数形结合在中学数学中的应用
数形结合在中学数学中的应用
作者：杨军奇
来源：《湖南教育·下》2013年第01期
深化对基础知识的记忆和理解。
中学数学知识都是基础知识，只有牢固地掌握这些基础知识，才能在解题中做到灵活应用。
我们常常发现有的学生对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路和方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。
只有对数学知识记忆牢固、理解深刻，才能做到温故而知新，应用时才能得心应手，提高数学能力。
教学中运用数形结合，使抽象的数学知识形象化，可以帮助学生更好地理解和记忆知识。
比如，集合中的文氏图清晰、准确、生动，可以帮助学生牢固地掌握A∩B、A∪B等概念；复数的几何意义，复数运算的几何解释，将较抽象的概念具体地在复平面上加以表达，能起到深入浅出的作用。
对于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等这些中学中的常见函数，如果老师能引导学生在学习函数性质时牢固地掌握它们的图像，那么，当学生的脑子里勾勒出这些简单曲线时，看似枯燥、繁琐的函数性质便会生动地展现在学生面前，不再需要死记硬背条文。
仔细挖掘抽象概念的直观部分，不断渗透数形结合思想，既能帮助学生深刻掌握基础知识，又能提高自觉运用数形结合进行解题的能力。
增强解题的求简意识。
有些数学问题，如方程、不等式的解的讨论，仅局限于从数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，有时甚至颇为困难。
而根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征又揭示几何意义，使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合，往往能获得简捷的解题思路。
例，如果实数x，y满足方程（x-2）2+y2=2，求■的最大值。
解：不妨设点A（x，y）在圆（x-2）2+y2=2上，圆心为C（2，0），半径等于■（如图1），则■是点A与原点连线的斜率。
当OA与⊙C相切，且切点A落在第一象限时，斜率有最大值，即■有最大值。
因为CA=■，OC=2，所以OA=■=■，所以（■）max
=tan∠AOC=1。
唤起学生对数学美的追求。
数学客观存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美。
例如：（1）在数与形的关系中，特别引人注目的是著名的“黄金分割率”，被世人称之为和谐性的最完美的表现。
“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。
在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”——审美的观念看世界。
在绘画和建筑艺术中，如达·芬奇的《最后的晚餐》、埃菲尔铁塔等都用到了“黄金分割率”，所以，它们才有经久不衰的魅力。
（2）方程ρ=a（1－cosθ）的图形是心形线（如图2）；方程ρ=2asin3θ的图形是三叶玫瑰线（如图3）。
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教师在数学教学活动中，要充分运用这些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探究的欲望，从而消除对学习数学的畏难和惧怕心理，产生对数学学习的兴趣。
将美感渗透到数学教学过程中，引导学生进行审美活动，能启迪和推动学生的数学思维活动，触发智慧的美感，使学生的聪明才智得以充分发挥，而数形结合利用图形的直观性就能起到这方面的作用。
（作者单位：长沙县第七中学）。
数形结合思想在中学数学中的解题应用
数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。
解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。
解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
中学数学中的数形结合思想的应用
中学数学中的数形结合思想的应用摘要：我将从以下几个典型例题来探讨数形结合思想在中学数学中的应用(函数思想)从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词：中学数学；数形结合；应用；思想方法1 数形结合思想在中学数学中的应用1.1 数形结合思想在集合中的应用1.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。
用表示集合的元素，则有：即：参加竞赛总人数为人。
1.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合，⑴若，求的范围。
⑵若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。
当时，，显然成立．故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。
在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
1.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合思想起源于古希腊，欧几里得的《几何原本》中对此有所提及；十七世纪，笛卡尔建立平面直角坐标系并发表了《几何学》；再后来，费马用代数方法研究几何学，著成《平面与立体轨迹引论》，从此数形结合思想被重视.我国在公元前十五世纪的甲骨文中对数形结合思想也有所记载；大约在公元前二世纪左右，我国已经记载了勾股定理；祖冲之所得？仔的结果比欧洲早一千年.数形结合思想的应用非常广泛，仍有很大的研究空间.数形结合思想用画图的方法来解决代数问题，用数字、公式来解决几何问题，使代数的繁琐问题变换成图形，更加直观明了，使复杂的图形变换成数字，更加具体化，结果也更加准确.目前国外的课本注重数形结合思想，强调用心理解然后应用，使学生将此思想变成一种习惯与意识，并能够直接运用.而在我国，数形结合思想在课本中体现得很少，基本由教师结合具体题型进行具体分析、传授，只是作为一种有利的解题工具出现.然而，在新课改的背景下，我国的数学教学越来越注重培养学生的数形结合能力，也有越来越多的人开始研究数形结合思想.著名的数学家华罗庚曾经说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数无形时少直觉，形无数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。
”罗新兵在文章《数形结合的解题研究――表征的视角》中对该思想大加
赞扬，同时也提出高中生存在的普遍现状：往往“以形助数”，在几何问题中通过直角坐标系向量使问题代数化，却往往忽略几何图形本身的定义和性质，这是应该注意的.。
将数形结合应用到中学数学教学 提高学生综合能力
将数形结合应用到中学数学教学提高学生的综合能力摘要：数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
将数与形结合起来解决问题就形成了数形结合。
数形结合是一种数学思想方法，它可以将复杂难懂的数学问题变得简单易懂。
在数学教学中，尤其是中学数学教学中，数形结合是一种非常普遍且有效的数学教学方法，这样的教学方法可以提高学生分析解决数学问题的能力，从而提高学生的综合能力。
关键词：数与形；数形结合；中学数学一、数形结合思想的重要性中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
数形结合作为一种数学思想方法，它的应用大致可以分为两种情形：一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性；另一种是借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系。
也就是说，数形结合包括两个方面：第一个方面是“以数解形”，另一个方面是“以形助数”。
“以数解形”就是当有些图形过于简单、对图形进行直接的观察无法看出什么规律来时，这时就需要借助于数来为图形赋值，如边长、角度等。
我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数与形是事物的两个方面的属性。
数形结合，主要是指对数与形进行一一对应，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置结合起来，通过抽象思维与具体思维的结合，将复杂难懂的数学问题变得简单易懂，从而优化解题途径。
数形结合思想是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想可以解决以下问题：集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、数列问题、平面几何问题、立体几何问题等。
二、数形结合思想在中学数学教学中的作用1.数形结合思想可以激发学生学习数学的兴趣大多数的学生不喜欢学习数学的最主要的原因就是数学课程很单调而且有些数学问题非常复杂。
教师要想使学生喜欢学习数学、乐于解决数学问题，就必须要克服学生的这两点困难，而数形结合思想就是解决学生这两点抵触心理的最有效的方法。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：作为数学核心文解力的重要部分，直观的想象力的培养成为中学数学的主要教育目标。
直观的想象力是以思维能力为核心的思考问题的一种形态，在实际教学过程中结合数字和形状的思考可以用在建立数量关系、加深学生的理解、提高解决问题的效率性上。
将教学实习与学生生活联系起来，将技能内容整合起来，从洞悉解决问题的想法的角度出发，详细说明培养学生直观的想象力的战略。
关键词：数形结合；初中数学；教学方法探究数形结合是目前数学教育最有效的方法之一。
初中学生是在发展学习能力的时期，老师应该有意识地培养学生的学习能力，并为课堂教学采用数字和形状相结合的方法。
在数学教育中运用数字和形状的组合，可以使对数学概念的理解变得简单化，可以在学生面前提出数学公式的本质，使学生更容易理解和背诵，减轻学生的学习负担。
数学学习的困难。
在这一点上，教师主要在中学数学教育中运用数字和形状的组合进行分析。
本文针对如何在初中数学教学中运用数形结合思想，提出以下几个观点：一、以学生为中心，提高学生学习主动性在学生的课堂听课过程中，我们教师一定要以学生为中心设计课堂，要让学生在课堂的学习生活中感受到自己收到了关注，让学生在课堂上充分的感受到自己是课堂学习的主体，从而激发学生的学习兴趣，使学生在课堂上能够充分的发挥自己的学习积极性和学习主动性。
数形结合方式的教学在以学生为教学主体的课堂上能够更容易的开展，把学生当作课堂教学的主体能够很好地使学生在课堂上完成学习任务。
此教学方式能够很好地帮助学生解决问题，从而减少自己做题时对教师的依赖。
例如，在带领学生学习《圆的认识》这一章节的内容时，第一次授课所取得的效果并不是特别的明显，于是在课后我对自己的授课方式和课堂讲课内容进行了思考，在思考过后，我意识到，我不能够站在自己的角度去认为自己的讲课非常好，要站在学生的角度去看待问题，只有课堂能让学生满意，这才是最有效最高效的课堂。
针对这一观点，我对课堂的授课进行了改变，采取画图教学来给学生讲解圆的面积、周长，公式的死记硬背不能够使学生理解，而画图能够很好地帮助学生理解面积公式。
数形结合在中学数学教学中应用
浅议数形结合在中学数学教学中的应用【摘要】数形结合思想作为一种重要的数学思想在中学数学中有着广泛的应用，恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，轻松地找到解决问题的金钥匙。
【关键词】数形结合；中学数学；应用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学(恩格斯语)。
数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深入。
一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。
“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，还大大开拓了我们解题的思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。
而课堂中多媒体的应用更加有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。
一、“数”“形”结合是推动数学发展的动力（1）“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。
解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。
例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率，关于距离，关于线段定比分点等等。
“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。
（2）对“形”的相互关系的比较，度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。
典型例子是无理数的发现:正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段a ，用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。
数形结合思想在高中数学中的应用
数形结合思想在高中数学中的应用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。
数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。
数形结合思想是贯穿高中数学的主线,是贯穿高中课程的主要脉络,纵观历年高考试题,用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是,本文从以下七个方面介绍运用数形结合思想解决高中数学问题。
1 函数中的数形结合思想如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。
新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。
数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。
例1使log2(-x)0-x0或x.>0f(x)<0再结合单调性也可解决问题。
显然麻烦得多。
2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.分析注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合交集合有两个不同的公共元素,求的取值范围.分析:由于集合不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x 轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.3 数形结合思想在对数中的应用例5:已知函数f(x)=1gx,x≥321g(3-x),x<32,若方程无实数根,则实数k的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-∞,1g32)D.(1g32,+∞)解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()A.6B.3C.2D.1解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,∴线段AB的中点C在直线上y=x.∴由y=x,y=3-x解得x=32.∴x1+x2=3,故选B.4 数形结合思想解决复数模长最值问题例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线:x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.5 数形结合思想解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业*名：***同组人员：王帅帅指导教师：***数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。