单个正态总体方差的假设检验
8.2-0单正态假设检验
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
概率与数理统计第六章
t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
第六章假设检验
第六章假设检验第六章假设检验一、选择题1.当显著水平为0.05时，则置信度为（）A.99%B.5%C.2.5%D.95%答案：D2.单个正态总体均值的假设检验，方差σ2已知时，应选择（）A.u检验B.t检验C.2χ检验D.F检验答案：A3.单个正态总体均值的假设检验，方差σ2未知,样本容量较小时，应选择（）A.u检验B.t检验C.2χ检验D.F检验答案：B4.在假设检验中,如果待检验的原假设为Ho,那么犯第二类错误的是指（）A.H o成立,接受H oB.H o不成立,接受H oC.H o成立,拒绝H oD.H o不成立,拒绝H o答案：B5.配对比较两个正态总体均值的假设检验，应选择（）A.u检验B.t检验C.2χ检验D.F检验答案：B6.成组比较两个正态总体方差的假设检验，应选择（）A.u检验B.t检验C.2χ检验D.F检验答案：D7.单个正态总体方差的假设检验，应选择（）A.u检验B.t检验C.2χ检验答案：C8.在假设检验的问题中,显著性水平α的意义是（）A.原假设H o 成立,经检验不能拒绝的概率B.原假设H o 成立,经检验被拒绝的概率C.原假设H o 不成立,经检验不能拒绝的概率D.原假设H o 不成立,经检验被拒绝的概率答案：B9.当方差σ2已知时,单个正态总体均值μ的假设检验选择的统计量是（） A.n u /σμ-= B.n S X /t μ-= C.222)1σχS n -=（ D.22222121//σσS S F =答案：A10.在假设检验中,未知方差σ2,单个正态总体均值μ的假设检验采用（）A.u 检验B.2χ检验C.t 检验D.F 检验答案：C11.假设检验时应注意的主要问题是（）A.资料来源必须随机化B.检验方法应符合其适用条件C.不要把“显著”当作相差很大D.以上都对答案：D 12.对于单个正态总体方差σ2的假设检验,备择假设为H 1:σ2>σ20,进行了2χ单侧检验。
正态总体方差的假设检验
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
单个正态总体的假设检验
计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0
n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0
N ( , ) ,
n
Z
n
X 0
n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即
一个总体方差的假设检验
临界值法：
Reject H0 if
χ2
χ2 (1α )
p-值法：
Reject H0 if p-value < a
2
2.2 s 2的假设检验
右侧检验
检验条件 检验统计量
H0 : σ 2 σ02 Ha : σ 2 σ02
χ 2 (n 1)s2
σ
2 0
3
2.2 s 2的假设检验
右侧检验
右侧检验
Reject H0 if 2 ≥a 2
χ
2 α
14.684
9
Hypothesis Testing About a Population Variance
自由度 n - 1 = 10 - 1 = 9 a = 0.10
卡方分布表
χ2 0.10
值
10
2.2 s 2的假设检验
拒绝域
0
χ 2 (n 1)s 2
7
2.2 s 2的假设检验
A证券交易所10支IPO股票的IPO折价率数据（单位：%）
股票
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
IPO折价率 -11.0 30.9 3.7 84.3 59.4 51.7 80.8 100.3 80.0 108.1
Underpricing （clsprice offerprice index1 index0 ）100%
χα2 依据自由度为n - 1的卡方分布计算
χ 2 (n 1)s 2
σ
2 0
上侧面积= a
临界值法： Reject H0 if
p-值法：
χ 2 χα2
Reject H0 if p-value < a
正态总体方差的假设检验
原假设H0 检验统计量
5
2
2 0
2
2 0
2
2 0
(未知)
2 1
2 2
6
2 1
2 2
2 1
2 2
(
1
,
未
2
知)
D 0
7
D 0 D 0
(成对数据)
2 (n 1)S 2
2 0
F
S12 S22
t D0 SD / n
备择假设 H12Biblioteka 2 022 0
2
2 0
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
D 0 D 0 D 0
s12 s22
1.96,
因为 s12 0.34, s22 0.29,
s12 s22
1.17
1.96,
故接受 H0, 认为两总体具有方差齐性.
例7 两台车床加工同一零件, 分别取6件和9件测
量直径, 得: sx2 0.345, sy2 0.357. 假定零件直径
服从正态分布,
能否据此断定
.
当H0为真时, t ~ t(n1 n2 2).
n1 10, n2 10, t0.05(18) 2.101,
因为 t X Y 3.097 2.179
Sw
11 n1 n2
10(2.67 1.21) 2
18
10
1.436 2.101,
故接受 H0,
认为两系统检索资料时间无明显差别.
2 1
2 2
,
当 H0
为真时,
E
(
S12
)
2 1
2 2
E(S22 ),
正态总体方差的假设检验
正态总体方差的假设检验一、引言假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断关于总体参数的某种陈述是否成立。
在实际应用中，我们经常需要对总体方差进行假设检验，以确定样本数据是否能够代表总体的特征。
二、正态总体方差的假设检验在正态总体方差的假设检验中，我们通常使用方差比检验来判断总体方差是否有显著差异。
具体而言，我们设立原假设H0和备择假设H1，然后利用样本数据进行检验。
1. 原假设和备择假设原假设H0通常为总体方差等于某个特定值，记为σ^2 = σ0^2；备择假设H1通常为总体方差不等于该特定值，记为σ^2 ≠ σ0^2。
2. 检验统计量在正态总体方差的假设检验中，我们使用F检验统计量来进行判断。
F检验统计量的计算公式为F = S^2 / σ0^2，其中S^2为样本方差。
3. 拒绝域和接受域在给定显著性水平α的情况下，我们可以根据F检验统计量的分布来确定拒绝域和接受域。
一般来说，当F检验统计量落在拒绝域内时，我们拒绝原假设；当F检验统计量落在接受域内时，我们接受原假设。
4. F分布表的使用由于F检验统计量的分布是F分布，因此我们可以利用F分布表来确定拒绝域和接受域的临界值。
F分布表中给出了不同自由度和显著性水平下的临界值。
5. 计算步骤进行正态总体方差的假设检验时，我们需要按照以下步骤进行计算：(1) 提出原假设H0和备择假设H1；(2) 选择适当的显著性水平α；(3) 根据样本数据计算样本方差S^2；(4) 根据样本量n和显著性水平α确定F分布的自由度；(5) 根据F分布表找到对应的临界值；(6) 比较计算得到的F检验统计量与临界值，判断是否拒绝原假设。
三、实例分析为了更好地理解正态总体方差的假设检验，我们以某电子产品的寿命为例进行实例分析。
假设我们对该电子产品的寿命进行了100次观测，得到样本方差为S^2 = 200。
现在我们想要判断该电子产品的寿命是否满足某个特定的标准。
我们设立原假设H0：电子产品的寿命方差等于标准值，备择假设H1：电子产品的寿命方差不等于标准值。
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n 1 s2
2 0
2 9
2 2 0.02 9 = 19.679, 0.98 9 = 2.532
2 1 2 9
2 2 9
解 这是一个正态总体方差的双侧检验
提出假设 H0 : 2= 02=752,H1:2 752
0
2. 确定单侧检验还是双侧检验佛山汽车团购-车 欢网:/ 2 n 1 , 过好看潮汕视频：/ 2 2 0, 1 2 n 1 2 n 1 , /
引入统计量
2 =
n 1 s2
2 0
2 9
2 2 0.02 9 = 19.679, 0.98 9 = 2.532 计算临界值
2 2 确定拒绝域 0, 0.98 9 0.02 9 ,
由样本值计算 n 1 s2 2 2 = = 10.74 19.679 = 0
7 8625 = 27.6 15.507 由样本值计算 = 2500
2
从而拒绝H0, 认为产品的寿命方差超过规定标准.
小结
1. 确定方差的卡方分布检验 n 1 s2 取统计量 2 = ~ 2 n 1 2
0
从而接受H0, 即水稻产量的标准差没有显著变化.
例2 某种电子元件的寿命服从=50的正态分布, 先 随机抽取9件, 测得寿命: 1025 965 1105 885 985 1205 1075 975 1005 检验该产品是否合格？(= 0.05)
解 这是一个正态总体方差的单侧检验
提出假设 H0 : 202=502,H1:2 > 502
σ26710
提出假设 H0 : 2= 02=752,H1:2 752
引入统计量
2 =
n 1 s2
2 0
2 9
解 这是一个正态总体方差的双侧检验 提出假设 H0 : 2= 02=752,H1:2 752 引入统计量
2 =
计算临界值
例1 设某地水稻单位面积产量往年服从=75的正态 分布, 先随机抽取10地, 测得单位面积产量(kg): 540 630 674 680 694 695 708 736 780 845 检验该地区水稻单位面积产量的标准差是否发生显
著性变化？(= 0.04)
解 这是一个正态总体方差的双侧检验
σ28625
引入统计量
2 =
n 1 s2
2 0
2 8
解 这是一个正态总体方差的单侧检验
提出假设 H0 : 202=502,H1:2 > 502
引入统计量
7s2 2 = 2 8 2500
2 0.05 8 = 15.507
计算临界值