2009年全国大学生数学建模竞赛C题

竞赛目的：
培养数学知识的应用能力；培养创新意识；培养新技术的应用能力；培养团体协作能力。

竞赛的发展方向：
以竞赛促进教学与科研；走向国际化。

更注重现有知识的应用于拓展。

本题特点：
问题条件不明确，比如：轨道形状等
任务少，且不明确
所用数学知识较多
不是优化问题，但包含优化思想
学生普遍做的不好
全国参考评审建议结果不正确
球面几何问题。

全国评审建议
（1）关于椭圆轨道：数值寻优
（2）关于地球自转参考建议不正确
正六边形覆盖。

平面上是最优的覆盖方式，2005年研究生竞赛题：hoc 网络蜂窝通讯及94年本科生竞赛题无线电频道分配。

球面上未必如此，评审建议结果有错，不考虑边界（应为48正六边形）
评审建议的具体算法 （1） 求球带的表面积
（2） 每个测控站的测控范围（球冠
（3） 考虑测控范围的重叠（球面正六边形，球冠的
0.827） （4） 考虑边界 论文处理 一．问题描述
主要是用自己的语言请该问题的背景及需要接军的问题以及自己打算怎样来处理该问题作简要介绍。

二．关于问题一（20分） 相关假设及符号说明 模型一
1.假设地球是球体，卫星轨道是圆
2.地球半径为R ，卫星高度为H
sin(18093*)sin 93
*87arcsin(sin 93)
3602*R R H
R
R H
n θθθ+=
--=-+⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
一般结果：
或者给出不同n 的H 的范围。

模型二．
（15分）
1.假设地球是球体，卫星轨道是椭圆
2.地球半径为R ，卫星高度近地点为h ， 远地点为H 。

卫星轨道椭圆方程：
cos (02)sin x a y b ϕ
ϕπϕ
=⎧≤≤⎨
=⎩ 地球球面圆方程：
cos (02)sin x c R y R θ
θπθ
=+⎧≤≤⎨
=⎩ 其中，
()/2,a R H h b =++=
考虑测控站i
的位置(,)i P R θ 测控轨道起点11(,,)i i Q a b ϕ， 测控终点12(,,)i i Q a b ϕ 向量：
(cos cos ,sin sin ),(cos ,sin )
i ij ij i ij i PQ a c R ba R OP R R ϕθϕθθθ=---=
i ij PQ 与OP 夹角87，
由夹角余弦公式得
cos cos sin sin cos sin 3(cos a b R c a θϕθϕθ
+--=
令
(,)cos cos sin sin cos sin 3(cos F a b R c a ϕθθϕθϕθ=+---易知，
(,)(,)(,)0F F F ϕθϕθϕθ=--=，，
给出了测控站位置与测控临界位置点的关系， 给出了两者中的一个就可以求出第二个。

利用迭代法计算测控站个数n.
流程如下：
（1）给定1θ，计算1112,ϕϕ （2）令2112ϕϕ=，计算2θ
…………
（3）当211n ϕϕ≥时，迭代结束。

（例对于神七，
014n θ==，）
（4）对1θ数值寻优
因为近地点必须被测控到，所以10.19940.1994θ-≤≤。

将该区间等分若干份，取较优的结果。

两组较优的结果,（342,200H h ==，神七数据）
1. (0.1994,0.6473, 1.1091, 1.5879,
2.0832, 2.5907,
3.1030)θ=±±±±±±± 共需14个测控站，其中最后两个观测站非常近，如果布置
13个测控站只有较少轨道测控不到。

2. (, 2.5986, 2.0737, 1.5784, 1.1168,0.6835,0.2734,0)θπ=±±±±±± 共需14个测控站,其中第一个测控站测控范围最大。

三 关于第二问 考虑地球自转（25分） 1.星下线方程及其轨迹
分别考虑世界坐标系OXYZ 及地球坐标系Oxyz ，设地球自转角速度为1ω，卫星角速度为2ω。

卫星轨道所在的平面与OXY 平面夹角为θ 坐标变换公式为
设卫星轨道参数方程为
222()cos ()cos sin ()sin sin X R H t
Y R H t Z R H t ωθωωθ
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
则在地球坐标系下的方程为
1111cos sin 0sin cos 0001x t
t X y t
t Y z Z ωωωω-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
其在地球上的投影为（星下线参数方程）
当21n ωω=时
线，周期为2n π封闭的， 当
t 充分大时，充满
sin z R θ=±的地球带域，对应测控范围为
()sin z R H θ=±+
球面带状范围。

2.测控站个数上限估计 为了简化计算，假设测控站采取分纬度排列策略，
2111122cos cos sin 0()sin cos 0cos sin 001sin sin t x t t y R H t
t t z t ωωωωωθωωθ-⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2111122cos cos sin 0sin cos 0cos sin 0
1sin sin t x t
t y R t
t t z t ωωωωωθωωθ-⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
考虑同纬度等距分布n 个测控站的情况，则相邻测控站纬度改变为360/n γ=。

先考虑相邻两层的测控范围，记 1231
(,,),(,,)(,/2,)
i i i i i i P R P R P R αβαγβαγβ+++，
为相邻测控站，其测控范围分别为以123,OP OP OP ，为中心轴，半顶角为*θ的正圆锥。

11112221(,/2,),
(,/2,),()
i i i i P R P R αγβαγβββ++>，
则
11222211111(cos cos ,cos sin ,sin ),
(cos(/2)cos ,cos(/2)sin ,sin )(cos(/2)cos ,cos(/2)sin ,sin )
i i i i i i i i i i i i i i i OP R R R OP R R R OP R R R αβαββαγβαγββαγβαγββ==++=++
11,j OP OP θ夹角为。

cos *cos cos cos cos(/2)
cos sin cos sin(/2)sin sin i i ij i i i ij i i ij θβαβαγβαβαγββ=++++，
1,2j =
12*i i ββθ+=+
记
(,,)cos cos cos cos(/2)cos sin cos sin(/2)sin sin cos *cos cos cos(/2)sin sin cos *
i i i i i i i i i i i f βαββαβαγβαβαγββθββγββθ=++++-=+- （*）
第i 层测控站测控范围的最低纬度为2i β。

通过迭代便可以给出已知测控范围的测控站个数。

特别的，如果测控范围为12**θβθ≤≤，则其数学模型为：
nin n m
21,222211111121..(,,)0,1,2,
,*2,,,1,2,,**,***,(**)/*360/i i i i i i i m s t
f i m
i m i m
m n
βαβββθβββθβθθβθθθθθγ-===+=≥=≥≤≤≤+≥-⎡⎤⎢⎥=，，
*87arcsin(
sin 93)R
R H
θ=-+ 360/2*n θ⎡⎤≥⎢⎥
3. 关于神七的计算(342,6370,*42.2)H R ββ==≤= 根据神七数据（42.242.2β-≤≤，因为每个测控站测控的圆锥角为31.208，因此3m ≥。

（1） 如果3m =
因为测控范围是对称区间，可以考虑测控站对称分布，
即第一层的测控站分布在赤 道上。

先考虑18n =情况： 根据（*）式得到：
1222212.0378,27.6419,41.0123
βββ===，
不能全范围测控，因此全程测控需要的测控站数超过54
个。

（2） 如果4m =
最优解13,52n nm == 其中可取
1,23,48,31.3604ββ=±=±
（3）5m ≥
由第一问知12n ≥，所以当60nm ≥。

综上，52个测控站即能实现全程测控。

四． 关于第三问 沈七相关数据及分析
五．该问题的进一步思考 各层是否可以不等布置，如果能，如何确定个数？ 六 结论与总结 参考文献。