。
（2）若不共线的二杆交于无载荷作 用的结点，则此二杆在该结点处的杆端 轴力均为零。
▄ 已知杆端轴力，求板的剪流。
例题：判断平面薄壁结构的静不定度。
f ＝20－1＝19
f ＝0
f ＝1
f ＝4
飞行器结构力学电子教案
具有最少必需约束。
静定结构 静不定结构 建立补充方程 平衡方程
4.2 力法基本原理与力法正则方程
本节将通过一个2次静不定结构的例子，说明力法基本原理和力法正则方程。
4.2 力法基本原理与力法正则方程
对于具有2个多余约束的静不定结构。 选取1处的2个约束为多余约束，解除之，代之以约束力。 静不定结构 注 意： 1、解除多余约束，不是简单地将约束去掉，而必须用相应的约束力来代替。
添加标题
分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程或正则方程。
添加标题
解除多余约束，转化为静定的基本系统。多余约束代以多余未知力——基本未知力。
添加标题
根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数——静不定次数。
添加标题
将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知量，利用变形协调条件建立补充方程，从而求解结构内力的方法，称为力法( force method )。
静不定结构的内力求解：
叠加< P > 状态和单位状态< 1 >和 < 2 > 求出多余未知力：X1 和 X2
求出静不定结构的全部内力
δ11、δ21、δ12、δ22 — 单位状态影响系数。
Δ1P、Δ2P — 载荷影响系数。
Δ1P ＝< 1 > ×< P > Δ2P ＝< 2 > ×< P >
δ11 ＝< 1> ×< 1 > δ12 ＝ δ12 ＝ < 1 > ×< 2 > δ22 ＝< 2 > ×< 2 >
静定结构与静不定结构的对比：
飞行器结构力学基础电子教学教案
飞行器结构力学基础电子教学教案一、教案简介本教案旨在通过电子教学方式，让学生了解和掌握飞行器结构力学的基础知识。
通过本课程的学习，学生将能够理解飞行器结构的基本组成，掌握飞行器结构受力分析的方法，以及运用力学原理解决飞行器结构设计中的问题。
二、教学目标1. 了解飞行器结构的基本组成和分类。
2. 掌握飞行器结构受力分析的基本方法。
3. 学习飞行器结构力学的基本原理和计算方法。
4. 能够运用所学知识解决飞行器结构设计中的实际问题。
三、教学内容1. 飞行器结构概述：飞行器结构的基本组成、分类和特点。
2. 飞行器结构受力分析：飞行器结构的受力类型、受力分析方法。
3. 飞行器结构力学原理：力学基本概念、力学基本定律、飞行器结构力学基本原理。
4. 飞行器结构力学计算：弹性力学、塑性力学、飞行器结构强度计算、稳定性和振动分析。
5. 飞行器结构设计实例：飞行器结构设计原则、实例分析。
四、教学方法1. 采用电子教学课件，结合文字、图片、动画和视频等多种形式，生动展示飞行器结构力学的基本知识和实例。
2. 利用数值计算软件，进行飞行器结构受力分析和强度计算，提高学生的实践能力。
3. 组织课堂讨论和小组合作，培养学生的团队协作能力和创新思维。
4. 布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
五、教学评估1. 课后习题：评估学生对飞行器结构力学基础知识的掌握程度。
2. 课堂讨论：评估学生在团队协作和分析解决问题方面的能力。
3. 课程报告：评估学生对飞行器结构设计实例的理解和应用能力。
4. 期末考试：全面评估学生对本门课程的掌握程度。
六、教学资源1. 电子教学课件：包括飞行器结构力学的基本概念、原理、实例等内容。
2. 数值计算软件：用于飞行器结构受力分析和强度计算。
3. 教学视频：展示飞行器结构设计和制造过程。
4. 案例资料：提供飞行器结构设计实例，供学生分析和讨论。
5. 课后习题集：包括各种类型的题目，巩固所学知识。
飞行器结构力学.pptx
杆轴线
桁架的分类：
1、根据维数分类 1.1 平面（二维）桁架（plane truss）
——所有组成桁架的杆件都在同一平面内,仅承受平面内的载荷。
第6页/共47页
1.2 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内。
第7页/共47页
2、按外型分类 平行弦桁架
三角形桁架
二、静定桁架组成规则
1、空间桁架的组成规则 （1）逐次连接结点法
从某一基础或几何不变体开始，每增加一个 空间结点，用三根不全共面的杆将该结点连 接在基础上，依次增加结点和杆子，将组成 静定空间桁架。
简单桁架
第16页/共47页
二、静定桁架组成规则
1、空间桁架的组成规则 （2）复合桁架法
将几个简单桁架用最小必需的约束（6个）连 接起来,使各部分之间不会发生相对移动或瞬 时可动,得到一个复杂桁架。
例2 求图示静定桁架的内力
3P
3P
3、绘制内力图 4、校核
3P
0
0
2P
0
注意到，在外力作用 下，桁架中并不是全
3P
2P
部的杆件都参予承力，常常存
在一些轴力为零的杆件，轴力
P
为零的杆件叫做“零力杆”。
“零力杆”在桁架中不承力，仅保
持桁架的几何形状。
第27页/共47页
在计算桁架内力之前，如能事先找出零 力杆，可以简化计算，减少计算工作量。 零力杆的判断
N45 P1 N24 P1
N25 cos45 N24 P2 0 N23 N25 sin 45 N12 0
N25 2P1 P2
N23 2P1 P2
第22页/共47页
3、求支座反力
飞行器结构力学理论基础讲义
飞行器结构力学理论基础讲义第一章绪论1.1 结构力学在力学中的地位结构力学是飞行器结构计算的理论基础。
它研究飞行器在外载荷作用下，结构最合理的组成及计算方法。
所谓最合理的结构是指：在满足设计中关于强度与刚度的基本要求下，同时在结构空间允许的情况下，具有最轻的重量。
为了达到以上的目的，对从事结构设计者来说，必须较熟练地掌握结构力学的基本原理与方法。
对于本专业的学生来说，结构力学是飞行器强度与刚度计算的基础课程，并且为学习飞行器部件设计及传力分析打下必要的理论基础。
结构力学具体来说由以下四部分组成：（1）研究结构组成是否合理。
主要指结构在外力作用下是否几何不变，同时内力与变形又不至于过大。
（2）结构在外载荷作用下，结构内力的计算方法。
（3）结构在外载荷作用下，结构刚度的计算方法。
（4）研究结构中某些元件及组合件的弯曲及稳定性。
1.2 结构力学的研究内容不同的结构有其不同的结构力学，例如在建筑结构中主要涉及杆系，因此杆系所需的力学知识构成建筑结构力学。
船舶结构的设计和制造中，主要涉及开口薄壁杆件，因此开口薄壁杆件的弯曲和扭转便构成船舶结构力学的主要内容。
对于航天领域，飞行器结构大多是薄壁结构，薄壁结构力学构成飞行器结构力学的主要内容。
1.3 结构力学的计算模型工程结构，尤其是飞行器结构往往是很复杂的，要考虑所有的因素来分析其内力和变形几乎是不可能的，也是没有必要的。
为了适应实际计算，首先需要将真实的结构加以简化，保留起主要作用的因素，略去次要因素，用理想化的受力系统代替实际结构，以得到所需要的计算模型。
计算模型选取的原则是：（1）反映实际结构的主要受力和变形特征；（2）便于结构的力学分析。
计算模型的简化大致可分成以下5个方面的内容。
1.外载荷的简化（1）略去对强度和刚度影响不大的外载荷，着重考虑起主要作用的外载荷。
（2）将作用面积很小的分布载荷简化成集中载荷。
（3）将载荷集度变化不大的分布载荷简化成均布载荷。
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飞行器结构力学郑晓亚王焘西北工业大学2011年6月目录第一章绪论 (1)1.1 结构力学在力学中的地位 (1)1.2 结构力学的研究内容 (1)1.3 结构力学的计算模型 (1)1.4 基本关系和基本假设 (3)第二章结构的组成分析 (5)2.1 几何可变系统和几何不变系统 (5)2.2 自由度、约束和几何不变性的分析 (5)2.3 组成几何不变系统的基本规则、瞬变系统的概念 (7)2.4 静定结构和静不定结构 (12)第三章静定结构的内力及弹性位移 (13)3.1 引言 (13)3.2 静定桁架的内力 (13)3.3 静定刚架的内力＊ (16)3.4 杆板式薄壁结构计算模型 (19)3.5 杆板式薄壁结构元件的平衡 (20)3.6 静定薄壁结构及其内力 (25)3.7 静定系统的主要特征 (34)3.8 静定结构的弹性位移 (35)第四章静不定结构的内力及弹性位移 (45)4.1 静不定系统的特性 (45)4.2 静不定系统的解法——力法 (45)4.3 对称系统的简化计算 (54)4.4 静不定系统的位移 (57)4.5 力法的一般原理和基本系统的选取 (60)第五章薄壁梁的弯曲和扭转 (64)5.1 引言 (64)5.2 自由弯曲时的正应力 (65)5.3 自由弯曲时开剖面剪流的计算 (68)5.4 开剖面的弯心 (71)5.5 单闭室剖面剪流的计算 (77)I5.6 单闭室剖面薄壁梁的扭角 (81)5.7 单闭室剖面的弯心 (82)5.8 多闭室剖面剪流的计算＊ (86)5.9 限制扭转的概念＊ (91)第六章结构的稳定 (94)6.1 引言 (94)6.2 压杆的稳定性 (95)6.3 薄板压曲的基本微分方程 (95)6.4 薄板的临界载荷 (99)6.5 板在比例极限以外的临界应力 (102)6.6 薄壁杆的局部失稳和总体失稳 (103)6.7 加劲板受压失稳后的工作情况——有效宽度概念 (104)6.8 加劲板受剪失稳后的工作情况——张力场梁概念 (108)II第一章绪论1.1 结构力学在力学中的地位结构力学是飞行器结构计算的理论基础。
它研究飞行器在外载荷作用下，结构最合理的组成及计算方法。
所谓最合理的结构是指：在满足设计中关于强度与刚度的基本要求下，同时在结构空间允许的情况下，具有最轻的重量。
为了达到以上的目的，对从事结构设计者来说，必须较熟练地掌握结构力学的基本原理与方法。
对于本专业的学生来说，结构力学是飞行器强度与刚度计算的基础课程，并且为学习飞行器部件设计及传力分析打下必要的理论基础。
结构力学具体来说由以下四部分组成：（1）研究结构组成是否合理。
主要指结构在外力作用下是否几何不变，同时内力与变形又不至于过大。
（2）结构在外载荷作用下，结构内力的计算方法。
（3）结构在外载荷作用下，结构刚度的计算方法。
（4）研究结构中某些元件及组合件的弯曲及稳定性。
1.2 结构力学的研究内容不同的结构有其不同的结构力学，例如在建筑结构中主要涉及杆系，因此杆系所需的力学知识构成建筑结构力学。
船舶结构的设计和制造中，主要涉及开口薄壁杆件，因此开口薄壁杆件的弯曲和扭转便构成船舶结构力学的主要内容。
对于航天领域，飞行器结构大多是薄壁结构，薄壁结构力学构成飞行器结构力学的主要内容。
1.3 结构力学的计算模型工程结构，尤其是飞行器结构往往是很复杂的，要考虑所有的因素来分析其内力和变形几乎是不可能的，也是没有必要的。
为了适应实际计算，首先需要将真实的结构加以简化，保留起主要作用的因素，略去次要因素，用理想化的受力系统代替实际结构，以得到所需要的计算模型。
计算模型选取的原则是：1（1）反映实际结构的主要受力和变形特征；（2）便于结构的力学分析。
计算模型的简化大致可分成以下5个方面的内容。
1.外载荷的简化（1）略去对强度和刚度影响不大的外载荷，着重考虑起主要作用的外载荷。
（2）将作用面积很小的分布载荷简化成集中载荷。
（3）将载荷集度变化不大的分布载荷简化成均布载荷。
（4）将动力效应不大的动力载荷简化成静力载荷。
2.几何形状的简化飞行器的外形大多由曲线或曲面所构成，计算模型可以简化成用折线代替曲线，用若干平面代替曲面。
3.受力系统的简化（1）略去结构中不受力或受力不大的元件。
（2）对元件的受力规律或受力类型作某些假设，抽象为理想元件。
4.连接关系的简化将实际结构中所采用的铆接、螺接或焊接等连接方式，按照其受力及构造特点，可以简化为没有摩擦的铰接或刚接。
杆件的汇交点称为结点，其可以简化为图1.1所示的三种形式。
（a）（b）（c）图1.1铰结点（见图1.1（a）），特征是被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可绕该结点自由转动。
铰结点可以传递力，但不能传递力矩。
刚结点（见图1.1（b）），特征是被连接的杆件不能相对移动，且不能相对转动。
刚结点既可传递力，也可传递力矩。
组合结点（见图1.1（c）），同一结点上某些杆件视为铰结点，另一些杆件视为刚结点时，形成组合结点，此结点同时具有铰结点和刚结点的特征。
5.支座的简化将结构与基础连接起来的装置称为支座。
以平面支座为例，将支座简化为以下四种形式。
2（1）可动铰支座（见图1.2（a）），几何特征是结构可以绕铰A转动以及沿水平方向移动，但不能在竖直方向移动。
（2）固定铰支座（见图1.2（b）），几何特征是结构可以绕铰A转动，但不能作水平和竖直方向移动。
（3）固定支座（见图1.2（c）），几何特征是结构在点A的转动、水平和竖直方向的移动均受到限制。
（4）定向支座（见图1.2（d）），几何特征是结构限制绕铰A转动及一个方向的移动，但允许在另一个方向的移动。
(a)(b)(c) (d)图1.21.4 基本关系和基本假设飞行器结构力学中存在不同的计算模型，而各类计算模型都是建立在各自不同的基本假设上的。
这里，强调一下基本关系和基本假设。
1.基本关系（1）作用在结构上的力是平衡的，结构所有元件受力也是平衡的；（2）结构发生变形时，其各部分之间一定是协调的，即不允许发生断裂或重叠现象；（3）结构元件的应力和应变之间，存在着反映材料物理性质的对应关系。
归纳起来就是平衡关系、协调关系和物理关系。
结构力学的原理和计算方法均是基于这三种基本关系而建立起来的。
2.基本假设（1）小变形假设。
认为结构在载荷作用下变形很小，假设它不影响结构的外形几何尺3寸。
这样，可以根据结构变形前的几何形状建立平衡方程式，这种简化处理不会引起太大的误差；（2）线弹性假设。
弹性是指在载荷作用下，结构产生内力及变形；当载荷去掉后，内力与变形也随着消失，结构仍会恢复到原始状态，无残余变形。
线性是结构的外载荷与变形以及元件的内力与变形之间符合虎克定律，即为直线关系。
4第二章结构的组成分析2.1 几何可变系统和几何不变系统工程结构是用来承受和传递外载荷的系统。
一个工程结构通常是由若干个构件用某种方法联结而成的。
它在承受载荷作用时，各构件只允许发生材料的弹性变形，而不应发生构件间相对的机械运动。
如图2.1(a)所示的系统，如果不考虑弹性变形，系统也未发生破坏，则其几何形状与位置均保持不变，这样的系统，我们称之为几何不变系统。
但是，对如图 2.1（b）所示的系统，在载荷作用下，即使不考虑弹性变形，它的形状和位置也将改变，这样的系统，我们称之为几何可变系统，它是不能用来承受和传递外载荷的。
所以，凡是工程结构必须是几何不变系统。
图2.1对系统进行几何组成分析的目的在于：判断该系统是否为几何不变系统，以决定其能否作为工程结构使用；研究并掌握几何不变系统的组成规则，以便合理安排构件，设计出合理的结构；根据系统的组成规则，确定结构的性质（静定系统还是静不定系统），以便选用相应的计算方法。
2.2 自由度、约束和几何不变性的分析为了研究系统的几何不变性，可以引用“自由度”和“约束”的概念。
将结构中的构件看成是具有自由度的自由体，而将构件间的结点看成是约束装置（简称约束），或者把结点看成是自由体，而将构件看成是约束。
在一个系统中，若没有足够的约束去消除自由度，则系统一定是几何可变的；假若有足够的约束去消除自由度，而构件安排又合理，则系统是几何不变的。
自由度：确定一物体在某一坐标系中位置所需的独立参数的个数，称为该物体的自由度。
平面上一点具有两个自由度，空间一点具有三个自由度；平面上一物体具有三个自由度，即两个平动自由度和一个转动自由度；空间一个物体具有六个自由度，即三个平动自由度和5三个转动自由度；空间一杆（只具有一根轴线）具有五个自由度；一个平面刚性结点具有三个自由度；一个空间刚性结点具有六个自由度。
一个平面铰具有两个约束；一个空间铰具有三个约束。
一根两端带铰的杆具有一个约束。
如图2.2所示的平面上任一点A，本来有两个自由度x A、y A。
如果用一根两端带铰的杆把A点连接在坐标系原点上，点A就不能在平面内任意移动，而只能在杆端所画的圆周上运动，这时只要一个独立变量α就可确定它的位置，即只剩下一个自由度了。
所以，一根两端带铰的杆具有一个约束。
同理，一根两端带铰的空间杆也只具有一个约束。
一个平面刚结点具有三个约束。
如图2.3所示，一个平面构件m具有三个自由度，若用一个平面刚结点连接于坐标系上，则构件m就没有自由度了。
所以，一个平面刚结点具有三个约束。
同理，一个空间刚结点具有六个约束。
图2.2 图2.3有了自由度和约束的概念，就可以用它来分析系统的几何组成。
设系统的总自由度数为N，总约束数为C，则1．若C<N，约束不足，因而是几何可变系统。
2．若C=N，且构件安排合理，系统的约束正好能完全消除自由度，则系统是具有最少必需约束的几何不变系统。
3．若C>N，且构件安排也合理，则系统为具有“多余约束”的几何不变系统。
所谓“多余约束”是指除去后系统仍是几何不变的那些约束。
可见，C－N≥0是组成几何不变系统的必要条件，而其充要条件还要考察系统的构件是否安排合理。
对于没有用支座连接于基础的可移动平面几何不变系统，该系统是自由的，有三个自由度，因此，自由度和约束数应符合下列关系。
1．C－（N－3）<0，约束不足，因而是几何可变系统。
2．C－（N－3）=0，且构件安排又合理，则系统是具有最少必需约束的几何不变系统。
3．C－（N－3）>0，且构件安排也合理，则系统为具有“多余约束”的几何不变系统。
6例2.1 分析图2.1(a)所示系统的几何不变性。
[解]该系统是平面桁架结构，可将结点看成具有自由度的分离体，把杆件看成约束。
它用四根两端带铰链的杆（称为链杆）将两个自由结点连接到基础上，总自由度数N=2×2=4，总约束数C=4×1=4，所以，C－N=0。
该系统的构件安排合理，因此，是具有最少必需约束的几何不变系统。