《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计
课题：导数的概念及其几何意义
教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：
1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学
习导数的几何意义。
2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：
导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：
导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：
【复习回顾，创设情境】：
回顾什么是平均变化率？
情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起，会越越难，这是
怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？
情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，
当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山
势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参
考？
情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过
程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t 存在函数关系为。
计算运动员在这段时间内的平均速度，并思
考下面的问题：
【提出问题】：
问题1：你认为运动员在这段时间内是静止的吗？
问题2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
问题3：为了不断提高成绩，应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析，如何求运动员的瞬时速度？
问题4：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？
【解决问题】：
两人一微小组，四人一微大组，经过讨论，大家都得到运动员在这段时间内的平
均速度为0，但是我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”，为什
么会产生这样的情况呢？平均速度只能够粗略的描述物体在某段时间的运动状
态，为了能够更精确的刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度，即瞬时
速度。
分组进行：
第一二组：设计从左侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间、
、的平均速度，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速度？
第三四组：设计从右侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间、
、的平均速度，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速
度？
经过计算，在数值上，当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1，从物理的角度看，即该运动员的平均速度当随着时间间隔无限变小，平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
为了表述方便，我们引入一个符号：，即就是，计算方法可以是，
运动员在时刻的瞬时速度为：
当时，瞬时速度的值是-13.1
【导数的概念】：设函数，当自变量x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率为：，当
x1趋近于x0时，即趋近于0时，如果平均变化率趋近于一个固定值，那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作
【提出问题】：
问题1:运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？
问题2：函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示？
问题3：怎样理解“无限趋近于0”？与的具体取值有关系吗？
问题4：怎么求一个函数在某个点处的导数值？
【解决问题】：
1、运动员在某一时刻的瞬时速度即；函数在某一点处的瞬时变化率即导数
2、的值与有关，对于不同的值一般有不同的导数值，
与的具体取值无关，可正可负，不可为0。
是无限趋向于0。
而可以为0。
3、导数即瞬时变化率，同一概念的两个名称。
4、求函数在某点处的导数：一差、二化、三极限，可以带领学生计算圆的面积S随着
半径的变化而变化，随着半径增大而增大的快慢情况。
5、一般的，函数在某点处的导数值反映了函数在这点处的变化情况，从而也揭示了事
物在某一时刻的运动状况。
前面吹气球问题，在气球膨胀到一定程度以后，瞬时变化
率变大，越越难。
登山过程中山势越陡峭，山坡的长度的变化率越大，登山越越
难。
【数学化】
导数的历史背景，17世纪诞生了微积分，微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类
经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布
尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学
史上的伟大地位。
但是导数的起可以追朔到更早的古希腊时期，它的主要起还是
三个很古老的问题：光学问题中对于一般曲线的入射光是怎样反射的？如何确定曲线
运动的速度方向？如何求两条相交的曲线所构成的夹角？而要解决这三个不同的问
题，归根结蒂却都是要解决同一个问题：那就是曲线的切线问题！
【提出问题】：
问题1：回到刚才的情境，在跳水问题中运动员的高度函数的图像是怎样的？函数在上的平均变化率是，你能说出它的几何意义吗？
问题2：当变化时，直线如何变化？
问题3：当时，直线又是如何变化的？
【解决问题】：
作出函数的图像，写出过曲线上任意两点的直线的斜率，交流讨论上面提出的问
题。
老师利用几何画板作出函数的图像，同学们观察变化情况，交流理解导数的几何
意义：
【几何画板作图】：
单击桌面左下角的【开始】按钮，选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后，
启动几何画板。
1、单击【绘图】定义坐标系；选中x轴；
2、单击【构造】对象上的点，选中原点和轴上的点；
3、单击【构造】射线，选中射线上的点；
4、单击【度量】横坐标，单击【数据】度量纵坐标；
5、单击【绘图】绘制点，选中该点及x轴上点单击【构
造】轨迹，成图。
函数在上的平均变化率是，它是过两点的直线的斜率，这条直线称为割线。
切线的定义：设曲线是函数的图像，在曲线上取一点及临近一点，作割线PQ，当点Q沿着曲线无限逼近点P时，即时如果割线有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。
【导数的几何意义】：函数在x0处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
【提出问题】：
问题1：圆的切线的定义还适合曲线的切线吗？曲线与切线一定只有一个交点吗？
问题2：割线与切线有什么关系？割线的斜率和切线的斜率怎么计算？有什么关系？
问题3：曲线的切线与切点的位置有关系吗？
问题4：怎样求曲线的切线方程？
【解决问题】：
1、对于割线PQ，它的斜率：当时割线斜率的极限值就是切线的斜率观察过点P的切线PT，最贴近曲线因此在P点附近，曲线就可以用过点P的切线近似代替，这是微积分中的重要思想——以直代曲。
2、圆的切线的定义不再适合一般的曲线，通过逼近的
方法，将割线趋近于的确定位置的直线定义为切线，并且交点可能不唯一，适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
3、曲线在某点处的切线与点的位置有关，要根据割线是否有极限判断求解，曲线的切线未必与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。
4、曲线在点处的切线方程为
5、运动员在2秒时的速度就是曲线在时的切线的斜率，
其中负号说明什么呢？（留下悬念，埋下伏笔）
【典例分析】
已知函数。
（1）分别对求在区间上的平均变化率，并画出过点的相应割线；
（2）求函数在处的导数，并画出曲线在点处的切线；
写出函数在点处的切线的方程；
分析解答：
（1），，
利用几何画板软件做出函数的图像，画出相应的割线。
（2），曲线在点处的切线方程为
【板书】
课题：导数及其几何意义
一、导数的概念
二、导数的几何意义
三、典例分析
【归纳总结】本节课归纳学习了导数的概念以及认识导数的几何意义，关键词是：瞬时变化率、导数、割线、切线、斜率。
【布置作业】课本习题1,2,3。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
导数的概念及其几何意义教案
§2 导数的概念及其几何意义第四课时 导数的几何意义习题课一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法教学难点：理解导数的几何意义三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
（二）、探究新课例1、在曲线34xy =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1；（2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0；（3）倾斜角为135°。
解：设点坐标为（0x ，0y ），则202002020202020)(48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆--=∆∆+∆-∆-=∆-∆+=∆∆ ∴当Δx 趋于0时，30400088)(x x x x f -=-='。
（1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。
∴1)(0='x f ，即1830=-x ， ∴20-=x ，10=y 。
即P （―2，1）。
（2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)162(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，∴10=x ，40=y 。
即P （―1，4）。
（3）∵切线倾斜角为135°，∴1135tan )(00-=='x f ，即1830-=-x ， ∴20=x ，10=y 。
即P （2，1）。
例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。
解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x xx x x x x x x x x x y ∆+∆+=∆∆+∆+∆=∆+-+∆+=∆∆ 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='，由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ①又过（1，1）点的切线的斜率111030--+=x x k ② ∴由①②得：130302-=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。
2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为。
导数的概念及其几何意义(3)教学设计
函数 在 处的导数 就是切线 的斜率 ，即 .这就是导数的几何意义.
3、导函数的概念
从求函数 在 处导数的过程可以看到，当 时， 是一个唯一确定的数.这样，当 变化时， 就是 的函数，我们称它为 的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记作 ，即 .
二、应用举例
例1.已知曲线
规律方法：
教学内容
1、教学重点
利用导数几何意义求切线方程，利用导数求切点的坐标.
2、教学难点
导数几何意义的综合应用.
教学过程
一、复习回顾
1、瞬时变化率（导数）的概念
如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ，即
（1）求斜率：求出曲线在点 处切线的斜率 ；
（3）变形式：将点斜式化为一般式；
（1）设切点为点 ；
（3）利用点 在曲线上和 ，求出 ；
探索点二 利用导数求切点坐标
（1哪一点的切线垂直于直线 ？
（1）借助斜率先求横坐标：由条件得到切线的倾斜角或斜率，由这些信息得函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标。
例3.若曲线 在点 处的切线与 轴，直线 围成的三角形的面积为 ，求 的值。
与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是求出函数在某点处的导数。已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《5.1.2导数的概念及其几何意义（3）》
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
导数的几何意义教案及说明
导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。
3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。
c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。
4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。
b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。
二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。
2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。
b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。
4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。
b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。
三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。
2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。
3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。
4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。
b. 练习使用导数解决优化问题。
四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。
2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。
3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。
高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计
导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点理解导数的概念及几何意义教学难点运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题 1、在时间段( t 0+△t)－ t 0 = △t 内，刘翔的平均速度为:因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v 就是他在t 0 到t 0+ Δ t 这段时间内,当Δ t 趋向于 零时平均速度的极限 ，即 2、曲线的切线我们发现,当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量 y ∆与自变量的改变量 x ∆比值的极限。
得出：提炼得出概念导数的定义：设函数y =f (x )在点x 0处及其附近有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量△x 时，函数y 相应的增量 △y= f (x 0+ △x) － f (x 0)， t s v t ∆∆=→∆0lim t s v ∆∆=()()t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00lim lim ()()x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆0000lim lim tan α()()x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim当△x →0 时，如果 xy ∆∆有极限，我们就说函数f(x)在点x 0处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x 0处的导数(或变化率)记作（三）组织讨论 深化认识设计理念：建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
导数的概念及导数的几何意义
<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令tt 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0, 则y f (x 0x )f (x 0) f (x )f (x 0), x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x时, 相应地函数y 取得增量y f (x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限x yx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢(x 0)与f ¢(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f ¢(x )就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f ¢(x )简称导数, 而f ¢(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f ¢(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆; f (x )在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f ¢(a ) 和左导数f ¢(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. .3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解 h xh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数 解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数. 解: f ¢(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n 1ax n2× × ×a n 1)nan 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nx n 1, 即 (x n )¢nx n 1. (C )¢=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x )¢x 1, 其中为常数.例3．求函数f (x )sin x 的导数. 解: f ¢(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )¢cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )¢sin x . 例4．求函数f (x ) a x (a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x)e x.例5．求函数f (x )log a x (a >0, a ¹1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x ®x 0. 如果当x ® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.函数y f (x )在点x 0处的导数f ¢(x 0)在几何上表示曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f ¢(x 0)tan , 其中是切线的倾角.如果y f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置, 即曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y y 0f ¢(x 0)(x x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f (x )在点M 处的法线如果f ¢(x 0)¹0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例8. 求等边双曲线xy 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x y 40.所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x 8y 150.例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y 即3x y 40三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.设函数y f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim limlim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x .这就是说, 函数y f(x)在点x0处是连续的.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7．函数3)(xxf=在区间(, )内连续, 但在点x0处不可导. 这是因为函数在点x0处导数为无穷大h fhfh )0()0(lim0-+→+∞=-=→hhhlim3.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。