第一章第1-3节事件样本空间事件的关系及运算.
相关 系数
社 会 实 践
科 学 研 究
风 雨
雷 电
衣 食
住 行
学习方法
多听：注意听讲（概念的内涵、外延，公式的来龙 去脉，解题思路技巧）； 多看：仔细、反复阅读教材; 多记：在理解的基础上归纳记忆一些必要的概念、 公式、题型； 多练：通过做题巩固所学知识；
多思：学而不思则罔。
返回
第一章
ABC
ABC
ABC
ABC
A4 “ : 最多有一人命中目标”: BC
AC
AB
A5 “ : 三人均命中目标” :
A6 “ : 三人均未命中目标” :
ABC
A B C
返回
课堂练习
1.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}，则A的 对立事件为（ ④ ） ①甲种产品滞销，乙种产品畅销； ②甲、乙两种产品均畅销； ③甲种产品滞销； ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说 明下列各对事件间的关系 A与B对立 １）A={x＞20}，B={x≤20} ２）A={x＞22}，B={x＜19} A与B互斥
返回
作业
P33： 习题1.1 1.2
返回
概率论与数理统计
返回
课程简介
概率论起源于 博弈问题
帕斯卡 费尔马 17世纪 甲乙两赌徒 赌金为各6枚金币
规则：谁先胜三局就得12枚金币
答案：甲得3枚，乙得9枚．
问题：甲胜1局乙胜2局时，赌博结束，
本课程的知识网络图
中心极定理 大数定律 条件 概率 落 叶 归 根 服 务 社 会
确定性现象(必然现象) ⒈从窗上往下跳
⒉今年是公元2010年,明年 ⒊异性电荷放置一起
下落
公元2011年 相互吸引
随机现象(偶然现象) 1.记录某网站一分钟内受到的点击次数; 2.掷二颗骰子，考虑可能出现的点数； 3.购买体育彩票一注,考察中特等奖的情况; ……
返回
随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不 出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准 确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象. 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结 果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统 计规律性. 概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计以随机现象为研究对象.随机现象 的普遍存在性决定了它的广泛应用性.
正面向上次数m
4 27
频数fn(A)
0.4 ０.54
假老练
德摩根 蒲 丰
500
2048 4040 10000 12000
246
1061 2048 4979 6019
０.492
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016
费歇尔 皮尔逊
皮尔逊
24000
12012
0.5005
返回
结论：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值，记作P(A) 。可将此稳定值 P(A)作为事件A的概率.
( A B) C A ( B C ) 2、结合律： ( AB)C A( BC ) 3、分配律： A( B C ) AB AC A ( BC ) ( A B)( A C )
4、德摩根(De Morgen)律：
A
BA
k
B, AB A Ak
k
B Ak Ak .
k
可推广
Ak ,
概率的统计定义— 频率的稳定值.
m P( A) f n ( A) n
返回
概率的性质：
(1) (2) (3)
注意:
0≤Ｐ (A) ≤ 1； 必然事件的概率Ｐ(Ｕ)＝1； 不可能事件的概率Ｐ(V )=0.
频率与试验有关, 频率是概率的随机表现； 概率与试验无关，是客观存在的.不能就个别现象 来谈概率。
(4) A B C A B C
返回
例2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C 的运算关系表示下列事件：
A1 “ : 至少有一人命中目标” : A
B C
A2 “ : 恰有一人命中目标” :
A3 “ : 恰有两人命中目标” :
ABC
ABC
3.从自然数 1,2,3,…,9中接连随意取三个组成一个三 位数，每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？
返回
第1.3节
事件的关系及运算
事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运 算一致，只是术语不同而已。 记号 Ω φ 概率论 样本空间,必然事件 不可能事件 集合论 全集 空集
ω
Ａ
样本点
事件
元素
m f n ( A) n
返回
频率的性质
(1) 0≤ fn(A )≤ 1；
(2) 不可能事件的频率 fn(Ｖ )=0.
(3) 必然事件的频率 fn(Ｕ)＝1；
返回
有人做过下列试验,试图证明抛掷匀质硬币时， 出现正反面的机会均等(用“A” 表示出现正面)。
实验者 抛掷次数n
贾淑芬 风车车 10 50
返回
第1.2节
样本空间
样本点(ω)—随机试验可能发生的每一个基本结果。 样本空间（Ω）—全体样本点构 成的集合。
2 例1 抛掷一枚硬币，用 1 表示“正面向上”，用 表示“反面向上”。则 样本点有: 1 , 2 样本空间为: 1 , 2 例2 设试验为测量车床加工的零件的直径，则
样本空间为: 00 ,01,11 （2）若观察取出两球的号码，则
样本点有: ij : 表示"取出第i号球和第j号球"1 i<j 5
2 样本空间： 由 C5 10 个样本点构成的集合:
12 , 13 , 14 , 15, 23 , 24 , 25,34 , 35, 45 返回
样本点有:
1, 2
n ,
x "测得零件的直径为x毫米" a x b
样本空间为: x a x b
返回
例3 设试验为从装有三个白球(记为1,2,3号)与两个黑 球（记为4、5号）的袋中任取两个球.
（1）若观察取出两球的颜色，则 样本点有: 00 : 表示"取出两个白" 01 : 表示"取出一个白球与一个黑球" 11 : 表示"取出两个黑球"
1 2 3 4 5 6 7
随机事件及其概率（约12学时）
基本要求：
理解随机事件的概念，及概率的统计定义; 了解样本空间的概念; 掌握事件的关系及运算; 掌握古典概概率的计算; 掌握概率的加法定理 理解条件概率和全概率公式 理解随机事件的独立性，了解独立试验序列
返回
第1.1节 随机事件及其概率· 概率的统计定义 一、随机事件
, An中至少有一个发生，记作
n
An (简记为
i=1
Ai )
返回
4
A B或AB
A与B的交(或积).表示事件A与B都(或同时)发生.
A
B
n个事件A1,A2 ,
A1 A2
，记作 , An同时发生
n An 简记为 Ai i=1
An或A1 A2
返回
5
A B
表示事件A和B不能同时发生,称A与B互不相容（或互 斥）.常将两事件的并记为A+B
B A或A B
对于任意的事件A,有 A A AA A A
A
A
返回
（7）完备事件组
若n个事件A1,A2 , , An中至少有一个事件一定发生,即
n i=1
Ai
则称这n个事件构成完备事件组 (8) 互不相容的完备事件组
若n个事件A1,A2 ,
, An满足下列关系式
任意事件A都是样本空间的子集，该子集中任 一样本点发生时事件A即发生。 基本事件—Ω的单元素子集，即每个样本点构 成的集合. 必然事件U— Ω 不可能事件V— φ
返回
课堂练习
写出下列各个试验的样本空间: 1.袋中有编号为1,2,3,…,n的球,从中任取一个,观察球的 号码； 2.掷二枚骰子，观察点数和；
集合
返回
一、事件间的关系 1 A B或B A
A是B的子集,表示若事件A出现,事件B一定出现.
A
B
2
A B且B A
A与B相等，表示A与B中任意事件发生必然导致另 一事件发生
返回
3
A B
A与B的并(和).表示事件A与B至少有一个发生.
A
B
n个事件A1,A2 ,
A1 A2
A=“恰有1个次品” 随机事件
B=“次品数不多于5个” 必然事件 C=“次品数不少于5个” 不可能事件 D=“没有次品数” 随机事件
返回
二、概率的统计定义
思考:某人定点投篮，以A表示事件 “投 中”，事件A的概率P(A)为多少 频率的定义:事件A在n次重复试验中出现m次，则 比值m/n 称为随机事件 A 在n 次重复试验中出现的 相对频率(简称频率)，记为fn(A).即
Ai Aj 1 i j n n Ai i 1
则称这n个事件构成互不相容的完备事件组
返回
(9) A B 表示事件A发生,而事件B不发生.
A B AB A AB
A
B
A B
返回
二、事件的运算
1、交换律： A B B
A
AB BA
k
返回
例1 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示 下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现. 解 (1) ABC .
概率论基本概念：样本空间、事件、事件的运算
概率论基本概念：样本空间、事件、事件的运算概率论研究那些受到随机事件（random events）影响的现象，它们具有很⼤的不确定性。
基础定义讨论概率时，最重要的就是不确定性的思想，我们需要引⼊⼀个⾜够宽泛的、⽤于处理不确定性的概念。
偶然性试验（chance experiment）或随机试验（random experiment）是产⽣不确定结果的过程。
例如，扔硬币、测试机械使⽤寿命等都是随机实验。
定义：偶然性试验的样本空间（sample space）Ω是实施试验所可能产⽣结果的集合。
Ω⾥的元素称为该试验的样本点（sample point）。
Ω的⼦集称为事件（event）。
只包含⼀个样本点的事件称为基本事件（elementary event），包含多个样本点的事件称为复合事件（compound event）。
样本空间的划分翻硬币有 2 个样本点，摇骰⼦有 6 个样本点，像这种有限的样本空间，称为有限样本空间（finite sample space）。
翻⼀枚硬币，⼀直翻到背⾯为⽌。
这样的随机试验的样本空间是：Ω={T,HT,HHT,HHHT,…}。
这种样本空间是⽆限的，但是同时⼜是可以枚举的，因此称为可数⽆限样本空间（countably infinite sample space）。
检测灯泡的使⽤寿命，这样的随机试验的样本空间是：Ω={t:t≥0}=[0,∞)，这种样本空间是不可数的集合，通常称为连续样本空间（continuous sample space）。
处理这种样本空间的技巧，与有限样本空间和可数⽆限样本空间的技巧，有很⼤的不同。
通常⼜把有限样本空间和可数⽆限样本空间，统称为离散样本空间（discrete sample space）。
事件的运算通过定义样本空间这样的集合，以及定义事件作为样本空间的⼦集。
因此，集合论⾥⾯的运算⾃然衍⽣到了事件的运算。
⾸先定义事件的发⽣（occured）：对于事件 A∈Ω，当进⾏试验时，我们观察到的结果（output）ω∈Ω，同时也满⾜ω∈A 的条件，那么就称事件 A 发⽣了。
随机事件与概率教案
概率论与数理统计教学教案第1章随机事件与概率B 称为事件k n A 个事件为B 称为事件1nk k A =为n 个事件,n A 的积事件，称1k k A ∞=为可列个事件的积事件）事件A B -称为事件与事件B 的差事件，表示A 发生且 ,∅=B A 称为事件A 与事件B 是互不相容或互斥的，表示事件与事件B 不能同时发生A B S =且B =∅，称事件与事件B 互为逆事件，或称事件A 与事件A ,B 中必有一个发生，且仅有一个发生，的对立事件记作S A =-.．事件间的运算律：设,,A B C 为事件，则有）交换律: A B A =, A ）结合律: A C B A ()(=）分配律: ()(B A C B A = ()(B A C B A =B C ;ABC A B C =;ABCABC ABC ; ABC ABC ABC ABC AB BC CA =;）至多有两个次品（考虑其对立事件）)()()ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C ==.授课序号02(n k -+)k n ≤个元素的不同组合总数为1)(1)!n k k --+是平面上某个区域, 它的面积记为的位置和形状无关，)()A A μ=. ,2,, 有11i i i A ∞∞==⎫=⎪⎭∑2．概率的运算性质（1）0≤（2）A 若+P(A n ).（3）对于任意两个事件)(A B P -=,)k人取到具有快充功能的充电器（记为事件件产品，其中有货架上有外观相同的商品求这两件商品来自同一产地的概率某接待站在某一周曾接待过推断接待时间是有规定的?B=)0.6授课序号03)2|B A =两点说明：计算条件概率的方法在缩减的样本空间）在样本空间S 中，先求事件．乘法公式：(P AB A A A ,,,21 2,,;n2n B B S =,)n，则()AP=全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，题，最后应用概率的可加性求出最终结果的样本空间为，.)(|)C P A B C在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为只白球，每次自袋中任取一只球若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到授课序号04k i n <≤三个事件相互独立：)()(C P A ，）()3n n ≥）若事件,21A A ,,n A 相互独立，则有212()1()n n P A A P A A A =-1212()1()()()n n P A A A P A P A P A =-=- ．独立性在系统可靠性中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性. 对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件A 和事件A ，且在每次试验中都有p A P =)(，p A P -=1)(．2.定理：设在一次试验中事件A 发生的概率为p ()01p <<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生了k ()k n ≤次的概率为k n k k n n p p C k P --=)1()(，n k ,,2,1,0 =，10<<p .三．例题讲解例1.设B A ,互不相容，若0)(,0)(>>B P A P ，问B A ,是否相互独立？例2.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立,BC =∅,若1()(),2P A P B ==1(|)4P AC A B =,求()P C .例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26 加工某一零件共需经过7道工序, 每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p ，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S 1和S 2），求两种组合方式的可靠性.图1.4 系统S 1（左图）和系统S 2（右图） 例5.某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理．数字化仓库评估规范1 范围本文件规定了数字化仓库评估的基本原则与评估指标构成及评估内容，并提供了评估指标体系的构建和评估分析方法。
概率论与数理统计-事件间的关系及运算
或 A1A2 An.
i1
互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A 与 B的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1, A2,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , An 的并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与B 中有且仅有一事件发生,即
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
n
记作： A1 A2 An (简记为： Ai )
A 事件A的对立事件
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
A BC
② A, B, C 都发生；
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
样本空间
第1讲样本空间随机事件概率的定义及性质教学目的：1．使学生理解随机试验，样本空间，随机事件, 频率及概率的概念。
2．使学生掌握并会运用概率的性质。
教学重点：随机事件，概率的概念和性质。
教学难点：概率的概念及性质。
教学时数：2学时。
教学过程：第一章随机事件及其概率§1.1 样本空间随机事件1．随机试验与随机事件确定性现象：在一定的条件下，必然会出现的某种确定的结果。
随机现象：在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果。
随机现象，从表面上看，由于人们事先不知道会出现哪种结果，似乎不可捉摸。
其实不然，人们通过实践观察证明，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性，我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性。
为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学试验和对某一事物的观测统称为试验。
如果试验具有下述特点：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）每次试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果；（3）每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
则称这种试验为随机试验，通常用字母E或E1， E2，…表示。
例1试验E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H” 也可能是“T”。
例2试验E2: 从一批产品中任意取10个样品，观察其中的次品数，可能是0，1，2， (10)例3 试验E 3: 记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，…。
例4 试验E 4: 掷一颗骰子，观察可能出现的点数。
我们把试验的结果中发生的现象称为事件。
在每次试验的结果中，如果某事件一定发生, 则称为必然事件；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件, 简称事件，通常记作A ，B ，C 等。
例5 在试验E 1中: H —“正面朝上”，T —“反面朝上”，都是随机事件。
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
6 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
一概率论的基本概念
2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注： 样本空间是一个有限或无限的点集。 样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄， 求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。 解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种 而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率 格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。 解 设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!
事件的关系和运算-高一数学同步教学课件(人教A版2019必修第二册)
解：(1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可用(x1，x2)
表示这个电路的状态．用1表示元件正常，用0表示元件失效，
则样本空间为： Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
例5 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能
ഥ ={(0，0)，(1，0)}．
ഥ ∩
ഥ ={(0，0)}
(3) A∪B ={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，
ഥ ∩
ഥ 表示电路工作不正常．
A∪B表示电路工作正常，
ഥ ∩
ഥ 互为对立事件．
A∪B和
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标
号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸
10.1.2事件的关系和运算
一、复习回顾
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．
样本空间：全体样本点的集合．
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的
样本空间的子集来表示．
随机事件（事件）：样本空间Ω的子集．
基本事件：只包含一个样本点的事件．
事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定
的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算
含义
符合表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B或B⊇A
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
样本空间和随机事件.ppt
Ω的子集A，B，...
2020-8-15
x
各种集合间的关系
12
一、子事件 (事件的包含）Contain
事件A发生必然导致事件B发生，则称A蕴含了
B或者B包含了A，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生}
AB
事件A是事件B的子事件
A B 事件A的样本点都是事件B的样本点
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
20 Tossing a coin
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况
1. 试验的样本点和基本事件：“正面向上”、“反面向上”
2. 样本空间: Ω = {H，T}
H
T
3. 随机试验：
掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
实例 ➢上抛一枚均匀的硬币 ➢上抛一枚均匀的骰子 ➢在一条生产线上，检测产品的合格情况、等级情况 ➢向一目标射击
2020-8-15
x
3
三、随机事件 Random Events
1. 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
例如：抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现偶数点} B={出现2，4或6点} A B
2020-8-15
x
14
三、和事件(并事件) Union
若事件A发生或事件B发生，则称为事件A与B的
和事件发生，记为 A B
例如： “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
2020-8-15