第2章小结简

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2 方差 X (t ) E[( X (t ) mX (t )) ] E[ X 2 (t )] mX (t )
2 2
x(t )-----单位电阻上的电压
x 2 (t) 1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率
[ x(t) m x(t)] 2 1 -----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率
随机过程的数字特征的计算方法:
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
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1 数学期望（均值函数）
mX (t ) E[ X (t )] xf ( x, t )dx


显然， mX (t ) 是某一个平均函数，随机过 程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：
随机过程的均值是时间t的函 数，称为均值函数。 物理意义：如果随机过程表示 接收机的输出电压，那么它的 数学期望就是输出电压的瞬时 统计平均值。
显然，n越大随机过程的n维分布律描述的特性 也越趋完善，理论上说，可以无限增加n ，使 n 维 分布律更加全面地反应X(t)的统计特性，但实际上， n 越大分析处理会变得越复杂。
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随机过程的数字特征
随机变量的数字特征（期望、方差、相关系数） 通常是确定值。
随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数） 通常是确定性函数。
C X (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]

E[( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))]
中心 化自 相关 函数





[ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) mX (t2 )]dx1dx2
X
随机过程： FX ( x, t ) P[ X (t ) x] 一维概率密度函数 若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，连续随机过程概率密度函 数为 FX ( x, t ) f X ( x, t ) x 一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计 特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映 3 随机过程在不同时刻状态之间的联系。
判断X(t)是否为一随机信号。 解： (1) 固定时间t，X(t)是随机变量，
t 是一族随机变量 X t ，
(2) 对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ，
X t A cos 0t 是随时间变化的函数，即样本函数。
X(t)是一随机信号。
例2求随机相位正弦波 x(t ) sin(0t )的数学期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 2]上均匀分布的随机变量。 区间[0， 解：由题可知：
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随机过程的不相关和独立以及正交的关系：
K X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) m X (t1 )mX (t2 )
如果 K X (t1 , t 2 ) 0 , 则称 X (t1 ) 和 X (t 2 ) 是不相关的。 如果 RX (t1 , t 2 ) 0
,
则称 X (t1 ) 和 X (t 2 )是正交的。
2 2 2 ( t ) E [ X ( t )] x X f X ( x; t )dx 2 X
(t ) D[ X (t )] E[( X (t ) mX (t )) ]
2
2 2 2 ( t ) E [ X ( t )] m 且 X X (t )
方差、均方值都是时间t的函数，描述了随 机过程诸样本函数围绕数学期望的分散程度。
称为随机过程X(t)的二维分布函数。 二维概率密度函数 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即 2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2 为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。 二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反应出随机过程的全部统计特性。
FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) P[ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn ]
n FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) x1x2 xn
二维概率分布函数 为描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系,引 入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2；t1,t2)， 它是二随机事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同时出现的概率， 即 FX(x1,x2;t1,t2)=P[X(t1)≤x1, X(t2)≤x2]
＝
E[sin 2 ] E[cos 2 ] 0
2 x (t )
1 2
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自相关函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[sin(0t1 ) sin(0t2 )] 1 E{ [cos(0t1 0t2 2 ) cos(0t2 0t1 )]} 2 1 1 cos(0t2 0t1 ) cos 0 (t1 t2 ) 2 2
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物理意义：
如果 X ( t ) 表示噪声电压，则
2 E [ X ( t )] 表示消耗在单位电阻上的瞬 均方值 时功率统计平均值。
方差 D[ X ( t )] 表示消耗在单位电阻上的瞬时交 流功率统计平均值。
标准差：
2 D[ X (t )] = X (t ) = X (t )
实际应用中，标准差用来作为描述随机过 程散布程度的指标。
自协方差和方差的关系 令
t1 t 2 t
则
2 D[ X (t )] X (t )
K X (t1, t2 ) K X (t, t ) E[( X (t ) mX (t ))2 ]
自相关系数

X
K X ( t1 ,t2 ) K X ( t1 ,t2 ) ( t1 , t 2 ) K X ( t1 ,t1 ) K X ( t2 ,t2 ) X ( t1 ) X ( t2 )
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自协方差和自相关函数的关系
K X (t1 , t2 ) E[( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))] E[ X (t1 ) X (t2 )] mX (t1 ) E[ X (t1 )] mX (t2 ) E[ X (t1 )] mX (t1 )mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
•自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关 函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性 应是最强的，所以 RX (t , t ) 最大。 •反映不同随机过程的波形变化
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4 自协方差函数
若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中 心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差函数，简 称协方差函数。用 CX (t1 , t2 ) 或 K X (t1 , t 2 ) 表示，它反 映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。--消耗在单位电阻上的瞬交流功率的
统计平均值
2 E{X 2( t)} 2X( ) t m ( )t X
消耗在单位电 阻上的总的平 均功率
平均交流 功率
平均直流 功率
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3 自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点 时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过 程不同时间的内在联系。
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n 维概率分布函数和概率密度函数
随机过程
X (t ) 在任意n个时刻 t1 , t 2 ,, t n 的取值
X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )]
即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随 X (t ) 机过程 的n维分布函数和n维概率密度函数为
统计特性的描述方法分为两个大类：
1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、 完整的描述方法。 2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的宏观、概括的描述方法。
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随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数 一维概率分布函数 随机过程X(t)在任意ti T的取值X(t1)是一维随机变量。 概率P{X(t1)≤x1}是取值x1，时刻t1的函数，记为Fx(x1;t1) =P{X(t1)≤x1}，称作随机过程X(t)的一维分布函数。 随机变量： F ( x) P[ X x]
•描述了整个随机过程任 意两个不同时刻的内在关 系：线性相关性 •若
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ X 2 (t )]
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t1 t2 t 则
自相关函数的物理意义
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。
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自相关函数用来描述 随机过程任意两个时刻状 态之间的内在联系，通常 用 RX ( t1 , t 2 ) 描述。
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
1 2


x x f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
随机信号的描述
全面完整描述 （统计特征）
宏观概括描述 （数字特征） 时域数字特征 （均值、方差、自相关）
概率分布函数 概率密度函数
均值
自相关（均方值）
自协方差（方差）
频域数字特征 （功率谱）
经典谱估计
现代谱估计