从集合的观点理解充分条件和必要条1

合集下载

1.2.1充分条件与必要条件

1、用符号“充分”或“必要”填空：
充分（1）“0<x <5‖是“ x – 2 <3‖的 ______条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的必要 ______条件。充分（3）“xy > 0‖是“ x+y = x + y ‖的 ______条件。

（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 充分条件。的________
导
入
事例一：
鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但是只有水够吗？
p:没有水
q：鱼不能生存
事例二：
有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去商店买布，母亲问营业员：“要做一件衬衫，应该买多少布料？”营业员回答：“买三米足够了！”
P:有三米布料
q:做一件衬衫的布料足够
事例三：
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时
【课堂小结】
1、定义：
如果已知p
q，则说p是q的充分
条件， q是p的必要条件。
2、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ②考察p
3、判别技巧：
q和q
p的真假。
① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
”与“ ” 认识“
• 如果命题“若p，则q”为真，则由p可推出q，记作 p q 并说，p是q的充分条件,q是p的必要条件.

如果命题“若p，则q”为假，则由p推不出q，记作 p q 并说，p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
真命题：p q，假命题：p
q
用符号“
• • • •
”与“

充分条件与必要条件(1)

§1.1.2充分条件与必要条件（1）【学习任务】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象慨括和逻辑推理的意识．【课前预习】（一）判断下面两个命题的真假命题1：若0>x ，则02>x命题2：若两三角形面积相等，则两三角形全等。

（二）⑴推断符号若p 则q 为真记作p ⇒q ，若p 则q 为假，记作q p ⇒ ⑵充分条件与必要条件 p ⇒q ，（p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件）⑶充要条件：⑷充分不必要条件：⑸必要不充分条件：⑹既不充分也不必要条件：【合作探究】知识点一：学会判断p 是q 的什么条件例1、指出下列命题中，p 是q 的什么条件？⑴ p ：x-1=0，q ：（x-1）(x+2)=0⑵ p ：b a > q ：22b a >⑶ p ：3≠x ，q ： 92≠x⑷ p ：A 、B 互斥 q ：A 、B 对立知识点二：利用命题p 与q 之间的关系解决相关问题例２、已知 102:≤≤-x p ；()011:>+≤≤-m m x m q 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围．注：借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。

设,A B 为两个集合，集合A B ⊆是指x A x B ∈⇒∈。

这就是说，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，“x B ∈”是“ x A ∈”的必要条件。

知识点三：学会复杂情况下的条件判断例３、若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？【自我检测】1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：（1）p ：Q a ∈，q ：R a ∈ （2）p ：3>x ，q ：4>x2．03522<--x x 的一个必要不充分条件是___________3.若()y f x =为定义在D 上的函数，则“存在0x D ∈，使得2200[()][()]f x f x -≠”是“函数()y f x =为非奇非偶函数”的__________________条件.4.在下列四个结论中，正确的有 ______________（1）8432-<>x x 是的必要非充分条件；（2）ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件；（3）213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件；5 △ABC 中，“SinA>SinB ”是“A>B”的_____________条件6．借助“电路图”理解充分条件与必要条件。

新教材高考数学第一章集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件

充分条件与必要条件课标解读课标要求核心素养1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(重点)2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(难点)1.通过对必要条件、充分条件的学习和理解,培养数学抽象的核心素养.2.体会必要条件、充分条件在数学表达、论证等方面的作用,提升逻辑推理的核心素养.某居民的卧室里有一盏灯,在卧室门口和床头各有一个开关,任意一个开关都能够独立控制这盏灯,这就是电器上常用的“双刀〞开关,如下图.问题1:A 开关闭合时B 灯一定亮吗? 答案一定亮.问题2:B 灯亮时A 开关一定闭合吗? 答案不一定,还可能是C 开关闭合.1.命题可以判断真假的陈述句是命题,而且,判断为真的语句称为①真命题,判断为假的语句称为假命题. 2.充分条件与必要条件“假设p,那么q 〞为真命题“假设p,那么q 〞为假命题推出关系 p②⇒qp③⇒/q条件关系p 是q 的④充分条件; q 是p 的⑤必要条件p 不是q 的⑥充分条件; q 不是p 的⑦必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考:“x<2〞是“x<3〞的条件,“x<3〞是“x<2〞的条件.提示充分;必要特别提醒对充分条件和必要条件的理解(1)假设p ⇒q,那么p 是q 的充分条件.所谓充分,就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立〞.(2)假设p ⇒q,那么q 是p 的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立〞.(3)假设p ⇒/ q,那么p 不是q 的充分条件,q 不是p 的必要条件,也可以称为p 是q 的不充分条件,q 是p 的不必要条件.探究一充分条件、必要条件的判断例1 (1)以下各题中,p 是q 的充分条件的是 (填序号).①p:(x -2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等; ③p:m<-2,q:方程x 2-x-m=0无实根.(2)以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,q 是p 的必要条件的有 (填序号). ①假设x=1,那么x 2-4x+3=0;②假设x为有理数,那么1x为有理数;③假设x=y,那么x2=y2.答案(1)③(2)①③解析(1)①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.(2)①∵命题“假设x=1,那么x2-4x+3=0〞是真命题,∴q是p的必要条件.②当x=0时,x是有理数,1x 无意义,∴1x不是有理数,∴q是p的不必要条件.③∵x=y,等号左右平方后,等式依然成立,p⇒q,∴q是p的必要条件.思维突破充分条件、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,主要判断p成立时,能否推出q成立,反过来,q成立时,能否推出p成立:假设p⇒q为真,那么p是q的充分条件,假设q⇒p为真,那么p是q的必要条件.(2)除了用定义判断充分条件、必要条件之外,还可以利用集合间的关系判断,假设p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.1.(1)以下选项中,p是q的必要条件的是( )A.p:a=1,q:|a|=1B.p:-1<a<1,q:a<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1(2)“a>2且b>2〞是“a+b>4,ab>4〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案(1)D (2)充分解析(1)要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒p:a>b,应选D.(2)∵a>2且b>2⇒a+b>4,ab>4,∴是充分条件.探究二根据充分条件或必要条件求参数的范围例2 p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实数x满足-2≤x≤3.假设p是q的充分条件,求实数a的取值范围.解析p:3a<x<a,记集合A={x|3a<x<a},由题意知,A≠⌀.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-2,x≤3,x<0⇒-23≤a<0,即实数a的取值范围是{x|-23≤a<0}.思维突破充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.2.(1)(变条件)将本例中的条件“p:实数x满足3a<x<a,其中a<0〞改为“p:实数x满足a<x<3a,其中a>0〞,假设p是q的必要条件,求实数a的取值范围;(2)(变条件)将本例中的条件“q:实数x满足-2≤x≤3〞改为“q:实数x满足-3≤x≤0〞,其他条件不变,求实数a的取值范围.解析(1)p:a<x<3a,记集合A={x|a<x<3a}.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为q⇒p,所以B⊆A,所以{3x>3,x<-2,x>0⇒a无实数解.(2)p:3a<x<a,其中a<0,记集合A={x|3a<x<a}.q:-3≤x≤0,记集合B={x|-3≤x≤0}.因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-3,x≤0,x<0⇒-1≤a<0,即a的取值范围是{a|-1≤a<0}.1.以下语句是命题的是( )A.今天天气真好啊!B.你怎么又没交作业?C.x>2D.方程x2+2x+3=0无实根答案 D A是一个感叹句,不能判断真假,所以不是命题;B是问句,不能判断真假,不是命题;C中x的值不确定,所以不能判断真假,不是命题;D是真命题.2.使x>3成立的一个充分条件是( )A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2答案 A 只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3.3.“x2>4〞是“x>2〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案必要解析x>2⇒x2>4,故“x2>4〞是“x>2〞的必要条件.4.假设“x>1〞是“x>a〞的充分条件,那么a的取值范围是.答案a≤1解析因为x>1⇒x>a,所以a≤1.5.分析以下各题中p与q的关系.(1)p:α为锐角,q:α=45°;(2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.解析(1)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.数学建模——探究性试题的问题转化或x>1,是否存在实数a,使p是q的充分条件但不是必要条件?条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<12假设存在,求出最小的正整数a;假设不存在,说明理由.素养探究:解答此类问题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件〞的转化,利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解,过程中表达数学建模核心素养.解析存在.由题意知a>0.由条件p:x<1-a 或x>1+a,可设集合M={x|x<1-a 或x>1+a}, 由条件q:x<12或x>1,可设集合N=x x<12或x>1. 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件, 那么M ⫋N,应有{1-x ≤12,1+x >1 或{1-x <12,1+x ≥1,解得a≥12.令a=1,那么M={x|x<0或x>2}⫋N={x |x <12或x >1}.即p ⇒q,且q ⇒/p.∴存在最小的正整数a=1符合题意.是否存在实数p,使“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件?假设存在,求出p 的取值范围;假设不存在,说明理由.解析存在.令集合A={x|x>2或x<-1},集合B={x|4x+p<0}={x |x <-x4}.由题意知,B ⊆A,即-x4≤-1,即p≥4.∴当p≥4时,“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件.1.假设p 是q 的充分条件,那么q 一定是p 的( ) A.充分条件 B.必要条件C.既不充分又不必要条件D.既是充分条件,又是必要条件答案 B 因为p 是q 的充分条件,所以p ⇒q,所以q 一定是p 的必要条件. 2.使x>1成立的一个必要条件是( )A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2答案 A 只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,应选A. 3.以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,p 是q 的充分条件的是( ) A.假设1x =1x ,那么x=y B.假设x 2=1,那么x=1 C.假设x=y,那么√x =√x D.假设x<y,那么x 2<y 2答案 A B 项中,x 2=1⇒x=1或x=-1;C 项中,当x=y<0时,√x ,√x 无意义;D 项中,当x<y<0时,x 2>y 2,所以B,C,D 中p 不是q 的充分条件.4.假设“x 2=4〞是“x=m〞的必要条件,那么m 的一个值可以是( ) A.0 B.2C.4D.16答案 B 由“x=2〞能得出“x 2=4〞,选项B 正确. 5.设p:x<3,q:-1<x<3,那么p 是q 成立的( ) A.既是充分条件,又是必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件答案 C 因为{x|-1<x<3}⫋{x|x<3},所以p 是q 成立的必要不充分条件.6.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M〞是“a∈N〞的条件.(填“充分〞或“必要〞) 答案必要解析因为N ⊆M,所以“a∈M〞是“a∈N〞的必要条件.7.假设集合A={1,m 2},B={2,4},那么“m=2〞是“A∩B={4}〞的条件.(填“充分〞或“必要〞)答案充分解析当m=2时,m2=4,所以A∩B={4},所以“m=2〞是“A∩B={4}〞的充分条件.8.以下说法不正确的是.(只填序号)①“x>5〞是“x>4〞的充分条件;②“xy=0〞是“x=0且y=0〞的充分条件;③“-2<x<2〞是“x<2〞的充分条件.答案②解析由xy=0不能推出x=0且y=0,那么②不正确;①③正确.9.指出以下命题中,p是q的充分条件,还是必要条件.(1)p:x2=2x+1,q:x=√2x+1;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解析(1)∵x2=2x+1⇒/ x=√2x+1,x=√2x+1⇒x2=2x+1,∴p是q的必要条件.(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0⇒/ a2+b2=0,∴p是q的充分条件.(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,(x-1)(y-2)=0⇒/ (x-1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分条件.10.(多选)对任意实数a,b,c,以下命题中是真命题的是( )A.“ac2>bc2〞是“a>b〞的必要条件B.“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件C.“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件D.“ac=bc〞是“a=b〞的充分条件答案BC 当c=0时,“a>b〞⇒/ “ac2>bc2〞,所以A是假命题;“a=b〞⇒“a-b=0〞⇒“(a-b)c=0〞⇒“ac=bc〞,所以“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件,所以B是真命题;“ac2>bc2〞⇒“(a-b)c2>0〞,因为c2>0,所以a-b>0,即a>b,所以“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件,所以C是真命题;当c=0时,“ac=bc〞⇒/ “a=b〞,所以D是假命题.11.集合A={x∈R|-1<x<3},B={x∈R|-1<x<m+1},假设“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,那么实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤2C.m>2D.-2<m<2答案 A 因为“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2.12.假设A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分条件,那么实数a的取值范围为.答案{a|a≤-3或a≥3}解析因为A是B的充分条件,所以A⊆B,又A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},所以a+2≤-1或a≥3,所以实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}.13.(1)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件?(2)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件?解析(1)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件,那么只要{x|x<-x2}⊆{x|x<-1或x>3},即只需-x2≤-1,所以m≥2.故存在实数m≥2,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件.(2)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件,那么只要{x|x<-1或x>3}⊆{x|x<-x2},这是不可能的.故不存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件.14.假设p:-2<a<0,0<b<1,q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,那么p是q的什么条件?解析①假设a=-1,b=12,那么Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p⇒/ q.②关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根分别为x1,x2,且0<x1<x2<1,那么Δ>0,x1+x2=-a,x1x2=b,所以0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以p是q的必要不充分条件.。

充分条件、必要条件

集合与常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
/ybdg/190723/73251 79.html /ybdg/190723/73252 02.html /ybdg/190723/73252 08.html /ybdg/190723/73252 14.html /ybdg/190723/73252 27.html /ybdg/190723/73252 61.html /ybdg/190723/73252 66.html /ybdg/190723/73252 79.html /ybdg/190718/73153 11.html /ybdg/190723/73252 90.html /ybdg/190723/73252 96.html /ybdg/190718/73154 18.html /ybdg/190723/73253 00.html /ybdg/190718/73154 20.html /ybdg/190723/73253 04.html /ybdg/190718/73154 24.html /ybdg/190718/73153 86.html /ybdg/190723/73253 15.html /ybdg/190723/73253 31.html /ybdg/190723/73253 37.html /ybdg/190723/73253 39.html /ybdg/190723/73253 47.html /ybdg/190723/73253 66.html /ybdg/190723/73253 72.html /ybdg/190723/73253 78.html /ybdg/190718/73154 25.html /ybdg/190723/73253 82.html /ybdg/190718/73154 27.html /ybdg/190723/73253 86.html /ybdg/190723/73253 89.html /ybdg/190723/73253 92.html /ybdg/190723/73253 96.html /ybdg/190723/73253 98.html /ybdg/190723/73254 09.html /ybdg/190723/73254 11.html /ybdg/190718/73154 32.html /ybdg/190723/73254 56.html /ybdg/190723/73254 61.html /ybdg/190723/73254 69.html /ybdg/190723/73254 73.html /ybdg/190723/73254 76.html /ybdg/190723/73254 81.html /ybdg/190723/73254 94.html /ybdg/190723/73255 91.html /ybdg/190723/73258 13.html /ybdg/190723/73258 19.html /ybdg/190718/73154 38.html /ybdg/190723/73258 25.html /ybdg/190723/73258 39.html /ybdg/190718/73154 43.html /ybdg/190718/73154 46.html /ybdg/190723/73258 41.html /ybdg/190723/73258 42.html /ybdg/190723/73258 47.html /ybdg/190718/73154 50.html /ybdg/190723/73258 53.html /ybdg/190723/73258 60.html /ybdg/190723/73258 69.html /ybdg/190718/73154 55.html /ybdg/190718/73154 58.html /ybdg/190718/73154 70.html /ybdg/190718/73154 74.html /ybdg/190723/73258 74.html /ybdg/190723/73258 80.html /ybdg/190723/73258 82.html /ybdg/190723/73258 88.html /ybdg/190723/73258 93.html /ybdg/190723/73259 04.html /ybdg/190723/73259 11.html /ybdg/190723/73259 18.html /ybdg/190718/73154 76.html /ybdg/190723/73259 24.html /ybdg/190723/73259 30.html /ybdg/190723/73259 57.html /ybdg/190723/73259 60.html /ybdg/190723/73259 81.html /ybdg/190723/73260 01.html /ybdg/190723/73260 10.html /ybdg/190723/73260 91.html /ybdg/190723/73260 98.html /ybdg/190723/73261 11.html /ybdg/190718/73154 77.html /ybdg/190723/73261 23.html /ybdg/190718/73154 81.html /ybdg/190723/73261 24.html /ybdg/190718/73154 87.html /ybdg/190723/73261 26.html /ybdg/190718/73154 90.html /ybdg/190723/73261 40.html /ybdg/190723/73261 42.html /ybdg/190723/73261 47.html /ybdg/190723/73261 52.html /ybdg/190723/73261 72.html /ybdg/190718/73154 92.html /ybdg/190718/73154 99.html /ybdg/190723/73262 02.html /ybdg/190723/73262 09.html /ybdg/190723/73262 12.html /ybdg/190718/73153 15.html /ybdg/190718/73153 17.html

1.4.1充分条件与必要条件课件—高一上学期数学人教A版必修第一册

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
易知 a 1 a2 a ，而 a2 a a 0 或 a 1,所以“ a 1”是“ a2 a ”的充分不必要条件
3.若“ x 1,3 ”的必要不充分条件是“ x m 2，m 2 ”，
则实数 m 的取值范围是( B )
探究二：充分条件与必要条件的定义
定义：一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.由 p 可以推出 q，记作 p q ，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p q ，p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件.
1.充分条件、必要条件的概念； 2.充分条件、必要条件的判断方法.
一般地，要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件，只需判断是否有“ p q ”，即“若 p，则 q”是否为真命题. 同样的，给定条件 p，由 p 可以推出的结论 q 是不唯一的.
1.设 xR ，则“ x 1 1 ”是“ x3 1 ”的( A )
22 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例 1：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若 x2 1 ，则 x 1；（5）若 a b ，则 ac bc ；（6）若 x，y 为无理数，则 xy 为无理数.
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （4）由于 (1)2 1 ，但 1 1， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件. （5）由等式的性质知， p q ，所以 p 是 q 的充分条件. （6） 2 为无理数，但 2 2 2 为有理数， p q ，所以 p 不是 q 的充分条件.

高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件1充分条件与必要条件2教案新人教A版选修2_

充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qD p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pD q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pD q，且qD p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④ B．②③C．①②③ D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qD p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D (2)A1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p 的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．已知如下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>bD ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax －2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【思路探究】 (1)不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集是什么？(2)由“綈p 是綈q 的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】 (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0} ＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1.法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由綈p 是綈q 的必要不充分条件，可得綈q ⇒綈p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1.1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】法一由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.充要条件的证明求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.【思路探究】先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．【自主解答】充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 【证明】假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞0，n ＞0B ．mn ＜0C ．m ＜0，n ＜0D ．mn ＞0【错解】由题意可得，一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0，所以选A.【答案】 A【错因分析】 p 的必要不充分条件是q ，即q 是p 的必要不充分条件，则qDp 且p ⇒q ，故本题应是题干⇒选项，而选项D 题干，选项A 为充要条件．【防范措施】要说明p 是q 的充分不必要条件，须满足p ⇒q ，但qD p ；要说明p是q 的必要不充分条件，须满足pDq ，但q ⇒p ；要说明p 是q 的充要条件，须满足p ⇒q且q ⇒p ，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．【正解】一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，得m ＞0，n ＞0.故由函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0，而由mn ＞0不一定推出函数y ＝－m nx ＋1n的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】 D 六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．七、双基达标1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．【答案】 A2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．【答案】 B3．在“x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．【答案】 x 2＋(y －2)2＝0 x (y －2)＝04．若p ：x ＝1或x ＝2；q ：x －1＝x －1，则p 是q 的什么条件？【解】因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1；x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件.八、知能检测一、选择题1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则m ＝2是A ∩B ＝{4}的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m ＝2时，m 2＝4，A ∩B ＝{4}，但m 2＝4时，m ＝±2，∴A ∩B ＝{4}得m ＝±2.【答案】 A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】在(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为增函数，所以设α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．【答案】 C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：A B ，q ：x ∈A ⇒x ∈BC ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】易知由a ＋c >b ＋dDa >b 且c >d . 但a >b 且c >d ，可得a ＋c >b ＋d∴“p ：a ＋c >b ＋d ”是“q ：a >b 且c >d ”的必要不充分条件．故选A.【答案】 A4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】由“α＞β”D “sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D “α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】 C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是( ) ①p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，得m ＞6或m ＜－2，所以p 是q 的充要条件．②若y ＝f (x )中存在x 0，使得f (x 0)＝0，则p 是q 的充分不必要条件．③当α＝β＝k π＋π2时，tan α，tan β无意义，所以p 是q 的必要不充分条件． ④p 是q 的充要条件．【答案】 D二、填空题6．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以是x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】 ②③④7．(2013·武汉高二检测)“b 2＝ac ”是“a 、b 、c ”成等比数列的________条件．【解析】 “b 2＝acD”a ，b ，c 成等比数列，如b 2＝ac ＝0；而“a ，b ，c ”成等比数列“⇒”“b 2＝ac ”．【答案】必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝______.【解析】直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 【答案】－23 三、解答题9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x －12≤34，q ：13x 2＋32x －3≥0； (2)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，q ：0＜a ＜4；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B .【解】 (1)化简得p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132， q ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32.如图由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32，所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，所以①当a ＝0时成立；②当a ≠0时，ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a ＜0，a ＞0，解得0＜a ＜4，所以0≤a ＜4.所以pD ⇒/q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)对于p ：A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，对于q ：A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，即p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．10．若A ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 ∵A 是B 的充分不必要条件，∴A B .又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}．因此a ＋2≤－1或a ≥3，∴实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤－3.11．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B. 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A ＋B )＝sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin B cos A ＝sin A .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴a 2＝b (b ＋c )是“A ＝2B ”的充要条件.九、备课资源试求关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．【自主解答】如果方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设两负根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，解之得m≥2. 因此m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件．下面证明充分性．因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．故m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．求关于x 的不等式kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立的充要条件．【解】 kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立．⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0Δ＝1－4k 2＜0⇔k ＞12.。

第一章集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件高中数学人教版新教材必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件一、教学目标：1. 正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.2. 掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.3. 能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.4. 培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力.5. 在充要条件的教学中，培养等价转化思想．二、教学重点、难点重点：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念. 难点：能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题初中学过的命题：一般地，在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命．题．. 其中判断为真的语句叫做真命题．．．，判断为假的语句叫做假命题．．．.命题的形式：若p ，则q ，或者：如果p ，那么q .【讨论练习】判断下列命题中的真假命题：（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形. （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（3）若2430x x -+=，则1x =（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ，则//a b . 【答案】命题（1）、（4）为真命题，命题（2）、（3）为假命题【引入问题】对于命题，除了真假命题的说法，还有其他的数学说法吗？（二）研讨新知，典型示例一般地，命题“若p ，则q ”为真命题，就称：由条件p 可以推出结论q ，记作：p q ⇒ 并且说，p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessarycondition).如果命题“若p ，则q ”为假命题，则称：条件p 不能推出结论q ，记作：p q >≠ 就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【新的说法】命题（1）、（4）为真命题，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件命题（2）、（3）为假命题，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【例题研讨】阅读领悟课本18P 例1、例2 （用时约为6-8分钟，教师逐一作出准确的评析.）例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件? （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若,x y 为无理数，则xy 为无理数. 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p是q 的充分条件.（4）由于2(1)1-=，即1x =-满足21x =，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件. （5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（6）当x y ==为无理数时，2xy ==为有理数，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件.例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件? （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数. 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（6）由于2=p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.【小组互动】完成课本20P 练习，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟已知以下“若p ，则q ”形式的命题：①若:p “||||x y =”，则:q “x y =”；② 设,a b 是实数，若:p “0a b +>” ，则“0ab >”；③若:p “{|02}x A x x ∈=<<”，则:q “{|13}x B x x ∈=-<<”； ④若:p “{|6,}x x x k k Z ∈=∈”，则:q “{|3,}x x x k k Z ∈=∈”.其中p 是q 的充分条件的命题是_______________；p 不是q 的充分条件的命题是_______________;q 是p 的必要条件的命题是_______________；q 不是p 的必要条件的命题是________________.解：①由已知||||x y =可能有x y =或x y =-，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件② 当3,1a b ==-时, 0a b +>,但0ab <，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件③当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 ④当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件综上，p 是q 的充分条件的命题是③④，p 不是q 的充分条件的命题是①②q 是p 的必要条件的命题是③④，q 不是p 的必要条件的命题是①②（四）归纳小结，回顾重点1.完成课本22P 习题1.4 1.22.预习1.4.2 充要条件五、教学反思：（课后补充，教学相长）1.4.2 充要条件（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【引入问题】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac < （4）若A B 是空集，则A 与B 均是空集.【答案】易知命题（1）和（4）与它的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，它的逆命题是真命题.（二）研讨新知，典型示例如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒又有q p ⇒就记作 p q ⇔此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，则可称p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition). 显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.【答案】上述思考中的命题（1）和（4），p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读领悟课本21P 例3，（用时约为2-3分钟，教师逐一作出准确的评析.）例3下列各题中，哪些p 是q 的充要条件?（1） p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分；（2） p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例；（3）:0p xy >，:0,0q x y >>（4）:1p x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:0(0)q a b c a ++=≠ . 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么？可以是菱形或者特殊的等腰梯形），所以q p >≠，所以p 不是q 的充要条件.（2）因为此题中“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.（3）因为0xy >时，0,0x y >>不一定成立(为什么？因为可以有0,0x y <<)，所以p q >≠，所以p 不是q 的充要条件.（4）因为此题中“若p ，则q ”和“若q ，则p ”均是真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读课本22P 例4，（用时约为2-3分钟，同桌交流感受）（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由0a >且0b >可得0a b +>且0ab >，由0a b +>有,a b 至少一个为正，0ab >可得,a b 同号，两者同时成立，则必有0a >且0b >，故选C.2. 已知:10,:p x q x a -<>，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解：由已知:1,:p x q x a >>，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，但q p >≠，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以1a <答案：{|1}a a <3. 设集合2{|0},{|03}x A x B x x x-=≤=<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：由已知2{|0}{|02}x A x x x x-=≤=<≤．{|03}B x x =<< 所以m A m B ∈⇒∈，但是m B m A >∈≠∈，所以“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件．故选A4. 设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：由题意得：，所以D 是A 的必要不充分条件，故选B（四）归纳小结，回顾重点1、充分条件、必要条件、充要条件命题真假“若p ，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”与逆命题“若q，则p”均为真命题推出关系p q⇒p q>≠p q⇔条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充要条件q是p的充要条件2、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件集合{|()},{|()} A x p x B x q x ==关系A B⊆B A⊆A B=A B⊄且B A⊄图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件（五）作业布置，精炼双基1.完成课本22P练习 1、2、32. 完成课本习题1.4 1、2、3、4、5、6五、教学反思：（课后补充，教学相长）。

人教课标版高中数学选修2-1：《充分条件与必要条件(第1课时)》教案-新版

1.2.1充分条件与必要条件（第1课时）一、教学目标（一）学习目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；3．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性．（二）学习重点充分条件、必要条件的概念．（三）学习难点充分条件、必要条件的判断．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫做q 的_________条件，原命题（或者逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的_________条件．（2）必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫做q 的_________条件，逆命题（或者否命题）成立，命题中的条件是必要的，也可称q 是p 的_________条件．预习自测1．用符号“⇒”与“⇒/”填空：（1） 22x y = x y =；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4） ac bc = a b =.【知识点】充分条件的判断．【解题过程】⇒/ ⇒ ⇒ ⇒/ ．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】 ⇒/ ⇒ ⇒ ⇒/ ．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2340x x +-=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数．【知识点】充分条件的判断．【数学思想】【解题过程】（1）（2）显然成立；（3）中若x =22x =为有理数．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）．3．下列“若p ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >．【知识点】充分条件的判断．【数学思想】【解题过程】（1）中斜率相等的直线可能平行或重合；（2）显然不成立．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）中p 都不是q 的充分条件．4．下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >．【知识点】必要条件的判断．【数学思想】【解题过程】q 是p 必要条件等价于p 是q 的充分条件．（1）（2）显然成立；（3）00a b =<，时不成立．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）．(二)课堂设计1.知识回顾（1）四种命题的表示形式；（2）四种命题的关系；（3）四种命题的真假判断．2．问题探究探究一结合实例理解充分条件与必要条件●活动①创设情境，引入概念写出下列两个命题的条件和结论，并判断它们的真假．（抢答）（1）若x>10，则x>5；（2）若x+y>2，则x>2．学生很快就可以回答命题的条件和结论并判断出（1）真（2）假．问题：对于“若p则q”形式的命题，时真时假，如何判断它的真假呢？答：若p能推出q，则为真命题，若p不能推出q，则为假命题．【设计意图】通过强调命题的条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫，命题有真有假．通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程．●活动②概念辨析，巩固概念当命题“如果p，则q”经过推理证明为真命题时，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”．定义：一般地，如果有p⇒q，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．例如活动①中的例子“若x>10，则x>5”是一个真命题，则可以写成“x>10⇒x>5”．所以x>10是x>5的充分条件，x>5是x>10的必要条件．强调说明：“p⇒q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．【设计意图】通过概念辨析，加深对充分条件、必要条件的理解，提升学生的认识水平，从不同角度帮助学生理解“充分”和“必要”．●活动③例题剖析．例1 判断下列问题中，p是q的充分条件吗？（1）p：a>b q：ac>bc；（2）p：x为无理数q：2x为无理数；（3）p ：22x a b >+ q ：x >2ab ；（4）p ：两条直线的斜率相等 q ：两条直线平行．【知识点】充分条件．【解题过程】（1）（2）（3）（4）中p 不能推出q ，所以p 不是q 的充分条件．【思路点拨】判断p 是否是q 的充分条件，就看p 能否推出q ．【答案】（1）（2）（3）（4）中p 不能推出q ，所以p 不是q 的充分条件．同类训练指出下列各组题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x < q ：2x ≤；（2）在四边形中，p ：四个角均为90 q ：四边形为正方形．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】（1）12x x <⇒≤ ∴p q ⇒又因为对于q ：2x =也成立，但对于p ：21<不成立 q p ∴⇒/所以p 是q 的充分条件．（2）四边形为长方形时，p q ⇒/；四边形为正方形时，四个角均为90，即q p ⇒ 所以p 是q 的必要条件．【思路点拨】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式，以全面认识和理解概念．【答案】（1）p 是q 的充分条件；（2）p 是q 的必要条件．探究二充分条件、必要条件的判定●活动① 知识点归纳从集合的角度理解充分条件与必要条件：设集合{}|()|P x p x =，{}=|()Q x q x ．（1）p q ⇒，相当于P Q ⊆，即或即：要使x Q ∈成立，只要x P ∈就足够了．（2）q p ⇒，相当于Q P ⊆，即或即：为使x Q ∈成立，必须要使x P ∈．可以归纳为以下两点：（1）若P Q ⊆，则p 是q 的充分条件．（2）若Q P ⊆，则p 是q 的必要条件．【设计意图】（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备．●活动② 例题剖析．例2判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？（1）p ：{}|3x x > q ：{}|5x x >；（2）p ：{}|0x x > q ：{}|0x x ≥；（3）p ：同位角相等 q ：两直线平行；（4）p ：四边形对角线相等 q ：四边形是平行四边形．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】因为在（2）（3）中都有p q ⇒，所以，（2）（3）中q 是p 的必要条件．在（1）（4）中都有p q ⇒/，所以，在（1）（4）中q 不是p 的必要条件．【思路点拨】由集合的包含关系确定q 与p 的关系．【答案】（2）（3）：q 是p 的必要条件；（1）（4）：q 不是p 的必要条件．同类训练判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件？p 是不是q 的必要条件？（1）p ：x x = q ：20x ≥；（2）p ：tan 1α= q ：=4πα；（3）p ：直线l 与平面α内的两条相交线垂 q ：直线l 与平面α垂直；（4）p ：函数()f x 满足(0)0f = q ：函数()f x 是奇函数．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】（1）p q ⇒，q p ⇒/；（2）p q ⇒/，q p ⇒；（3）p q ⇒，q p ⇒；（4）p q ⇒/，q p ⇒．【思路点拨】由集合的包含关系确定q 与p 的关系．【答案】（1）p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件；（2）p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（3）p 是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（4）p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．3. 课堂总结知识梳理1．充分条件、必要条件的定义；2．充分条件和必要条件的判定．重难点归纳判断充分条件、必要条件时，一定要牢记：在“若p 则q ”中，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 为p 的不必要条件．（三）课后作业基础型自主突破1．在△ABC 中，“sin 2A ”是“A ＝30°”的________条件．【知识点】充分条件、必要条件．【数学思想】【解题过程】若A ＝30°，显然有sin 2A ，但sin 2A 时，在△ABC 中，有2A ＝60°或2A ＝120°，即不一定有A ＝30°，故“sin 2A ”是“A ＝30°”的必要不充分条件．【思路点拨】熟悉充分、必要条件的形式．【答案】必要不充分条件2．“(1)(3)0x x +-<”是“1x >-”的________条件．【知识点】充分条件、必要条件及不等式的解法．【数学思想】【解题过程】(1)(3)0x x +-<错误！未找到引用源。

新教材必修第一册《1.4充分条件与必要条件》

(2)集合法对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情况如下：若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
1．已知 p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若 q 是 p 的充分条件，则 a 的取值范围为________．解析：化简 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，由于 q 是 p 的充分条件，故有aa－＋44≤≥23，，解得－1≤a≤6. 答案：－1≤a≤6
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选 B.
3．“x<2”是“x－1 2<0”的(
)
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.由x－1 2<0 得 x－2<0 得 x<2，即“x<2”是“x－1 2<0”
的充要条件，故选 A.
充分条件、必要条件、充要条件的应用已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
■名师点拨 (1)p 是 q 的充要条件意味着“p 成立，则 q 一定成立；p 不成立，则 q 一定不成立”． (2)要判断 p 是不是 q 的充要条件，需要进行两次判断：一是看 p 能否推出 q，二是看 q 能否推出 p.若 p 能推出 q，q 也能推出 p，就可以说 p 是 q 的充要条件，否则，就不能说 p 是 q 的充要条件．

1.4.1充分条件与必要条件-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第一章集合与常用逻辑用语1.4．1充分条件与必要条件【课程标准】1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．【知识要点归纳】1．命题（1）概念：能够判断真假的陈述句（2）命题举例2．充分条件与必要条件首先将命题改写成“若p，则q”的形式．【经典例题】()()()()()(]()()()()22123114(2)(3)035--1--16=1=178p x Z q x R p x q x p x q x p a a q a p x q x p x q x p x y q xy ∈∈>>∈∞∈∞：，：；：是矩形，：是正方形；：，：；：－－＝，：＝；：，，：，；：，：；：、是无理数，：是无理数；若四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直。

例2已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．例3 是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．【当堂检测】1．已知2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知全集U R =，若集合{|24}A x x =-<<，{|0}B x x m =-<．（1）当3m =，求()U A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数m 的取值范围．3．设集合2{|280}A x x x =+-<，22{|430}B x x ax a =-+=．（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；4．已知集合2{|230}A x x x =--，22{|290}B x x mx m =-+-<，m R ∈．（1）若3m =，求A B ；（2）命题:P x A ∈，命题:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数m 的取值范围．当堂检测答案1．已知2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】先求出2:{|230}p A x x x =--，:{|||3}q B x x m =->，的集合范围，由p 是q 的充分条件，得A B ⊆，即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：由题意得{|13}A x x =-，{|3B x x m =<-或3}x m >+，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以33m ->或31m +<-，解得6m >或4m <-，故实数m 的取值范围是(-∞，4)(6-⋃，)+∞．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，考查了集合子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知全集U R =，若集合{|24}A x x =-<<，{|0}B x x m =-<．（1）当3m =，求()U A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算，求A B ．（2）利用x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当3m =，{|30}{|3}B x x x x =-<=<，则{|3}U B x x =，则(){|34}U A B x x =<；（2）{|}B x x m =<，x A ∈是x B ∈的充分条件，4m ∴，故实数m 的取值范围为[4，)+∞．【点评】本题主要考查不等式的解法以及集合的基本运算，充分条件和必要条件的应用．综合性较强．3．设集合2{|280}A x x x =+-<，22{|430}B x x ax a =-+=．（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；【分析】（1）化简集合A 、B ，由x A ∈是x B ∈的必要条件，得B A ⊆，即可求得实数a 的取值范围．（2）由A B ≠∅成立，得到实数a 的关系式，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：集合2{|280}{|42}A x x x x x =+-<=-<<，22{|430}{|()(3)0}{|B x x ax a x x a x a x x a =-+==--===，3}x a =，（1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，则424243233a B A a a -<<⎧⊆∴⇒-<<⎨-<<⎩，故实数a 的取值范围是4(3-，2)3．（2）假设存在a 使A B ≠∅成立，则42a -<<或432a -<<，42a ∴-<<，故存在实数a ，使A B ≠∅成立，实数a 的取值范围是(4,2)-．【点评】本题考查了集合运算及集合之间的关系，属于基础题．4．已知集合2{|230}A x x x =--，22{|290}B x x mx m =-+-<，m R ∈．（1）若3m =，求A B ；（2）命题:P x A ∈，命题:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）若3m =，求出集合A ，B 即可求得A B ；（2）根据P 是Q 的充分条件得到A B ⊆，建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：（1）2{|230}{|13}A x x x x x =--=-，22{|290}{|33}B x x mx m x m x m =-+-<=-<<+，若3m =，则{|06}B x x =<<，则{|03}A B x x =<；（2）若P 是Q 的充分条件，则A B ⊆，即3133m m --⎧⎨+⎩，解得解得02m ．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的判断，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

从集合的观点理解充分条件和必要条件
兴义五中韦长影 562400
充分条件和必要条件是每年高考必考的内容
，让学生学会用集合来理解此类题目，

使问题变得简单，通俗易懂，这是我们在教学中发现的诀窍，下面就这个问题再进行一下探
讨。

命题“若p则q”为真，记为“p q”，这时p是q的充分条件,q是p的
必要条件。由前面关于集合A,B的定义知,p q,当且仅当A B,这就是说,A
B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。为使p,q有意义,一般我们仅讨论
A,B非空的情况.

p是q的充分条件,q是p的必要条件,即若对象x满足p,则x也一定满足q,
这等价于x∈A时，必有x∈B，即A B，但是可能存在对象y∈B但y A，
即y满足q却不满足p。

若A=B时，即A B且B A，就是说，满足p的对象满足q，反之，满足
q的对象满足p。因此p q，当且仅当A＝B，这时p是q的充要条件。换句话
说，A，B的描述表示虽然不同，但若它们的元素完全相同，则p与q等价（图1）。

若A∩B≠ 但A∩B≠A且A∩B≠B，即满足p的对象不完全满足q；反之，
满足q的对象也不完全满足p，就是说p，q不能互相完全推出，这时p，q是既
不充分也不必要条件（图2）。例：“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既
不充分也不必要条件。

(3) (4) (5)
若A∩B= ，即满足p的对象都不满足q，反之，满足q的对象也都不满足
p,就是说p,q不能互相推出，这时p是q的既不充分也不必要条件（图3）。

也可表示为：① ，相当于，即或
即：要使成立，只要就足够了——有它就行．

② ，相当于，即或
即：为使成立，必须要使 ——缺它不行．
等价于。

③ ，相当于，即
即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物．
例1 请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，
(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空：

(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的 .
(2)p∶x＞5是q∶x＞3的 .
(3)p∶0＜x＜5是q∶｜x-2｜＜3的 .
(4)p∶x≤2是q∶x＜2的 .
解：(1)p=｛x｜(x-1)(x+2)=0｝ q=｛x｜x=-2｝，即q p，∴填B.

(2)p=｛x｜x＞5｝ q=｛x｜x＞3｝，∴填A.
(3)p=｛x｜0(4)p=｛x｜x≤2｝ q=｛x｜x＜2＝，∴填B.
例2 判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；

(2)条件p∶A B，结论q∶A∪B=B.
错误分析：此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是A B，还是
B A均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也
是难点.如(1)题中，往往根据二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a=0时原不
等式变为1＞0这一绝对不等式的情况.在(2)题中同样容易忽略A=B这一特殊情
况.

解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4
∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故B A.
而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴A B.
故A为B的必要不充分条件.

(2)∵A B A∪B=B，
而当A=B时，A∪B=B，即q p，
练习：探讨下列生活中名言名句的充要关系.
（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竟成
（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。
（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏
（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器
考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中的推理判断
密切相关，再让学生看下面的例题，让学生淘汰其中的充要条件，并踊跃发表自己的观点。
当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，
只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放
的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”。

评析对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：p q
时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.