不等式以及其性质

一、不等式及其性质【学习目标】1．认识不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数目关系；2.理解不等式的三条基天性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的观点及性质；【重点梳理】重点一、不等式的观点一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．重点解说：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们拥有方向性，不等号的张口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不可以确立哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左侧的量比右侧的量小“＞”读作“大于”表示左侧的量比右侧的量大“≤”读作“小于或等即“不大于”，表示左侧的量不大于右侧的量于”“≥”读作“大于或等即“不小于”，表示左侧的量不小于右侧的量于”(3) 有些不等式中不含未知数，如3＜ 4， -1＞ -2；有些不等式中含有未知数，如2x＞ 5 中， x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边切合不等号所表示的大小关系，我们说不等式建立，不然，不等式不建立．种类一、不等式的观点例1. 判断以下各式哪些是等式，哪些是不等式．（1） 4＜ 5；（2） x2+1＞0；（3） x＜ 2x-5；（4） x=2x+3；（5） 3a2+a；（6） a2+2a ≥ 4a-2．变式练习：1.（2017 春 ?城关区校级期末）贵阳市今年 5 月份的最高气温为知某一天的气温为 t℃，则下边表示气温之间的不等关系正确的选项是（27℃，最低气温为）18℃，已A． 18＜ t ＜ 27B． 18≤t＜27C． 18＜ t ≤ 27D． 18≤ t≤27 2.（2017 春 ?未央区校级月考）以下式子：① a+b=b+a；② -2＞-5；③ x≥-1；④1y-4＜ 1；⑤ 2m ≥n； ⑥ 2x -3，此中不等式有（）3A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个3（.2017 春 ?南山区校级月考） 下边给出了 6 个式子：?3＞0 ；?x+3y ＞ 0；?x=3；④x -1；⑤ x+2 ≤3；⑥ 2x ≠0；此中不等式有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个4.（2017 春 ?太原期中） 学校组织同学们春游，租用 45 座和 30 座两种型号的客车，若租用45 座客车 x 辆，租用 30 座客车 y 辆，则不等式“ 45x+30y ≥ 500表示”的实质意义是（ ）A ．两种客车总的载客量许多于500 人B ．两种客车总的载客量不超出500 人C ．两种客车总的载客量不足500 人D ．两种客车总的载客量恰巧等于 500 人5.已知有理数 m ， n 的地点在数轴上如下图，用不等号填空．（1）n-m0；（ 2）m+n 0；（3）m-n 0；（ 4）n+1 0；（ 5）m?n 0；（ 6） m+10．例 2．用不等式表示：(1)x 与 -3 的和是负数；(2)x 与 5 的和的 28％不大于 -6; (3)m 除以 4 的商加上 3 至多为 5．贯通融会：【变式】 a a 的值必定是（ ）．A. 大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零22-10 ＜ 2；?例 3.下 列 叙 述 ：① a 是 非 负 数 则 a ≥0；② “a减 去 10 不 大 于 2”可 表 示 为 a ③ “x 的 倒 数 超 过 10”可 表 示 为 1＞ 10 ； ④ “a， b 两 数 的 平 方 和 为 正 数 ”可 表 示 为xa 2 +b 2＞ 0 ． 其 中 正 确 的 个 数 是 （） .A.1 个B.2 个C.3 个个重点二、一元一次不等式的观点只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，比如，23重点解说：(1)一元一次不等式知足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式 )；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有差别又有联系：同样点： 两者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左侧”和“右侧”都是整式．不一样点： 一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连结，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连结，等号没有方向．例 1.（ 2017 春?沧州期末） 以下各式中，一元一次不等式是（）A. x5 B ．2x ＞ 1-x 2C ． x+2y ＜1D ． 2x+1 ≤ 3xx变式练习2．（ 2017 春 ?平川区校级期中）以下是一元一次不等式的是（ ）A..x1B ． x 2-2＜1C ． 3x+2D ． 2＜ x-21x3．（ 2016 春 ?永丰县期中）若不等式2x a ＜ 1 是对于 x 的一元一次不等式，则a 切合（ ）A ． a ≠1B ． a=0C ． a=1D ． a=24.若（ m+1 ）x |m| +2＞0 是对于 x 的一元一次不等式，则m=（ ）A ． ±1B ．1C ．-1D ． 05.以下不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．①x＞ -3； ② xy ≥1； ③x 2 ＜ 3； ④xx 1； ⑤ x1 1 ；23 xA ． 1B ．2C ． 3D ． 4重点三、不等式的基天性质 不等式的基天性质 1：不等式两边加 (或减 )同一个数 (或整式 )，不等号的方向不变．用式子表示：假如a ＞b ，那么 a ±c＞ b ±c.不等式的基天性质2：不等式两边都乘 (或除以 )同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：假如a ＞b ，c ＞0，那么 ac ＞ bc(或 a b)．cc不等式的基天性质3：不等式两边乘 (或除以 )同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：假如a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜ bc(或ab)．c c例 1.判断以下各题的结论能否正确（对的打 “√”，错的打 “×”）．（ 1）若 b ﹣ 3a ＜0，则 b ＜ 3a ；（ 2）假如﹣ 5x ＞ 20，那么 x ＞﹣ 4；（ 3）若 a ＞ b ，则 ac 2＞ bc 2；（ 4）若 ac 2＞ bc 2，则 a ＞ b ；（ 5）若 a ＞ b ，则 a （c 2+1）＞ b （ c 2+1）． （6）若 a ＞ b ＞ 0，则 ＜ ．．【答案与分析】解：（ 1）若由 b ﹣ 3a ＜0，移项即可获得b ＜ 3a ，故正确；（2）假如﹣ 5x＞ 20，两边同除以﹣ 5 不等号方向改变，故错误；（3）若 a＞ b，当 c=0 时则 ac 2＞ bc2错误，故错误；（4）由 ac 2＞ bc2得 c2＞ 0，故正确；（5）若 a＞ b，依据 c 2+1，则 a（ c2+1）＞ b（ c2+1）正确．（6）若 a＞ b＞ 0，如 a=2， b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】此题考察了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例 4.（ 2017?青浦区一模）已知a＞ b，以下关系式中必定正确的选项是（）A． a2＜ b2B． 2a＜ 2b C． a+2＜b+2D．﹣ a＜﹣ b【思路点拨】依据不等式的性质剖析判断．【答案】 D.【分析】解： A， a2＜ b2，错误，比如：2＞﹣ 1，则 22＞（﹣ 1）2；B、若 a＞ b，则 2a＞ 2b，故本选项错误；C、若 a＞ b，则 a+2＞ b+2，故本选项错误；D、若 a＞ b，则﹣ a＜﹣ b，故本选项正确 .【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依照．重点要注意不等号的方向．性质1和性质 2 近似于等式的性质但性质 3 中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．贯通融会：【变式】依据不等式的基天性质，将“mx＜ 3”变形为“x＞3”，则 m 的取值范围是．m【答案】 m＜ 0.解：∵将“mx＜ 3”变形为“x＞3”，m∴m 的取值范围是 m＜0．故答案为： m＜0．【稳固练习】一、选择题1.（ 2016 春 ?北京期末）在式子﹣ 3＜ 0， x≥2， x=a， x2﹣ 2x， x≠3， x+1＞ y 中，是不等式的有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个2．以下不等式表示正确的选项是().A．a 不是负数表示为a＞ 0C． x 与 1 的和是非负数可表示为3.式子“① x+y=1 ；② x＞ y；③ x+2yA．2 个B．3 个C．4 个B． x 不大于 5 可表示为x＞ 5x+1＞ 0D． m 与 4 的差是负数可表示为m-4＜ 0；④ x-y ≥ 1 ；⑤ x＜ 0 ”属于不等式的有（）D．5 个4．已知 a ＜ b ，则以下不等式必定建立的是()A ．a+3＞ b+3B ． 2a ＞ 2bC ．-a ＜-bD ． a-b ＜05．若 图 示 的 两 架 天 平 都 保 持 平 衡 ， 则 对 a 、 b 、 c 三 种 物 体 的 重 量 判 断 正 确 的 是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c 6．以下变形中，错误的选项是（） .A ．若 3a+5＞ 2，则 3a ＞ 2-5B ．若2x 1，则 x 2 3 3C ．若1D ．若115x 1，则 x ＞ -5x 1 ，则 x1155二、填空题7．（ 2016 秋 ?太仓市校级期末）假如 a ＜ b ，则 ﹣ 3a﹣ 3b （用 “＞ ”或 “＜ ”填空）．8．用不等式表示 “x 与 a 的平方差不是正数 ”为 ．9．在 -l ，1 ，0， 2，2 中，能使不等式 5x ＞ 3x+3 建立的 x 的值是 ________；________是2 3不等式 -x ＞ 0 的解．10．假定 a ＞ b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1 ；(2)2a______2b ； (3)1a _______1b ；(4)a+l________b+1．2211．已知 a ＞ b ，且 c ≠ 0，用“＞”或“＜”填空．ab(1)2a________a+b(2) c 2 _______c 2(3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|12. k 的 值 大 于 -1 且 不 大 于 3 ， 则 用 不 等 式 表 示 k 的 取 值 范 围 是 _______． （ 使 用形 如 a ≤ x ≤ b 的 类 似 式 子 填 空 ． ）三、解答题13．现有不等式的性质：① 在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；② 在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变． 请解决以下两个问题：（ 1）利用性质 ① 比较 2a 与 a 的大小（ a ≠0）；（ 2）利用性质 ② 比较 2a 与 a 的大小（ a ≠0）．14. ① 当 a=3 ， b=5 时 用 不 等 式 表 示 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 是 _______； ② 当 a=-3 ， b=5 时 用 不 等 式 表 示 a 2+b 2 与 2ab 的 大 小 是 __________； ③当 a=1 ， b=1 时 用 不 等 式 表 示 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 是 ________；④ 根 据 上 述 数 学 实 验 你 猜 想 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 关 系 _______；⑤ 用 a 、 b 的 其 他 值 检 验 你 的 猜 想 ______．15．已知 x ＜y ，比较以下各对数的大小．(1)8x-3 和 8y-3；(2)5x 1 和5y 1 ；(3) x-2 和 y-1．66【答案与分析】 一、选择题 1. 【答案】 C ；【分析】解：﹣ 3＜ 0 是不等式， x ≥2是不等式， x=a 是等式， x 2﹣2x 是代数式， x ≠3是不等式， x+1＞ y 是不等式．不等式共有4 个．应选 C.2. 【答案】 D ；【分析】 a 不是负数应表示为 a ≥ 0，故 A 错误；x 不大于 5 应表示为 x ≤5，故 B 错误；x 与 1 的和是非负数应表示为 x+1≥ 0，故 C 错误； m 与 4 的差是负数应表示为m-4＜ 0，故 D 正确。