数学归纳法的导学案及答案

数学归纳法的导学案及答案

主备人：周兴顺审核：包科领导：年级组长：使用时间：

课题：第一章§4数学归纳法（共两课时本节为第一课时）

【学习目标】

1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法。

3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【重点、难点】

重点：数学归纳法。

难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【学法指导】

1根据学习目标，自学课本p16-p18内容，限时独立完成导学案；

2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

【情境引入】不思不讲

1.阅读章头插图---多米诺骨牌，思考“所有的骨牌都倒下”的条件：（1）第一块骨牌

必须被推倒（2）若某一块骨牌倒下了，紧挨着的下一块骨牌，也要被倒下的这块骨牌被推倒，只要满足上述两个条件，所有骨牌就都倒下了。若少了第一个条件，即使满足了第二个条件，就是摆好的骨牌，不会有一块倒下，即使你推倒中间某一开，引起了后边的骨牌倒下，由于第一块骨牌没有倒下，也不能称为所有骨牌都倒下；如果少了第二个条件，即出现某块骨牌倒下了，但紧挨着的下一块骨牌没有被推倒，后边的骨牌也都不会倒下，也就不是“所有的骨牌都倒下”。满足了这两个条件的所有骨牌都倒下，与骨牌数量有关吗？没有关系，骨牌的数量可以是无穷多。

2.能用“多米诺骨牌效应”解释等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d吗？

解：设等差数列｛a n｝的首项是a1，公差是d,(1)由于第一项是a1=a1 +（1-1）d,所以公式对第一项成立。（2）如果公式对第k项成立，那么根据等差数列的定义，第k+1项是a k+1 =a k+d=a1+(k-1)d+d=a1+〔（k+1）-1〕d,即公式对第k+1项也成立。从而公式对所有的项都成立。即这个等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d。

【自主探究】不看不讲

1、数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法。

2、数学归纳法的基本步骤是：

（1）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。

（2）（归纳递推）在假设当n=k(k≧1)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立。

根据（1）（2）可断定命题对一切正整数n都成立。

【合作探究】不议不讲

1、(p19习题3)用数学归纳法证明：12+22+ (2)

(1)(21)

6

n n n

++

(n是正整数)(仿课本例1)

点拨：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形。？

证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1236

??=1, 左边=右边.等式成立. （2）假设当n=k 时等式成立,即12+22+…k 2=

(1)(21)6

k k k ++.则当n=k+1时，由假设12+22+…+ k 2 +( k+1)2=(1)(21)6k k k +++( k+1)2=32291366k k k +++=3222361366k k k k ++++=2(32)(23)6

k k k +++=(1)(2)(23)6k k k +++=[][]

(1)(1)12(1)16

k k k +++++.即当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)知对于n ∈N +等式成立.

反思：在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1 时命题也成立，分析n=k+1 命题是什么，并找出与n=k 时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。

2、已知数列1111,,,,2558811(31)(32)

n n ???-+ 猜想Sn 的表达式,并证明. (仿课本例2) 点拨:如何进行猜想？（试值S 1,S 2,S 3,S 4→猜想Sn ）→用数学归纳法证明。

解：（略）

拓展：讨论如何直接求此题的Sn.（裂项相消法）→探索性问题的解决过程(试值→猜想→归纳→证明).

反思：“归纳——猜想——证明”的方法可以解决许多与自然数有关的探索性问题，如根据递推公式求数列的通项公式。

3、比较2n 与 n 2 的大小 解：n=1时21 12即2n n 2 n=2时22=22即2n =n 2

n=3时23 即2n n=4时24=即22n = n=5时5225 即22n n n=6时6226 即22n n

猜想：当n ≥5时, 22n n

下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，由上已知，猜想正确.（2）假设n=k(5k ≥)时

，猜想正确.即2k ∴当n=k+1时,,即n=k+1时，猜想也正确。

由（1）（2）知n ≥5时, 22n n

反思：“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。起点不一

1n +（n ∈N *

），某学生的如下证明过程

是否正确？

（1）111n =+ 当, 不等式成立。

（2）假设

)(*N k k n ∈=时不等式成立，即,12+<+k k k 时

则当1+=k n ()1)1()2()2()23(23)1(12222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k

时，1+=∴k n 不等式成立。

由上述（1）．（2）得原不等式成立。

点拨：上述的证明方法表面上似乎是“数学归纳法”，其实不是。因为第二步由n=k 推导n=k+1时没有用到归纳假设来证明不等式成立，这就好像接力赛跑一样，没有由前一个k 将接力棒传给k+1；

反思：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k ”作为条件来导出“1+=k n ”时的命题。如果问题中存在可利用的递推关系，那么数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就很困难。

【巩固提高】不练不讲

1、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a

a n --+112

， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ C ）

(A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3

2、用数学归纳法证明不等式“),2(1

2131211*N n n n n ∈≥<-+???+++,的过程中，当由k n =变到1+=k n 时，左边增加了（ C ） (A)1项 (B)k 项 (C)k 2项 (D) 12-k 项 3、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211n

n n n +++++=-++-+- 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ B ）

A ．1+=k n 时等式成立

B ．2+=k n 时等式成立

C ．22+=k n 时等式成立

D ．)2(2+=k n 时等式成立 4、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想当n ≥1时，S n = （ B ）

A ．1212-+n n

B ．12

12--n n C ．n n n 2)1(+ D ．1－121-n 5、已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

解： (1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815 猜测 a n ＝2－n

21 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立；

②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－k 21, 当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,

且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k

∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,

∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12

1+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 由上述①、②得命题成立。

【方法小结】：这节课收获的1、知识是数学归纳法。它是一种通过“有限”的步骤，证明

与自然数 有关的“无限”数学命题成立的方法，可以证明下列问题：与自

然数 n 有关的恒等式、不等式、数列通项公式、几何计数问题、整除性问

题等等。

2、方法是用数学归纳法证明命题。能否将其证明的过程概括为“两个步骤、一个结论”？归纳基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

【课外作业】课本p19,第1,2题