高中数学讲义之集合专题

集合

一、学习要求

1、理解集合，子集，并集，交集，补集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义；

2、掌握集合相关的术语和符号，并会运用它们正确表示一些简单的集合；

3、掌握集合的并、交、补运算.

知识网络结构图：

概念绝对值不等式的解法

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集合 集合的应用

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运算一元二次不等式或绝对值不等式的解法

二、知识要点

1. 集合元素的三个属性：

①确定性：每一个对象都能被确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例如，“个子高的同学”；“很小的数”都不能构成集合。集合的确定性主要用于判定一个总体是否能够形成集合。

②互异性：集合中的任意两个元素都是不同的对象。例如，写成｛1,1,2｝等同于｛1,2｝。集合的互异性使得集合中的元素没有重复。当两个相同的对象在同一集合中出现时，它们只能算作是这个集合中的一个元素。

③无序性：集合中的元素可以任意排列，没有严格的次序要求。例如，集合｛a,b,c｝与集合｛c,b,a｝表示同一集合。

2. 常见的几种集合：

①有限集：含有有限个元素的集合；

②无限集：含有无限个元素的集合；

③单点集：仅含有一个元素的集合；

④空集：不含有任何元素的集合。

注：单点集又称单元素集，其元素个数为1；空集又称虚无集，其元素个数为0.单点集和空集都是有限集。

3. 集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

列举法的表述形式有以下三种：

① 集合是有限集且元素个数较少。例如，由0,2,3,5组成的集合可表示为｛0,2,3,5｝ ② 集合是有限集但元素个数较多。例如，由从50到100的所有整数组成的集合可表示为

｛50,51,52,…，98,99,100｝

③ 集合是无限集而元素离散。例如，由所有的正偶数组成的集合可表示为｛2,4,6,8，…｝

（2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法 。 描述法的表述形式有以下两种：

① 数式形式：例如，由不等式32x ->的所有解组成的集合可表示为{}32x x ->；由直

线1y x =+上所有点的坐标组成的集合可表示为(){},1x y y x =+。

② 语言形式：例如，由所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；由所有小于6

的正整数组成的集合可表示为｛小于6的正整数｝。

4. 元素与集合之间的关系：

元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。

设A 是一个集合，a 是一个元素,若a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈;若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作a A ?。

注：对于任意给定的集合A 及任意给定的元素a 来说，a 是否是A 的元素必定是完全确定的。也就是说，a A ∈与a A ?这两者之中必定有且只有一个是成立的。

5. 集合与集合之间的关系：

集合与集合之间的关系有“包含”，“不包含”及“相等”三种。

（1）子集的定义：

设A,B 是两个集合，若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 包含于集合B ，或称集合B 包含集合A ，记作A B ?(B A ?)，此时我们也称集合A 是集合B 的子集。也就是说，对于任意两个集合A,B ，若A B ?，则称集合A 是集合B 的子集。若集合A 不包含于集合B ，则记作A B ?，此时集合A 显然不会是集合B 的子集。

（2）集合相等的定义：

设A,B 是两个集合，若B A ?，同时A B ?，则称集合A 与集合B 相等，记作A = B 。 注：这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。

（3）真子集的定义：

设A,B 是两个集合，若A B ?且A B ≠，则称集合A 是集合B 的真子集。

规定：空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6. 集合的基本运算：

集合有三种基本运算：并、交，补。

（1）并集的定义：

设A,B 是两个集合，我们把A 中一切元素与B 中一切元素所组成的集合称为A 与B 的并集或并，记作A B ?，即{}A B x x A x B ?=∈∈或

（2）交集的定义：

设A,B 是两个集合，我们把A 与B 中公共的元素所组成的集合称为A 与B 的交集或交，记作A B ?，即{}A B x x A x B ?=∈∈且

（3）补集的定义：

设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A S ?），则称所有属于S 但不属于A 的元素组成的集合为S 中集合A 的补集（或余集），记作S C A ，即{}s C A x x S x A =∈?但

关于集合的并、交、补这三种运算，我们有以下基本规律：

定理：设A ，B 是两个集合，则以下三个条件等价：

①A B ?;

②A B B ?=;

③A B A ?=.

注：定理1即是说：对于任意两个集合A ，B ，

A B ??A B B ?=； A B ??A B A ?=; A B B ?=?A B A ?=.

7. 全集的定义：

若集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则我们可把这个集合看作一个全集，记作U.

8. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，即A A ?；

②空集?是任何集合的子集，即A ??；

③空集?是任何非空集合的真子集；

④空集的补集是全集；

⑤若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ?；

⑥若A B ?，B C ?，则A C ?.

9. 集合元素的个数：

设集合A 含有n 个元素，则

①A 的子集有2n 个.

②A 的真子集有2n －1个.

③A 的非空真子集有2n －2个.

10. De Morgan （德摩根）公式：

①())()U U U C A

B C A C B =( ②())()U U U C A B C A C B =(

③U C U ?=

④U C U =?

三、例题精讲

例1、下列各组对象中不能形成集合的是（）

A. 正三角形的全体

B. 大于2的所有整数

C ．所有的无理数 D. 高一数学书中的所有难题

例2、用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.

（1）方程210x x -+=的实数解组成的集合

（2）方程2313x y +=与320x y -=的公共解组成的集合

（3）2与3的正公倍数组成的集合

（4）平面上到两定点A,B 的距离相等的点的集合

例3、设{M x x =≤，a =。则下列关系正确的是（）

A. a M ?

B. {}a M ∈

C. a M ?

D. a M ∈

例4、写出集合61S x Z

N x *?

?=∈∈??-??的所有子集.

例5、已知{}2320A x R x x =∈-+=，{}22

(9)(32)0B x R x x x =∈--+=。 求满足条件A P B ??的集合P .

四、课堂练习

1、设A=｛三角形｝，B=｛等腰三角形｝，C=｛等边三角形｝，D=｛直角三角形｝.则下列关系正确的是（ ）

A ．A D D ?= B. C

B B ?= C.

C B C ?= D. B

D B ?=

2、设A=｛1,3,x ｝，B=｛2

x ，1｝，且{}1,3,A B x ?=. 则这样不同的x 有（ ）个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3、设M=｛1,-3,0｝，N=｛21t t -+｝，若M N M ?=，则t =_______.

4、设{}2A x x =>-，{}3B x x =≥. 则A B ?=_______.

5、设{}A x x =是平行四边形，{}B x x =是矩形.则A B ?=_______，A B ?=_______.

6、设{}1,2,3A =，{}210,B x R x a x a R =∈-+=∈，则当A B B =时，a 的值是

（ ） A. 2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或2

7、若集合{}210,A x x a x a R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B B =，则实数a 的取值范围是_______.

课后作业

1、集合{},,,,S a b c d e =中包含{},a b 的S 的子集共有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 5个

D. 8个

2、设全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}14M =，，{}135N =，，，则()U N C M =（ ）

A. {}13，

B. {}15，

C. {}35，

D. {}45，

3、设=U R ，集合2212x A x x ?

+?=≤??-??，{}2450B x x x =+->，则()R C A B =（ ）

A. [5,4)--

B. (5,4)--

C. (5,4]--

D. [5,4]

[1,2)-- 4、已知=U R ，集合{}223A y y x x ==++，{}2lo g (3)B x y x ==+，则)

U C A B =(（ ）

A. (2,3)-

B. (2,)+∞

C. [3,2)-

D. (3,2)-

5、设集合11()12x M x -?

?=>????，{}12N x x =

-≤，则N M =（ ）

A. (1,)+∞

B. (1,3]

C. [1,1]-

D. [1,3)-

6、设{}2,1,3A a a =+-，{}2

3,21,1B a a a =--+，若{}3A B =-，则a =_______. 7、设集合{}22(,),1A x y x y x y =+=为实数，且，{}(,),B x y x y y x ==为实数，且，

则A B 的元素的个数为（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

8、设集合{}290A x x =-<，{}2B x x N =∈，则A B 的元素的个数为（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6