数值分析第四章
数值分析第四章习题
数值分析第四章习题第四章习题1. 采用数值计算方法，画出dt t t x y x ?=0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。
〖答案〗1.65412. 求函数x e x f 3sin )(=的数值积分?=π 0 )(dx x f s ，并请采用符号计算尝试复算。
〖答案〗s = 5.1354Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58s =int(exp(sin(x)^3),x = 0 .. pi)3. 用quad 求取dx x e x sin 7.15?--ππ的数值积分，并保证积分的绝对精度为910-。
〖答案〗1.087849437547794. 求函数5.08.12cos 5.1)5(sin )(206.02++-=t t t et t f t 在区间]5,5[-中的最小值点。
〖答案〗最小值点是-1.28498111480531 相应目标值是-0.186048010065455. 设0)0(,1)0(,1)(2)(3)(22===+-dt dy y t y dt t dy dt t y d ，用数值法和符号法求5.0)(=t t y 。
〖答案〗数值解y_05 = 0.78958020790127符号解ys =1/2-1/2*exp(2*t)+exp(t)ys_05 =.789580356470605529168507052137806. 求矩阵b Ax =的解，A 为3阶魔方阵，b 是)13(?的全1列向量。
〖答案〗x =0.06670.06670.06677. 求矩阵b Ax =的解，A 为4阶魔方阵，b 是)14(?的全1列向量。
〖答案〗解不唯一x =-0.0074 -0.0809 0.1397 0.0662 0.0588 0.1176 -0.0588。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析第四章林成森
-4 -4
0
Newton 差值多项式为： = −5 + 2 − 4( − 1) = −4 + 6 − 5; f(1.5) = −5 24、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5/2,求 Newton 差值多项式，再条件 f(3/2)=13/4，Newton 差值多项 式 (1)计算差商如下表： I 0 1 2 0 1 2 ( ) 3 3 5/2 一阶差商 0 -0.5 二阶差商
×1 ×1
0.25(0.25 − 1) 0.25(0.25 − 1)(0.25 − 2) 155 ×1+ ×1= 2! 3! 128 0.3(0.3 + 1) 0.3(0.3 + 1)(0.3 + 2) 91 ×2+ ×1 = 2! 3! 16
f(x) = f(2.2 + 0.3) = 8 + 0.3 × 4 +
-0.25
Newton 差值多项式为： = 3 − 0.25( − 1) = −0.25 + 0.25 + 3; (2) 计算差商如下表： I ( ) 一阶差商 二阶差商 0 0 3 1 1 3 0 2 2 5/2 -1/2 -1/4 3 3/2 13/4 -3/2 -2 Newton 差值多项式为： = 3 − ( − 0)( − 1) − (x − 2)(x − 1)x = −
1 = 1.5 2 23、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15.f(2)=-9,求 Newton 差值多项式及 f(1.5)的值。 计算差商如下表： I 0 1 2 3 0 1 -1 2 ( ) -5 -3 -15 -9 一阶差商 2 6 2 二阶差商 三阶差商
数值分析Chapter4_1_Lagrange插值
6 , x1
利用 x0
0
4
5 sin 50 L1 ( ) 0.77614 18 (2) f ( x ) 1 3 R1 ( x) ( x )( x ), sin x 2! 6 4 2 2
L1 ( x ) x / 4 1 + x / 6 1 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2
f ( n+1) ( ) u ( x) (n + 1) !
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 2 3 2 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算
sin 50， 并估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察
(t ) Rn (t ) u ( x) (t xi ) f (t ) Ln (t ) u ( x) (t xi )
i 0 i 0
n
n
(t)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x
( n+1)
( x ) 0, x (a, b)
l0 ( x0 ) l1 ( x0 ) l0 ( x1 ) l1 ( x1 ) l0 ( xn ) l1 ( xn )
ln ( x0 ) c0 f ( x0 ) ln ( x1 ) c1 f ( x1 ) ln ( xn ) cn f ( xn )
因此得到插值多项式 pn(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x)
数值分析第四章4-1
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2
引例与问题综述(续)
表4.1.1 函数表
x f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
… …
xn f(xn)
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3
引例与问题综述(续)
• • •
需要通过这组实验观测数据 (xi , yi ) (i =0, 1,2,…, n) 揭示自变量x与因变量y之间的关系。 一般地，可以用一个近似的函数关系式y = f(x)来表示 自变量x与因变量y之间的关系。 函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异， 通常可采用两种方法：插值与数据拟合。
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20
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是 必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据 拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使 所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据 通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果 往往较差。
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4
一、引例 引例1 海水温度问题 已经测得在北纬 32.3° 海洋不同深度处的温度如下表：
表4.1.2 海水温度表
深度x (m) 水温y (C°)
466 7.04
714 4.28
950 3.40
1422 2.54
1634 2.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、 600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来 解决，这是一个被称为插值的问题。
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问题综述（续）
研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分
b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
数值分析习题第四章
第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）hhhfAfAhfAdxxf1010；
（2）hhhfAfAhfAdxxf221010； （3）3/3211121xfxffdxxf； （4）hffahhffhdxxfh'0'2/020 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101AAA，，，将21xxxf，，分别代入求积公式，并令其左右相等，得
3112111013202hAAhAAhhAAA
解得hAhAA3431011，。
所求公式至少具有2次代数精度。又由于
444
333
3333
hhhhdxxhhhhdxxhhhh
故hhhfAfAhfAdxxf1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101AAA，，，故令公式对21xxxf，，准确成立，
得31121110131604hAAhAAhhAAA，解得hhhAhAhAA34316424381011， 故0343822hfhfhfhdxxfhh 因hhdxxf220 而03833hhh
又445562243831652hhhhhdxxhh 所以求积公式只具有三次代数精度。 （3）求积公式中韩两个待定常数21xx、，当令公式对1xf准确成立时，得到 32131211dx
此等式不含有待定量21xx、，无用，故需令公式对2xxxf，准确成立，即
数值分析 第四章习题
12. 用变步长梯形法计算积分 0 x ，要求后验误差达到 2
.
∫1
I=
x
dx
13. 用变步长自动控制误差（逐次减半）梯形法及 Simpson 公式计算
0 4 + x2 ，使后
1 ×10−3 1 ×10−5
验误差估计分别是 2
和2
.
14.
设已给出
f (x) =
1 (1+ x)2
的数据表：
x
1.0
1.1
（1）Romberg 方法
-1-
郑州大学研究生课程（2011-2012 学年上学期）
数值分析 Numerical Analysis
（2）三点与五点 Gauss-Legendre 求积公式.
∫4 1
9.
用
Gauss-Legendre
求积公式计算
dx −4 1+ x .
分 别 取 n = 2, 3, 4 ， 并 与 真 值
6. 用复化梯形公式计算积分 0 ，区间应分多少等份，才能保证计算结果有 5 位精度？
若改用 Simpson 公式，应分多少等份？
∫ I = π ex cos xdx
7. 用 Romberg 方法计算 0
.
∫ I = 3 dx
8. 用下列方法计算积分 1 x ，并比较所得结果（ ln 3 的真值为 1.098612289）
1 0
f
( x)dx
≈
A0
f
(0)
+
A1
f
(1) 2
（3） −h f (x)dx ≈ A0 f (−h) + A1 f (h1)
∫ （4）
1 0
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
数值分析第四章函数逼近与拟合讲解
m
2 [P(xi )
i 1
yi
]
P( x ak
i
)
n
m
m
2
aj
x jk i
yi xik
j0
i 1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik
i1
i1
mn
2
[
a
j
x
j i
yi ]
x
k i
回归系数
i1 j0
b00
i 1
| xn | xn2
③ -范数：
x
max
1in
xi
（最大范数）
赋范线性空间
赋范线性空间 C[a, b]
线性空间 C[a, b] ，f(x)C[a, b]
① 1-范数： f ( x) 1
b a
f (x)
dx
② 2-范数： f ( x) b f 2( x) dx
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), K
(3) (u v, w) (u, v) (u, w), w X (4) (u, u) 0 ，等号当且仅当 u = 0 时成立 称 (u, v) 为 X 上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间
2
a
性质
设 0, 1, , nC[a, b]，则 0, 1, , n 线
性无关当且仅当 det(G) 0，其中
G G(0,1,
(0,0 )
,n
)
(1
,
0
)