人教备战中考数学《旋转的综合》专项训练含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图所示，

(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；

(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，

AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；

(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且

∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β．

【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF＝90°，所以DF⊥BE；

（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF＝180°，所以DF与BE的夹角β＝180°﹣α．

【详解】

（1）DF与BE互相垂直且相等．

证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中

AD＝AB，AF＝AE，

∠BAD＝∠EAF＝90°

∴∠FAD ＝∠EAB

∴△FAD ≌△EAB

∴∠AFD ＝∠AEB ，DF ＝BE

∵∠AFD+∠AFG ＝180°，

∴∠AEG+∠AFG ＝180°，

∵∠EAF ＝90°，

∴∠EGF ＝180°﹣90°＝90°，

∴DF ⊥BE

（2）数量关系改变，位置关系不变．DF ＝kBE ，DF ⊥BE ．

延长DF 交EB 于点H ，

∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴

AD k AB =，AF k AE = ∴AD AF AB AE

= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a

∴∠FAD ＝∠EAB

∴△FAD ∽△EAB ∴

DF AF k BE AE

== ∴DF ＝kBE ∵△FAD ∽△EAB ，

∴∠AFD ＝∠AEB ，

∵∠AFD+∠AFH ＝180°，

∴∠AEH+∠AFH ＝180°，

∵∠EAF ＝90°，

∴∠EHF ＝180°﹣90°＝90°，

∴DF ⊥BE

（3）不改变．DF ＝kBE ，β＝180°﹣a ．

延长DF 交EB 的延长线于点H ，

∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴

AD k AB =，AF k AE = ∴AD AF AB AE

= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a

∴∠FAD ＝∠EAB

∴△FAD ∽△EAB ∴

DF AF k BE AE

== ∴DF ＝kBE 由△FAD ∽△EAB 得∠AFD ＝∠AEB

∵∠AFD+∠AFH ＝180°

∴∠AEB+∠AFH ＝180°

∵四边形AEHF 的内角和为360°，

∴∠EAF+∠EHF ＝180°

∵∠EAF ＝α，∠EHF ＝β

∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a

【点睛】

本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．

2．如图1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6cm ，点D 从O 点出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连结DE ．

（1）求证：△CDE 是等边三角形；

（2）如图2，当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到

∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.

试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，

由（1）知，△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD3cm，

∴△BDE的最小周长=CD3；

（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意；

②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED=90°，

由（1）可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEB=60°，

∴∠CEB=30°，

∵∠CEB=∠CDA，

∴∠CDA=30°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，