人教版数学必修四：3.2二倍角的三角函数(一)学案(学生版)
问题 2：若 α=β，则以上公式变为什么形式？
二、知识建构与应用： 倍角公式： sin2α = 2sinαcosα； （S2α） cos2α = cos 2α– sin 2α； （C2α） tan2α = . （T2α） 说明：①“二倍角”的意义是相对的，如：
2 2
是 的二倍角； 4 8
②观察公式特征： “倍角”与“二次”的关系； ③利用三角函数关系式 sin cos 1 ， 可将余弦的倍角公式变形为： cos 2 2cos 1 1 2sin ，
1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2
四、巩固练习 1．利用倍角公式求下列各式的值．
① sin
π π cos =； 8 8 π π sin 2 =； 8 8
② cos 2
③ 1－ 2 sin 2 15 =；
④
2 tan15 =. 1 tan2 15
课题：§3.2 二倍角的三角函数（一）
总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证 明； 2．引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培 养学生的创新意识. 【重点难点】 学习重点：二倍角公式的推导及简单应用. 学习难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈： 问题 1：请说出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
⑤ 1 - sin80° =__________.
2．已知 sin 0.8, 0,
π , 求 sin 2 , cos 2的值． 2
3．已知 tan
1 , 求 tan 2的值． 2
4．证明： ① 2sin(π ) cos(π ) sin 2 ； ② 1 2 cos2 cos2 2 ；
③
1 cos 2 2 sin ； sin
④
1 cos 2 A tan 2 A . 1 cos 2 A
课堂心得：
变式：已知 sin
12 , ( , ) ，求 sin、cos 及 tan 的值. 13 2
例 2 化简：⑴ 1 sin 40 ；⑵ 1 cos 20 ； ⑶ 1 sin 40 ； ⑷ 1 cos 20
归纳： = _____； = _______； = ______； = ______. 例 3 求证：
这两个形式今后常用； ④注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
k k , (k Z ) ． 2 4 2
三、例题
例 1 已知 sin
12 , ( , ) ，求 sin 2 ， cos 2 ， tan 2 的值。 13 2
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
cos 2 2cos2 1 ， cos 2 1 2sin 2 统称为 “升 cos 2 cos2 sin 2 ， 1 cos 2 1 cos 2 2 2 幂公式” ； 类似地也有公式：cos ， sin 称为 “降幂公式” ， 2 2
人教课标版高中数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式》教案(1)-新版
3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标 （一）核心素养通过二倍角公式的学习和应用，使学生体会化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用．在直观想象、数学推理中感受二倍角公式的特点． （二）学习目标1．了解二倍角公式的来由、过程，探求二倍角公式证明的思想方法． 2．通过学习二倍角公式的产生过程，深刻理解二倍角公式的本质． 3．能熟练地正用、逆用以及变形利用二倍角公式解决一些基本的问题． （三）学习重点1．深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程． 2．认识二倍角公式的本质． （四）学习难点二倍角公式的本质及拓广应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第132页至第135页，填空： 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin cos αα.(S 2α) cos2α＝22cos sin αα-(C 2α)＝22cos 1α- ＝212sin α-. tan2α＝22tan 1tan αα-.(T 2α)． （2）推一推：由二倍角公式进行公式的变形，填空：1sin 2α±＝22sin cos 2sin cos αααα+±＝2(sin cos )αα±； 1cos α+＝22cos 2α；1cos α-＝22sin 2α；cos 2α＝1cos 22α+；sin 2α＝1cos 22α-． 2．预习自测 （1）已知5sin 2,1342ππαα=<<，则sin 4α=( ) A ．120169-B.120169 C ．119169D ．119169-答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)42ππα∈，∴2(,)2παπ∈，5sin 213α=， 12cos 213α=-.∴120sin 42sin 2cos 2169ααα==-，点拨：先算单倍角的三角函数值，再通过倍角公式即可得． （2）22cos sin 88ππ-=( )A ．0C ．1D ． 答案：B ．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】∵22cos sin cos884πππ-==，∴选B ， 点拨：需要观察所求式子的特征，符合二倍角的余弦公式． （3）若tan(α＋π4)＝3＋22，则1cos 2sin 2αα-＝________.． 解析：【知识点】二倍角公式的正用及其逆用．【解题过程】∵21cos 22sin =tan sin 22sin cos αααααα-==⋅所求，又tan()tan44tan =tan[()]441+tan()tan 44ππαππααππα+-+-=+⋅点拨：先化简所求的式子，再结合已知条件，构造所要求的条件和结构（4）求值：1sin()sin(),(,),sin 4.4462x x x x ππππ+-=∈求答案： 解析：【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】由()+()442x x πππ+-=，则有111sin()sin()sin()cos()sin(2)cos 244442226x x x x x x πππππ+-=++=+==，那1cos 23x =.又2(,2)x ππ∈，则sin 2x =sin 42sin 2cos 2x x x =⋅= 点拨：注意到()+()442x x πππ+-=，所以先将已知条件化简得到1cos 23x =，进而用二倍角公式求sin 4x . (二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角和与差的余弦公式cos(α－β)＝cos cos sin sin αβαβ+.(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos cos sin sin αβαβ-.(C (α＋β))（2）两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sin cos cos sin αβαβ+.(S (α＋β)) sin(α－β)＝sin cos cos sin αβαβ-.(S (α＋β))（3）两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-.tan(α－β)＝tan tan 1tan tan αβαβ-+.2．问题探究探究一 结合实例，得到二倍角公式★ ●活动① 提出问题如图1要在半径为R 的半圆材料上(如图1)截成一条边在直径上的内接长方形ABCD ．设BOC θ∠=，当θ为多大时，才能使长方形ABCD 面积最大?易得22sin cos ,(0,)S R θθθπ=∈，那么当θ为多大时，才能使长方形ABCD 面积最大？这就需要考虑sin cos θθ，这里sin cos θθ、分别最大都是1，但不能同时取到，所以需要化简．请学生回顾，在哪里见过sin cos θθ这种正弦余弦相乘的结构，自然想到和差角的正弦公式． 【设计意图】从实际数学问题入手，体会二倍角公式学习的必要性． ●活动②知识回忆，公式探索 两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sin cos cos sin αβαβ+.(S (α＋β)) sin(α－β)＝sin cos cos sin αβαβ-.(S (α＋β))提问1：在已学的和差角的正弦公式中，怎样才能出现刚才的sin cos θθ？明显需要把αβ、都赋值成θ，所以即可以得二倍角的正弦公式：sin 22sin cos θθθ=.此外，在差角公式中得出来的就是恒等式sin 00=，无研究意义了．提问2：按照同样的方法，能否推出二倍角的余弦和正切公式？由学生自己动手完成．22cos 2cos sin θθθ=-；22tan tan 21tan θθθ=- 提问3：对于22cos 2cos sin θθθ=-，在展开式当中，能否写成其他的形式？用22cos sin 1θθ+=可以替换其中的一个三角函数，所以22cos 22cos 112sin θθθ=-=-，从而可以将二倍角的余弦写成只有cos sin θθ、中的一个即可，为今后的运算带来更大的方便． 【设计意图】通过二倍角公式的推导，让学生体会倍角公式是从一般到特殊的替代赋值过程． 探究二 理解二倍角公式的本质★ ●活动① 理解二倍角的本质提问1：如何理解二倍角中的“倍”的含义？倍是针对两个量之间的关系的，倍角是相对而言的．比如2θθ是的2倍，2θθ是的2倍，24θθ是的2倍，所以这里的二倍角其本质蕴含着换元的思想． 提问2：二倍角公式中角的取值范围有什么要求？根据前面学习三角函数的定义，就只有正切有要求，只要有正切作用的角，都不能取+2k ππ●活动②巩固理解，加深认识提问3：这些公式有什么特征？公式从左到右，次数由一次变成二次，而角度由双倍角变为单倍角．也就是次数在增倍，角度在减半，所以都是处在平衡之中的．即从左到右减倍增次．【设计意图】在对公式的特点进行进一步分析，让学生能够体会这其中的换元的思想，以及在恒等式的变形中都会有一个平衡，次数增加必有角度减半，反之亦然． 探究三 公式的变形及应用★▲ ●活动①理解提升，公式的拓展变形提问：如何进一步理解倍角和次数的关系，二倍角公式还可以做哪些变形？学生自主探究，相互讨论，合作交流．二倍角公式反应的是将二倍角的三角函数值与单倍角的三角函数值的转化，从而对于二倍角的余弦公式就可以拓广有升幂（降角）公式221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=，降幂（升角）公式221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==．二倍角的正弦拓广就有：sin 2sin cos 2θθθ=，2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±【设计意图】通过学生自主探究，合作交流，加深对公示的理解和记忆，培养学生数学归类梳理意识．●活动②初步实践，解决引入数学问题在刚才的引入的具体数学问题中22sin cos ,(0,)S R θθθπ=∈可变形为2sin 2,(0,)S R θθπ=∈，所以当22πθ=，即4πθ=时，S 最大，2max S R =【设计意图】应用所学的公式解决引入的问题，让学生加深对倍角公式应用的理解． 活动③巩固基础，检查反馈例1已知(,)2παπ∈且3sin 5α=，求sin 2α和cos 2α.【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)2παπ∈，3sin 5α=，∴4cos 5α=-.∴24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=【思路点拨】先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求．【答案】24sin 225α=-，7cos 225α=． 同类训练：已知(,)42ππα∈且5sin 213α=，求cos 4α.答案：119cos 4169α=．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵(,)42ππα∈，2(,)2παπ∈，5sin 213α=，∴12cos 213α=-.∴2119cos 412sin 2169αα=-=点拨：先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求． 例2求值： （1）225sin sin 1212ππ-； （2）21tan 2230'tan 2230'-︒︒；（3）sin105sin15︒⨯︒.答案：（1）2）2；（3）14． 解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式＝225sin sin 1212ππ-=2255cos sin 1212ππ-=5cos 6π=cos 6π-=（2）原式＝221222tan 2230'2tan 2230'tan 451tan 2230'1tan 2230'===︒︒︒-︒-︒.（3）原式＝111sin(9015)sin15cos15sin15(2sin15cos15)sin 30224︒+︒︒=︒︒=︒︒=︒=点拨：通过适当变形，创造适合公式的条件．（1）由5sin cos 1212ππ=，所以225sin cos 1212ππ=，利用二倍角公式求解；（2）由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；（3）利用诱导公式及倍角公式求解． 同类训练求值：（1）22sin 5cos 5sin 40cos 40︒-︒︒⋅︒；（2）2tan151tan 15︒-︒； 答案：（1）2-；（2． 解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式=22sin 5cos 5cos10cos10211sin 40cos 40sin 80cos1022︒-︒-︒-︒===-︒⋅︒︒︒． （2）22tan1512tan151tan 301tan 1521tan 152︒︒=⋅=︒=-︒-︒点拨：根据所给式子的结构进行二倍角公式的逆用，通过适当变形，创造适合公式的条件． 【设计意图】巩固二倍角公式，让学生学会正用和逆用公式，加深对于倍角公式的理解运用，并且让学生体会逆用公式解题是训练学生逆向思维和灵活思维的重要手段． ●活动4强化提升、灵活应用例3在ABC ∆中，4cos ,tan =25A B =，求tan(22)A B +．【知识点】公式的综合应用．【解题过程】解法1：在ABC ∆中，由43cos ,(0,)sin 55A A A π=∈=得,所以sin 3tan cos 4A A A ==．22tan 24tan 21tan 7A A A ==-，又tan =2B ，所以22tan 4tan 21tan 3B B B ==--.所以244tan 2+tan 24473tan(222441tan 2tan 21171()73A B A B A B -+===-⋅-⨯-） 解法2：在ABC ∆中，由43cos ,(0,)sin 55A A A π=∈=得,所以sin 3tan cos 4A A A ==．又tan =2B ，所以32tan +tan 114tan(31tan tan 2124A B A B A B ++===--⋅-⨯），所以[]22112()2tan(+)442tan(22tan 2(111tan ()1171()2A B A B A B A B ⨯-+=+===-+--）） 【思路点拨】从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用tan 2+tan 2tan(221tan 2tan 2A BA B A B+=-⋅）；法二：用[]22tan(+)tan(22tan 2(1tan ()A B A B A B A B +=+=-+））【答案】44117．同类训练：已知cos tan 2,(0,)2παβαβ==∈、，求tan(22)αβ+ 答案：247． 解析：【知识点】二倍角公式的综合应用 【解题过程】解法1：由cos (0,),2παα=∈则sin α=所以sin tan 2cos ααα==．则22tan 4tan 21tan 3ααα==--，又tan =2β，所以22tan 4tan 21tan 3βββ==--. 所以44tan 2+tan 22433tan(22441tan 2tan 271()()33αβαβαβ--+===-⋅--⨯-） 解法2：由cos (0,),2παα=∈则sin α=所以sin tan 2cos ααα==．又tan =2β，所以tan +tan 224tan(1tan tan 1223αβαβαβ++===--⋅-⨯），所以[]2242()2tan(+)243tan(22tan 2(41tan ()71()3αβαβαβαβ⨯-+=+===-+--）） 解法3：在ABC ∆中，由cos (0,),2παα=∈则sin α=,所以sin tan 2cos ααα==．又tan =2β，(0,)2παβ∈、且所以αβ=,其中22tan 4tan 21tan 3βββ==--， 所以原式=2242()2tan 2243tan(22tan 441tan 271()3βαβββ⨯-+====---）． 点拨：从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用tan 2+tan 2tan(221tan 2tan 2αβαβαβ+=-⋅）；法二：用[]22tan(+)tan(22tan 2(1tan ()αβαβαβαβ+=+=-+））； 法三：经计算可得αβ=，所以可求tan 4β． 例4．化简下列各式： (1)cos36cos 72︒⨯︒；(2)sin 70sin 50sin 30sin10︒⨯︒⨯︒⨯︒； 【知识点】二倍角公式的变用． 【解题过程】（1）2sin 36cos36cos 72cos36cos 722sin 36︒⋅︒⋅︒︒⋅︒=︒11sin144sin 36sin 72cos 721222sin 362sin 362sin 364︒︒︒⋅︒====︒︒︒（2）原式=cos 20cos 40cos 60cos80︒⋅︒⋅︒⋅︒ ＝sin 20cos 20cos 40cos802sin 20︒⋅︒⋅︒⋅︒︒＝sin 40cos 40cos804sin 20︒⋅︒⋅︒︒＝sin 80cos808sin 20︒⋅︒︒＝sin16016sin 20︒=︒116. 【思路点拨】各题的解法均为构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用．【答案】（1）14；（2）116．同类训练 化简下列各式： (1)sin18cos36︒∙︒；(2)cos100cos140cos160︒∙︒∙︒； 答案：（1）14；（2）18-． 解析：【知识点】二倍角公式的变用． 【解题过程】（1）sin18cos18cos36sin 36cos36sin 721sin18cos36cos182cos184cos184︒⋅︒⋅︒︒⋅︒︒︒⋅︒====︒︒︒（2）原式＝(cos80)(cos 40)(cos 20)-︒⋅-︒⋅-︒＝sin 20cos 20cos 40cos80sin 20︒⋅︒⋅︒⋅︒-︒＝sin 40cos 40cos802sin 20︒⋅︒⋅︒-︒＝sin 80cos804sin 20︒⋅︒-︒＝sin1608sin 20︒-=︒18-.点拨：各题的解法为构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用．【设计意图】由浅入深，让学生感受公式的正用，逆用外，以及公式的变用，感悟学以致用． 3.课堂总结 知识梳理（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin cos αα.(S 2α) cos2α＝22cos sin αα-(C 2α)＝22cos 1α- ＝212sin α-. tan2α＝22tan 1tan αα-.(T 2α)．（2）由二倍角公式进行公式的变形：1±sin2α＝22sin cos 2sin cos αααα+±＝2(sin cos )αα±； 升幂公式：1＋cos α＝22cos 2α；1－cos α＝22sin 2α；降幂公式：cos 2α＝1cos 22α+；sin 2α＝1cos 22α-． 重难点归纳 （1）)倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程，是高中数学重要的一种思想方法，利用此方法，可以探索出更多的公式如三倍角公式．（2）倍角是相对的，α是2α的倍角，2α是α的倍角，4α是2α的倍角等． （3）公式的推广、变形、逆用也是灵活运用，是理解公式的关键所在．（三）课后作业基础型 自主突破1．若[,]42ππθ∈，3sin 4θ=，则sin2θ＝（ ） A.18B.18-C.答案：D ．解析：【知识点】二倍角的正弦公式．【解题过程】因为[,]42ππθ∈，所以3sin 4θ=，所以cos θ=，所以sin 22sin cos θθθ=⋅= D. 点拨：利用二倍角公式计算．2．若3sin 25θ=，4cos 25θ=-，则θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D ．解析：【知识点】二倍角公式的正用． 【解题过程】2222437cos cos sin ()()0225525θθθ=-=--=>， 3424sin 2sin cos 20225525θθθ-=⋅=⋅⋅-=<，∴θ在第四象限． 点拨：计算θ的是三角函数值的符号以确定θ的位置．3．22sin110sin 20cos 155sin 155︒⋅︒︒-︒的值是( ) A ．－12B.12C.32D.－32答案：B ．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】原式＝cos 20sin 20cos310︒⋅︒︒＝1sin 402cos50︒︒=1sin 402sin 40︒︒＝12. 点拨：结合已知，创造适合公式的条件． 4．求111tan 22.51tan 22.5--︒+︒的值是( ) A ．0B ．1C ．－1 D.22答案：B ．解析：【知识点】二倍角的正切公式的正用．【解题过程】原式=22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒. 点拨：先通分即可化为二倍角的正切公式． 5．若cos 2sin()4απα=-，则cos α＋sin α的值为( ) A．B．1 2 -C.1 2答案：C．解析：【解题过程】由cos2sin)sin()4αααπα==+=-所以1cos sin2αα+=点拨：利用二倍角公式和差角公式打开即得．6．若sin tan0x x⋅<等于( )xB．xxD．x答案：B．解析：【知识点】升幂公式．【解题过程】∵2sinsin tan0cosxx xx⋅=<，∴cos0x<x==．点拨：用升幂公式化简所求，再结合已知判断符号．能力型师生共研7．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D.－2答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的综合应用．【解题过程】由已知可得3sin α＝－cos α，则tan α＝－13. 则所求22222111sin cos 1tan 1092cos sin 2cos 2sin cos 12tan 313ααααααααα+++=====++⋅+-． 点拨：先化简已知可得tan α，再将所求化成分子分母二次齐次的式子．8．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 的值为( )BC.53D ．－53答案：A ．解析：【知识点】二倍角公式的变形应用．【解题过程】∵sin2A ＝2sin A cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝53，且必有sin ,cos 0A A >即sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝53.∴|sin A ＋cos A |又∵A 为锐角，∴sin A ＋cos A，故选A ． 点拨：已知sin A 与cos A 的乘积，算sin A 与cos A 的和差，均需平方以后再开方计算． 探究型 多维突破9．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β.答案：（1）；（2）β＝π3．解析：【知识点】二倍角公式的应用．【解题过程】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α===∴sin tan cos ααα==.于是22tan tan 21tan ααα==-. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin()αβ-===则1131cos cos[()]cos cos()sin sin()7142βααβααβααβ=--=-+-=⨯+=. ∴β＝π3.点拨：（1）先求tan α，再用二倍角公式算tan 2α；（2）算β的三角函数值，由条件需要用()βααβ=--构造．10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求()3f π的值； (2)求()f x 的最大值和最小值．答案：（1）94-；（2）()f x 最大值6；()f x 最小值73-. 解析：【知识点】三角公式的简单综合应用．【解题过程】(1)2239()2cos sin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-. (2)222227()2(2cos 1)1cos 4cos 3cos 4cos 13(cos )33f x x x x x x x =-+--=--=--，x ∈R ， cos [1,1]x ∈-，∴当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73-. 点拨：（1）特殊角带入计算即可；（2）由所给的式子，对于同一个角x ，既有二次项，又有一次项，则最终可化成一个二次型函数．自助餐1．已知3sin()5απ-=，则cos 2α=_________.答案：725． 解析：【知识点】二倍角的余弦公式的正用以及诱导公式． 【解题过程】由3sin()sin 5απα-=-=，所以3sin 5α=-，则27cos 212sin 25αα=-=． 点拨：先用诱导公式求出单倍角的三角函数值，再用倍角公式计算．2．cos 20cos 40cos80︒∙︒∙︒=________. 答案：18． 解析：【知识点】被角公式的变用． 【解题过程】1sin 40cos 40cos80sin 20cos 20cos 40cos802=sin 20sin 20︒⋅︒⋅︒︒⋅︒⋅︒⋅︒=︒︒原式 111sin160sin 20sin 80cos801884sin 20sin 20sin 208︒︒︒⋅︒====︒︒︒． 点拨：解法构造法，连续用公式：1sin cos sin 22ααα⋅=.产生“连锁反应”起到化简作用． 3．函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是________． 答案：32． 解析：【知识点】二倍角公式的变形以及三角函数的性质【解题过程】21cos 21()sin cos 2sin(2)262x f x x x x x x π-=+==-+， 又x ∈[π4，π2]，∴2x －π6∈[π3，5π6]，所以()f x 的最大值为32． 点拨：对于齐次式，利用降幂公式将次数化为一次，然后再用辅助角公式化成一个三角函数．4．若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ＝________. 答案：12．解析：【知识点】三角公式的变形及二倍角公式． 【解题过程】法一：2211tan tan 4,1tan 4tan tan tan θθθθθθ++==∴+=． ∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：212sin ,42sin 21cos sin sin cos cos sin tan 1tan 22=∴=+=+=+θθθθθθθθθθ 点拨：先将已知条件化简转化成单倍角θ的正切tan θ，再将所求也变形成tan θ的式子．5．已知函数()cos(),46R x f x A x π=+∈，且()3f π=(1)求A 的值；(2)设α、β∈[0，π2]，4828(4),(4)3535f f απβπ+=--=，求cos(22)αβ+的值． 答案：（1）2A =；（2）1-．解析：【知识点】倍角公式的应用．【解题过程】（1）由()cos()3126f A πππ=+=，得cos 4A π=2A = （2）由（1）()2cos()46x f x π=+，则48(4)2cos()336528(4)2cos()3665f f ππαπαππβπβ⎧+=++=-⎪⎨⎪-=-+=⎩，可解得4sin 54cos 5αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩又α，β∈[0，π2]，所以33cos ,sin 55αβ====， 所以3443cos()cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯= 那么22cos(22)2cos ()12011αβαβ+=+-=⨯-=-点拨：将已知条件进行带入化简，则很容易求得．6．已知函数22()sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+∈，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间．答案：（1）T π=；（2）增区间：[,],36Z k k k ππππ-+∈． 解析：【知识点】二倍角公式的逆用及三角函数的性质．【解题过程】1cos 21cos 213()222cos 22222x x f x x x x -+=++=++3sin(2)62x π=++ （1）所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）令222,262Z k x k k πππππ-≤+≤+∈,即,36Z k x k k ππππ-≤≤+∈.所以函数()f x 的单调增区间为[,],36Z k k k ππππ-+∈． 点拨：本题是逆用二倍角公式，将已知函数化简成为()sin()f x A x B ωϕ=++的结构，从而问题可得到解决．。
3.2二倍角的三角函数(1)(2015年人教A版数学必修四导学案)
2
8
cos 2
8
=
； （2） cos
4
2
sin 4
2
=
5 24 = （3） 5 1 tan2 24 tan
； （4）
sin 15 cos 15 = sin 15 cos 15
．
2、若 sin cos 3、已知 cos
1 ，则 sin 2 ______________。 2
6、已知 tan(
2
)
1 1 , tan( ) ，求 tan( ) 的值 2 2 3
课题:二倍角的三角函数（1）
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【学习目标】
会用二倍角公式进行求值、化简和证明
【课前预习】 1. sin( )
; cos( )
24
cos
12
2 tan 15 1 tan 2 15
。
；
(0, 3、已知 sin 0.8，
2
) ，求 sin 2， cos 2 的值。
4、已知 tan
1 ，求 tan( 2 ) 的值 2 2
5、证明： （1） 2 sin( ) cos( ) sin 2 （2） 2 cos cos2 1
【学后反思】
课题: 二倍角的三角函数（1）检测案
班级： 【课堂检测】
1、求下列各式的值： （ 1 ） sin
姓名：
学号：
第
学习小组
8 8 2 tan 15 1 tan 2 15
2
cos
新人教版高中数学 3.2 二倍角的三角函数(第1课时)教案必修四
高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第1课时）教案 新人教版必修4教学目标：1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；了解化归思想在推导中的作用；2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力；4.结合三角函数值域求函数值域问题．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用． 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）．教学方法：建构主义认为：教学应当用情节、背景真实的问题引导出所学的内容，通过营造解决问题的环境，启发学生积极思考和自主探究．基于本节课的特点：二倍角三角函数公式是和角公式的特例，着重采用的教学方法是引导发现法．即：通过创设生动逼真和符合数学教学内容的问题情境，激发学生对数学问题的兴趣，帮助他们形成学习动机；提示新旧数学知识之间的联系线索，帮助学生建构当前所学数学知识的意义．教学过程：一、 问题情境1．这里，三角函数值为特殊值，可以先求出角再求解．若不是特殊值呢？ 2． π5(,π),sin ,sin 2212ααα∈=设求．π1(,π),sin ,sin 2?22ααα∈=设如何来求呢3．那么如何由一些已知的条件来求sin 2α 呢？通过观察，我们可以发现2ααα=+ ，因此可以在前面所学的基础上来研究这个问题（板书课题）．二、 复习巩固，建构数学sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=++=-因此，在这些公式中，我们只要令 后，就可以得到角2α的三角函数值了．即 22sin 22sin cos cos 2cossin αααααα==- (R)α∈22tan tan 21tan αα=-在三角里面还有一个非常重要的等式，用这个等式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式：2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα=-以上这些公式都叫做倍角公式，从上面的推导过程来看，倍角公式是和角公式的特例． 注意点：①对“二倍角”的认识，如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是2α 的二倍，030是015的二倍，015的二倍是030等等．理解二倍角是相对的．②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程． ③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）． 其次，在对二倍角公式理解、掌握的基础上讲解例题. 三、数学运用 1.例题． 例15(,)sin ,sin 2,cos 2,tan 2.213παπαααα∈=设求的值 说明 在没有具体的知道角2α的终边所在的象限时，一般并不能惟一确定角2α的三角函数值，需要讨论．tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅π(,,π,)2k k Z αβαβ+≠+∈βα=(,)224k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且22sin cos 1αα+=例2 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++．消除角的差异,把不同的角化为相同的角，在化简的过程中注意选取合适的公式．例3 ππ1πsin()sin(),(,π),sin 44462αααα-+=∈已知求的值. 这里，要求sin 4α的值，先得求出2α的三角函数值来．可以逆用公式来求或直接展开来求．因此，对于“二倍角”，应有广义的理解，如4α是2α的二倍角，3α是32α的二倍角．2．练习．（1）利用倍角公式求下列各式的值． ① sincos 88ππ ②22cos sin 88ππ- ③ 1－15sin 22④15tan 115tan 22-（2）已知08,0,,sin 2,cos 22πsin .αααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭求的值．（3）已知的值．求αα2tan ,21tan = （4）证明：①2sin()cos()sin 2ππααα+-= ②22cos cos 212=-+θθ ③αααsin 2sin 2cos 1=- ④A AA2tan 2cos 12cos 1=+-四、小结1．本节课主要学习了二倍角的几组公式： （1）αααcos sin 22sin = （2）ααα22sin cos2cos -==1－α2sin 2 =1cos 22-α．（3）22tan tan 21tan αα=-．2. 我们一起推导了二倍角的公式，明白了从一般到特殊的思想，并运用二倍角公式解题．在解题的时候要注意分析三角函数名称、角的关系，选择最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程的目的．仅此学习交流之用谢谢。
高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案新人教A版必修4
tan(
) tan tan
1 tan tan
练习：（ 1）在△ ABC中， sinA sinB cosA cosB ，则△ ABC为（
）
A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形
（ 2） 3 cos
sin 的值为 （
）
12
12
A ． 0 B ．2 C ． 2 D ． 2
思考：已知
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin(
) sin cos cos sin
sin(
) sin cos cos sin
cos(
) cos cos sin sin
cos(
) cos cos sin sin
tan(
) tan tan
1 tan tan
思考：把上述关于 cos2 的式子能否变成只含有 sin 或 cos 形式的式子呢？
2
2
2
2
2
cos2 cos sin 1 sin sin 1 2sin ；
cos2 cos2 sin2 cos2 (1 cos2 ) 2cos2 1 ．
tan 2 tan
tan tan 1 tan tan
2tan ． 1 tan2
2 tan 1 tan2
1 ，由此得 tan 2 3
6 tan
10
120
．
119
解得 tan
2 5 或 tan
2 5．
例 4．已知 tan
1 , tan
7
1 ,求 tan( 3
2 )的值
2
3 ， cos(
《3.2二倍角的三角函数(一)》教学案
《3.2二倍角的三角函数（一）》教学案第1课时二倍角的三角函数●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．教学方案设计●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式S α＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos 2α－sin 2α，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α. 2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】 tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α，即tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α(T 2α).你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α可变形为cos 2α＝2cos 2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α. 课堂互动探究例1 (1)cos π8cos 3π8； (2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8 ＝12sin π4＝24.(2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18. 规律方法1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．变式训练求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10° ＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10°＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10° ＝sin 80°8cos 10°＝18，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.例2 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出t an 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－tan(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β ＝－34－－431＋－34－43＝724.规律方法对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．变式训练已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xπ4＋x的值． 【解】 原式＝sπ2＋2xcπ4＋x ＝π4＋xπ4＋x π4＋x＝2sin(π4＋x )．∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.例3 化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】 法一 原式 ＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋cos 2α＝tan 2α. 法二 原式＝－cos 4α＋sin 4α＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋sin 2α＝tan 2α.规律方法1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值； (5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式． 变式训练 化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－1π4－α2π4＋α. 【解】 (1)原式＝－tan θ－＋tan θ＋tan θ－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)原式＝cos 2απ4－α2π2－π4－α＝cos 2απ4－α2π4－α ＝cos 2απ4－απ4－α＝cos 2απ4－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 易错易误辨析选择公式不恰当致误典例 已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值． 【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】 在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153. ∵cos α＋sin α＝33，∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…. (2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.当堂双基达标1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________． 【解析】 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(2012·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 【答案】 －2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________；(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24. (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32. 【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－32 4．已知sin x 2－2cos x2＝0. (1)求tan x 的值； (2)求cos 2x 2π4＋xx的值． 【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 222cos x －22sin xx＝x －sin xx ＋sin x x －sin x x＝cos x ＋sin xsin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 课后知能检测 一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________. 【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】 由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________． 【解析】 由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.【答案】 －226．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan θ21＋tan θ2＝t an θ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223.【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－1245214452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(2013·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值． 【解】 由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin 2x ≤1，∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.教师备课资源备选例题求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【思路探究】 从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .规律方法证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．变式训练求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】 要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ， 只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. 上式：左边＝－cos 4θ＋sin 4θ＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θθ＋cos 2θ2cos 2θθ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边．∴原等式成立．。
[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案313二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc
![[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案313二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/ed294eef67ec102de3bd894a.webp)
3. 1. 3 二倍角的正弦、余弦和正切公式•一、教学目标•以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用..二、教学重、难点教学重点：以两角和的正眩、余眩和正切公式为基础，推导二倍角正眩、余弦和正切公式;教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.•三、教学设想：（-）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, . sin(a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 0sin(a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 0cos(a + 0) = cos a cos 0 - sin a sin 0/ c、 tan a — tan 0 / 门、tan a + tan 0 tan(6r -/?) = ---------------- -- tan(<7 + #)= ----------------------------------- —•I + tan• tan p 1 - tan 6if • tan 0.练习：(1)在AABC 中，sin A sin B < cos A cos B ,则AABC 为( )A. 直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形(2) V3cos—-sin兰的值为（）12 12A. 0B. 2 C- V2 D. -V2jr19 3思考：已知3<0<°<百，cos(o-0)=乜，sin(6r + /3)=,求sin2a我们由此能否得到sin2%cos26Man2o的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中0看成a即可），（二）公式推导:sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin acosa；cos 2a = cos (a + a) = cosa cos a-sina sin a - cos2 cif-sin2a；思考：把上述关于cos2a 的式子能否变成只含有sina 或cos©形式的式子呢?cos 2a = cos 2 <7-sin 2 cr = 1-sin 2 6r-sin 2(7 = l-2sin 2 a ；cos 2a = cos 2 a-sin 2 a =cos 2(7-(1-cos 2 a) =2cos 2 a-l.tan 2cr = tan (6Z + 6Z )= 9 1 一 tan a tan a 1-tan" a2Q 丰—F k 兀3a H —F k 兀(kw z)2 2 、丿tan cr + tan or 2 tan a 注意: （三） 例题讲解己知<a< —，求sin4a,cos4o,tan 4G 的值. 13 4 27T 兀 兀解：由「X 亍得空＜205.于是 sin46r = 2sin 2a cos 2cr = 2x —x 13 4 例 2.在厶ABC 中,cos A =— , tan B = 2,求 tan(2A + 2B)的值。
高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案
高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案二倍角的正弦、余弦、正切公式【学习目标】以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.【新知自学】知识回顾：( )=cos( )=sin( )an =ta新知梳理由上述公式能否得到的公式呢？注意：思考感悟公式cos( )、cos( )、sin( )、sin 、tan 、tan 、、、间的区别与联系？对点练习：（1）已知 =－ ,且，则的值等于（）A． B．．－ D．－13（2）若，则的值为（）A、 B 、C、 D、（3）已知 ,则【合作探究】典例精析：例1、已知求的值．变式练习：1、已知，求的值.例2、在△ABC中，，变式练习：2、已知，则 =（）A. B. C. D*例3、已知【课堂小结】【当堂达标】若x = π12 ，则的值为（） A． B．C． D．2已知：，求：的值．【课时作业】（）A、B、C、D、2. 若，则的值等于（）A、 B、 C、 D、的值等于（）A、 B、C、 2D、 44．已知 sin（x－π4 ）= 35 ,则sin2x = （） A．825 B．72．1625 D．－1625*5. 求函数的最大值.*6. 已知：，求：的值．*7. 已知： = －22 ，求：的值．【延伸探究】已知向量，，设函数，（1）求的最小正周期。
（2）求在上的最大值和最小值。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.2.1 倍角公式》4
教学内容
设计意图
复习引入
1.复习同角三角函数的根本关系式、两角和的正弦、余弦、正切公式。
以旧引新，让学生明确学习的内容。
公式
的推
导
公式的深化理解
公式的应用
2倍角公式的推导:
思考:在公式，，中对如何合理赋值，才能出现
即：
思考：
学生答复，得出二倍角的正切公式。
3对于二倍关系的理解。
4二倍角公式的变形公式。
5倍角公式的应用
例1：
稳固练习一：练习A，1,2,3，4
师:证明恒等式的途径有哪些？
生：一是由左边证到右边，二是由右边证到左边，三是左右两边同时变形为一个式子。
稳固练习二：习题3-2A，3〔1〕，〔2〕，3
引导学生运用已学过的两角和的三角公式推得二倍角公式，使学生理解二倍角公式就是两角和的三角函数公式的特例，这样有助于公式的记忆。
情感目标
通过公式的推导，了解倍角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，
从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
重点
二倍角的正弦、余弦、正切公式及二倍角余弦公式的两种变形
难点
倍角公式与以前学过的同角三角函数的根本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用
教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的根底上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时稳固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
问题的提出可以让学生了解公式的不同推导方法，有助于学生发散思维的培养。
加深学生对倍角公式的理解
新人教B版高中数学(必修4)3.2.1《倍角公式》word学案
§3.2.1《倍角公式》学案【学习目标】1. 学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程 2. 能记住二倍角公式及相关变形 3. 能用二倍角公式进行化简，求值 【重难点】重点：二倍角公式的推导及应用 难点：二倍角公式的变形式的应用 【学法指导】自主探究公式的内在联系 【知识链接】两角和的正弦、余弦、正切公式cos(βα+)= sin(βα+)= tan(βα+)= 【学习过程】阅读课本第132页到133页的内容，尝试回答下面的问题 知识点1.二倍角公式的推导在上面和角公式中，若令αβ=，会得到怎样结果α2sin = α2cos = tan α2=（其中tan α有意义α≠ ，tan α2有意义α≠ ）知识点2.二倍角公式的变形 由sin2α+cos 2α=1，你能填写下面的结果吗cos2α=αα22sin cos -= =它们还可以写成α2c o s1+ = α2cos 1- = α2sin =α2cos =基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 化简求值：(1)2015cos 15sin (2)cos8sin 822ππ-(3)0205.22tan 15.22tan - (4)15.22cos 202-例题分析： 例题1.已知5sin ,132πααπ=<<,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值问题：若条件5sin 13α=改为sin α+cos α=713-，怎么做？变式练习：已知sin α+cos α=31,0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α. 分析导引：1.先根据条件可以求sin2α 2.求cos2α的两种思路 （1）sin α+cos α=)1,0()4sin(2∈+πα，故有)22,0()4sin(∈+πα， 所以4πα+的范围是 ，从而得到α2的范围故cos2α的符号为负，由平方关系即可求解（2）你能分析ααcos ,sin 的符号，结合条件计算sin α-cos α的值吗，从而联立方程算出ααcos ,sin ，再由倍角公式求α2cos小结：sin α+cos α，sin α-cos α,sin ααcos ,知一求二,但要注意符号的判断 例题2. 在△ABC 中，cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值 思路1：先求tan2A,tan2B思路2：先求tan(A+B),2A+2B 是A+B 的倍角问题：若求tan(A+2B)的值呢？你能写出几种思路？【当堂检测】 化简(1)θθtan 11tan 11+-- (2)αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+【学习反思】本节课我最大的收获是什么？【课后练习】 一．选择题1.已知θπθ2sin -1),4,0(则∈为 （ ）A.θθsin cos -B.θθcos sin -C.θcos 2D.θcos 22.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A.247B.245-C.724D.724-3.已知则),2,4(,412sin ππαα∈=ααsin cos -= ( )A.23-B.43C.23 D.43-二．填空题1. (1)sinxcosxcos2xcos4x= (2)sin100sin300sin500sin700=2. 若tan()4πα+=223+，则αα2sin 2cos 1- =3.已知=-=+)232cos(,31)6sin(απαπ则 4.已知=∈=αππαααtan ),,2(,2cos sin 则5.函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是 三．解答题1.已知sin()4απ+sin()4απ-=61,且),2(ππα∈，求sin α42.已知)4sin(21sin 2cos 2),,2(2,222tan 2θθθππθθ+--∈-=求3.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
人教A版高中数学必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式1、以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2、二倍角的理解及其灵活运用.一、课前准备（预习教材P132—P134）复习引入：请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：。
二、新课导学※探索新知ααα的公式呢？问题：由两角和的正弦、余弦和正切公式能否得到sin2,cos2,tan2探究1：推导sin2a,cos2asin2a=cos2a=思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？； cos2a=cos2a=探究2：推导tan2a注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈※ 典型例题例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．变式：已知的值求)2tan(,31tan ,71tan βαβα+==例3、在△ABC 中，54cos =A ，。
B A B 的值求)22tan(,2tan +=三、小结反思熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、已知180°＜2α＜270°，化简αα2sin2cos 2-+=（ ） A 、-3cos α B 、3cos αC 、-3cos αD 、3sin α-3cos α2、已知)3,25(ππα∈，化简αsin 1-+αsin 1+= （ ） A 、-2cos 2α B 、2cos 2αC 、-2sin 2αD 、2sin 2α3、已知sin 2α=53，cos 2α=－54，则角α是 （） A 、第一象限角 B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角4、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。