对数函数高考复习
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-对数运算与对数函数(含解析)
一、单项选择题1．(2023·哈尔滨模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为()A ．[1，＋∞)B.34，1C.34，1 D.0，342．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．33．若12log 0.8log 0.8x x <<0，则x 1与x 2的关系正确的是()A ．0<x 2<x 1<1B ．0<x 1<x 2<1C ．1<x 1<x 2D ．1<x 2<x 14.已知函数f (x )＝log a (x －b )(a >0，且a ≠1，a ，b 为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A ．a >0，b <－1B ．a >0，－1<b <0C ．0<a <1，b <－1D ．0<a <1，－1<b <05．(2024·通化模拟)设a ＝log 0.14，b ＝log 504，则()A ．2ab <2(a ＋b )<abB ．2ab <a ＋b <4abC ．ab <a ＋b <2abD ．2ab <a ＋b <ab6．(2023·本溪模拟)若不等式(x －1)2<log a x (a >0且a ≠1)在x ∈(1,2]内恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2，2)二、多项选择题7．(2024·永州模拟)若10a ＝5，10b ＝20，则()A ．a ＋b ＝4B ．b －a ＝lg 4C ．ab <2(lg 5)2D ．b －a >lg 58．(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝－4B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<4D ．0<x 1x 2x 3x 4≤2三、填空题9．计算：lg 25＋23lg 8－log 227×log 32＋2log 32＝.10．(2023·绍兴模拟)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >y 时，f (x )<f (y )，请你写出一个符合上述条件的函数f (x )＝.11．设p >0，q >0，若log 4p ＝log 6q ＝log 9(2p ＋q )，则p q ＝.12．(2023·龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在实数x ，使得f (－x )＝－f (x )，则称函数y ＝f (x )为定义域上的局部奇函数．若函数f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是．四、解答题13．已知f (x )＝213log (5)x ax a -+．(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．14．(2024·株洲模拟)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)－kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 9m 的取值范围．15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则()A．x>y>zB．x<y<zC．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log a x－(a)x－log a2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是．§2.8对数运算与对数函数1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [若0<a <1，此时x ∈(1,2]，log a x <0，而(x －1)2>0，故(x －1)2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈(1,2]，log a x >0，而(x －1)2>0，令f (x )＝log a x ，g (x )＝(x －1)2，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2]内恒成立，则log a 2>1，解得a ∈(1,2)．]7．BC [由10a ＝5，10b ＝20，得a ＝lg 5，b ＝lg 20，则a ＋b ＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；b －a ＝lg 20－lg 5＝lg 205＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；ab ＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5，∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab <2(lg 5)2，故C 正确．]8．AB [函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0的图象如图所示，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝t ，则0<t <4，则直线y ＝t 与函数y ＝f (x )图象的4个交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.对于A ，函数y ＝－x 2－4x 的图象关于直线x ＝－2对称，则x 1＋x 2＝－4，故A 正确；对于B ，由图象可知|log 2x 3|＝|log 2x 4|，且0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4，即log 2(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，故B 正确；对于C ，由图象可知log 2x 4∈(0,4)，则1<x 4<16，故C 错误；对于D ，由图象可知－4<x 1<－2，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1(－4－x 1)＝－x 21－4x 1＝－(x 1＋2)2＋4＝f (x 1)∈(0,4)，故D 错误．]9．210.12log x (答案不唯一)11.1212．(2，5]解析因为f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，所以x ＋m >0在[－2,2]上恒成立，所以m －2>0，即m >2，由局部奇函数的定义，存在x ∈[－2,2]，使得log 3(－x ＋m )＝－log 3(x ＋m )，即log 3(－x ＋m )＋log 3(x ＋m )＝log 3(m 2－x 2)＝0，所以存在x ∈[－2,2]，使得m 2－x 2＝1，即m 2＝x 2＋1，又因为x ∈[－2,2]，所以x 2＋1∈[1,5]，所以m 2∈[1,5]，即m ∈[－5，－1]∪[1，5]，综上，m ∈(2，5]．13．解(1)当a ＝2时，f (x )＝213log (-210)x x ，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u ＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u 为减函数，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴u ＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a ≥0，解得－14≤a ≤2，∴a 的取值范围是－14，2.14．解(1)因为9x ＋1>0，所以f (x )的定义域为R ，又因为f (x )是偶函数，所以∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x ＋1)＋kx ＝log 9(9x ＋1)－kx 对∀x ∈R 恒成立，则2kx ＝log 9(9x ＋1)－log 9(9－x＋1)＝log 99x ＋19－x ＋1＝log 99x ＝x 对∀x ∈R 恒成立，即x (2k －1)＝0对∀x ∈R 恒成立，因为x 不恒为0，所以k ＝12.(2)由(1)得f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－129log 9x ＝log 99x ＋13x ＝log x则方程f (x )＝log log x log 不相等的实数解，所以方程3x ＋13x ＝m 3x ＋1有两个不相等的实数解，令t ＝3x ，且t >0，方程化为t ＋1t ＝m t＋1，即方程m ＝t 2－t ＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g (t )＝t 2－t ＋1，则y ＝m 与y ＝g (t )在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g (t )所以g (t )≥＝34，且g (0)＝1，所以m 15．D [令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ≠0，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，令g(k)＝k t，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，当t<0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即1，令f(t)1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]16．(1，1 e e)解析由题知，x>0，f(x)＝log a x－(a)x－log a2＝log a x2－2x a，令t＝x2，t>0，则y＝log at与y＝a t的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝log a t与y＝a t互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝log a t，y＝a t的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，a m ln a＝1，a m，解得m＝e，又1m ln a＝1，所以a＝1e e>1，所以当a＝1e e时，y＝log a t和y＝a t只有一个交点，如图1；当a>1e e时，y＝log a t和y＝a t无交点，如图2；当1<a<1e e时，y＝log a t和y＝a t有两个交点，如图3.综上，a的取值范围为(1，1e e)．。
高考数学一轮总复习教学课件第二章 函 数第7节 对数函数
g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(
√
)
解析:(1)g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;
当0<a<1时,f(x)=logax单调递减,g(x)开口向下,排除D.故选B.
(2)(2024·浙江杭州模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示,将
其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>
在[-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;
因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,
且f(-4)=f(2)=4,
所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;
因为f(x)在[-1,4)上单调递减,所以D错误.
故选AB.
.
解析:(3)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单
调递减,
所以可将 f(lo (2x-5))>f(log38)等价于|lo (2x-5)|>|log38|,
即 log3(2x-5)>log38 或 log3(2x-5)<-log38=log3 ,即 2x-5>8 或
再借助y=logax的单 忽略函数的定义域
调性求解
角度三
对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)(2023·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+
log2(4-x),则(
)
√
B.f(x)有最大值
√
A.f(x)的定义域是(-6,4)
C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)
对数函数-高考数学复习
解析
当
当
当
1
1
logm7=log ,logn7=log ,
7
7
1
1
1<m<n 时,0<log7m<log7n,所以
>
,即 logm7>logn7;
log7
log7
1
1
0<m<n<1 时,log7m<log7n<0,所以log > log ,即 logm7>logn7;
函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质
y=loga|x|
函数
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
R
值域
奇偶性 偶函数
在(0,+∞)内单调递增; 在(-∞,0)内单调递增;
单调性
在(-∞,0)内单调递减 在(0,+∞)内单调递减
图象
y=|logax|
a>1
0<a<1
1.函数f(x)=log3(x-1)是对数函数.( × )
2.若logax>1,则x>a.( × )
3.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上是单调递增函数.(
4.函数 y=|lo1 x| 的单调递减区间是(1,+∞).( × )
2
)
题组二 回源教材
5.(人教A版必修第一册习题4.4第1题改编)函数 y= 0.5 (4-3) 的定义域
高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数
— 17 —
[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图 象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
— 14 —
— 返回 —
核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考点一 对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
— 返回 —
[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数， 所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
— 27 —
(新教材) 高三总复习•数学
只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
— 24 —
(新教材) 高三总复习•数学
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
— 返回 —
2025届高中数学一轮复习课件《对数函数》PPT
由图可知 a<b<c.故选 A．
高考一轮总复习•数学
比较对数值大小的方法
第22页
高考一轮总复习•数学
第23页
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
1．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图 象
定义域 值域 定点 单调性 在(0，＋∞)上 单调递增 函数值 当 x＞1 时，y＞0； 正负 当 0＜x＜1 时，y＜0
第18页
对点练 1(1)(多选)已知函数 f(x)＝loga(x－b)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则以下说 法正确的是( )
A．－1<b<0
B．a＋b>0
C．0<a<1
D．loga|b|<0
(2)已知 f(x)＝lg x，作出函数 y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y
3
2x－1的定义域为12，1.
高考一轮总复习•数学
第11页
4．(2024·吉林长春月考)函数 f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为__(_3_，__＋__∞_)__．
解析：设 g(x)＝x2－2x－3，可得函数 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调 递增，又由函数 y＝lg(x2－2x－3)满足 x2－2x－3>0，解得 x<－1 或 x>3，根据复合函数的单 调性，可得函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．
高考数学复习考点知识讲解课件09 对数与对数函数
2
大小关系是(
)
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．b<c<a
答案： (2)B
解析：
1 x
(2)函数y＝( ) 与y＝log 1 的图象关于直线y＝x对称，则0
2
2
1 < log 1 0.2，∴a<b.
2
0.2 log1 0.2
1
又c＝ab＝( )
2
2
0.2
log
0.2
1
1
1
＝( ) 2
1
t
5
2
解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋ ＝ ，
2
b
2
b
a
2b
所以t＝2，则a＝b .又a ＝b ，所以b ＝b ，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
4．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
解析：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋
高考数学复习考点知识讲解课件
第六节 对数与对数函数
必备知识—基础落实
微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转
化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，
1
会画底数为2，10， 的对数函数的图象．
2
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且
高考数学一轮复习规划2.5对数与对数函数课件
第二章 函数
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
(2021
全国新高考Ⅱ卷)已知
a
＝
log52
，
b
＝
log83
，
c
＝
1 2
，
则
下
列
判
断
正
确
的
是
()
A. c<b<a
B. b<a<c
C. a<c<b
D. a<b<c
解：因为 a＝log52<log5 5＝12＝log82 2＜log83＝b，即 a＜c＜b. 故选 C.
解：(1)×； (2)×； (3)×； (4)√； (5)√.
()
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
(2020 全国Ⅰ卷)设 alog34＝2，则 4－a＝
1
1
1
A. 16
B. 9
C. 8
() 1
D. 6
解：由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19. 故选 B.
第二章 函数
4. 对数相关结论 (1)对数恒等式：alogaN＝N； (2)换底公式推论：logab·logbc·logcd＝logad. 5. 对数函数相关结论 (1)对数函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)以 y 轴为渐近线；g(x)＝logax＋b 恒过定点(1，b)，仍以 y 轴为 渐近线.
()
A. 106 倍
B. 108 倍
C. 1010 倍
D. 1012 倍
解：设“胖五”发射时的声强和平时常人交谈时的声强分别为 x1，x2，由题意可得 f(x1)＝ 10lg10x－112＝140，解得 x1＝102，f(x2)＝10lg10x－212＝60，解得 x2＝10－6，所以xx12＝108，因 此，“胖五”发射时的声强约为平时常人交谈时声强的 108 倍. 故选 B.
高考科学复习解决方案-数学(名校内参版)第三章3.6对数与对数函数
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
1．(2020·全国Ⅲ卷)设 a＝log32，b＝log53，c＝23<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
解析
∵a，b，c∈(0，1)，ab＝lloogg5835＝llgg
35·llgg
85＜（lg15）2·lg
3＋lg 2
8
2＝lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
解析
10－2a>0， 由题意得a－3>0， 解得 3<a<4 或 4<a<5，即实数 a 的取值范
a－3≠1，
围是(3，4)∪(4，5).故选 D.
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
2．(2021·四川省乐山第一中学高三月考)已知 a，b，c 是不等于 1 的正 实数，且 ab≠1，若 logabc＝logac·logbc，则 logac＋logbc＝( )
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
答案 D
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
解析 令 t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z 为正数，∴t＞1.则 x＝log2t＝llgg 2t ，
同
理
，
y
＝
对数与对数函数-2025高考数学复习
高考一轮总复习 • 数学
[解析] 因为 a＝log36＝1＋log32，b＝1＋2log52，
②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠_1_)___叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
图象
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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性质
定义域：___(_0_，__＋__∞__) ________ 值域：____(－__∞__，__＋__∞_)______
当x＝1时，y＝0，即过定点____(_1_,_0_) ______
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，____y_＞__0______
5 log4 3
5
＝log2 8＝3log2 3，所以 a－3b＝log2 5－log2 3＝log2 3＝ log4 2 ＝2log4 3＝
25 log4 9 ，所以 4a－3b＝
25 ＝ 9 ，故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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8 ． (2017·全 国 卷 Ⅱ ) 函 数 f(x) ＝ ln(x2 － 2x － 8) 的 单 调 递 增 区 间 是
1 ＝2，∴a<c<b.故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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考点突破 · 互动探究
人教版高三数学复习课件：对数与对数函数
解析：由log2a<0⇒0<a<1，
由(
1 2
)b>1⇒b<0.
答案：0<a<1，b<0
三基能力强化
3．已知 3a＝5b＝A，且1a＋1b＝2，则 A 的 值是________．
答案： 15
三基能力强化
4．若f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有 f(x)>1，则实数a的取值范围是______．
课堂互动讲练
自我挑战
4．(本题满分12分)已知：f(x)＝ lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)在其定义域内的单调 性； (3)若f(x)在(1，＋∞)内恒为正， 试比较a－b与1的大小．
课堂互动讲练
自我挑战
解：(1)由ax－bx>0，
∴(
a b
)x>1，∵
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
基础知识梳理
logax2＝2logax是否正确？ 【思考·提示】 不一定正确．logax2 ＝22llooggaax(－x(x) >0()x<0)
基础知识梳理
4．对数函数 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做 对数函数．其中x是自变量． 对数函数与指数函数 互为反函数， 其图象关于直线 y＝x对称．
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4
2log25
1411,
5 55
所以f(log220)=-f(log2
4 5
)=-1.
(2)原式=lg
5+lg
2-lg
10
1 2
-2log23×log32=1+12
-2=- 1 .
2
答案：- 1
2
【规律方法】对数运算的一般策略 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂 的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对 数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.
3.题型以选择、填空题为主,属中低档题
【知识梳理】 1.对数的定义 (1)对数的定义: ①请根据下图的提示填写与对数有关的概念:
指数 对数
幂
真数
底数
②其中a的取值范围是:_a_>_0_,_且__a_≠__1_.
(2)两种常见对数:
对数形式 常用对数 自然对数
特点 底数为_1_0_ 底数为_e_
记法 _l_g_N_ _l_n_N_
4
2 3
a
2,
a
23 3
,
即 2 <3 a≤2,所以实数a的取值范围是(
3
答案：( 2 ，3 2]
3
，2 23 ].
3
【互动探究】若本例(2)中的条件变为：“已知函数f(x)=
log 2x, x 0,
2
x
,x
0,
且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根”,则实数
a的范围如何？
【解析】当x≤0时，0<2x≤1,由图象可知方程f(x)-a=0有两
函数为奇函数，且f(x+4)=f(x),所以函数的周期为4，
4<log220<5,0<log220-4<1,即log220-4=54 log2 .
所以f(log220)=f(log220-4)=f(log254 )
=-f(-log2
5 4
)=-f(log2
)4 ，
5
因为-1<log254
<0,所以f(log2 4 )=
A.x2<x3<x1
B.x1<x3<x2
C.x1<x2<x3
D.x2<x1<x3
【解析】选A.在同一坐标系中画出三个
函数的图象及直线y=a(a<0),易知x1>x3 >x2,故选A.
2.(2014·太原模拟)已知函数
f
x
| lg x|,0 x 10, 12x6,x 10,
若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围
3.对数函数的定义、图象与性质
定义 底数
函数_y_=_l_o_g_ax_(a>0,且a≠1)叫做对数函数
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
_(_0_,_+_∞__)_ _R_
当x=1时,y=0,即过定点_(_1_,_0_)_
性质
当0<x<1时,y<0; 当x>1时,_y_>_0_
当0<x<1时,_y_>_0_; 当x>1时,_y_<_0_
5
则f(log220)=( )
A.1
B. 4 C.-1
D.- 4
5
5
(2) 1 lg 25+lg 2-lg
2
0 . 1 -log29×log32的值是________.
【解题视点】(1)根据函数的性质及对数运算性质将待求值调 节到(-1,0)上求值. (2)根据对数运算性质进行计算.
【规范解答】(1)选C.由f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),可知
所以m2=10,m=1 0 .
答案： 1 0
3.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解析】因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3, 所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
考点2 对数函数的图象及其应用 【典例2】(1)(2014·大连模拟)已知lga+lgb=0(a>0且a≠1, b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( )
(2)(2014·南京模拟)已知实数a>0,f(x)=
x 2
l
o
g
1 2
2ax x,x
,x 1.
1,
若方程f(x)=- 3 a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，
4
则实数a的取值范围是________.
【解题视点】(1)根据条件将b用a表示,进而根据f(x)=ax与
g(x)=-logbx的解析式关系确定图象. (2)作出函数y=f(x)+ 3 a2的图象,数形结合求解.
4
【规范解答】(1)选B.因为lg a+lg b=0，即lg ab=0,所以ab=1,
得b= 1
a
,故g(x)=-logbx=-log1 x=logax,
a
则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，结合图
象知，B正确.
(2)根据题意，作出函数y=f(x)+ 3 a 2
4
的图象，
发现：当x>1时，函数的图象是由y=
log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单 位长度就能得到函数y=log2|x+1|的图 象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为 (-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).
答案:(-∞,-1) (-1,+∞)
【加固训练】
1.已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log5x,直线y=a(a<0)与 这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的 大小关系是( )
个实根，即y=f(x)与y=a的图象有两个交点，所以由图象可知
0<a≤1.
【易错警示】注意图象的准确性 利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等 问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将误 解.
【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在 求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结 合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解.
又y=log2|x|,x∈R且x≠0的图象关于y轴对称,故是偶函数.
4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,
则f(x)等于( )
A. 1 B.2x-2
2x
C. l o g 1 x D.log2x
2
【解析】选D.由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,
.
【解析】原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1.
答案:1
2.(2014·保定模拟)设2a=5b=m，且 1 1 =2，则m=______.
ab
【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m, 所以 11 1 1
a b log2m log5m
=logm2+logm5=logm10=2,
2.对数的性质、换底公式与运算性质
性质 ①loga1=_0_,②logaa=_1_,③ a loga N =_N_(a>0且a≠1)
换底 公式
logab=
lo g lo g
cb ca
(a,c均大于0且不等于1,b>0)
运算 性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(M·N)=__l_o_g_a_M_+_l_o_g_aN ② ③llooggaaMMNn=_n=_l_l_o_o_g_g_a_aM_M_(-_nl_∈o_g_Ra_)N_
②函数y=log2(x+1)是对数函数;
③函数y= ln 1 x 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同;
1 x
④若logam<logan,则m<n,其中正确的命题有( )
A.①③
B.③
C.②③
D.④
【解析】选B.①错误,logax2=2loga|x|,②错误,不符合对数函 数定义. ③正确,函数y= ln 1 的x 定义域为(-1,1),而函数y=ln(1+x)-
4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数
y=logax(a>0,且ⅡT8 12年(2考):湖南T8 江苏T5 11年(1考):天津T7
1.对数的运算性质、对数函数的图象与性质是高考的 考 热点 情 2.常与函数的单调性、最值、零点等性质以及方程、 播 不等式等知识交汇命题,考查分类讨论,函数与方程, 报 转化与化归、数形结合思想
【变式训练】(1)(2014·郑州模拟)当0<x≤ 1
2
时，4x<logax,
则a的取值范围是( )
A.(0， 2 )
2
C.(1， 2 )
B.( 2 ，1)
2
D.( 2 ，2)
【解析】选B.由0<x≤
1 2
,且logax>4x>0,
可得0<a<1,
由
4
1 2
lo可g a 得12 a=