高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1)
思路:52
x
-
=,由积分表中的公式(2)可解。
解:
53
2
2
23x dx x C --==-+?
★(2)
dx
-
?
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
-=-=-=-+????
★(3)22
x
x dx +?
()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++?
??()
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+??
★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422
22
3311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422
32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2
21x dx x +?
思路:注意到
22222
111
1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x
=-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式
加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。
★(7)x dx x x x ?
34
134(
-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x
x x --=-+-?
????34134(
-+-)2 ★
(8)
23(1dx x -+?
思路:分项积分。 解
:2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?
? ★★
(9)
思路
=?
1117248
8
x
x
++==,直接积分。
解
:
7
15
8
88
.15x dx x C ==+?
★★(10)
221
(1)dx x x +?
思路:裂项分项积分。 解:
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21
1
x x
e dx e --? 解:21(1)(1)
(1).11
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)
3x x e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然3
3x
x x
e e =()。
解:333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+??
()
() ★★(13)
2cot xdx ?
思路:应用三角恒等式“2
2cot csc 1x x =-”。
解:
22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+??
★★(14)23523x x
x dx ?-??
思路:被积函数
235222533
x x x
x ?-?=-(),积分没困难。 解:2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ?-?=-=-+-??(()) ★★(15)2cos 2x dx ?
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:
2
1cos 11cos sin .2222x x d dx x x C +==++?
? ★★(16)1
1cos 2dx x +?
思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。
解:
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x
dx x x -?
思路:不难,关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解:
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22cos 2cos sin x
dx x x ??
思路:同上题方法,应用“2
2cos 2cos
sin x x x =-”,分项积分。
解:22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-??????
★★(19
)dx +? 思路:
==,应用公式(5)即可。
解
:
22arcsin .dx x C +==+?
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x ++?
思路:注意到被积函数222
2
1cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++,则积分易得。 解:221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++?
?? ★2、设
()arccos xf x dx x C =+?,求()f x 。
知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:直接利用不定积分的性质1:[()]()d
f x dx f x dx =?
即可。 解:等式两边对x 求导数得:
★3、设
()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体。
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:连续两次求不定积分即可。 解:由题意可知,
1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以
()f x 的原函数全体为:112cos sin x C dx x C x C -+=-++?()。
★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx -的原函数
知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:只需验证即可。
解:2x x e e chx shx =-Q
,而22[][][]x x x x d d d
e e shx e chx e dx dx dx
===1()2 ★5、一曲线通过点2
(,3)e
,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为()y f x =,由题意可知:
1
[()]d f x dx x
=,()ln ||f x x C ∴=+; 又点2
(,3)e
在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,
所以曲线的方程为
()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是2
3(/)t m s ,问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。 解:设物体的位移方程为:()y
f t =,
则由速度和位移的关系可得:
23[()]3()f t t f t t C =?=+d
dt
, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1)3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米;
(2)令3
360t
t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。
知识点:练习简单的凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。 解:234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx
d x xdx d x x dx d x =
-=--=- 2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体
变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
★(1)
3t e dt ?
思路:凑微分。 解:
33311(3)33
t
t t
e dt e d t e C =
=+?? ★(2)
3
(35)x dx -?
思路:凑微分。
解:3
3411
(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d
★(3)1
32dx x -?
思路:凑微分。 解:
1111
(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
思路:凑微分。
解:12
33
111
(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+? ★(5)
(sin )x b
ax e
dx -?
思路:凑微分。
解:11
(sin )sin ()()cos x
x x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d d =,凑出d 易解。
解:
2C
==?
★(7)
102tan sec x xdx ?
思路:凑微分。 解:
10210
111
tan sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+?? ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解:
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)
?
思路:
是什么,是什么呢?就是
解:tan ln |C ==-+?
?
★★(10)
sin cos dx
x x ?
思路:凑微分。 解:
方法一:倍角公式sin 22sin cos x x x =。
方法二:将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。 方法三:三角公式2
2sin
cos 1x x +=,然后凑微分。
★★(11)
x x dx e e -+?
思路:凑微分:222
111()x x x
x x x x x dx e dx de de e e e e e -===
++++。
解:22
arctan 11()
x x
x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)
2cos()x x dx ?
思路:凑微分。 解:
2222
11cos()cos sin 22
x x dx x dx x C ==+?
? ★★(13
)
?
思路:
22==凑微分易解。 解
:
1
2222
11(23)(23)66x d x C -=-=---=?
★★(14)
2
cos ()sin()t t dt ωω?
思路:凑微分。 解:
22
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω
=
=-
???
★★(15)3
431x dx x -?
思路:凑微分。
解:33444
444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x
x x x ===--=--+----???? ★(16)
3sin cos x dx x ?
思路:凑微分。 解:
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+?? ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
:
9
10
10
10111010C ===+
★★(18
)
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:
=-?
★★(19)
221dx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:
21212dx dx x ==-?? ★(20)
2(45)xdx
x -?
思路:分项后分别凑微分即可。 解:
2221454111
4(45)(45)5(45)2545(45)
xdx x dx d x x x x x --=-=------???()() ★(21)2100(1)x dx
x -?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:222100100
100100100(11)(1)(1)1
(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----???
★★(22)
81xdx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:
2
8444444111111()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? ★(23)
3
cos xdx ?
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。 解:
3
222cos
cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-????
★★(24)
2
cos
()t dt ω?+?
思路:降幂后分项凑微分。 解:
2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω
+++==+++??
?? ★★★(25)
sin 2cos3x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:
111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =-=-????
★★★(26)
sin5sin 7x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:
111
sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =-=-???? ★★★(27)
3
tan sec x xdx ?
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。 解:
3
222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????
★★(28
)
arccos x
思路:
(arccos )d x =-。
解
:
arccos arccos arccos 1010
arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+?
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
:
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+?
★★★★(30
)
dx
思路:
(arctan ==。
解
:
==?
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ?
思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2
sec x ,
解:
2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x ===????
★★★★(32)
21ln (ln )x
dx x x +?
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+
解:
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+?? ★★★★(33)
1x dx e -?
解:方法一:
思路:将被积函数的分子分母同时除以x
e ,则凑微分易得。 方法二: 思路:分项后凑微分 方法三:
思路:将被积函数的分子分母同时乘以x
e ,裂项后凑微分。
★★★★(34)
6(4)dx
x x +?
解:方法一: 思路:分项后凑积分。
方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x
t =,则21
dx dt t
=-。 ★★★★(35)
82(1)dx
x x -?
解:方法一: 思路:分项后凑积分。
方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x
t =,则21
dx dt t
=-。 642642
275375
1111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定
积分。
知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。
思路分析:题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等式起到了重要的
作用。
为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。
★★★(1
)
思路:令sin ,2x t t π
=<
,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。
解:令sin ,2
x
t t π
=<
,则cos dx tdt =。
tan arcsin .2t t C x C =-+=(或arcsin x C =+)
(万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t t t
-==
+,又sin t x =时,cos t =) ★★★(2)
dx x
?
思路:令3sec ,(0,)2
x t t π
=∈,三角换元。
解:令3sec ,(0,)2
x
t t π
=∈,则3sec tan dx t tdt =。
(3sec x x =时,3
cos ,sin tan x x x x
==
=) ★★★(3)
思路:令tan ,2x t t π
=<
,三角换元。
解:令tan ,2
x
t t π
=<
,则2
sec dx tdt =。
★★★(4)
思路:令a tan ,2x t t π
=<
,三角换元。
解:令tan ,2
x
a t t π
=<
,则2
a sec dx tdt =。
★★★★(5)
2
思路:先令2
u x =,进行第一次换元;然后令tan ,2
u t t π
=<
,进行第二次换元。
解:222
12=Q ,令2u x =得:
2
12=,令tan ,2
u t t π=<,则2
sec du tdt =, (与课本后答案不同)
★★★(6)
思路:三角换元,关键配方要正确。
解:2
2
549(2)x x x --=-+Q ,令23sin ,
2
x t t π
+=<
,则3cos dx tdt =。
★★4、求一个函数
()f x ,满足'()
f x =
(0)1f =。
思路:
(0)1f =确定出常数C 的值即可。
解:(1).
x C =+=Q
令()f x C =+,又(0)1f =,可知1C
=-,
★★★5、设tan ,n n
I xdx =?,求证:1-21
tan 1
n n n I x I n -=
--,并求5tan xdx ?。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan
n
x 分开成22tan tan n x x -,进而写成:
22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可。
证明:222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-????
习题4-3
1、 求下列不定积分:
知识点:基本的分部积分法的练习。
思路分析:严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分
的练习。
★(1)
arcsin xdx ?
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x
x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0x 优先纳入到微分号下,凑微分
后仍为dx 。
解:2
1arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+
-??
★★(2)
2
ln(1)x dx +?
思路:同上题。
解:22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x
+=+-=+-++??? ★(3)
arctan xdx ?
思路:同上题。
解:222
(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x
+=-=-++???1 ★★(4)
2sin 2
x
x e dx -? 思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:22221111sin sin ()sin cos 22222222
x x x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+???Q
★★(5)
2
arctan x
xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:32
332
111
arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x
dx x ==-+??? ★(6)
cos 2
x
x dx ? 思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222
x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-???? ★★(7)
2tan x xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-?????d ★★(8)
2ln xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x
x =-??=-=-+?????
★★(9)
ln(1)x x dx -?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:22
211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d
x x dx x -=-=---??? ★★(10)22ln x
dx x ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:22
2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x
=-=-+?=-+????
★★(11)
cosln xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:1
cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x =+?=+???Q
★★(12)2ln x
dx x ?
思路:详见第(10)小题解答中间,解答略。
★★(13)
ln (1)n
x xdx
n ≠-?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:111111
ln ln ln 111n n
n n x x xdx xd
x x x dx n n n x
+++==-?+++??? ★★(14)
2x
x e dx -?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
222222x
x x x x x x e
dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+???
★★(15)
32(ln )x x dx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:
32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x ==-????? ★★(16)ln ln x
dx x ?
思路:将积分表达式ln ln x
dx x
写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可。
解:ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x
==-??=-????
★★★(17)
sin cos x x xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:
11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244
x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+???? ★★(18)22cos 2
x x dx ? 思路:先将2cos 2x 降幂得1cos 2
x +,然后分项积分;第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即
可。
解:
22
22221111
cos (cos )cos 22222
x x dx x x x dx x dx x xdx =+=+?
??? ★★(19)
2
(1)sin 2x
xdx -?
思路:分项后对第一个积分分部积分。 解:
222
11(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222
x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+????
★★★(20
)
?
思路:首先换元,后分部积分。 解:
令t =
,则32,3,x
t dx t dt ==
★★★(21)
2(arcsin )x dx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解
:22
(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-?
?
222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.
x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+?★★★
(22)
2sin x
e
xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:方法一: 方法二:
★★★(23
)
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解
:
ln(1))1x d x dx x =++-+??
令t =2,dx tdt =
所以原积分
)x C =+-。
★★★(24)ln(1)
x x e dx e +?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:ln(1)ln(1)()ln(1)1x x x x x x x
x x
e e dx e d e e e e dx e e ---+=+-=-+++??? 注:该题中
1
1x dx e +?的其他计算方法可参照习题4-2,2(33)。
★★★(25)1ln 1x
x dx x +-?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:2222
111111111ln
ln ()ln 1122121(1)
x x x x x x
x dx d x x x dx x x x x x +++--++==-?---+-?
?? 注:该题也可以化为
1ln
[ln(1)ln(1)]1x
x dx x x x dx x
+=+---??再利用分部积分法计算。 ★★★(26)
sin 2cos dx
x x ?
思路:将被积表达式sin 2cos dx
x x 写成22
sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==,然后分部积分即可。 解:22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d x
x x x
x x x ===????
2、 用列表法求下列不定积分。
知识点:仍是分部积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解
出,不用列表法。
★(1)
3x xe dx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
33333331111111()3().3333933
x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+???? ★(2)
(1)x x e dx +?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+???
。 ★(3)
2
cos x
xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+???? ★(4)
2(1)x x e dx -+?
思路:分项后分部积分即可。 解:
2
22(1)()x x x x x x
e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+?????
★(5)
ln(1)x x dx +?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:2
22111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221
x x x dx x d x x x dx x +=+=++???
★(6)
cos x
e xdx -?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:cos cos ()cos sin x
x x x e
xdx xd e e x e xdx ----=-=--???Q
★3、已知
sin x
x
是()f x 的原函数,求()xf x dx '?。 知识点:考察原函数的定义及分部积分法的练习。 思路分析:积分
()xf x dx '?中出现了()f x ',应马上知道积分应使用分部积分,条件告诉你
sin x
x
是()f x 的原函数,应该知道
sin ().x
f x dx C x
=
+?
解:()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-???Q
d()=
又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x x
f x dx C f x xf x x x x
--=
+∴=∴=?
Q
★★4、已知
()x
e f x x
=
,求
()xf x dx ''?。
知识点:仍然是分部积分法的练习。 思路分析:积分()xf x dx ''?中出现了(f x ''),应马上知道积分应使用分部积分。
解:()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+???Q
又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x
---''∴=∴Q )=== ★★★★5、设n
I =
sin n dx x ?,(2)n ≥;证明:211cos 2
1sin 1
n n n x n I I n x n ---=-?+--。 知识点:仍然是分部积分法的练习。 思路分析:要证明的目标表达式中出现了n I ,
1cos sin n x x -和2
n I -提示我们如何在被积函数的表达式1
sin n x
中变出1cos sin n x x -和21
sin n x -呢?这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为
22sin cos x x +。
证明:2
2sin
cos x x +Q 1=
2222222221222-1sin cos cos sin cos 1
sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x
x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x x I x -----+∴===+=+=+=+-?-=-?+=+?????????22
222212222112.
1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 2
1sin 1
n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x x
x n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-?+--??★★★★6、设
f x ()为单调连续函数,f x -1()为其反函数,且()()f x dx F x C =+?,
求:
1
f
x x -?()d 。
知识点:本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习。 思路分析:要明白1
(())x f f x -=这一恒等式,在分部积分过程中适时替换。
解:f
x x x f x x f x ??Q
-1
-1-1()d =()-d(())
又1(())x f f x -=Q
又()()f x dx F x C =+?Q
习题4-4
1、 求下列不定积分
知识点:有理函数积分法的练习。
思路分析:被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函
数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析。
★(1)3
3x dx x +?
思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。
解:33272727
39333x x x x x x x +-==-+-+++Q 2 ★★★(2)5438x x dx x x +--?
思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。
解:545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
+--+-+-++-+-==+++---Q
22
而3
(1)(1),x
x x x x -=+-
令23811
x x A B C
x x x x x +-=++-+-,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得:
118A B C C B A ++=??-=??=?解此方程组得:843A B C =??=-??=-?
★★★(3)
33
1dx x +?
思路:将被积函数裂项后分项积分。 解:3
2
1(1)(1)x x x x +=+-+Q ,令
32
3111
A Bx C
x x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得:
?????A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得:112A B C =??
=-??=?
★★★(4)
31
(1)x dx x +-?
思路:将被积函数裂项后分项积分。 解:令
323
11(1)(1)(1)x A B C
x x x x +=++
----,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得:
0,21,
1A B A A B C =-=-+=,解此方程组得:0,1,2A B C ===。
★★★(5)
332
(1)x dx x x ++?
思路:将被积函数裂项后分项积分。 解:3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++Q
,令
323
21(1)(1)(1)A B C D
x x x x x x =+++++++
等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得:
0320302A B A B C A B C D A +=??++=??+++=??=?解此方程组得:2222
A B C D =??=-?
?
=-??=-?。
★★★(6)
2(2)(3)xdx
x x ++?
思路:将被积函数裂项后分项积分。
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
高等数学不定积分习题
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=?11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
《高等数学》不定积分课后习题详解Word版
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? ( ) ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
高等数学微积分复习题
第五章 一元函数积分学 1.基本要求 (1)理解原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,掌握不定积分的基本性质。 (2)掌握两种积分换元法,特别是第一类换元积分法(凑微分法)。 (3)掌握分部积分法,理解常微分方程的概念,会解可分离变量的微分方程,牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 (4)理解定积分的概念和几何意义,掌握定积分的基本性质。 (5)会用微积分基本公式求解定积分。 (6)掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 (7)知道广义积分的概念,并会求简单的广义积分。 (8)掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2.本章重点难点分析 (1) 本章重点:不定积分和定积分的概念及其计算;变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式;定积分的应用。 (2) 本章难点:求不定积分,定积分的应用。 重点难点分析:一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分,不定积分可看成是微分运算的逆运算,熟记基本积分公式,和不定积分的性质是求不定积分的关键,而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题,理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3.本章典型例题分析 例1:求不定积分sin3xdx ? 解:被积函数sin3x 是一个复合函数,它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ,故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2:求不定积分 (0)a > 解:为了消去根式,利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=,可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ,则 cos a t ==,cos dx a dt =,因此,由第二换元积分法,所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ,所以sin x t a = ,arcsin(/)t x a =,利用直角三角形直接写
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积 分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134( -+-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容,也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础,所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种: (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂,Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK )-忑.旦r x 二)祝成);网><可久切 二2氐化如(長)寸 a 花不直押、朱 J 、 解: 2少弋協“尤十C__
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时[使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型: ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等,方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r :解:arctan f xdx等,方法是把疋; Jx" arcsm11xdx
(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC
第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)( ',则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三.单项选择题 1.c为任意常数,且) F=f(x),下式成立的有。 ('x (A)?= =F(x)+c; ('f(x)+c;(B)?dx x F) dx ( f) x (C)?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有。
48 (A )F(x)=cG(x);(B )F(x)=G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3.下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec
15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五.应用题 1.一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2.一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15.= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二.是非判断题 1. ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容:一元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法. 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数(或微分)的问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为 =, s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =. () v s t' 实际上,在运动学中常常遇到相反的问题,即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =, () 求出质点的位移函数 =. s s t () 即已知函数的导数,求原来的函数.这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在.为了便于研究,我们引入以下概念.
1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上,可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x I ∈,都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =, 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数. 例如,在变速直线运动中,()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数; 再如,(sin )'cos x x =,所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数.1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数. 一个函数具备什么样的条件,就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件. 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ,使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x . 简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数. 定理1的证明,将在后面章节给出. 关于原函数,不难得到下面的结论:
高等数学定积分复习题
1. 求 dx e x ?-2ln 01。5.解:设t e x =-1,即)1ln(2+=t x ,有dt t t dx 122+= 当0=x 时,0=t ;当2ln =x 时,1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 .解:两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(,则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解:dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ,求?-22)(dx x f 解:原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解:两曲线交点为(-1,1)(3,9)-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续,且()1b a f x dx =?,求() b a f a b x dx +-?。 答案:解:令u a b x =+-,则当x a =时,u b =;当x b =时,u a =,且d x d u =-, 故 ()b a f a b x dx +-?=()a b f u du -? =()1b a f x dx =?。
高等数学第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析: 利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质, 将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x
高等数学不定积分练习题
作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11;2、dx e x ?+-23;3、dx x x x ?+--22)83(32;4、dx e e x x )sin(?; 5、dx e x ?-2; 6、dx x a x ?-2 2 1; 7、dx x x x ? -3 ; 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2;9、dx x e x ?+22)1(tan ;10、dx x x ?++)1ln(2; 11、?-xdx e x cos ;12、dx x x x x x ?+++-232223;13、dx x ?+sin 451 ; 14、dx x x x -+?111;15、dx x x ?+)1(124; 16、dx b x a x ?++) )((1 。
作业习题参考答案: 1、解:dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解:dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解:dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解:dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解:dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解:dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解:dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解:dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解:dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222
(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案
不定积分 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数,则 ()f x dx =? 。 2. 若()2cos 2 x f x dx C =+?,则()f x = 。 3. 设1 ()f x x =,则()f x dx '=? 。 4. ()()f x df x =? 。 5. sin cos x xdx =? 。 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设3 ()ln sin 44 f x dx x C =+?,则()f x =( )。 A . cot 4x B . cot 4x - C . 3cos4x D . 3cot 4x 2. ln x dx x =?( ) 。 A . 2 1ln 2x x C + B . 2 1ln 2 x C + C . ln x C x + D . 221ln x C x x -+ 3. 若()f x 为可导、可积函数,则( )。 A . ()()f x dx f x ' ??=?? ? B . ()()d f x dx f x ??=?? ? C . ()()f x dx f x '=? D . ()()df x f x =? 4. 下列凑微分式中( )是正确的。 A . 2 sin 2(sin )xdx d x = B . d = C . 1ln ()x dx d x = D . 2 1 arctan ()1xdx d x =+ 5. 若 2()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=?( ) 。 A . 22 2(1)x C ++ B . 22 2(1)x C --+ C . 221(1)2x C ++ D . 221 (1)2 x C --+ 三、计算题(每小题8分,共48分) 1. 21 94dx x -? 2. 3. dx x ? 4. arcsin xdx ? 5. dx x x x ?++21arctan 6. .) 1(212 2 2 dx x x x ?++ 四、综合题(本大题共2小题, 总计22分) 1.(10分)求?'''?-'dx x f x f x f x f x f ]) () ()()()([3 2的值。 2.(12分)设()F x 为()f x 的一个原函数,当0x ≥时有2 ()()sin (0)0,()0f x F x x F F x ==≥且,求()f x 。
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一:高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上 F?(x)?f(x),则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2.F(x)是 f(x)的一个原函数,则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例,并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二.是非判断题 1. 若 f?x?的某个原函数为常数,则 f?x??0.[ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3. 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4. 若 f?x?在某一区间内不连续,则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。(A)?F'(x)dx?f(x)+c;(B)?f(x)dx=F(x)+c; (C)?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数,f(x)?0,则下式成立的有 。(A)F(x)=cG(x); (B)F(x)= G(x)+c;(C)F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3.下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数,且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2,则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x,则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30
高等数学不定积分讲义
第3、4 次课 4 学时
不定积分的概念与性质 1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念. (1)定义1 在区间I 上,如果可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x I ,都有 ()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(, 那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数. (2)原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数 ()F x , 使对任一x I 都有F (x ) ()f x . 注: 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数. ()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数) ; 2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果 (x )和()F x 都是()f x 的原函 数,则 ()()x F x C Φ-=(C 为某个常数). 简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号? 称为积分号, ()f x 称为被积函数, ?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量. 3、例题讲解. 例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?2 1. 例 2. 求函数x x f 1 )(=的不定积分 解:当0x >时,(ln x ) x 1=,C x dx x +=?ln 1(0x >). 、