Chapter-3 分治策略

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Algorithm: MERGE(A, p, q, r) 输入：数组A[p...q]和A[q+1...r], 各自按升序排列 输出：将A[p...q]和A[q+1...r]合并成一个升序排序的新数组 1. i←p; j←q+1; k←p; 2. while i≤q and j≤r 3. if A[i] ≤A[j] then 4. B[k]←A[i] 5. i ←i+1 6. else 7. B[k]←A[j] 8. j←j+1 9. end if 10. k←k+1 11.end while 12. if i=q+1 then B[k...r] ←A[j...r] 13. else B[k...r] ←A[i...q] 14. end if 15. A ← B
// 设 2k=n
=2k-1C(2)+{2k-2} =2k-1+2k-2 =3n/2-2 （比简单直观的比较方法耗时少）
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关于n的讨论
• 当n≠2k时，则n可表为若干2的正整数幂之和 (e.g. 42=32+8+2), 若n是偶数，则算法的时间复杂度仍为 3n/2-2。 • e.g. 对n=42，将元素分为32个一组、8个一组和2个 一组共3组后， 各组找出最大、最小元素分别需要46、 10和1次比较， • 3个最大元素用2次比较即可得整体最大元素，同理 • 3个最小元素用2次比较即可得整体最小元素， • 故有46+10+1+2+2=61, • 而3n/2-2=3*42/2-2也等于61，故的确是3n/2-2。
1. 将其分分成左右两个子数组:
2. 对子数组进行排序(可采用任何排序方法) 。 3. 对排序后的子数组进行合并 :两个已排序的子数组用A[p…q]和A[q+1…r]表示. 设两个指针s和t，初始时各自指向A[p]和A[q+1],再设一空数组B[p…q, q+1…r] 做暂存器，比较元素A[s]和A[t], 将较小者添加到B , 然后移动指针, 若A[s]较小，则s+1，否则t+1, 直到s=q+1 或 t=r+1 为止 将剩余元素A[t…r] 或 A[s…q] 拷贝到数组B, 然后令A←B.
加 1, 即 n=2m1+2m2+ … +2mk+1 且 m1>m2> … >mk≥1, 由 于 2 +2 + … +2 =n-1, 故 i 1 (3ni / 2 2) =3(n-1)/2-2k，
m1 m2 mk
k
注意此时共有 k+1 组最大、最小元，取得整体解还需比较 2(k+1)-2 即 2k 次 (单独的一个元素既是该组最大元，也是该组最小元)，故 全部的比较次数为 3(n-1)/2-2k + 2k=3(n-1)/2 即 3n/2-3/2，亦可看成 为 3n/2-2。
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当 n≠2k 但为偶数时，则可将 n 分解为若干 2 的正整数幂之和：
n=2m1+2m2+ … +2mk 且 m1>m2> … >mk≥1, 对规模为 ni=2mi 的每组元素，找出最大、最小元素需要 3ni/2-2 次比较, 故 获 得 k 组 各 自 的 最 大 、 最 小 元 的 时 间 复 杂 度 为
4 6 3 1 8 7 2 5
2 6 3 1 8 7 Φ5
2 Φ3 1 8 7 6 5 2 1 3 Φ8 7 6 5
2 1 3 4 8 7 6 5
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Algorithm: QUICKSORT(A[low…high]) 输入: n个元素的数组A[low…high] 输出：按非降序排列的数组A[low…high] 1. if low<high then 2. w ← SPLIT(A[low…high]) {w为基准元素A[low]的新位置} 3. quicksort(A, low, w-1) 4. quicksort(A, w+1, high) 5. end if
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将 A[1...8]={4, 6, 3, 1, 8, 7, 2, 5} 按照非降序方式 进行排序
• SPLIT:以待排序数组的首元素作为基准元素，将待排序数组 分成左右两个子数组。使得左边子数组中的元素都小于等于 基准元素；右边子数组中的元素都大于等于基准元素。 • 对左、右子数组进行相同的操作。
n 1
(a)-(b),并适当变换
C ( n) n1

C ( n1) n

2( n1) n( n1)
令D(n) C (n1) n
2( D(n) D(n 1) n( n1) , D(1) 0 n1)
D(n) 2 j 1 j (jj11) 2 j 1 ( j2 1) 2 j 1 1j
, n n0 c T ( n) aT (n / b) s(n) , n n0
• 回顾Master Theorem
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Master Theorem
设a≥1, b >1为常数, f(n)为一给定的函数, T(n)递归定义如下： T(n) =a· T(n/b) + f(n) 并且 T(n)有适当的初始值。那么，当 n 充分大时，有：

k i 1
(3ni / 2 2) =3n/2-2k，
然后 k 个最大元、k 个最小元分别各用 k-1 次比较就可求出整体的最 大元和最小元， 故全部的比较次数仍为(3n/2-2k) + (2k-2) = 3n/2-2。
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当 n≠2k 但为奇数时，则可将 n 分解为若干 2 的正整数幂之和
O(1) T (n) T (n 1) (n)
if n 1 if n 1
T (n) (n2 )
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平均情形： 我们用 C ( n) 表示对一个n个元素的数组进行快速排序所需要的总的比较次数。 1 2 … w … n
w-1 因此，我们有：
n-w
1 n w1 C (w 1) C (n w) n n n w1 C (n w) C (n 1) C (n 2) C (0) w1 C ( w 1) C (n) (n 1)
正规性条件的直观含义: 对所有足够大的n，a个子问题的分解准备与再组合所需要的时间总和，严格 小于原问题的分解准备和组合所需要的时间。
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快速排序
快速排序是一个非常流行而且高效的算法， 其平均时间复杂度为 Θ (nlogn). 其优于合并排序之处在于它在原位上排序，不需要额 外的辅助存贮空间(合并排序需Θ (n)的辅助空间)。Charles A. R. Hoare 1960 年发布了使他闻名于世的快速排序算法(Quicksort)， 这个算法也是当前世界上使用最广泛的算法之一， 当时他供职于 伦敦一家不大的计算机生产厂家。1980 年，Hoare 被授予 Turing 奖，以表彰其在程序语言定义与设计领域的根本性的贡献。在 2000 年， Hoare 因其在计算机科学和教育方面的杰出贡献被英国 皇家封为爵士。
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使用分治策略的算法的时间复杂度分析
• 从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的算 法通常可以是递归算法。因而，算法的效率通常可以 用递归方程来分析。 • 假设算法将规模为n的问题分解为a(a>=1)个规模为 n/b(b>1)的子问题解决。分解子问题以及合并子问题 的解耗费的时间为s(n)，则算法的时间复杂度可以递 归表示为：
2 n C (n) (n 1) w1 C ( w 1) n
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n C (n) n(n 1) 2 w1 C ( w 1) (a)
n
n-1替换n
(n 1)C (n 1) (n 1)(n 2) 2 w1 C ( w 1) (b)
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算法MINMAX
输入：n 个元素的数组 A[1…n], n 为 2 的整数 k 次幂 输入：A[1…n]的最大最小元素 MINMAX(low, high) 1. if high-low=1 2. return (min(A[low],A[high]), max(A[low],A[high])) 3. else 4. mid = (low+high)/2 5. (x1,y1) ← minmax(low, mid) {Devide} 6. (x2,y2) ← minmax(mid+1, high) {Devide} 7. x ← min(x1,x2) {Combine} 8. y ← max(y1,y2) {Combine} 9. return (x, y) 10. end if
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分治策略的思想
• 把规模较大的问题分解为若干个规模较小的子问题， 这些子问题相互独立且与原问题同类； (该子问题的 规模减小到一定的程度就可以容易地解决) • 依次求出这些子问题的解，然后把这些子问题的解组 合起来得到原问题的解。 • 由于子问题与原问题是同类的,故分治法可以很自然地 应用递归。
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使用分治策略的算法设计模式
divide_and_conquer(P) { if(|P|<=n0) direct_process(P); else { divide P into smaller subinstances P1,P2,…,Pa for(int i=1;i<=a;i++) yi=divide_and_conquer(Pi); merge(y1,y2,…,ya); } }
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复杂度分析
元素比较次数
if n 2 1 C (n) 2C (n / 2) 2 if n 2