2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.1 3.1.1
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( × ) (2)若 z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当 m＝0，n≠0 时，z 为纯虚数．( × ) (3)bi 是纯虚数．( × ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相 等．( √ )
答案
得mm22＋－m2m－＝2＝0，4， 解得 m＝2. ∴实数 m 的值为 1 或 2.
答案
拓展提升 复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求 参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部 与虚部分别相等，列方程组．
【跟踪训练 3】 已知 A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}， A∩B＝{3}，求实数 a 的值．
答案 D
答案
解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时为纯虚数． 在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误； 在③中，若 x＝－1，x2＋3x＋2≠0 不成立，故③错误； ④正确．
解析
探究2 复数的分类 例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为：(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？ [解] (1)当mm≠2－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数； (3)当m2＋mm－6＝0， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案 ± 2，5
解析 由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以 a＝± 2，b＝5.
答案
解析
4．设复数 z＝m＋1 5＋(m2＋2m－15)i 为实数，则实数 m 的值是________．
答案 3 解析 依题意有mm2＋＋52≠m0－，15＝0， 解得 m＝3.
答案
解析
5．如果 log1 (m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数 m，n 的值． 2
(3)要使 z 为纯虚数，需满足mmm－＋12＝0，且 m2＋2m－3≠0，解得 m＝0 或 m＝－2.
答案
探究3 复数相等 例 3 已知 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若 M∪P ＝P，求实数 m 的值． [解] ∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得mm22－＋2mm－＝2－＝10，， 解得 m＝1. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？
解 (1)要使 z 为实数，需满足 m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12有意义，即 m －1≠0，解得 m＝－3.
(2)要使 z 为虚数，需满足 m2＋2m－3≠0，且mmm－＋12有意义，即 m－1≠0， 解得 m≠1 且 m≠－3.
解 由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， ∴aa22－－53aa－－61＝＝03.， 解得 aa＝ ＝46或 或aa＝ ＝－ －11， ， ∴a＝－1. 故实数 a 的值为－1.
答案
1.在复数 a＋bi 中，a，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式. 2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b”，不是“bi”，更不是“i”. 3.当且仅当 b≠0 且 a＝0 时，复数 a＋bi 才是纯虚数，解题时不能只注 意 a＝0 而忽视了 b≠0 的限制. 4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复 数问题实数化这一重要数学思想的体现.
[答案] 0
解析
答案
拓展提升 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立． 如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但 i 与实数的运算及运 算律仍成立．
【跟踪训练 1】 下列命题中： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④
□03 复数 ，其中 i 叫做 □04 虚数单位 ．全体复数的集合 C 叫做 □05 复数集 ．
复数通用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做
□06 复数的代数形式 ．其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 □07 实部与虚部 ．
3．复数的分类
对于复数 z＝a＋bi，当且仅当 □08 b＝0 时，它是实数；当且仅当 □09 a＝b＝0 时，它是实数 0；当且仅当 □10 b≠0 时，叫做虚数；当 □11 a＝0，且 b≠0 时，叫做纯虚数．
m2－2m≠0，
答案
[条件探究] 是否存在实数 m，使 z＝(m2－2m)＋m2＋mm－6i 是纯虚数？
[解] 由 z＝(m2－2m)＋m2＋mm－6i 是纯虚数，
m2－2m＝0， 得m2＋mm－6≠0，
解得 m∈∅.
即不存在实数 m，使 z＝(m2－2m)＋m2＋mm－6i 是纯虚数．
2．做一做 (1)若 a＋bi＝0，则实数 a＝________，实数 b＝________. (2)(1＋ 3)i 的实部与虚部分别是________． (3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则 a＝________. 答案 (1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1
答案
课堂互动探究
随堂达标自测
1．“a＝0”是“复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0 且 b≠0，所以“a＝0” 是“复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
解 ∵log1 (m＋n)－(m2－3m)i≥－1， 2
∴log12 m＋n≥－1， －m2－3m＝0.
∴ 0m<＝m0＋或nm≤＝2，3. ∵m，n∈N， ∴m＝0，n＝1 或 n＝2.
答案
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答案
拓展提升 利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤
(1)判定复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围．
【跟踪训练 2】 已知 m∈R，复数 z＝mmm－＋12＋(m2＋2m－3)i，当 m 为何值时，
4．复数相等的充要条件
在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈
R)，规定：a＋bi 与 c＋di 的充要条件是 □12 a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)
．
复数相等的充要条件 (1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是 a，b，c，d∈R，若忽 略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部 与虚部分离出来，再利用相等条件． (2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问 题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等” 这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解 决复数问题中非常重要．
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课前自主预习
1．虚数单位 i
在实数集 R 中添加新数 i，规定：(1)i2＝ □01 －1 ，其中 i 叫做虚数单 位；(2)i 可与实数进行 □02 四则运算 ，且原有的加、乘运算律仍然成立．
2．复数的相关概念
集合 C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做
探究1 复数的有关概念 例 1 给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ③若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________．
[解析] ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小； ②由于 x，y 都是复数，故 x＋yi 不一定是复数的代数形式，不符合复数 相等的充要条件； ③若 a＝0，则 ai 不是纯虚数； ④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数 集与实数集的并集．
答案
解析
2．以 3i－ 2的虚部为实部，以 3i2＋ 2i 的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
C．－ 2＋ 2i D. 2＋ 2i
答案 A
解析 3i－ 2的虚部为 3,3i2＋ 2i 的实部为－3，所以所求复数为 3－3i.
答案
解析
3．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是________．
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2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1
• 2．对任意z1，z2，z3∈C，有zz12＋＋z1z2＝_______，z1(＋z(1z2＋＋zz3) 2)＋ z3＝____________．
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.1
向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数．
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 3.1.2
重点难点突破
解剖难点 探究提高
每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定．当把实部和虚 部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表 示复数，复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量 一一对应，从而复数也可以与复平面内的向量一一对应．
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与点 Z(a，b)和向量O→Z的一一对应 关系如下：
[名 师 点 拨] 复数 z 的模表示复数 z 对应的点 Z 到坐标原点的距离.
已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2| ＝ 3，则yx的最大值为________．
解析：∵z＝x＋yi(x，y∈R)， ∴|z－2|＝|(x－2)＋yi|＝ x－22＋y2＝ 3， ∴(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3 为半径的圆，yx表示圆上的点与原点(0,0)连线的 斜率，直线 y＝kx 与圆(x－2)2＋y2＝3 在第一象 限相切时，斜率 k 最大，最大值为 3. 答案： 3
则实数 a 的值为( )
A．2
B．－2
C．2 或－2
D.±2 或 0
解析：∵|z1|＝|z2| ∴ a2＋1＝ 22＋－12， a2＝4，a＝±2. 答案：C
5．已知复数 z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)． (1)若 z 是实数，求实数 m 的值； (2)若 z 是纯虚数，求实数 m 的值； (3)若在复平面 C 内，z 所对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围．
做__实__轴_____，y 轴叫做虚__轴__，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．
2．复数 z＝a＋bi 复数 z＝a＋bi
___复_平__面_内__的_点__Z_(a_，__b)_______； _平__面__向__量__O_→_Z______.
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
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归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
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归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
自主预习学案
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
第六页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
自主预习学案
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
第六页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2
• 思维导引：利用复数与点的一一对应关系及点对应位置时坐 标解满析足∵的k 为条实件数求，∴解k2．－3k－4，k2－5k－6 都是实数，
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
[思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点， 或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析] (1)A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋O→C，它所对应的复数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|O→B| ＝ 12＋62＝ 37.
根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连接向量O→Z1， O→Z2的终点，并指向被减数的向量Z→2Z1所对应的复数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
综合应用 典例 3 设 x∈[0,2π)，复数 z1＝cosx＋isinx 对应的点在第一象限中直线 y ＝x 的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是_(1_，____3_) _. [思路分析] 由 x∈[0,2π)，复数 z1 的对应点位于第一象限且在直线 y＝x 的左上 方可求得 x 的取值范围；由 z1 与 z2 的代数形式及复数加法运算法则可求出 z1＋z2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧： ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处 理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运 用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB：
第十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
[思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点， 或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析] (1)A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋O→C，它所对应的复数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|O→B| ＝ 12＋62＝ 37.
根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连接向量O→Z1， O→Z2的终点，并指向被减数的向量Z→2Z1所对应的复数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
综合应用 典例 3 设 x∈[0,2π)，复数 z1＝cosx＋isinx 对应的点在第一象限中直线 y ＝x 的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是_(1_，____3_) _. [思路分析] 由 x∈[0,2π)，复数 z1 的对应点位于第一象限且在直线 y＝x 的左上 方可求得 x 的取值范围；由 z1 与 z2 的代数形式及复数加法运算法则可求出 z1＋z2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧： ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处 理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运 用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB：
第十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2019-2020学年人教A版选修2-2 数系的扩充与复数的引入 本章整合3 课件(24张)
本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题一 复数的实部与虚部的区分 对于复数z=a+bi(a,b∈R),其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部, 一定要记清楚bi并不是虚部.如2+i的实部为2,虚部为1,而不是i.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 1
复数
1 -2+i
+
1 1-2i
所以复数i3(1+i)2的虚部为0.
答案:0
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二 纯虚数概念的理解 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数,特别要注 意记清“a=0”这一必备的前提条件.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 2 已知复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= 10, 求|������1 + ������2|的值.
提示:根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形,利用 平行四边形的性质联系余弦定理解题.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
A.-1 B.0
C.1
D.2
解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,
∴
4������ = 0, ������2-4 = -4,
解之得a=0.
答案:B
12345678
2.(2014·课标全国Ⅰ高考)
(1+i)3 (1-i)2
=
(
)
A.1+i
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题一 复数的实部与虚部的区分 对于复数z=a+bi(a,b∈R),其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部, 一定要记清楚bi并不是虚部.如2+i的实部为2,虚部为1,而不是i.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 1
复数
1 -2+i
+
1 1-2i
所以复数i3(1+i)2的虚部为0.
答案:0
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二 纯虚数概念的理解 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数,特别要注 意记清“a=0”这一必备的前提条件.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 2 已知复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= 10, 求|������1 + ������2|的值.
提示:根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形,利用 平行四边形的性质联系余弦定理解题.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
A.-1 B.0
C.1
D.2
解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,
∴
4������ = 0, ������2-4 = -4,
解之得a=0.
答案:B
12345678
2.(2014·课标全国Ⅰ高考)
(1+i)3 (1-i)2
=
(
)
A.1+i
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.1
[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
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第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则
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答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
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第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
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第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则