波函数,薛方程,势阱

狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为 一名研究生便提出了非对易代数理论，而 成为量子力学的创立者之一。第二年提出 全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年 提出了电子的相对论性运动方程，奠定了 相对论性量子力学的基础，并由此预言了 正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物 质的存在，使人们对物质世界的认识更加 深入。他还有许多创见（如磁单极子等） 都是当代物理学中的基本问题。由于他对 量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获 得1933年诺贝尔物理学奖金。
如果考虑随时间的演化，应求解含时的薛定谔方程
3.薛定谔方程
由于阱外发现粒子 的概率为零，所以阱外 波函数必为零。
边界条件：
(0) (a ) 0
由标准条件，波函 数在阱内外不能突变。
( x) 0
0 a
( x) 0
x
这样就把粒子限制在0→a 范围内了
4. 解方程、定常数 在 0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
n ( x)
16E1
n 2 E1
2 nπ n ( x) sin x a a
n 1 2， ，
9E1
0 xa
4E1 E1 0
a
5.阱中波函数及相关结果的分析 ①比较经典的驻波方程 一维无限深势阱中定态薛定谔方程的通解为：
( x) Ae ikx Be ikx
或 ( x) C cos kx D sin kx
有 因此 有 由于 所以
(0) A cos 0
( x ) A sin kx
(a ) A sin ka 0
2mE nπ k 2 a
2
(2n 1)

2
由边界条件，波函数在 x = a 处连续
2
nπ k a
2 2 En n2 2 2ma
n 1,2
n≠ 0！
能量是量子化的!
n = 0，相当于E = 0，这意 味着阱中处处找不到粒子。
nπ n ( x ) An sin x 量子数为 n 的定态波函数为 a a 2 2 2 nπ 由归一化条件 | n ( x ) | dx An sin ( x dx 1 ） - 0 a
2 Et px i h
0e
E p i t x
h 2
分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数
i E t
i p x
p 2 x 2
2 2
考虑到
E=p2/2m
2 2
把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用


dV 1
对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一 化条件要求波函数平方可积。 归一化因子：若某波函数ΨA未归一化

归一化因子

A dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A
* A



1 A
2
A dV 1
二、薛定谔方程
1、问题的引入
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写， 状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德 布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为 量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 建立薛定谔方程的主要依据和思路： •要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式
E/h
h/ p
波函数可以写成
x , t 0e
i 2 t x /
x , t 0e
E P i 2 t x h h
3、波函数的统计解释
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率， 与波函数模的平方成正比。
可得
An a / 2
结果： 一维无限深势阱中粒子的波函数
0 n ( x) 2 nπ a sin a x ( x 0, x a ) n 1， (0 x a ) 2，
为了深刻理解量子力学基本原理，要对上述结果作一个全 面讨论。同时也验证一下，在极限情况下它能否回到经典理论 的结果。（因为这个模型太抽象，不可能用实验直接验证）
xa
U
第三次简化： 将平均势能作为零势能 将表面势能视为无限大
势能零点的选取有任意性。
x0
xa
2.势能函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
d 2 ( x ) 2m 2 (U E ) ( x ) 2 dx
V(x)
E / h, h / p
•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子
波函数应遵从 p2 E V (r ) 线性方程 2m •若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是 某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
2、自由粒子的薛定谔方程
x , t 0e
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h

h ＝ P
xp x h
18-7 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于 1926年在《量子化就是本征值问题》的论 文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学和量子力学的近似方法。 奥地利著名的理论 薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的 物理学家，量子力 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的 学的重要奠基人之 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献 一，同时在固体的 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉 比热、统计热力学、 克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人， 原子光谱及镭的放 射性等方面的研究 1944年，他发表一本名为《什么是生命 — —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗 都有很大成就。 传和信息方面来探讨生命的奥秘。
一、波函数
概率密度
1、平面简谐波的波函数
一个频率为 ，波长为 、沿x方向传播的单色平面波的波函数 为 x

y( x , t ) A cos 2 t
复数形式
y( x , t ) Ae
2、自由粒子的波函数
x i 2 t
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
玻尔、波恩、海 森伯、费曼等
还有狄拉克、 德布罗意等
波函数的概 率解释是自 然界的终极 实质
量子力学背后隐藏着还没有 被揭示的更基本的规律，这 个规律对量子力学有新的解 释。上帝不会掷骰子
4、波函数满足的条件
标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。
归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内， 它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即
4、粒子在三维空间中的薛定谔方程
2 2 i 2m E P t
哈密顿算符
2 2 ˆ H EP 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
ˆ i H t
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力 学的一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定 鄂方程时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数； •薛定鄂方程的正确性只有通过实践来检验。
d x 2mE 2 x 0 2 dx 2mE 2 k 2 d 2 x k 2 x 0 dx 2
2
令
比较谐振动方程 特解为
d2x 2x 0 dt 2
( x ) A cos(kx )
由边界条件，波函数在 x = 0 处连续，
dW x , y , z , t dV
2
概率密度
dW / dV
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函 数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积 内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩 在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释， 他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
f i Ef t
f (t ) ~ e
iEt /
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 E ( r ) EE ( r ) 2m E P
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下， 可以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
三、薛定谔方程的应用
到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基 本原理：
①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写； 波函数的意义用概率解释，
波函数满足：归一化条件， 标准条件。 ②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
一、一维无限深势阱中的粒子 1.物理背景 金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质 子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒 子的运动被限制在一定的空间范围内。 或者说，粒子处于束缚态。 为了便于分析，可以对束缚态的粒子提出一种 比较简化的理想模型。 例如，电子在金属晶格中的运动。