3-5 一阶电路的零状态响应
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1 1 (1 e ) 3 3 t 2 1 4 e V ，t 0 3 3
3 t 4
t
3 t 4
1
u( t ) / V
2 3
u0 ( t )
13
uC ( t )
0
t/s
X
例题
t 0 i ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ) 0 ，求开关S 闭合后的 iL (t ) 和 u1 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
时间常数影响过渡过程的快慢： 时间常数 越小，过渡过程越快； 时间常数 越大，过渡过程越慢；
X
以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线
X
时间常数的测定
方法一： 在 y (t )曲线上测量0.632 y () y ( ) 所对应的时间为时间常数。 0.632 y() 方法二： 过 y (0) 作切线，切线与 y () 交 点为时间常数，其中切线斜率为：
t dy (t ) 1 ( ) y ( ) e dt t 0
y (t )
0
t
t 0
y ()
X
时间常数的计算
方法一： 若已知电路的微分方程，求得特征方程的特征根s， 因此可以得到时间常数 1 s 。 方法二： 若已知函数表达式，根据 y(t ) t 0.632 y() 确定时间 常数 。 方法三： 根据电路，利用公式 RC 和 L R 计算。对于复 杂电路，利用戴维南定理或诺顿定理将除动态元件以 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代，由 此可以确定R为戴维南等效电阻或诺顿等效电阻。
X
3.小结
(3) 一阶电路零状态微分方程的一般形式为: d 1 y t y t E E为与激励相关的函数 t dt
z.s.r： y t y ()(1 e ) t 0 L 1 RC or ，s ( 固有频率) R 时间常数 愈小, 增长愈快
C (t )
+ -
C
R1
短路，电容开路，所以有： Us R1U s i L ( ) , uC () R3 R1 R2 R3 R4 ReqL R3 / / R4 与电感连接的等效电阻为： R3 R4 L( R3 R4 ) L L 右边电路的时间常数为： ReqL R3 R4
Us R
iC ( t )
0
t
RC电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt
0 2 C
U s2 R
2 t e RC dt
0
1 2 CU s 2
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WC CU s2 充电效率为50%。
X
解（续）
i L (t ) i L ()(1 e ) 4(1 e 1000 t )A，t 0
t
iL (t ) / A
4
0
t/s
di L (t ) u1 (t ) 100 L 100 dt 100 0.02 (4) (1000)e 1000 t 100 80e 1000 t V ，t 0
X
duC RC uC us (t ) t 0 dt 解的形式为： uC uCh uCp t uCh 齐次方程的通解：uCh (t ) Ae RC( A由初始条件决定) uCp (t ) B（与激励同形式） uCp 非齐次方程的特解： 设us (t ) U s , 则特解uCp (t ) U s
t
0
t
RL电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt 0 I Re
0 2 R
2 s
2R t L
1 2 1 2 电感的最终储能： WL () Li L ( ) LI s 2 2
uC (t ) Ae Us t 0 由初始值uC (0 ) uC (0 ) 0 求得：A U s
uC (t ) U s e
t RC t RC
t RC
U s U s(1 e ) U s(1 e ) t 0 t t duC U s RC U s iC (t ) C e e t0 dt R R
X
u ( 0 ) 0 ，求开关S t 0 已知电路在 时处于稳态， C 例题
闭合后的 uC (t ) 和 u0 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电容开路， 所以电容电压的稳态值为： 1 1 uC () 1 V 1 2 3
S ( t 0)
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WL LI 充电效率为50%。
2 s
（与R的大小无关）
1 2 dt LI s 2
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以 看出任何状态变量的零状态响应都可以写成：
1 t
y(t ) y()(1 e
C
1 4 s L
X
3.小结
(1) 零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的 响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此， 只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间 常数，就能求得一阶电路的z.s.r。
(2) 零状态响应线性：激励增长k倍，响应也增长k倍。
如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独 作用产生的零状态响应的叠加。
§3-5 一阶电路的零状态响应
北京邮电大学电子工程学院 2012.1
退出
开始
内容提要
一阶RC电路的零状态响应
一阶RL电路的零状态响应
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励 源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立 过程——充电过程。 S ( t 0) R iC ( t ) t 0 合上开关S
X
（充电）过渡过程与时间常数的关系
t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的 63.2%。 t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。 t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。 工程上常取 t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
t
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
uC (t ) U s (1 e
1
1 t
) t0
响应曲线
uC (t)
Us
t
U s t iC (t ) e t 0 R 终值（稳态值）uC () U s , iC () 0 0
1 s 固有频率： RC
时间常数： RC
20
u1 (t ) / V
0
t/s
X
例题
i ( 0 ) 0 t 0 u ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ，C ) 0，
求开关S闭合后的 i L (t ) 和uC (t )。
R2
R3
S ( t 0)
t=0时，开关闭合。电源 解： 左右两部分可看成独立的两 u 部分。电路再达稳态，电感
uC (0) uC (0 ) uC (0 ) 0 t 0 KVL方程： RiC (t ) uC (t ) us (t ) duC RC uC us (t ) t 0 dt
us ( t )
C
uC (t )
uC (0 ) 0
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（一阶线性常系数非齐次微分方程）
+ +
1V
uC ( t )
2F
+ u (t )
0
1
2
-
-
2 与电容连接的等效电阻为：Req 1 / /2 3 2 4 ReqC 2 s 电路的时间常数为： 3 3
X
解（续）
uC (t ) uC ()(1 e ) 1 (1 e ) V ，t 0 3 u0 (t ) 1 uC (t )
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电感短路， 所以电感电流的稳态值为： 100 i L ( ) 4A 25
S ( t 0)
+
u1 (t )
iL (t )
+
100 V
25
100
20mH
-
Req 25 / /100 20 与电感连接的等效电阻为： L 0.02 0.001s 电路的时间常数为： Req 20
X
+ R U s
4
L
i L (t )
解（续）
与电容连接的等效电阻为：
R2 R3
S ( t 0) R1 R2 ReqC R1 / / R2 L R1 R2 u (+ t) R C + R U i (t ) 右边电路的时间常数为： R1 R2C C ReqC C R1 R2 R3 R4 t t U L ( R R ) iL (t ) iL ()(1 e L ) s (1 e 3 4 )，t 0 R3 R1 R2 t t R1U s C R1 R2C uC (t ) uC ()(1 e ) (1 e )，t 0 R1 R2
1 2 1 电容的最终储能： WC () CuC () CU s2 2 2
（与R的大小无关）
返回
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
t 0时电感无初始储能：iL (0 ) 0 S (t 0) iR (t ) iL (t ) Is t 0合上开关S：iL (0 ) 0 L uL ( t ) R i ( t ) i ( t ) I KCL方程： R L s uL (t ) L di L (t ) L di L i R (t ) i L I s t 0 R R dt R d t R
), t 0
因此，只要知道了该变量的终值（稳态值）和电 路的时间常数，就可以得到该变量在过渡过程的 变化规律。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
对于非状态变量，由于其不满足换路定则，因此 非状态变量的初始值不一定为零，因此不能满足 该公式。可以通过状态变量的零状态响应，利用 两类约束得到。 线性时不变电路的零状态响应满足叠加性，即如 果输入激励增加K倍，则响应也增加K倍。
y t y ()(1 e ) t 0
t
的零状态响应形式只适用于状态变量。 返回
X
t L
iL (t ) Ae
Is
iL t I s (1 e ) I s (1 e ) t 0 t R t i L (t ) uL (t ) L I s Re L I s R e t 0 dt
R t L
t 0 , 解得：
t
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
iL t I s (1 e )
t
uL (t ) I s Re
t
t 0
t 0
响应曲线 iL(t)
Is
终值（稳态值）:
L 时间常数： R R 固有频率： s L
uL () 0
0
Is R
uL(t)
3 t 4
t
3 t 4
1
u( t ) / V
2 3
u0 ( t )
13
uC ( t )
0
t/s
X
例题
t 0 i ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ) 0 ，求开关S 闭合后的 iL (t ) 和 u1 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
时间常数影响过渡过程的快慢： 时间常数 越小，过渡过程越快； 时间常数 越大，过渡过程越慢；
X
以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线
X
时间常数的测定
方法一： 在 y (t )曲线上测量0.632 y () y ( ) 所对应的时间为时间常数。 0.632 y() 方法二： 过 y (0) 作切线，切线与 y () 交 点为时间常数，其中切线斜率为：
t dy (t ) 1 ( ) y ( ) e dt t 0
y (t )
0
t
t 0
y ()
X
时间常数的计算
方法一： 若已知电路的微分方程，求得特征方程的特征根s， 因此可以得到时间常数 1 s 。 方法二： 若已知函数表达式，根据 y(t ) t 0.632 y() 确定时间 常数 。 方法三： 根据电路，利用公式 RC 和 L R 计算。对于复 杂电路，利用戴维南定理或诺顿定理将除动态元件以 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代，由 此可以确定R为戴维南等效电阻或诺顿等效电阻。
X
3.小结
(3) 一阶电路零状态微分方程的一般形式为: d 1 y t y t E E为与激励相关的函数 t dt
z.s.r： y t y ()(1 e ) t 0 L 1 RC or ，s ( 固有频率) R 时间常数 愈小, 增长愈快
C (t )
+ -
C
R1
短路，电容开路，所以有： Us R1U s i L ( ) , uC () R3 R1 R2 R3 R4 ReqL R3 / / R4 与电感连接的等效电阻为： R3 R4 L( R3 R4 ) L L 右边电路的时间常数为： ReqL R3 R4
Us R
iC ( t )
0
t
RC电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt
0 2 C
U s2 R
2 t e RC dt
0
1 2 CU s 2
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WC CU s2 充电效率为50%。
X
解（续）
i L (t ) i L ()(1 e ) 4(1 e 1000 t )A，t 0
t
iL (t ) / A
4
0
t/s
di L (t ) u1 (t ) 100 L 100 dt 100 0.02 (4) (1000)e 1000 t 100 80e 1000 t V ，t 0
X
duC RC uC us (t ) t 0 dt 解的形式为： uC uCh uCp t uCh 齐次方程的通解：uCh (t ) Ae RC( A由初始条件决定) uCp (t ) B（与激励同形式） uCp 非齐次方程的特解： 设us (t ) U s , 则特解uCp (t ) U s
t
0
t
RL电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt 0 I Re
0 2 R
2 s
2R t L
1 2 1 2 电感的最终储能： WL () Li L ( ) LI s 2 2
uC (t ) Ae Us t 0 由初始值uC (0 ) uC (0 ) 0 求得：A U s
uC (t ) U s e
t RC t RC
t RC
U s U s(1 e ) U s(1 e ) t 0 t t duC U s RC U s iC (t ) C e e t0 dt R R
X
u ( 0 ) 0 ，求开关S t 0 已知电路在 时处于稳态， C 例题
闭合后的 uC (t ) 和 u0 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电容开路， 所以电容电压的稳态值为： 1 1 uC () 1 V 1 2 3
S ( t 0)
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WL LI 充电效率为50%。
2 s
（与R的大小无关）
1 2 dt LI s 2
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以 看出任何状态变量的零状态响应都可以写成：
1 t
y(t ) y()(1 e
C
1 4 s L
X
3.小结
(1) 零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的 响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此， 只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间 常数，就能求得一阶电路的z.s.r。
(2) 零状态响应线性：激励增长k倍，响应也增长k倍。
如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独 作用产生的零状态响应的叠加。
§3-5 一阶电路的零状态响应
北京邮电大学电子工程学院 2012.1
退出
开始
内容提要
一阶RC电路的零状态响应
一阶RL电路的零状态响应
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励 源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立 过程——充电过程。 S ( t 0) R iC ( t ) t 0 合上开关S
X
（充电）过渡过程与时间常数的关系
t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的 63.2%。 t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。 t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。 工程上常取 t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
t
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
uC (t ) U s (1 e
1
1 t
) t0
响应曲线
uC (t)
Us
t
U s t iC (t ) e t 0 R 终值（稳态值）uC () U s , iC () 0 0
1 s 固有频率： RC
时间常数： RC
20
u1 (t ) / V
0
t/s
X
例题
i ( 0 ) 0 t 0 u ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ，C ) 0，
求开关S闭合后的 i L (t ) 和uC (t )。
R2
R3
S ( t 0)
t=0时，开关闭合。电源 解： 左右两部分可看成独立的两 u 部分。电路再达稳态，电感
uC (0) uC (0 ) uC (0 ) 0 t 0 KVL方程： RiC (t ) uC (t ) us (t ) duC RC uC us (t ) t 0 dt
us ( t )
C
uC (t )
uC (0 ) 0
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（一阶线性常系数非齐次微分方程）
+ +
1V
uC ( t )
2F
+ u (t )
0
1
2
-
-
2 与电容连接的等效电阻为：Req 1 / /2 3 2 4 ReqC 2 s 电路的时间常数为： 3 3
X
解（续）
uC (t ) uC ()(1 e ) 1 (1 e ) V ，t 0 3 u0 (t ) 1 uC (t )
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电感短路， 所以电感电流的稳态值为： 100 i L ( ) 4A 25
S ( t 0)
+
u1 (t )
iL (t )
+
100 V
25
100
20mH
-
Req 25 / /100 20 与电感连接的等效电阻为： L 0.02 0.001s 电路的时间常数为： Req 20
X
+ R U s
4
L
i L (t )
解（续）
与电容连接的等效电阻为：
R2 R3
S ( t 0) R1 R2 ReqC R1 / / R2 L R1 R2 u (+ t) R C + R U i (t ) 右边电路的时间常数为： R1 R2C C ReqC C R1 R2 R3 R4 t t U L ( R R ) iL (t ) iL ()(1 e L ) s (1 e 3 4 )，t 0 R3 R1 R2 t t R1U s C R1 R2C uC (t ) uC ()(1 e ) (1 e )，t 0 R1 R2
1 2 1 电容的最终储能： WC () CuC () CU s2 2 2
（与R的大小无关）
返回
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
t 0时电感无初始储能：iL (0 ) 0 S (t 0) iR (t ) iL (t ) Is t 0合上开关S：iL (0 ) 0 L uL ( t ) R i ( t ) i ( t ) I KCL方程： R L s uL (t ) L di L (t ) L di L i R (t ) i L I s t 0 R R dt R d t R
), t 0
因此，只要知道了该变量的终值（稳态值）和电 路的时间常数，就可以得到该变量在过渡过程的 变化规律。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
对于非状态变量，由于其不满足换路定则，因此 非状态变量的初始值不一定为零，因此不能满足 该公式。可以通过状态变量的零状态响应，利用 两类约束得到。 线性时不变电路的零状态响应满足叠加性，即如 果输入激励增加K倍，则响应也增加K倍。
y t y ()(1 e ) t 0
t
的零状态响应形式只适用于状态变量。 返回
X
t L
iL (t ) Ae
Is
iL t I s (1 e ) I s (1 e ) t 0 t R t i L (t ) uL (t ) L I s Re L I s R e t 0 dt
R t L
t 0 , 解得：
t
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
iL t I s (1 e )
t
uL (t ) I s Re
t
t 0
t 0
响应曲线 iL(t)
Is
终值（稳态值）:
L 时间常数： R R 固有频率： s L
uL () 0
0
Is R
uL(t)