新定义数列

专题二 压轴解答题

第六关 以新定义数列为背景的解答题

【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些

条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.

类型一 以数列和项与通项关系定义新数列

典例1 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．

（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”， 22a =，设3

1223222

2

n

n n a a a a T =

++++

，证明： 3n T <． 【答案】（1）1

2,*n n a n N -=∈．（2）见解析；（3）见解析．

（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得： 11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得： 132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立

所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者

矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=- 所以132n n S a ++=-

故有， 132n n n a a a +++=-，又n =1时， 132a a =-，故33a =，满足： 321a a a =+ 所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8,

故31223234512358

2222222222

n n n n n

a a a a a T =++++=++++++ 所以， 12345111235

2222222

n n n n n a a T -+=+++++

两式相减得： 122341234

1

111121112

2222222222222n n n n n

n n n n n a a a a a T --++-=+++++-=++++

+

-

=

2131442n n n a T -++-，显然21,02n n n n a T T -+，故131

244

n

n T T <+，即3n T <． 【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3）耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合.

【举一反三】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，

2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.

（1）已知22,,{

2,,

n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；

（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析

【解析】

22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.

所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，

则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，

所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当12

21

b b n d d ->

-时，①不成立；

若210d d ->，则当121

21

b b d n d d -+>

-时，②不成立；

若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.

同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()

313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--

3131p p b b d d λ-+=-+=-.

同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.

【另解】3133p p b b λ--=- ()()()

2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，

3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+，

3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，

以上三式相加可得： 32d λ=，所以2

3

d λ=

，