联赛冲击波之代数恒等变形热身篇
三角恒等式(1)
=一些三角恒等式整理2014 年 8 月 22 日(1)(2)(3)(4)(5)tan 210◦ + tan 250◦ + tan 270◦ = 9tan 410◦ + tan 450◦ + tan 470◦ = 59tan 610◦ + tan 650◦ + tan 670◦ = 433tan 810◦ + tan 850◦ + tan 870◦ = 3251cos 3π− cos 3 2π + cos 3 3π − cos 3 4π + cos 3 5π = 1(6)11 11 11 11 11 2 cscπ− csc 2π + csc 3π= 0 7 7 7(7)cos π − c os 2π + c os 3π = 17 7 7 2(8)cos 2π+ cos 2 2π + cos 2 3π = 5(9)7 7 7 4π 2π 3π 1(10)cos 7 cos 7 cos 7 =8(11)π sin 7sinπ2π sin 3π ¸77 7 8 2π3π ¸tan 7 tan 7 tan 7= 71= =3sin220◦ + cos250◦ + sin220◦cos250◦ =(13)3cos220◦ + sin250◦− cos220◦sin250◦ = (14)(15)(16)sin 20◦s in 40◦s in 60◦s in 80◦316 cos 20◦c os 40◦c os 60◦c os 80◦116 sin2π+ s in22π+ s in23π=77 7 7 4(17)sin4π+ s in42π+ s in43π=21 7 7 7 16(18)sin6π+ s in62π+ s in63π=35 7 7 7 32(19)sin8π+ sin82π+ sin83π=245(20)7 7 7 256cos4π+ c os42π+ c os43π=13 7 7 7 16(21)cos6π+ c os62π+ c os63π=19 7 7 7 32(22)cos8π+ cos82π+ cos83π=117(23)7 7 7 256[sin2kπ+ sin2k2π+ sin2k3π]−[cos2kπ+ cos2k2π+ cos2k3π]=1(k ∈ N )(24)7 7 77 7 7 2tan2π+ tan22π+ tan23π= 21 7 7 7(25)tan4π+ tan42π+ tan43π= 371 7 7 7444 4∑ sin 2 i π =11∑ sin 4 i π =33 ∑ sin 6 i π =55 ∑ sin 8 i π =385 sin 12k =0n n −2k 5 i =12tan 6 π + tan 6 2π + tan 6 3π = 70777 7 7(27)tan 8 π + tan 8 2π + tan 8 3π= 1357797 7 7(28)(29)i =111 4(30)i =111 16(31)i =111 32(32)i =111 256(33)(34)(35)sin 220◦ + sin 240◦ + sin 260◦ + sin 280◦ = 9cos 220◦ + cos 240◦ + cos 260◦ + cos 280◦ = 7tan 220◦ + tan 240◦ + tan 260◦ + tan 280◦ = 36 2n π 4n π6n π 1(36)cos 7 + cos 7 + cos 7 = 2(n ∈ N ∗)n∑sin i ≤ 1(37) 记 a n = cos 2n π + cos 4n π + cos 6n π , T n = cos n 2n π + cos n 4n π + cos n 6n π (n ∈ N )，则我们有777( 1 )n −1 ∑n777C k a (n 为奇数)T n =( 1 )n m( 1 )n −1 m ∑−1 k( )(38)3 · 2 C n+2k 0C n a n −2kn 为偶数sin 47◦ + sin 61◦ − sin 11◦ − sin 25◦ = cos 7◦555==+ = ∏ 4 ¸ ∑ 1= − tan θ∑= sin β ()+s i n β cos α + β 2∑ cos i θ = 2 2( ) (39)(40)(41)(42)(43)1tan10◦ ¸3 sin 40◦cos 7x + 7 c os 5x + 21 c os 3x + 35 c os x = 64cos 7x ¸2 tan 18◦ + tan 18◦ tan 12◦ +¸3 tan 12◦ = 1cos 6◦ c os 42◦ c os 66◦ c os 78◦ 116(44)90◦i =1◦sin i = 145× 6 10(45)(46)n cot x cot 2n x i =1 sin 2i xtan θ tan 2θ + tan 2θ tan 3θ +··· + tan(n − 1) θ tan n θ =tan n θ− n(47)n 2i tan 2i θ = cot θ − 2n +1 cot 2n +1θ i =0(48)cos α + c os (α + β) +··· + c os (α + n β)n 1 n222n sin n θ cos n +1 θ(49)i =1 sin θ cos π + c os 3π + c os 5π = 19 7 7 2(50)cos π + c os 3π + c os 5π + c os 7π = 19 9 9 9 2(51)cos π cos 2π cos 3π cos 4π cos 5π = 111 11 11 11 11 324∑ ( )2 ln ∑ tan i π = ¸2n + 1∑tan 2 i π = n (2n + 1) ∑2 s in x = tan (2n + 1) x − tan x =sin n x∑sin x =sin n x2(53)cos 210◦ + cos 250◦ − sin 40◦ sin 80◦ = 3(54)cos θ c os 2θ c os 4θ · · · c os 2n sin 2n +1θ θ =2n +1 sin θ(55)i =1n 2n + 1(56)i =12 s in x2n + 1 cos x + cos(x + 2θ)= tan(x + θ) − tan θ(57)n(58)k =1cos x + c os 2kxn 2 2 cos nx + cos(n + 1) x(59)k =1cos 2kx − c os x2 sin xcos(n + 1) x − cos nx cos(x + 2θ) − cos x= cot(x + θ) − cot θ(60)2 s in x x + y x − y= tan − tan(61)cos x + c os yn ∏−1 2 2k π n(62)k =12 sinn ∑−1 n =2n −1k πn ln n(63)π n ln n <k =1csc n ≤ 2 ln 2(64)n −1k =1csc k π n 2 2γ = π n ln n + π −π π n + O (1) n ∏−1 k π¸nk =1sin2n =2n −1n∑∏sinkπ=2n + 1∑csc2kπ=2 (n2−1)∑sin2kπ=2n + 1 n¸(66)k=1n2n + 1 2n(67)∑m(k=12ni π)m3i πx m m+1(68) i =1cosmncosm=2m m(69)n k=12n + 1 42∑sin6k1πsin4k2πsin2k3π=(2n + 1) (2n −3)(n −2)(6n −7), n≥3(70) k1=1k1<k2<k32n + 12n + 12n + 112288tan2π+4sin6π=√13+2¸1313 13(71)tan 4π+ 4 sinπ=√13−2¸13 13 13(72)t an 3π+4si n2π=¸11(73)11n∑−111kππ(74)sink=1n= cot2nn∑−12k2π¸n (nπnπ)(75) k=1sinn=21 +c os2−sin2(76) 证明：n−1k=1cos2k2π¸nn=21 +c osnπnπ2+ sin2 2(cos4π+ cos6π+ cos10π)19 19 19是方程√4+√4+¸4−x=x的一个根.2C()n∏ ( )∏ n4 7 7 7∑1 =2 (n + 3) + (n − 3)π 3π 9π 1 +¸13 cos + c os + c os =(78)13 13 13 4cos 5π + cos 7π + cos 11π = 1 −¸13(79)13 13 13 4(80)tan 610◦ + tan 650◦ + tan 670◦ √3 cos 2π + √3 cos 4π + √3cos 8π(81) △ABC 三个内角 A , B ,C 此次成等差数列，设 f (x ) = x n ，则使得 f (a ) + f (c ) ≤ 2 f (b ) 对任何一个这样的三角形都恒成立的最大整数 n （a , b , c 分别为△AB C 三边），求：tan n (5n )◦ − n ¸n − 1tan n −1 (5n )◦ +C 2 t an n −2 (5n )◦ + n ¸n − 1 tan (5n )◦ . (82)(83)89 2 − sec 2n ◦ = 0 n =1(84)89n =1,n =45n (2 − sec 2n ◦)= 288n(85)k =0 1 + 8sin 2 k π 3 (2n − 1) √3 cos 2π + √3 cos 4π + √3 cos 8π = √3 1(3¸3 9 − 6)9 9 9 2(86)√3 cos 2π cos 4π + √3 cos 4π cos 8π + √3 cos 8π cos 2π = −√3 3 (¸39 − 1)(87)9 9 9 9 9 9 42∑n −14 k π (2n − 2)(2n − 1) (4n 2 + 6n − 13)(88)k =1cot2n=452∑n −14 k π (4n 2 − 1)(4n 2 + 11)(89)nk =1csc2n=45∑ sin 2kx = 1 [(2n + 1) s in x − s in(2n + 1) x ] c sc x n = 2 − cos(n + 1) x s in n x 2 sin x k =1n n n n n∑ sin 4kx = 1[3n − 4 c os(n + 1) x s in n x c sc x + c os 2 (n + 1) x s in 2nx c sc 2x ]8k =1 (90)∑ cos 2kx = n − 1 + 1 cos n x s in(n + 1) x c sc xn cos(n + 1)x sin n x(91)k =12 2= 2+2 sin x ∑ sin 3kx =3 sin n + 1 nx − 1 sin 3 (n + 1) x sin 3nx csc 3x(92)k =14 2 x sin 2 x csc2 4 2 2 2 ∑ cos 3kx =3 cos n + 1 nx + 1 cos 3 (n + 1) x sin 3nx csc 3x(93)k =14 2 x sin 2 x csc2 4 2 2 2 k =1 8(94)∑cos 4kx =1[3n + 4 cos(n + 1) x sin nx csc x + cos 2 (n + 1) x sin 2nx csc 2x ]一类三角恒等式天书本文将要证明如下两组结论： π 2π n π一、n 个角度为{, ,..., }的平方三角函数满足如下方程：2n +1 2n +1 2n +1{tan 2π , tan 2 2π ,..., tan 2 n π }满足： 2n + 1 2n + 1 2n + 1 t n - C 2 t n -1 + C 4 t n -2 - ...(-1)n C 2n= 02n +1 2n +1 2n +1 {cos 2π , cos 2 2π ,..., cos 2 n π }满足： 2n + 1 2n + 1 2n + 1 C 1 C 2 C n t n - 2n -1 t n -1 + 2n -2 t n -2- ...(-1)n n = 0 41 42 4n{cot 2 π , cot 2 2π ,..., cot 2 n π }满足：2n + 1 2n + 1 2n + 1 C 1 t n - C 3 t n -1 + C 5 t n -2- ...(-1)n C 2n +1 = 0 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1{sec 2π , sec 2 2π ,..., sec 2 n π }满足： 2n + 1 2n + 1 2n + 1 t n - 41C 2 t n -1 + 42 C 4 t n -2- ...(-1)n 4n C 2n = 0n +1 n +2 2n {sin 2π , sin 2 2π ,..., sin 2 n π }满足： 2n + 1 2n + 1 2n + 14n !! (2n + 1)!t n - 4 ⨯ 6 ⨯...⨯ (4n - 2) .t n -1 + 6 ⨯ 8 ⨯ ...(4n - 4)..(2n - 1)! (2n - 3)! +(-1)n(2n + 4)(2n + 2)(2n )(2n - 2) t 2 + (-1)n -1 (2n + 2)2nt + (-1)n = 05! 3!{csc 2 π , csc 2 2π ,..., csc 2 n π }满足：2n + 1 2n + 1 2n + 1t n - (2n + 2)2n t n -1 + (2n + 4)(2n + 2)(2n )(2n - 2) t n -2 + ... + 4n !! = 03! 5! (2n + 1)!π 2π (n - 1)π二、n-1 个角度为{ , ,..., } 的平方三角函数满足如下方程：2n 2n 2nn n n n ⎧ ⎪ {tan 2 π , tan 2 2π2 (n - 1)π2n 2n ,..., tan} 2n {cot 2 π , cot 2 2π2 (n - 1)π2n 2n ,..., cot }2n C 1 t n -1 - C 3 t n -2 + ...(-1)n -1C 2n -1= 0 2n 2n 2n{cos 2 π , cos 22π2 (n - 1)π2n 2n C 1 ,..., cos }2n C 2 C n -1 t n -1 - 2n -2 t n -2 + 2n -3 t n -3- ...(-1)n -1 n = 0 4 42 {sec 2 π , sec 2 2π2 (n - 1)π4n -12n 2n ,..., s ec }2nC 1t n -1 - 4C 3 t n -2 + 42 C 5 t n -3 - ...(-1)n -1 4n -1 C 2n -1= 0 n n +1 {csc 2 π , csc 2 2πn +2 2n -1 2 (n - 1)π2n 2n ,..., c sc }2nt n -1- (4n 2 - 4) t n -2 + (4n 2 - 4)(4n 2 - 16) tn -3 + ... + (-1) n -1 (4n 2 - 4)(4n 2 - 16)...[4n 2 - (2n - 2)2 ] = 3! 5! (2n - 1)! {sin 2 π , sin 22π2 (n - 1)π2n 2n ,..., s in }2n(4n 2 - 4)(4n 2 - 16)...[4n 2 - (2n - 2)2 ] t n -1 - (4n 2 - 4)(4n 2 - 16)...[4n 2 - (2n - 4)2 ] t n -2 + ...(-1) n -1 = 0(2n - 1)! (2n - 3)!根据棣莫佛定理,我们可以得到 n 倍角公式:(cos a + i sin a )n = cos na + i sin na= (cos n a - C 2 cos n -2 a sin 2 a + C 4 cos n -4 a sin 4 a - ...) + (C 1 sin a cos n -1 a - C 3 sin 3 a cosn -3a + ...)i ⎧⎪cos na = C 0 cos n a - C 2 cos n -2 a sin 2 a + C 4 cos n -4 a sin 4a - ...so : ⎨ n n n (1) ⎪sin na = C 1 sin a cos n -1 a - C 3 sin 3 a cos n -3 a + ...⎩ n n事实上上面的基本 n 倍角展开式还可以由下面的式子直接得到:(cos a + i sin a )n + (cos a - i sin a )ncos na =sin na =2(cos a + i sin a )n - (cos a - i sin a )n2i下面给出只含 cos 的 n 倍角公式及证明:n[ ] 2 ⎪cos n θ= ∑(C k+ C k -1 )(-1)k 2n -1-2k cos n -2k θ⎪ k =0⎨ [ n -1]2 n -k n -1-k (2) ⎪sin n θ= ∑ C k (-1)k 2n -1-2kcos n -1-2k θsin θ ⎩⎪ k =0n -1-k 证 用数学归纳法来证明这两个公式。
【高中数学】秒杀秘诀MS07三角恒等变形之计算求值
tan A tan B tan C
2t tan C
t2 1
tan C tan C
2t
，故需满足条件
t2 2
t 2。
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秒杀秘籍：二倍角的模型及定理
sin 2 2sin cos . cos 2 cos2 sin 2 cos sin cos sin .
降幂公式： sin2 1 cos 2 ; cos2 1 cos 2 ; sin cos sin 2
7
45
例 8：已知 sin cos 1 , (0, ) ，求 cos 2 。 3
解：sin cos 2 1 sin 2 1
9
sin 2 8 1 sin cos 9
2
sin
4
0,
(
,
3
) 2
(
,
3
)
24
2
cos 2 1 sin 22
1
8 9
2
17 9
另解： sin cos 1, (0, ) sin cos 3
1 sin 1 cos 1 sin cos sin cos 1 t 1 t2 1 t t2 3 2 2 。
22 2
例 13：若α∈（0，π），且 3cos2α=sin（ ﹣α），则 sin2α的值为
解：
3cos
2
sin
4
3
cos
sin
cos
sin
2 cos sin cos sin
∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣
tan A tan C 1 tan Atan C
=﹣
1
2 tan 3tan
A 2A
高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题
高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-； （2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=； （4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧 例5.求下列三角函数的值 （1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式： （1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（ ） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。
第24讲三角恒等变形及应用doc高中数学
第24讲三角恒等变形及应用doc 高中数学高三新数学第一轮复习教案〔讲座24〕—三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换〔包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求经历〕。
二．命题走向从近几年的高考考察的方一直看，这部分的高考题以选择、解答题显现的机会较多，有时候也以填空题的形式显现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，要紧题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的差不多咨询题。
历年高考中，在考察三角公式的把握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观看能力、运算及观看能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直截了当应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
〔2〕化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
〔1〕降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
第3讲 第二课时 简单的三角恒等变换
13
°−
＝________．
°− °
导解法
返 回
简单的三角恒等变换
解析：原式＝
＝
《高考特训营》 ·数学
°
−
°
°− °
°−
°
°
2α＝ .
π
∵α∈ − ， ，∴2α∈(－π，0)，sin 2α＜0.
综上，sin 2α＝－1.故选C.
18
返 回
简单的三角恒等变换
《高考特训营》 ·数学
给值求值问题的解决策略
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关
角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函
数值，代入即可．
π
π
－ ]＝sin + ＝ .
返 回
简单的三角恒等变换
π−
(2)(2024·锦州质检)若
＝ ，则sin
2α＋cos 2α的值为
(
A．
B．
C．
D．
答案：B
6
返 回
《高考特训营》 ·数学
)
简单的三角恒等变换
π−
解析：
＝2sin αcos
)
A．－
B．
C．－1
D．1
答案：C
16
返 回
，
简单的三角恒等变换
《高考特训营》 ·数学
解析：∵ cos 2α＝sin +
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题20三角恒等变换与求值
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题20三角恒等变换与求值【热点聚焦与扩展】高考关于三角恒等变换的考查，要紧以公式的差不多运用、运算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身动身，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确经历公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数差不多关系式和诱导公式的考查,要紧是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数运算相关的公式： （1）同角三角函数的差不多关系式①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )．②商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .（2）六组诱导公式关于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数经历口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” （3）两角和差的正余弦，正切公式：① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ② ()sin sin cos sin cos αβαββα-=-③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（4）倍半角公式：① sin22sin cos ααα=② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ③ 22tan tan 21tan ααα=-（3）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范畴：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范畴将决定其他三角函数值的正负，因此要先判定角的范畴，再进行三角函数值的求解.确定角的范畴有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范畴（例如：43ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ，则56122πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，）（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.（3）利用专门角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为4π） （4）通过题目中隐含条件判定角的范畴.例如：6sin cos 5αα+=，可判定出α在第一象限【经典例题】例1．【2021课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .因此选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：依照式子的结构特点进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.例2.【2020届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】∵tan（α+）= =﹣3，∴tanα=2，∴cos2α+2sin2α= =1．故选：B．例3.【2020届湖南省株洲市高三统一检测（二）】设向量，若,则( )A. B. C. -1 D. -3【答案】D点睛：、两角和的正切公式是解题的关键．例4.【2020届云南省曲靖市第一中学高三4月高考监测（七）】已知，若，且是锐角，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，依照求导公式、法则，得，由，得，结合，解得，故正确答案为D.例5.【2021北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1 sin3α=，cos()αβ-=___________.【答案】79-【解析】【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y轴对称，则2kαβππ+=+，若α与β关于x轴对称，则02kαβπ+=+，若α与β关于原点对称，则2kαβππ-=+k Z∈.例6．【2021江苏，5】若π1tan(),46α-=则tanα= .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．例7．【2020届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知2sin4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求sin 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ) 35-；(Ⅱ) 17250-. 【解析】试题分析：（1）依照同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可。
高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。
A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。
2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。
A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x=，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx2=2lgx。
由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px=有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p xx x⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0pxx p px xx x p x⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043pxppx x⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)4448(2)33p ppp--≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是43p≤≤。
高一数学三角恒等变形
引入
知识要点
思考1求值
思考2求角
思考3证明
思考 3 的课外练习
竞赛辅导─三角函数 ( 二 ) 三角恒等变形
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。 要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公 式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三 角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析， 灵活解题。
2 2
3 ⑵求值： cos 10 cos 50 sin 40 sin 80 4 法一:降次,和差化积,积化和差运用
法二:洞察力的运用,
⑶已知△ABC 中,已知 a c 2b , 1 A C 求 tan tan 的值. 2 2 3
3答案
练习
⑶已知△ABC 中,已知 a c 2b , A C 求 tan tan 的值. 2 2
分析:目标是角的形式,先化切为弦,以便 更好把握其可能突破方向.
尝试把条件的关系转化为角的关系, 尽量往目标靠…… 解:由题意知 sin A sin C 2sin B = 2sin( A C ) , AC AC 2cos 得 cos 2 2 A C A C A C 1 ∴ 3sin sin cos cos ,∴ tan tan = 2 2 2 2 2 2 3
练习 1:求值 ⑴(教程 P195 第 2 题) 4sin4Байду номын сангаас tan40 的值是(
D)
3 3 1 (A) (B) (C) (D) 3 2 2 3 ⑵(教程 P195 第 4 题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是
CA AC a、b、c ， cos 若 c a 等于 AC 边上的高， 则 sin 的 2 2 值是( ) 1 1 (A)1 (B) (B) (D) 1 2 3 7 6 6 3. (教程 P196 第 9 题)若 60 30 ,且 sin cos , 12 那么 2007cos =_____. 活用“1”的变形 4. (教程 P219 例 7) sin3 x sin 3 x 的最大值是_______.
(北师大版)高中数学必修四：3.3三角恒等变形公式汇总(含答案)
知识归纳：三角恒等变形一、两角和与差公式及规律 常见变形sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±= (1)tan tan :tan tan tan()(1tan tan ).1tan :tan().41tan αβαβαβαβπααα±=±±±=,的和(差)与积互相转化(2)特例二、二倍角公式及规律 常见变形( ※ )三、积化和差与和差化积公式 1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sin cos.22αβαβαβ+-+= 四、学习本章应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=± sin 22sin cos .ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=- sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.。
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x3 y3 (1)3 3xy (1) ( x y 1)( x2 y 2 1 xy x y) 0
x y 1 0 ，则： x y 1 .
x2 y 2 1 xy x y 0 ，
则： ( x y) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 0 可知： x y 1 ，此时， x y 2 . 综上, x y 等于 1 或 2 .
式转化成了两个，如下： 【正确解法】 ： 解： ∵
P 2a2 8ab 17b2 16a 22b 2080
2a 2 (8ab 16a) 17b 2 22b 2080 2a 2 8(b 2)a 17b 2 22b 2080 2[a 2 4(b 2)a] 17b 2 22b 2080 2[a 2 4(b 2)a 4(b 2) 2 ] 8(b 2) 2 17b 2 22b 2080 2(a 2b 4) 2 9b 2 54b 2048 2(a 2b 4) 2 9(b 2 6b) 2048 2(a 2b 4) 2 9(b 2 6b 9) 1967 2(a 2b 4) 2 9(b 3) 2 1967 1967
x y z 1 ，却最终要求得： yz zx x y
y x y2 x2 y2 z2 x2 的结果。 变成 需要乘以 x ， 变成 需要乘以 y ， yz zx zx yz zx x y yz
z x y z z2 变成 需要乘以 z 。怎么才能达到这样的效果呢？可以给 x y yz zx x y x y
2
，4b 2 ，很自然想到：需要把 2a 2 拆成 a2 a2 ，进而得出答案。过程如下：
解：∵
P 2a2 8ab 17b2 16a 4b 2080
(a 2 8ab 16b 2 ) (a 2 16a 64) (b 2 4b 4) 2012 (a 4b) 2 (a 4) 2 (b 2) 2 2012 2012
联赛冲击波之代数恒等变形热身篇
崔梦迪
一个不亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不过桥的旅行者， 是不可能走远的； 同样在数学中，有些事情亦须冒险 ——拉姆（Horace Lamb）
早就想写点东西，但一直懒得动笔，一直拖到了现在。不知不觉高端班的第一期课程已 过去大半，很多同学都已逐渐的适应了联赛的巧思维和大运算，但有的同学可能还“痛并快 乐着” ，甚至有的同学可能还摸不着头脑……但是不管现在我们处于一种什么样的状态，时间 还在继续，如何在这个相持的时刻把握好自己的学习方向就显得尤为重要了！
※ 方法三：颠倒乾坤，妙用重要公式 解： ∵ ∴ ∴
x y 1
x y 1 0
x3 3xy y3 x3 y3 (1)3 3xy 1
3xy (1) 3 xy 1 3xy 3xy 1 1
【题目总结】 ： 因为题目中出现了 x3 和 y 3 ，在我们所学的公式中，出现三次方的公式除了立方和与 完全立方公式，还有重要公式！但重要公式怎么用呢？我们想到了重要公式的一个非常重 要的结论：若 a b c 0 ，则： a b c 3abc . 因为题中给出了 x y 1 ，可以构
3 3 3
造出： x y 1 0 ，进而构造出 x y (1) ，它正好等于 3xy ，从而得到答案，是
3 3 3
不是有一种颠倒乾坤的感觉啊！ 有了这三类解法的拓展， 是不是已经很爽了？下面我们来在深入的研究一下： 这道题倒 过来问能不能得到结果呢？
【深入研究】 ： 已知： x 3xy y 1 ，求： x y.
3 3
【题目分析】 ： 在上述三种解法中，前两种解法都反复利用了 x y 1 ，这两种方法能不能用在这道 题中呢？其实也可以，需要设 x y t ，但最终对于 t 的转化就有点困难了，比较主流的方 法是构造一元二次方程，利用判别式去处理，比较麻烦。那么第三种解法可以吗？ 对于 x3 3xy y 3 1， 可以通过移项把它转化成重要公式： x3 y3 (1)3 3xy (1) ， 进而利用重要公式的另外一个重要的结论：
那么下面我们就通过几篇代数恒等变形的练习，来看一下数学的神奇魅力吧！
思维训练一： 一题多解多益处，反向提问散思维
【题目重现】 ： 已知： x y 1 ，求： x3 3xy y 3 .
【题目分析】 ： 这道题目难度并不是很大，但是方法却很多。但细数下来，无外乎有三类：利用立方 和公式、利用完全立方公式和利用重要公式。 【知识点回顾】 ： 立方和公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 完全和公式： (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3 重要公式： a3 b3 c3 (a b c)(a 2 b2 c 2 ab ac bc) 3abc 对于重要公式有一个非常重要的结论： 若 a b c 0 ，则： a b c 3abc .
们确实同时取到零了， 出题人很仁慈！ 那是不是所有的题目都会是这样的呢？我们来稍微修 改一下。
【题目变式】 ： 求多项式 P 2a 8ab 17b 16a 22b 2080 的最小值。
2 2
【题目分析】 ： 这道题目和上一道题目看起来好像是一样的，只是偷偷的将 4b 换成了 22b ，那这 道题能不能用上面的解法做呢？我们来试一下： 【错误解法】 ： 解：∵
∴
P 2012 （当 a 4, b 2 时取最小值）.
【题目反思】 ： 题目做完了，但有没有一种奇怪的感觉呢？不要觉得理所当然：题目中只有 a、b 两个 未知数， 最终我们配完方后， 却出现了三个完全平方式：(a 4b)2 、(a 4)2 和 (b 2)2 . 当
P 取最小值时，它们三个要同时取到最小值——零！而更神奇的是，当 a 4, b 2 时，它
2 a3 b3 c3 (a b c)(a b2 c 2 ab ac bc) 3abc 这里是一个缺2式
从而得出结论，过程如下： 解: ∵ ∴
x3 3xy y3 1
x3 3xy y3 1 0
即： x3 y3 (1)3 3xy (1) 0 ∴ 若 若
P 2a2 8ab 17b2 16a 22b 2080
(a 2 8ab 16b 2 ) (a 2 16a 64) (b 2 22b 121) 1827 (a 4b) 2 (a 4) 2 (b 11) 2 1827 1827
几种态度要不得！ 做任何事其实都是一样的：态度决定了一切！在竞联赛备战的过程中，有几种状态是不 可以有的！ §一：不想当将军的士兵并不是好士兵，目标要远大！ 很多学生进到联赛班，都是抱着“做几道难题在中考的时候不怕难题了”的思想来的。 有了这样的思想作祟，就导致听课做题有了很多的选择性：难题就觉得中考不考，简单题 有觉得没意思。这种思想本身没有错，但是在初一伊始，却是千万要不得了！不想当将军的 士兵并不是好士兵，不妨把自己的目标放远大一点，反正已经学了，就把它学好，把每道题 研究明白，慢慢的你就会觉得数学是一门很神奇的学科！ §态度二：眼高手也高，过程演绎很重要！ 从严格意义上来说， 初中数学是没有特别夸张的题目的。 很多题一开始做你会觉得特别 的难，但是多做几遍，把一些关键的地方想清楚，弄明白，就很简单了。但是也正是因为这 样，很多同学就养成了“想当然”的坏毛病！很多题目都不去研究，而是脑子一闪觉得会 了，就扔了。结果就导致自己觉得学的很明白，结果一考试就出问题了！所以眼高手更高， 要把我们见到的每一道题的过程写清楚：一道题能做出来是一种境界，能零丢分的把答案 写出来是另一种境界，能把答案写的让人拍案叫绝才叫好过程！写过程的最高境界，就是 一道题本身不会做，结果写着写着就把答案写出来了。 §态度三：勤思考，多练习，思维的惰性要不得！ 数学是思维的体操，做数学一定要勤思考，多练习，要有冒险精神。正如引文中英国数 学家拉姆所说： 一个不亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不过桥的旅行者， 是不可能走远的； 同样在数学中，有些事情亦须冒险。只有自己亲自去不断地尝试，不断地从失败中总结经 验，你才能真的体会到胜利所带给你的愉悦！所以，在平时的学习中，千万不要等老师， 千万不要觉得自己研究题目是浪费时间。其实做老师最大的悲哀就是没有激发和唤醒学生 沉睡的思维！不要害怕失败，勇敢的去面对每一道题目吧！
3 3 3
※ 方法一：横驱直入，套用立方和公式 解： ∵ ∴
x y 1
x3 3xy y3 ( x3 y3 ) 3xy
( x y )( x 2 xy y 2 ) 3xy x 2 2 xy y 2 ( x y)2 1
【题目总结】 ： 因为题目中出现了 x y ，巧妙的利用了立方和公式，代入 x y 1，转化成了平方
3 3
和公式，很奇妙!
※ 方法二：1 的妙用，巧用完全立方 解：∵ ∴
x y 1
x3 3xy y3 x3 3xy 1 y3
x3 3 xy ( x y ) y 3 x3 3 x 2 y 3xy 2 y 3 ( x y )3 1
【题目总结】 ： 因为题目中出现了 x3 3xy y 3 ，联想到了完全立方公式中的 1,3,3,1，但少了一个 3， 这时巧妙的利用的 x y 1， 把 3xy 转化成 3xy( x y) ， 建立起题目和立方和公式的关系。 当然这道题也可以将 x y 1左右同时三次方，但远没有 1 的妙用神奇.
∴
P 1967 （当 a 10, b 3 时取最小值）.
思维训练三： 大胆心细多观察，绝处逢生巧整体