线段的定比分点

线段的定比分点教学目标1.学生通过学习、研究，弄清定比、定比分点的意义，特别是分点的位置与λ的对应关系.2.培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法，提高学生研究问题的能力. 教学重点与难点线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点，正确理解线段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点. 教学过程师：请说出：1.有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义，并举例说明以上三者的表示方法；2.说出有线段数量公式；3.平行线分线段成比例定理. 生：(略).师：在有向直线l 上任取一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ，怎样表示这两条有向线段的比?怎样表示这两条有向线段长度的比?又怎样表示这两条有向线段数量的比? 生：21PP P P 、21PP P P 、21PP PP 、分别表示这两条有向线段的比、长度经和数量比. 师：请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系.下面我们学习： 1.线段定比分点(板书)这一重要概念. (用投影片打出)“有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP .P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，λ=21PP PP 点P 点做P 1P 2的定比分点.” 师：在λ=21PP PP 中，它是以线段P 1为起点，分点P 为终点的有向线段的数量P 1P 与以分点P 为起点，线段的终点P 2为终点的有向线段PP 2数量之比，为了记忆，我们把它写成λ=终分分起→→，这个顺序不能颠倒.2.内分点和外分点(板书)师：下面我们来分析定比分点P 的位置，与之对应的比λ与实数R 之间的一一对应关系. 请看下图：当P 从左向右运动至P 1点，请同学们猜测λ值的变化情况. 生：此时λ=21PP PP ，因为P P 1与PP 2方向相反，因此λ应是负值.又因为｜P 1P ｜＜｜PP 2｜所以 -1＜λ＜0，当P 与P 1点重合时，由于P 1P=0，所以λ=0.师：很好，如果P 点继续向右作靠近P 2点的运动.此时可在P 1P 2上，我们把P 叫做21P P 的内分点.这样λ值怎样随着P 的变化而变化呢？生：由于P P 1与2PP 方向相同.λ是正值，并且｜P 1P ｜逐渐增大，｜PP 2｜逐渐减小.因此λ可取一切实数值.师：在点P 与P 2重合时，显然此时｜PP 2｜=0.λ值怎样呢? 生：应该不存在.师：下面观察当P 点继续向右移动的情况，λ值怎样变化.生：λ应是负值，并且｜P 1P ｜＞｜PP 2｜，因此λ值总大于负1，即λ＞-1. 师：观察以上情况，λ能否是-1的值. 生：(议论后得出)λ=-1不可能成立. 师：我们把λ的变化情况总结为下表：点P 在P 1P 2外，我们把点P 叫做21P P 的外分点，也就是说在直线P 1P 2上的任意一点，使得λ=21PP PP 与实数(不含-1)形成一种对应关系，这样，定比分点实质上起到了使有向线段数量比“代数化”的作用.由于点P 分21P P 所成的比与它们所在的直线l 的方向无关，为简便起见，在以后谈到点P 分21P P 所成的比时，一般不提它所在的有向直线的方向.师：点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比是否相同?这两者之间有什么关系?生：(经讨论后)因为有向线段数是与方向长度有关，P 分P 2P 1，P 2是起点，P 1是终点，因此P 分P 2P 1的比是12PP PP ，并且有： 21PP P P ·12PP PP =1. 3.定比分点坐标公式(板书)师：下面我们研究这个问题，设在数轴上，P 1和P 2两点坐标分别为2和7，点P 分21P P 所成的比为3，求分点P 的坐标，设P 的坐标为x ，怎样求x 呢? 生：因为λ的大小是由P 点所在位置决定的，所以由λ=21PP PP 关系式把它们分别代数化可得一个关于x 的方程： 3=x x --72. 师：这个方程把x 解出来，先暂时不做数的运算： x=31732+⨯+.这个式子中x 的分点坐标，2是起点坐标，7是终点坐标，λ是定比分点，你能猜想分点坐标的一般形式吗?生：如果在数轴上，P 1，P 2点的坐标分别是x 1，x 2，点P 分21P P 所成比为λ，可以由上面方法求得x=λλ+⋅+121x x .对吗?师：很好.如果21P P 是斜线段，设21P P 两个端点分别是P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，点P 分21P P 所成的比为λ(λ≠-1).(图1-10)，求P 点的坐标(x ，y)的计算公式.大家能否根据λ≠-1猜想一下公式应是什么结构.生：分母应有1+λ的特征.师：很好，怎样求出(x ，y)的计算公式呢?生：(经过讨论思维后)是否根据P 1P 2在数轴上的情况，我们联想到将21P P 投影到x 轴上去，再根据平行线分线段成比例定理就可以解决了. 师：这个解题思路很正确，通常将二维问题利用投影法转化为一维问题是研究数学问题的重要方法之一.过点P 1、P 2、P 分别作x 轴的垂线P 1M 1、P 2M 2、PM ，则垂足分别为M 1(x 1,0)、M 2(x 2，0)、M(x ，0)，根据平行线分线段成比例定理得2121MM M M PP P P =.如果点P 在线段P 1P 2上，那么点M 也在线段M 1M 2上；如果点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上，那么点M 也在线段M 1M 2或M 2M 1的延长线上.因此21PP P P 与21MM MM 的符号相同，所以 2121MM MM PP P P =. 因为M 1M=x-x 1, MM 2=x 2-x, 所以xx x x --=21λ， 即(1+λ)x=x 1+λx 2，当λ≠-1时， 得 λλ++=121x x x .同理可以求得λ=yy y y --21，λλ++=121y y y .因此，当已知两个端点为P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P(x ，y)分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλλλ++=++=1,12121y y y x x x (λ≠-1).① 每个公式含有5个量可互求；②它是个一次分式，③当点P 是线段21P P 的中点时，有P 1P=PP 2，即λ=1，因此线段2PP 中点P 的坐标是2,22121y y y x x x +=+=. 4.例题(板书)例1 点P 1和P 2的坐标分别是(-1，-6)和(3，0)，点P 的横坐标为37-，求点P 分P 1P 2所成的比λ和点P 的纵坐标y. 师：根据由投影法得到的关系式.先求出λ的值，再由定比分点公式，求出P 点的纵坐标.(学生自己求解)解 由λ的定义，可得，41)37(3)1(3721-=-----=--=x x x x λ.8)41(10)41(16121-=-+⋅-+=++=λλy y y .点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是-8(图1-11).例2 已知点A(3，-4)与B(2，-1)，延长AB 到P ，使｜BP ｜=2｜AB ｜，求P 点坐标(x,y). 师：因为P 1，P 2和P 这3个点的位置已经确定，关键是要在上述3个点中，把哪一个视为分点；其次再定出余下的两个点，哪个是起点，哪个是终点，只有把各个点的位置确定之后，才能按照解题思路、方法和规律得出正确的结果. 生甲：用P 分AB ，由已知 PBAP PB AP -==λ，λ=23-. 所以 02312)23(3=-⋅-+=x ， 5231)1()23(4=--⋅-+-=y . 因此P 点坐标是(0，5). 生乙：用B 分PA ，λ=12=BA PB =2.21232+⨯+=x ，所以，x=0，21)4(21+-⋅+=-y ，y=5.因此P 点坐标是(0，5). 师：当然还有其它的选择方法，因此我们在解题时可根据题目的要求选择起点、分点、终点，使我们的解题方法快捷简便.例3 已知三角形顶点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)，求ΔABC 的重心G 的坐标(图1-13).师：因为ΔABC 的3个顶点坐标已经给出，说明三角形重心是固定的，又因为D 是BC 的中心，因此D 点坐标确定了.只要根据重心到该顶点的距离是到顶点对边中点距离的2倍，即求出重心G 的坐标.解题前还是应先确定A 、G 、D 谁是分点、起点、终点，避免出错，这题怎样确定呢?生：定G 分AD 较好.师：对，这样λ是正整数，计算简便. 解 设BC 边的中心为D ，则D 点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛++2,23232y y x x ，又因为AD 是中线，且GD AG =2，所以G 的坐标是 2122321++⋅+=x x x x ， 2122321++⋅+=y y y y . 整理后得重心G 的坐标3,3321321y y y y x x x x ++=++=.师：这个重心坐标的结论，使我们见到了数学和谐的对称美. 5.引导学生小结在使用定比分点公式时， 1)只有当λλ++=121x x x 与λλ++=121y y y 同时成立是，P(x ，y)才是定比分点.2)当已知P 为21P P 的定比分点时，可通过其一个关系式求λ的值.3)公式中的λ，当起点、终点、分点确定时也随之确定，但对具体问题，为了计算方便，起点、终点、分点又可视问题灵活选择，使运算简便. 6.作业：1)课本：第10页练习1，2，3，习题一，5，6(2)，7(2)、(3)，13，14. 2)补充题：①已知点A(3，-4)与B(-1，2)，点P 在直线AB 上，且｜PA ｜=2｜PB ｜，求点P 坐标. 答⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31或(-5，8).②已知ΔABC 的顶点A(4，1)、B(7，5)、C(-4，7)，则∠A 的平分线的长是多少? 答3210. ③已知A(α，0)、B(b ，0)，C 点分AB 所成的比为34，D 点分AB 所成的比为34-，求CD 的长度⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 724答. 设计说明定比分点坐标公式是解析几何中的重要公式，通过这个公式的教学，除了在教学中渗透“形数结合”这种解析几何中常用的数学方法外，还应充分展示这个公式的思想价值、联想类比等重要数学思想.如在推导公式过程中利用投影法转化思想，把二维问题转化为一维问题，这种射影手段、转化思想在教学中不可忽视，它是研究数学问题的重要方法.在今后的学习中可以向学生介绍这样一个重要性质，如果［a ，b ］是x 轴上的区间，[]1,0是y 轴上的一区间点P 1(a,0)，P 2(b,1)，那么对x ∈［a ，b ］，必存在y ∈［0，1］，使得点P(x,y)，在21P P 上.我们设P(x,y)分21P P 为定比λ(λ＞0)， 所以 xb ax x x x x --=--=121λ，由定比分点公式可得xb ax y y y --=++='λλ121.因为a ≤x ≤b ，所以y ′∈［0，1］，取y=y ′，即存在y ∈［0，1］，使得P(x,y)在21P P ，这个性质通过定比分点公式可建立任一区间［a,b ］到［0,1］上的映射，即ab ax x f --=)(，x ∈［a,b ］，从而为三角代换法解题提供了方便. 在直线参数方程中有：直线l 上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .(λ∈R) 立体几何中，已知棱台上、下底面积为S 1，S 2，设P 为其高上一点，且将高自上而下分成的 比为λ，过P 作一平行于底的截面，则截面面积S 满足λλ++=121S S S代数中，①已知a ＞b ＞c ，求证b x b x -+sin sin αα不能介于b a b a +-和ba ba -+之间；②证明：不等式31≤ααtan 3tan ≤3对任何α皆成立； ③函数y=ex-1ex+1的反函数的定义域是 (1989年数学高考题)；等题目都可用定比分点公式去解. 解 ①令bx bx x b a b a x b a b a x -+='-+=+-=sin sin ,,21αα，且分别对应于数轴上的P 1、P 2、P 三点，则P 分P1P2的比为ab a b bx b x b a b a b a ba b x b x x x x x +-=-+--++---+='--'=sin sin sin sin 21αααλ.因为a ＞b ＞0，所以λ＜0，即P 为外分点. 所以b x b x -+sin sin αα不能介于b a b a +-与ba ba -+之间.因此，通过定比分点教学寻找不同知识点、不同章节以及不同学科之间的规律联系之所在，无疑是培养和提高学生数学思维方法和解题能力的重要手段.。