哈工大概率论知识点总结及心得体会
2023年哈工大概率论与数理统计学习心得
2023年哈工大概率论与数理统计学习心得学习概率论与数理统计是我作为哈尔滨工业大学学生的一部分学习内容，它是一门非常重要的数学课程。
在2023年的学习过程中，我对这门课程有了深入的了解和打造。
首先，在学习概率论的过程中，我学习了概率的基本概念、概率的计算方法以及概率的性质与定理。
通过学习这些知识，我对概率的概念有了更清晰的认识，概率的计算方法也变得更加熟练。
我还学习了条件概率、独立事件、随机变量以及概率密度函数等内容。
通过这些学习，我能够更好地理解随机现象的规律，并能够运用概率论的知识解决实际问题。
其次，在学习数理统计学的过程中，我学习了统计学的基本原理和方法。
我学习了统计的基本概念、统计量、抽样分布以及参数估计等内容。
通过学习这些知识，我能够更好地理解统计学的思想和原理，并能够运用统计学的方法进行数据的分析和推断。
我还学习了假设检验、方差分析、回归分析等内容，通过这些学习，我能够更好地分析和解释数据的变化规律，并能够从中得出一些结论。
在学习过程中，我还通过大量的练习和实践来提高自己的能力。
我通过做习题和刷题来加深对知识的理解，并通过实践来提高自己的解题能力。
我还参加了一些相关的实验和课程设计，通过实际操作和分析数据来加深对知识的理解和应用。
通过这门课程的学习，我不仅学到了概率论和数理统计的知识，还提高了自己的分析和解决问题的能力。
在学习过程中，我学会了如何运用概率论和数理统计的方法解决实际问题。
我学会了如何通过分析数据来得出一些结论，并能够对数据进行合理的解释和推断。
同时，我还学会了如何使用统计软件来进行数据的分析和处理。
在学习过程中，我还结合实际生活中的问题进行学习，通过解决一些实际问题来加深对知识的理解。
我还通过和同学的讨论和交流来拓宽自己的思路，通过和同学合作来解决问题。
通过这样的学习方式，我更好地理解了概率论和数理统计的应用，也提高了自己的解决问题的能力。
总之，通过2023年概率论与数理统计的学习，我对概率论和数理统计有了更深入的了解和掌握，我学会了如何使用概率论和数理统计的方法解决实际问题，我也提高了自己的分析和解决问题的能力。
哈工大概率论与数理统计第三版
哈工大概率论与数理统计第三版《哈工大概率论与数理统计第三版》是一本深入浅出的数学基础教材，它囊括了概率论和数理统计的相关概念、原理和应用。
本书内容丰富，涵盖了多个重要的概念和定理，对于深入理解和掌握概率论和数理统计的知识具有重要意义。
在接下来的文章中，我将以从简到繁的方式，逐步深入探讨《哈工大概率论与数理统计第三版》中的一些重要内容和理论，帮助读者更好地理解这本教材，并对概率论和数理统计有一个全面、深刻的认识。
一、概率论的基本概念和原理在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，概率论的基本概念和原理是学习的重点之一。
概率论作为一门独立的数学学科，是研究随机现象的规律性和统计规律的一门学科，其理论和方法对于解决实际问题具有重要的应用价值。
教材中介绍了概率的定义、性质和常见的概率分布，如离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的性质和应用。
通过对这些基本概念和原理的学习，读者可以建立起对概率论的基本认识和理解。
二、数理统计的基本概念和方法除了概率论，数理统计是另一个重要的学习内容。
数理统计是利用数学的方法对统计数据进行分析和推断的一门学科，是概率论的一种应用。
在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，数理统计的基本概念和方法也得到了详细的介绍和阐述。
教材中介绍了样本和总体的概念，以及常见的统计推断方法，如点估计、区间估计和假设检验等。
通过对这些内容的深入学习，读者可以了解数理统计的基本原理和方法，有助于他们更好地应用数理统计的知识进行实际问题的分析和解决。
三、概率论与数理统计的应用除了学习概率论和数理统计的基本概念和原理，教材中还介绍了概率论和数理统计在实际问题中的应用。
在金融、医学、工程等领域，概率论和数理统计的方法被广泛应用于数据分析、风险评估、质量控制等方面。
通过学习这些应用实例，读者可以更好地理解概率论和数理统计的实际应用，并将理论知识转化为实际工作中的技能。
总结回顾通过本文的阐述，我希望读者对《哈工大概率论与数理统计第三版》有了更深入的了解和认识。
概率论与数理统计 学习心得范文（3篇）
概率论与数理统计学习心得范文概率论与数理统计是一门理论基础课程，是大学数学系的重要组成部分。
通过学习概率论与数理统计，我收获了很多知识和经验。
首先，概率论与数理统计是一门关于随机事件和随机变量的学科。
在这门课中，我学习了诸如概率空间、样本空间、随机事件、概率、随机变量、概率分布等概念和理论。
通过学习这些基本概念，我对随机事件和随机变量有了更深入的理解。
我学会了如何用数学的方法描述和分析随机事件和随机变量的规律，掌握了概率论的基本原理和方法。
其次，概率论与数理统计还提供了一种全新的思维方式。
在学习过程中，我发现概率论与数理统计的方法论和思想方式与其他学科不同。
概率论与数理统计注重的是对随机现象的量化和分析，更加注重统计规律的描述和推断。
通过学习这门课程，我逐渐培养了用统计数据和模型进行科学推断的能力，提高了对事物变化的认识和把握，增强了分析问题和解决问题的能力。
再次，概率论与数理统计还提供了一种工具，用于解决实际问题。
概率论与数理统计是一门应用广泛的学科，在许多实际问题中都能找到应用。
通过学习概率论与数理统计，我了解了统计学的基本方法和思想，学会了如何通过样本数据对总体进行推断和估计。
这对我日后从事科学研究或实际工作将起到重要的指导和帮助作用。
最后，概率论与数理统计的学习也为我提供了一个重要的学术平台。
概率论与数理统计是一门基础课程，是后续学习和研究其他学科的先行课程。
通过学习概率论与数理统计，我开阔了眼界，扩大了知识面，为日后继续学习和探索打下了坚实的基础。
总之，概率论与数理统计是一门重要的学科，对于培养学生的定量思维能力和科学推理能力具有重要意义。
通过学习这门课程，我收获了丰富的知识和经验，提高了对随机现象的认识和把握，并培养了用统计数据和模型进行科学推断的能力。
这门课程不仅为我提供了学术支持和工具，还为我提供了一个重要的学术平台，为未来的发展打下了坚实的基础。
我相信，在日后的学习和工作中，概率论与数理统计的知识和方法将继续发挥重要的作用。
2024年哈工大概率论与数理统计学习心得(2篇)
2024年哈工大概率论与数理统计学习心得学完《概率论与数理统计》这门课程，了解掌握了一些相关的基础知识与方法，并对该学科有了更加深刻的认识，实在是获益匪浅。
本文围绕概率论发展、对本课程学习的一些想法、个人感悟与收获等方面对本课程学习过程中的一些心得体会进行了简单的总结。
一、概率论与数理统计发展简史概率是与人们的日常生产生活联系十分紧密的一门学科。
因此自人类文明发端以来，概率这个概念就已被人们有意无意地渗透到了日常生活中。
人们常说估计如何如何，这里的“估计”包含着概率的含义，只不过在大多数人那里“概率”没有形成独立的知识体系，人们只是根据生活经验对他进行简单地应用而已。
随着技术革____带来的科技的飞速发展，概率论才逐渐形成一套完备的知识体系。
数理统计是在概率论的基础上发展起来的，因此发展时间也稍微晚些。
顾名思义，概率论是一门研究事情发生的可能性大小的学问。
对概率论的研究始于意大利的文艺复兴的____中人们要求找到掷骰子决定胜负的规则。
随着18、____世纪科学的进步，游戏起源的概率论被应用到这些领域中，这也极大推动了概率论本身的发展。
后来，瑞士数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。
这标志着概率论成为了数学的一个分支。
随后法国数学家棣莫弗和拉普拉斯又导出了中心极限定理的原始形式。
之后，拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。
____世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了____实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
____世纪初在物理学的刺激下，人们开始研究随机过程。
这方面柯尔莫哥洛夫、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。
数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，其发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。
概率课程反思心得体会(2篇)
第1篇在大学的学习过程中，概率论与数理统计课程无疑是一门重要的基础课程。
通过这门课程的学习，我对概率论的基本概念、性质、计算方法有了更为深刻的认识，同时也对数理统计方法在科学研究、实际应用中的重要作用有了更加清晰的认识。
以下是我对概率课程的学习心得体会。
一、概率论的基本概念概率论是一门研究随机现象规律性的数学分支，它主要研究随机事件发生的可能性及其相互关系。
在概率课程的学习中，我深刻理解了以下基本概念：1. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2. 样本空间：一个随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。
3. 事件：样本空间中的任意子集称为事件。
4. 概率：随机事件发生的可能性大小，用0到1之间的实数表示。
5. 条件概率：在已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
6. 独立事件：两个事件的发生互不影响，即其中一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
通过学习这些基本概念，我对概率论有了初步的认识，为后续的学习奠定了基础。
二、概率论的计算方法概率论的计算方法主要包括以下几种：1. 古典概率计算：适用于有限样本空间和等可能事件的概率计算。
2. 概率公式：包括加法公式、乘法公式、逆事件公式等，用于计算复合事件的概率。
3. 贝叶斯公式：在已知部分信息的情况下，根据先验概率和条件概率来计算后验概率。
4. 大数定律和中心极限定理：在大量重复试验中，随机变量趋于稳定的规律。
通过学习这些计算方法，我掌握了概率论的基本计算技巧，为解决实际问题提供了有力工具。
三、数理统计方法在科学研究中的应用数理统计是概率论在科学研究中的重要应用，它通过对数据的收集、整理、分析和推断，为科学研究和实际应用提供理论依据。
以下是我对数理统计方法在科学研究中的应用心得：1. 描述性统计：通过图表、表格等形式对数据进行描述，了解数据的分布特征。
2. 推断性统计：在描述性统计的基础上，根据样本数据推断总体特征，包括参数估计和假设检验。
概率论学习心得最新10篇
概率论学习心得最新10篇概率论知识点总结篇一第一章随机事件和概率一、本章的重点内容：四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔五个运算：并，交，差﹔四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律（德摩根律）﹔概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔·条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。
近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。
二、常见典型题型：1、随机事件的关系运算﹔2、求随机事件的概率﹔3、综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。
第二章随机变量及其分布一、本章的重点内容：随机变量及其分布函数的概念和性质（充要条件）﹔分布律和概率密度的性质（充要条件）﹔八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔随机变量简单函数的概率分布。
近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布二、常见典型题型：1、求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔2、一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔3、反求或判定分布中的参数﹔4、求一维随机变量在某一区间的概率﹔5、求一维随机变量函的分布。
第三章二维随机变量及其分布一、本章的重点内容：二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。
本章是概率论重点部分之一！应着重对待。
二、常见典型题型：1、求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔2、已知部分边缘分布，求联合分布律﹔3、求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔4、两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔5、与二维随机变量独立性相关的命题﹔6、求两个随机变量的相关系数﹔7、求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。
展示概率课程心得体会范文(2篇)
第1篇在大学的学习生涯中，概率论与数理统计是一门让我受益匪浅的课程。
通过这门课程的学习，我对概率论的基本概念、原理和方法有了更深入的理解，同时也感受到了数学之美。
以下是我对概率课程的一些心得体会。
一、概率论的基本概念概率论是一门研究随机现象的数学分支，它揭示了随机现象中的规律性。
在学习概率论的过程中，我深刻体会到了以下几个基本概念的重要性：1. 随机事件：随机事件是指在某种试验或观察中可能发生也可能不发生的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指所有可能出现的随机事件组成的集合。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面朝上，反面朝上}。
3. 事件概率：事件概率是指某一随机事件发生的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
4. 独立事件：独立事件是指两个或多个事件的发生与否互不影响。
例如，抛两枚硬币，第一枚硬币正面朝上与第二枚硬币正面朝上是独立事件。
二、概率论的基本原理概率论的基本原理主要包括以下三个方面：1. 概率公理：概率公理是概率论的基础，它包括以下三个公理：（1）任何事件的概率都介于0和1之间；（2）必然事件的概率为1；（3）不可能事件的概率为0。
2. 条件概率：条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和B 同时发生的概率。
3. 独立事件的概率乘法公式：对于两个独立事件A和B，它们的概率乘法公式为：P(A且B) = P(A) × P(B)。
三、概率论的应用概率论在现实生活中有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 金融领域：在金融领域，概率论被用于计算股票、债券等金融产品的风险和收益。
例如，利用概率论可以预测股票价格的波动，从而为投资者提供决策依据。
2. 保险行业：在保险行业中，概率论被用于计算保险费率和赔偿金额。
概率论学习心得总结
概率论学习心得总结概率论是一门研究随机现象的学科，它在现代科学和工程中起着重要的作用。
在这门课程中，我学习了概率论的基本概念和方法，并通过大量的练习和实例加深了对概率论的理解。
以下是我在学习概率论过程中的一些心得总结。
1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生的可能性的数值。
在概率论中，我们用事件、样本空间和概率空间来描述随机现象。
•事件是指样本空间中的一个子集，表示某个特定的结果或一组结果。
•样本空间是指所有可能结果的集合。
•概率空间是指对于每个事件，都有一个非负实数与之对应，满足一定的概率公理。
2. 概率的计算方法概率的计算方法包括经典概型、条件概率、乘法原理和全概率公式等。
•经典概型是指所有可能结果等概率出现的情况，通过计算事件包含的基本结果数量与样本空间的基本结果数量之比来计算概率。
•条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中 A 和 B 是两个事件。
•乘法原理是指计算多个事件同时发生的概率，乘法原理的计算公式为P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
•全概率公式是指当事件可以划分为多个互斥事件时，通过计算每个互斥事件发生的概率乘以其条件概率之和来计算事件的概率。
全概率公式的计算公式为P(B) = Σ P(A_i) * P(B|A_i)，其中 A_i 是样本空间的一个划分。
3. 随机变量和概率分布随机变量是指对随机现象结果的数值描述。
在概率论中，随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
•离散随机变量是指取有限或可数个数值的随机变量。
离散随机变量的概率分布可以通过概率分布列或概率质量函数来描述。
•连续随机变量是指在一定范围内可以取无限个数值的随机变量。
连续随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述。
在学习中，我通过解决各种问题和练习，掌握了离散随机变量和连续随机变量的概率计算方法，如求期望、方差和概率密度等。
2024年概率论与数理统计学习心得范文(2篇)
2024年概率论与数理统计学习心得范文学习概率论与数理统计是我大学数学系的一门重要课程，在学习过程中，我深刻体会到了概率论与数理统计对于数学理论的严谨性和实际应用的广泛性。
通过系统的课程学习和大量的习题练习，我对于概率论与数理统计的基本概念、方法和应用有了较为扎实的理解，并在此过程中培养了一定的数学思维能力和问题解决能力。
一、概率论学习心得概率论是研究随机事件发生的规律性的数学理论，它广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
学习概率论的过程中，我深刻体会到了概率概念与实际问题之间的联系，以及概率论在解决实际问题中的重要性。
首先，概率论的基本概念对于理解和描述随机事件发生的规律性起着重要作用。
在学习中，我了解了概率的三种基本定义：经典概率、统计概率和主观概率。
通过这些定义，我明白了概率是一种数值度量，表示事件的可能性大小，可以通过大量试验或者统计推断来得到。
其次，概率计算方法的学习使我深入理解了概率问题的具体解决办法。
在学习中，我学会了计算概率的基本方法，包括组合方法、排列方法、条件概率和贝叶斯定理等。
通过练习习题和解析概率问题，我提高了自己的计算能力和分析问题的能力，学会了灵活应用各种概率计算方法。
最后，概率论的应用实例的学习使我认识到概率论在实际问题中的重要性。
在课程中，我学习了常见的概率分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布等），并学会了利用这些分布解决实际问题（如随机变量、极限定理、抽样分布等）。
通过应用实例的学习，我意识到概率论能够帮助我们分析和预测实际问题的发生概率和规律性，对于风险评估、决策分析等具有重要的参考作用。
二、数理统计学习心得数理统计是研究随机事件的规律性和数据的分析与应用的数学理论，广泛应用于社会科学、生物科学和工程技术等领域。
学习数理统计的过程中，我深刻体会到了数据分析与应用过程中的问题和方法，以及数理统计在实际问题中的重要性。
首先，数理统计的基本概念对于理解和描述数据规律性起着重要作用。
概率论学习心得
概率论学习心得概率论是数学中的一个重要分支，它涉及随机现象及其统计规律的探究。
在学习概率论的过程中，我不仅掌握了一些基本的概率计算和统计分析方法，还深化了对随机现象的理解，有一些心得和体会，在此与大家分享。
首先，概率论的基础概念是理解整个学科体系的关键。
在学习概率论初期，我花费了大量时间在理解和掌握基础概念上，如事件、独立性、条件概率、贝叶斯公式等。
这些概念是构建概率论大厦的基石，只有充分理解和掌握了这些概念，才能更好地理解和应用概率论。
其次，概率论中有一个重要的思想，那就是“随机性”。
概率论所研究的现象往往具有不确定性，这种不确定性有时会带来无法预测的结果。
但是，通过概率论的学习，我了解到虽然单个事件的结果可能无法预测，但只要我们掌握了大量事件的统计规律，就可以利用这些规律对未来事件进行预测。
这种“随机性”的思想对于我理解和接受生活中的不确定性和变化有很大的帮助。
再者，概率论中的许多知识是与我们的日常生活息息相关的。
比如，概率论中的大数定律、中心极限定理等在保险、金融等领域有着广泛的应用。
通过对这些知识的学习，我深刻体会到了概率论在解决实际问题中的重要性。
同时，通过对这些实际问题的了解和学习，也让我更好地理解了概率论中的理论知识。
然后，概率论是一种严谨的数学科学。
在学习概率论的过程中，我深刻体会到了数学的严谨性和逻辑性。
每一个概念都有其精确定义，每一个定理都有其严格的证明过程。
这种严谨性不仅让我在学习概率论时避免了许多错误，也让我在对待生活中的问题时更加谨慎和理性。
最后，我认为学习概率论最大的收获是培养了一种理性的思维方式。
在面对生活中的问题时，我们不能只看到表面现象，而应该深入分析其本质和规律。
概率论就是一种帮助我们理解和分析随机现象的思维方式。
通过概率论的学习，我学会了如何从繁杂的信息中提炼出关键要素，如何设计实验和分析数据，以及如何根据已有的经验对未来进行预测。
这种理性的思维方式不仅在学术上有用，在日常生活中也同样重要。
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第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等1若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A 或A⊂B。
若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。
记为A∪B。
用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。
定义：积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e∉B} 。
定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
23定义6：逆事件/对立事件称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件，记为Ā 。
A 与Ā满足：A ∪Ā= S,且A Ā=Φ。
运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC （4）德摩根律： 小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容；B A B A =BA B A =4四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件A 由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。
2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则向区域S 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可. 概率的性质：（1）P(φ)=0, （2）()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,11∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=nk k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，5（3）（4） 若A ⊂B ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率. 乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B ) P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则),(1)(A P A P -=()()B P AB P B A P =)|(∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜∑==nj jji i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜6第五节 ：若两事件A 、B 满足P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A 、B 、C ，若P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为 总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。
pq n k qp C k P kn k k n n -===-1,,,1,0)(4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。
第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X是一个r.v，x为一个任意实数，称函数F(X)=P（X≤x）为X的分布函数。
X的分布函数是F(x)记作X ～ F(x)或F X(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x) 的值就表示X落在区间（x≤X）。
78定义1 ：设x k (k =1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称等式P(X=x k )=P K ,为离散型随机变量X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中P K,≥0；ΣP k =1 分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量X 的分布律，可求出X 的分布函数： ①设一离散型随机变量X 的分布律为 P{X=x k }=p k (k=1，2，…) 由概率的可列可加性可得X 的分布函数为②已知随机变量X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2）已知随机变量X 的分布函数，可求出X 的分布律：一、 三种常用离散型随机变量的分布 . 1（0－1）分布：∑∑≤≤===≤=xx kxx k k k px F x XP x X P x F )(}{}{)(即,3,2,1)0()(}{=--==k x F x F x X P k k k9设随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律为 P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1) 则称X 服从（0－1）分布,记为X ~（0－1）分布。
（0－1）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p 易求得其分布函数为2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X 的分布律为其中0<p<1,q=1-p,则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为X ~B(n,p).4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X 所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X ~P (入).、连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=110100)(x p x p x x F {}nk qp C k X P kk k n ,,1,01 ===-,,,,,!)( 210===-k k ek X P kλλ10（1）f(x)≥0 （2） (3).X 落在区间(x 1，x 2)的概率 几何意义：X 落在区间(x 1，x 2)的概率P{x 1<X ≤x 2}等于区间(x 1，x 2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积． (4).若f(x)在点x 处连续，则有F ′(x)=f(x)。
．概率密度f(x )与分布函数F(x )的关系：(1)若连续型随机变量X 具有概率密度f(x )，则它的分布函数为(2)若连续型随机变量X 的分布函数为F(x )，那么它的概率密度为f(x )=F ′(x ).注意：对于F(x )不可导的点x 处，f(x )在该点x 处的函数值可任意给出。
三种重要的连续型分布：1．均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X 具有概率密度则称X 在区间(a ，b)上服从均匀分布，记为X ~U(a ，b).1)(=⎰∞+∞-dt t f {}⎰=-=≤<21)()()(1221x xdxx f x F x F x X x P dtt f x F x ⎰∞-=)()(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他1)(b x a ab x f11若X ~U(a ，b)，则容易计算出X 的分布函数为2. 指数分布⎩⎨⎧<≥=-000)(x x e x f xλλ入>0则称 X 服从参数为 入的指数分布. 常简记为 X~E( 入) 指数分布的分布函数为指数分布的一个重要特性是”无记忆性”. 设随机变量X 满足：对于任意的s>o ，t>0,有 则称随机变量X 具有无记忆性。
3. 正态分布若r.v X 的概率密度为其中 μ和 2σ 都是常数， 任意，μ >0，则称X 服从参数为 μ 和 2σ 的正态分布. 记作),(~2σμN X f (x )所确定的曲线叫作正态曲线.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤--<=bx b x a a b a x a x x F 10)(⎩⎨⎧≤>-=-001)(x x e x F xλ{}{}t X P s X t s X P ≥=≥+≥|∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ121,0==σμ 的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数的分布设X 为连续型随机变量，具有概率密度f x (x)，求Y=g(X) （g 连续）的概率密度。
1．一般方法——分布函数法 可先求出Y 的分布函数F Y (y)：因为F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}，设l y ={x|g(x)≤y} 则再由F Y (y)进一步求出Y 的概率密度2. 设连续型随机变量X 的密度函数为ϕX (x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种：(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X y Y dxx f dx x f l X P y F y)()()(())(y F y f Y Y '=13（1）分布函数法；（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重叠的区间I 1,I 2,…上逐段严格单 调，其反函数分别为h 1(y), h 2(y), …,且h '1(y), h '2(y), …,均为连续函数，则Y= g(X)是连续型随机变量， 其密度函数为对于连续型随机变量，在求Y =g (X ) 的分布时，关键的一步是把事件 { g (X )≤ y } 转化为X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g (X )≤ y }.。