初中数学——数形结合思想(初二)
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用 (5)
数形结合思想在初中数学教学中的应用数学是一门运用逻辑推理推导出的科学，同时也以其严谨性、透彻性、可证明性等特点而受到人们的青睐。
在初中数学教学中，数形结合思想被广泛应用于各个知识点的讲解和练习中。
本文将从数形结合思想的概念和内涵、优势及其在初中数学教学中的应用方面分别进行论述。
一、数形结合思想的概念和内涵数形结合思想是指在数学教学中，将数学和几何的知识相结合，通过图形来帮助学生更好地理解和记忆数学知识，同时也拓展了学生的思维能力。
其内涵主要有以下几个方面：（一）理解概念，形象化思维在初中数学教学中，不少知识点都需要依靠图形进行理解和记忆，例如面积、体积、角度、圆等概念，如果只是简单地讲解理论定义，学生的理解会有所欠缺。
而如果将图形和数学结合起来来进行教学，则可以让学生通过直观的视觉印象去建立数学概念，从而使学生的理解达到更加深入和扎实的程度。
（二）创新思维，启迪智慧数形结合思想还可以激发学生的求知欲，培养学生对数学问题的兴趣和好奇心。
这种方法比纯粹依靠书本进行教学更具有灵活性，同时由于教学方法的创新，也能更好地激发学生的创新思维，解决问题的能力得到提升。
（三）丰富教育形式，提高教学质量数形结合思想可以将学习和游戏二者结合在一起，充分利用课堂外的环境和游戏环境，让学生在轻松、愉快的氛围中学习，从而可以更好地吸收知识，提高教学质量。
二、数形结合思想的优势数形结合思想不仅有着扩展学生思维和提高学生兴趣的优势，同时还有下面几个方面的突出特点：（一）强化概念的记忆与理解通过数形结合思想可以更好地帮助学生建立数学概念，增强学生对数学概念的理解能力。
例如，在教学围棋算术时，可以让学生画出棋盘，然后直观地了解两个棋子之间的距离和运算关系。
（二）启迪学生的思维和创造力数形结合思想有助于创造一个有趣和丰富的学习环境，使学生可以在探究中发现规律、思考问题的方法和路径，培养创造力和解决实际问题的能力。
（三）增强学生对数学的兴趣通过数形相结合的教学方式可以将数学与生活紧密相连，从而使学生对数学有更深入的理解，更加容易激发学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想在初中数学教学中，代数与几何一直被认为是两个分立的领域，代数是研究数与数字运算规律的一门数学学科，几何是研究图形与空间的一门数学学科。
在很长一段时间里，代数与几何被看作是毫无关联的两个领域，两种思维方式也被认为是与两种不同的学科有关。
数学教育的实践表明，代数与几何是有着密切联系的。
代数与几何之间的联系不仅仅表现在表面上的相似之处，而是在实践中发现代数与几何相互渗透、相互借鉴、相互促进。
在初中数学教学中，有必要将代数与几何融合在一起，采用“数形结合”的教学思想，让学生更好地掌握数学知识，提高数学素养。
一、代数与几何之间的联系1. 代数与几何的相似性代数与几何在某些方面有很多相似之处，比如二者的符号与图形形式都是抽象的，它们都是用来研究自然界中存在的问题。
代数与几何具有相似的逻辑思维方式，都需要进行分析、推理、证明等过程。
在实际问题中，代数与几何也有诸多相似之处，比如可以用代数方程和几何图形分析解决某些问题。
代数与几何之间也存在着许多相辅相成之处。
代数可以帮助几何问题化为代数问题，几何图形的性质可以通过代数分析得到更深入的认识。
比如用代数方法解决几何问题，可以通过设定代数变量表示几何问题中的长度或面积等量，通过代数方程组计算得到问题的解，从而借助代数的思维方式解决几何问题。
而几何知识也可以帮助方程的解题。
比如从图形上解释一元一次方程的意义，可以帮助学生理解方程的解的实际意义。
代数与几何之间的相互促进是指代数和几何在相互学习中不断发展和完善。
比如代数的引入可以帮助学生更好地理解几何知识，代数的知识和方法也可以应用到几何中去。
同样，几何知识也可以帮助学生更好地理解代数知识，几何的思维方式也可以用到代数中去。
在相互学习中，代数和几何不断促进和完善。
1. 数形结合的基本内涵“数形结合”是指代数知识与几何知识相互渗透、相互借鉴、相互促进。
数形结合是以代数为主线，以几何为辅助，结合实际问题，充分体现数学的应用性和实用性。
谈谈初中数学中常用的数学思想
谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。
教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。
一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。
二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。
用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。
例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。
方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。
已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。
解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。
两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。
三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。
此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。
运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。
初中数学思想方法(初二)
如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD
均为正方形，反比例函数 y
4 x
的图象经
过D、E两点，则△DOE的面积等于___
如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，
∠DAB=600，E为AB的中点，F是AC 上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ D F
C
•
A
•
E
B
问题：如图，已知点P（x1 ，y）是反比 1 k 例函数y= x （k>0）图象上任意一点，过 点P作PA⊥x 轴于A，且S =6 探究 1： 求k 的值。
kx b(k 0)的图象与x轴, m x (m 0)
y轴分别交于A, B两点, 且与反比例函数y 的图象交于点C, 过点C作CD垂直于x
轴, 垂足为D.
若OA OB OD 1.
(1)求点A, B,D的坐标; 比例函数的解析式.
y C B A
(2)求一次函数和反
O D
x
C
E
D
探究2： 延长BQ至点C，过点C作CD⊥y 轴于D，交双曲线于 点E，连接QE、BD、QD、BE， ①求△BQD和△BDE的面积。 ② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？
y
P B O Q A x
C
E
D
探究2： 延长BQ至点C，过点C作CD⊥y 轴于D，交双曲线于 点E，连接QE、BD、QD、BE， ①求△BQD和△BDE的面积。 ② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？
x 4
2
(1 2 x ) 9
2
的最小值.
B
D
C
E
(2).请写出使四边形EPFD为菱形时X的取值范围。
并求出当x=2时菱形的边长。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
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数形结合思想
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
一、以数助形
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.
例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ∆的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正
整数，且 n m >）。
求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）。
【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。
】
例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．
例5、如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分
别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y
分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？
例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长．
A D
E F C B
A
P F
E D C B
2 12345-6-5-4-3-2-10B A
二、以形助数
几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。
几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：
（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；
（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮
助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。
例1、在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和． 例2、已知a 、b 均为正数，且2=+b a 。
求1422+++b a 的最小值。
例3、若将数轴折叠，使得A 点与－2表示的点重合，若数轴上M 、N 两点之间的距离为2012(M 在N
的左侧)，且M 、N 两点经过折叠后互相重合，则M 、N 两点表示的数分别是：M : N :
例4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A ，B ，C ，D 分别表示整数a ，b ，c ，d ，
且d －2a ＝10，则原点在（ ）的位置
A . 点A
B . 点B
C .点C
D .点D
例5、已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞02－x ＞0
的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 例6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．
(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B 点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm ），由此可得到木棒长为 cm ．
(2) 由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
例7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的
正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前
一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则
P n －P n －1= .
…
① ② ③ ④。