迭代法与高斯消元法
列主元高斯消去 LU分解 迭代法
数学与信息科学学院实验报告课程名称：《数值计算方法》实验名称：数值积分实验类型：验证性■综合性□设计性□实验室名称：数学实验室班级学号： 090721学生姓名：任课教师（教师签名）：成绩：实验日期：2012-4-27一、实验目的及题目熟悉线性方程组求解原理，运用列主消元高斯消去法，LU 分解法及Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法丢出线性方程的解 实验题目：1、用列主元消去法解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++--=+--=+-+=++4323331243432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x2、用LU 分解法界方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2244,1626622060121224121202448b A3、分别用jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+--=+-2511361021138112104321321432321x x x x x x x x x x x x x二、实验原理、程序框图、程序代码等实验原理：1、列主元高斯消去原理：每次消去中，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。
设)()(k k b x A =，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元。
根据矩阵理论，交换k i 和k 两个方程的位置，列主元素的消去过程相当于对交换后的新矩阵进行消元，即)1(,+=k k i k k A A I L k同时，右端向量)(k b 变化为 )1(,+=k k i k k b b I L k2、LU 分解原理：直接三角分解：先将A 分解为上三角矩阵U 和下三角矩阵L （A=LU ），则原为题等价于求解两个方程组：y Ux b Ly ==, 3、迭代法（1）jacobi 迭代法（又称简单迭代法） 考虑n 阶线性代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111其矩阵形式为b Ax =设该方程组的系数矩阵A 非奇异且),.....,2,1(0n i a ii =≠，可将A 分解为：U L D A --=其中],.....,,[2211nn a a a diag D =；-=L ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000111313121n n n a a a a a a，U=－⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000,122311312n n n n a a a a a a然后化为如下等价形式b D x U L D x 11)(--++=简记为 J J f x B x += 选取初始向量[]Tnx x x x )0()0(2)0(1)0(, =,通过上式可得到线性代数方程组的迭代格式)2,1,0(,)()1( =+=+k f x B x J k J k其分量形式为 )2,1,0)(,2,1(),(111)1( ==-=∑≠=+k n i x a b a x nj i k j ij i ii k i 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----=----=----=--+++)(1)(1)(1)(11,)(22)(11)1()(2)(323)(121222)1(2)(1)(313)(212111)1(1k n n n k n k n n nn k n k nn k k k k n n k k k x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x以上计算过程称迭代法，矩阵J B 陈为jacobi 迭代法的迭代矩阵。
高斯消元法是线性代数中的一个算法可用来求解线性方
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。
如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
①无解当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
②唯一解条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。
利用回代逐一求出解集。
③无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。
我们先把所有的变元视为不确定的。
在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。
如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。
浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。
高斯消元法简介在信息学竞赛中，很多问题都可以转化成线性方程组或者与之相关的问题。
因此，我们需要了解线性方程组的各种解法。
类矩阵两种迭代法的收敛性比较
类矩阵两种迭代法的收敛性比较引言：在科学计算中，线性方程组的求解是很普遍的问题。
尤其是在大型科学计算中，线性方程组的求解是最重要的任务之一。
线性方程组的求解有很多种方法，例如高斯消元法、LU分解法、迭代法等等，其中迭代法是一种高效的方法。
迭代法的思想是从一个初值解开始，逐步改进解的准确度，直到满足误差要求。
在本文中，我们将讨论两种类矩阵迭代法的收敛性比较，即雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
1.雅可比迭代法（Jacobi Iterative Method）：雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。
它是基于线性方程组的矩阵形式 Ax=b，将 A 分解成 A=D-L-U（D为A的对角线元素，L为A的下三角矩阵，U为A的上三角矩阵），其中 D 为对角线元素，L为严格下三角矩阵，U 为严格上三角矩阵。
则有如下迭代关系式： x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b (1)其中，x^{(k)} 为 k 次迭代后的解，x^{(0)} 为初始解。
雅可比迭代法的迭代矩阵为M = D^{-1}(L+U)。
以下是雅可比迭代法的收敛性分析：定理1：若矩阵 A 为对称正定矩阵，则雅可比迭代法收敛。
证明：由于 A 为对称正定矩阵，所以存在唯一的解。
假设迭代后得到的解为 x^{(k)}，则我们可以用误差向量 e^{(k)} = x-x^{(k)} 表示剩余项，则有 Ax^{(k)}-b = e^{(k)}。
对 (1) 式两边同时乘以 A^-1，得：x^{(k+1)}=x^{(k)}-A^{-1}e^{(k)}。
(2)将 (2) 式代入 Ax^{(k)}-b = e^{(k)} 中，得：Ax^{(k+1)}-b = Ae^{(k)}.(3)由于 A 为对称正定矩阵，则存在 A=Q\\Lambda Q^{-1}，其中Q 为正交矩阵，\\Lambda 为对角矩阵。
因此，我们可以将 (3) 式转化为：\\| x^{(k+1)}-x \\|_{A} =\\| Q^{-1}A^{-1}Qe^{(k)}\\|_{\\Lambda} \\leq \\rho (Q^{-1}A^{-1}Q)\\|e^{(k)}\\|_{A}。
python高斯-牛顿迭代法 -回复
python高斯-牛顿迭代法-回复题目：Python高斯牛顿迭代法解析- 优化非线性问题摘要：高斯牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程组的优化算法。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的原理和使用Python实现的步骤。
我们将以一个简单的实例来说明算法的应用，并解释其背后的数学原理。
最后，我们将讨论高斯牛顿迭代法的优势和局限性。
引言：高斯牛顿迭代法是一种被广泛使用的数值优化算法，用于解决非线性问题。
不同于求解线性方程组的高斯消元法，高斯牛顿迭代法专门用于求解非线性问题。
它的应用领域涵盖了各个科学和工程领域，如计量经济学、计算机视觉和机器学习。
本文将详细介绍高斯牛顿迭代法的原理和实现步骤。
我们将以一个简单的实例来演示算法的工作原理，并对其数学背后的原理进行解析。
一、高斯牛顿迭代法原理高斯牛顿迭代法的目标是通过迭代的方式逼近方程组的根。
为了便于理解，我们以一个简单的二次曲线拟合问题为例。
假设我们有一组观测数据点(xi，yi)，我们希望通过一个二次曲线y = a * x^2 + b * x + c来拟合这些数据。
我们的目标是找到最佳的参数a、b 和c，使得拟合曲线与观测数据点的差异最小。
为了达到这个目标，我们可以定义一个误差函数E(a，b，c)来衡量拟合曲线和观测数据点之间的差异。
常见的误差函数有平方和误差函数，即E(a，b，c) = Σ(yi - (a * xi^2 + b * xi + c))^2。
我们的目标是最小化误差函数，即找到使得E(a，b，c)最小的a、b和c。
高斯牛顿迭代法通过迭代的方式逼近最佳参数。
二、高斯牛顿迭代法步骤1. 初始化参数：初始化a、b和c的初始值。
2. 计算雅可比矩阵：雅可比矩阵是误差函数对参数的偏导数矩阵。
对于二次曲线拟合问题，雅可比矩阵J可以表示为：J = [∂E/∂a, ∂E/∂b, ∂E/∂c]3. 计算梯度向量：梯度向量是误差函数在当前参数值处的梯度，即导数。
梯度向量g可以表示为：g = [∂E/∂a, ∂E/∂b, ∂E/∂c]4. 计算海森矩阵：海森矩阵是误差函数对参数的二阶偏导数矩阵。
19476-数学建模-代数方程组的解法实验
实验目的实验内容MATLAB2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际问题.实验软件1、用Matlab 软件掌握（非）线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析.1、向量和矩阵的范数.2、解线性方程组的方法介绍.3、解非线性方程（组）的方法介绍.2）、条件数的性质：a) 1)(≥A cond ；b) 对于R ∈≠)0(α，)()(A cond A cond =α； c) 对于正交阵n n R Q ⨯∈，)()()(A cond AQ cond QA cond ==；讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：)1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a从（4）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1-n x ，并如此进行下去，即可依次将1,,x x n 全部解出，这样在),,2,1(0)(n k a k kk =≠的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，就构成了方程组的消元法，称高斯消元法。
高斯消元法的MATLAB程序%顺序gauss消去法，gauss函数function [A,u]=gauss(a,n)for k=1:n-1%消去过程for i=k+1:nfor j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能消去if abs(a(k,k))>1e-6%计算第k步的增广矩阵a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);else%a(k,k)=0,顺序gauss消去失败disp('顺序gauss消去失败');pause;exit;endendendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j);endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i);end%返回gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例1 用高斯消元法求解方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++++=+++=++++63521967414832157425421542154321542154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x列主元素消元法的MATLAB程序%列主元gauss消去函数function [A,u]=gauss(a,n)%消去过程for k=1:n-1%选主元c=0;for q=k:nif abs(a(q,k))>cc=a(q,k);l=q;endend%如果主元为0，则矩阵A不可逆if abs(c)<1e-10disp('error');pause;exit;end%如果l不等于k，则交换第l行和第k行if l~=kfor q=k:n+1temp=a(k,q);a(k,q)=a(l.q);a(l,q)=temp;endend%计算第k步的元素值for i=k+1:nfor j=k+1:na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);endendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回列主元gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例2 用列主元素消去法重新解例1二、迭代法1、迭代法的总体思想：1)、迭代公式的构造：对线性方程组b Ax =，可以构造一个迭代公式 f BX Xk k +=++)1()1(，给出)0(X 由迭代公式的{})(k X ，如果{})(k X 收敛于*X ，那么*X 就是原方程组的解。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
第三章-高斯消去法
对于（A (1) , b (1) )中个元素的计算公式为：
( ( (0 a11j) a10) / a11) j (1) ( 0) ( 0 ) (1) a ij a ij a i1 a1 j
( j 2, , n 1) (i 2, , n; j 2, n 1)
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
第一步：先将方程（1）中未知数 边，得到下列方程组：
x 1的系数2除（1）的两
1 3 1 x1 2 x 2 2 x 3 2 I1 4 x1 2 x 2 5x 3 4 2x 2x 3 6 1
( a 10 ) n
a (0) 22
(0 a 32)
a (0) 2n
( a 30 ) n
a (0) 42
a (0) 4n
( a 10 ) 1 n (0) a 2 n 1 ( a 30 )1 n (0) a 4n 2
(0 第一步：对（A ( 0) , b ( 0)）的第一行个元素除以a11) , 然 0 后用第i行元数（i 2, , n )减去第一行对应元素的a i(1 ) (0 倍， 2, , n ), 这样，a11) 位置变为 ，其余各行的第一 (i 1
(1 a12) 1
(1 a13) a ( 2) 23
0 0
( a 11)1 n a ( 2 )1 2n 记为 ( 2) ( 2) a 33 a 3n 1 （A ( 2 ) , b ( 2 )） ( 2) ( 2) a n 3 a nn 1
k 对第k行各元素除以a (kk1) , 第i行的元素减去第k行对应 (k 元素的a ik 1)倍（i k 1, , n ), 这样就将第k行第k个元
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
计算方法 第八章 解线性方程组的迭代法 高斯迭代法 迭代法的收敛性
( ( k x1k 1) , x2k 1) ,, xi(1 1)
的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算， 仍用 (k ) (k ) (k )
x1 , x2 ,, xi 1
这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽
设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立 Jacobi迭代公式，即
a
i 1
n
ij
xj b , a 0 i i
( i 1,2, )n , ( i 1,2, )n ,
1 xi (bi aii
a
j 1 ji
n
ij
x) j
由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
写成矩阵形式：
aii 0
x 1 a x ... a x b 12 2 1n n 1 1 a11 1 a x ... a x b x2 21 1 2n n 2 a22 ... ... ... ... 1 xn a an1 x1 ... a nn 1 xn1 bn nn
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
x( k 1) Bx( k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
5
AX b
15
迭代次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1 0 0.72 1.04308 1.09313 1.099126 1.09989 1.099986 1.099998 1.1
解方程(组)的十五种技巧
解方程（组）的十五种技巧包括：
移项法：将方程左右两边上的变量移动到另一边。
加减法：同时加减方程左右两边的相同项，以使得左边或右边为零。
乘除法：乘或除方程的左右两边的相同数，以使得左边或右边的系数为1。
用分数或小数代替：把方程的整数解转化为分数或小数解。
消元法：通过将方程组中的某些方程相加或减来消除其中一个未知数。
高斯消元法：通过将方程组的系数矩阵转化为一个上三角矩阵来求解方程组。
高斯-约旦法：通过将方程组的系数矩阵转化为一个单位矩阵来求解方程组。
分数解法：通过多项式除法或数学证明的方法解决分数方程。
因数分解法：通过因数分解的方法解决方程。
牛顿迭代法：通过牛顿迭代法求解方程。
导数法：通过函数的导数和原函数来解决方程。
拉林法：通过构造拉普拉斯矩阵来求解方程组。
配方法：通过代入值来求解方程。
牛顿-raphson法：通过对函数的近似值进行迭代来求解方程。
这些技巧可以根据具体的方程类型和求解目的来选择使用。
常用的解方程的技巧包括移项法，加减法，乘除法，高斯消元法和高斯-约旦法。