滤波反投影
反投影重建算法
反投影重建算法
反投影重建算法（FBP）是一种计算机断层扫描成像（CT）重建图像
的方法。
该算法基于通过旋转体与X射线束的物理原理，将多个方向
的X射线透射数据进行积分，并使用反投影算法将数据重构成一张图像。
FBP算法分为两个基本部分：投影操作和反投影操作。
投影操作是一
种从图像中提取片段的技术，而反投影操作则是将这些片段重构成图像。
FBP重建算法的本质是一种频域过滤操作，其通过滤波技术提取
图像中的高频信息，并使用反投影技术将其还原为一张二维图像。
反投影重建算法的主要优点是其速度和适应性。
这种算法能够轻松地
生成高质量的图像，并且对于许多不同的应用程序都可以使用不同的
滤波模式。
目前，FBP算法被广泛应用于医学成像、工业检测和材料
科学等领域。
需要注意的是，FBP算法并不是完美的。
由于其基于体积的积分，因
此它可能受到一个“锐角偏差”问题的影响。
锐角偏差问题是指，当
图像中存在锐利的边缘或角落时，算法可能会出现伪影或失真的问题。
为了应对这个问题，一些改进算法被提出，例如金刚簇算法（来自中
国科技大学），基于块的迭代顺序最小化算法和模糊模式匹配算法等。
总之，反投影重建算法是一种实用的成像算法，对于许多不同的领域都具有广泛的适用性。
虽然这种算法具有其局限性，但是通过改进算法可以进一步提高它的可靠性和精度。
滤波反投影法的实施步骤
滤波反投影法的实施步骤1. 简介滤波反投影法（Filtered Back Projection, FBP）是一种重建计算机体层成像（Computed Tomography, CT）图像的方法。
它通过对一系列飞行时间或射线投影数据进行滤波和反投影操作，来恢复被测物体的内部结构信息。
本文将详细介绍滤波反投影法的实施步骤。
2. 数据获取首先，我们需要获取一系列的投影数据。
投影数据是通过将被测物体从不同角度进行透射扫描而得到的，通常使用X射线或者其他形式的射线。
3. 数据预处理在进行滤波反投影之前，我们需要对投影数据进行一些预处理操作。
这些操作包括：去除背景噪声、校准投影数据以及执行各种纠正操作，以确保数据的准确性和一致性。
4. 滤波操作滤波操作是滤波反投影法中的关键步骤，它通过对投影数据进行频域滤波来增强图像的对比度和细节信息。
常用的滤波方法包括：Ram-Lak、Shepp-Logan、Hann窗等。
5. 反投影操作在经过滤波操作后，我们需要进行反投影操作来恢复原始图像。
反投影是将滤波后的投影数据逆向投影回图像空间的过程。
反投影操作涉及到几何重建算法和数学运算，可以使用快速反投影算法（FFT-based Back Projection）等高效算法来加快图像重建速度。
6. 重建图像优化得到初步的重建图像后，我们可以对其进行一些优化处理，以提高图像质量和视觉效果。
常见的优化方法包括：去除伪影、降噪、增加对比度、增强图像细节等。
7. 结果评估最后，我们需要对重建图像进行结果评估。
这包括比较重建图像和原始物体的差异，评估图像质量和准确性，并根据需要进行后续的调整和改进。
8. 总结滤波反投影法是一种常用的重建CT图像的方法，它通过对投影数据进行滤波和反投影操作，实现了对被测物体的内部结构信息的恢复。
本文介绍了滤波反投影法的实施步骤，包括数据获取、数据预处理、滤波操作、反投影操作、重建图像优化和结果评估等。
通过遵循这些步骤，可以有效地进行CT图像的重建工作，并获得高质量的图像结果。
滤波反投影法
滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。
其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数。
图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
图1滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。
故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。
ct成像fbp算法公式
ct成像fbp算法公式CT（计算机断层扫描）成像中的FBP（滤波反投影）算法是一种常用的重建方法。
在FBP算法中，首先对投影数据进行滤波，然后对滤波后的数据进行反投影，从而得到重建的图像。
以下是FBP算法的简要步骤：1. 采集投影数据：在CT扫描过程中，X射线源沿某一方向旋转，通过物体照射到探测器上，得到一系列投影数据。
2. 滤波：对投影数据进行滤波，以消除噪声和伪影。
常用的滤波方法有理想低通滤波、高斯滤波等。
3. 反投影：将滤波后的投影数据按照一定的角度间隔进行重新采样，然后对采样数据进行反投影运算，得到重建的图像。
4. 图像重建：对反投影结果进行图像重建，得到最终的CT图像。
关于FBP算法的公式，以中心切片法为例，可以分为以下几个部分：1. 滤波：对投影数据P(x,y)进行滤波，得到滤波后的投影数据P'(x,y)。
滤波公式如下：P'(x,y) = ∫P(x-Δx, y-Δy) * h(Δx, Δy) dx dy其中，h(Δx, Δy)是滤波函数，Δx和Δy分别表示x和y方向上的偏移量。
2. 反投影：将滤波后的投影数据P'(x,y)按照一定的角度间隔进行重新采样，得到采样数据P''(u,v)。
反投影公式如下：u = x -Δx * cos(θ)v = y -Δy * cos(θ)其中，θ是投影方向与水平方向的夹角。
3. 图像重建：对采样数据P''(u,v)进行插值，得到重建的图像I(x,y)。
插值方法有线性插值、双线性插值等。
需要注意的是，FBP算法在实际应用中可能会受到噪声、伪影等因素的影响。
为了提高图像质量，可以采用其他重建方法，如迭代重建算法（如ART、MLEM等）或模型驱动的重建方法（如MBIR等）进行优化。
偏折层析的滤波反投影算法及误差分析
第26 卷第11 期2006 年11 月光学学报ACTA OP TICA SIN ICAVo l. 26 ,No. 11November , 2006文章编号: 025322239 (2006) 112165729偏折层析的滤波反投影算法及误差分析宋张斌贺安之(南京理工大学信息物理与工程系, 南京210094)摘要: 对偏折层析投影转换为相位层析投影的转换关系迚行了分析,给出明晰的数学关系,幵针对偏折层析的滤波反投影算法重建的结果迚行误差分析。
分析结果表明投影噪声对重建场的作用体现在与由偏折层析滤波反投影算法的滤波器有关的倾斜函数上。
因此提出了改迚的偏折层析滤波反投影算法,数值模拟表明,改迚算法在有效抑制倾斜现象的同时,对重建结果不会造成明显的失真。
在此基础上改迚的算法被用于真实火箭燃气射流密度场的三维重建中。
关键词: 信息光学; 偏折层析; 重建算法; 误差分析中图分类号: O438 文献标识码: AFil t e red B ac k2P r oject i o n Al gori t h m of Def lect i on To m og r ap h ya n d Er r or A n al ys isSong Y a ng Zhang Bin He Anzhi( Dep a r t me n t of I nf or m a t i on Physics & Engi neeri ng Na n ji ng U n iversit y of Scie nce & Tech nology , Na n ji ng 210094)Abs t r act : The conversion f rom deflection tomography p rojection to phase tomograp hy p rojection is analyzed , and an explicit exp ression correspondin g to the conversion is p r esented. An er ror analysis is made to the reconst r ucted fields by f iltered back2p rojection ( DFB P ) algorithm of deflection tomography. Results show that the effect of p rojection noise on the reconst ructed fields is rep resented by a slope f unction related to the filter used in deflection tomograp hic f iltered back2p rojection algorithm. So the deflection tomographic f ilter ed back2p rojection algorithm is modified. Numerical simulation shows that the modified algorithm dep resses the slope ph enomena efficiently , while no obvious distortion is int roduced to the reconst r uction. Based on the modified algor ithm , the three2dimensional reconst ruction for den sity field of the real rocket exhausted plumes is carried out .Key w or ds : information optics ; deflection tomograp hy ; reconst ruction algorithm ; error analysis1 引言光学层析技术( Optical Comp uterized Tomograp hy ,O CT)是以光波为载体, 由加载了被测场信息的多方向投影数据重建待测场物理量分布的技术。
滤波反投影法迭代方程
滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。
2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。
3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。
4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
\(I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)\)
其中，\(I^{k+1}\)表示第\(k+1\)次迭代的重建图像，\(I^k\)表示第\(k\)次迭代的重建图像，\(\lambda\)是控制迭代的步长，\(\text{滤波后的投影图像}\)是滤波后的投影图像，\(\text{反投影图像}\)是反投影得到的图像。
需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。
滤波反投影
平行束滤波反投影1100500121 赵伟伦 准备知识:一维Fourier 变换：dt et f f f F t i ⎰+∞∞--⋅==πωω2)()(~)( 一维逆Fourier 变换： ωωπωd e f f F x f t i ⎰+∞∞--⋅==21)(~)~()( 且有：)~(~),(11f F F f f F F f --⋅=⋅=重要的性质：（卷积特性）)(~)(~)*(ωωgf g f F ⋅=； )(~)(~)(ωωgf g f F *=⋅ 二维Fourier 变换： dX e x x f f f F x x i R ),(),(22121221212),(),(~)(⋅-⎰==ωωπωω； 逆二维Fourier 变换： Ω==⋅-⎰d e f f F x x f x x i R ),(),(221122121212),(~)~(),(ωωπωω； 中心切片定理：),)(ˆ()(2ϕωωfF f F r =Φ, 其中),(ˆϕr f 是),(21x x f 的Radon 变换： 解释：一个二元函数的Radon 变换关于r 的一维Fourier 变换与这个二元函数的二维Fourier 变换形式相等。
滤波反投影：思路：)(),(121f F F x x f ⋅=-()()[][]ϕϕωωϕωϕωϕωωϕωϕωϕωωωϕωωϕωϕωωϕωϕωωωϕωωωππωωππωωππωωππωωπd r f F r d fF F d d e fF x x r d d e fF d d e f F d d e f d d e f F X r x x r r r r i r x x i r x x i rx x i x x i R Φ⋅=-Φ⋅=-∞+∞-⋅∞+∞-⋅∞+⋅∞+⋅*⇔=⋅⇔⇔Φ⋅=Φ=⇔⇔⇔⇔⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)(H ),(ˆfourier fourier ),()(H ),)(ˆ(]),)(ˆ([),),(),(),(),)(ˆ(),)(ˆ()(~)(1),(1202121),(),(20),(),(2200),(),(2200221),(),(222121212121212121212变化变化等于函数点乘后的个函数的卷积的并根据卷积的性质：两设旋转角为为坐标映射到探测器上，设为用极坐标方式表示出来（把，可知），（由于中心切片定理)(),(~),(r H r f r G *=ϕϕ)(r H 是滤波器总结：ϕϕϕωωϕωππωπd r H r fd def F X f X r X r r i r Φ⋅=Φ⋅=+∞∞-⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=)(*),(ˆ),)(ˆ()(020 解释为：投影数据),(ˆϕr f 先进行滤波)(*),(ˆr H r f ϕ 在对滤波数据进行投影ϕϕπd r H r f X r Φ⋅=⎰)(*),(ˆ0简单例子：（大圆与小圆）通过已得到的正投影‘round.dat’经过滤波后，反投影后的图像。
CT检查中iDose4迭代重建与滤波反投影重建技术在肺部病变筛查中的应用
第43卷第8期2018年8月贵州医科大学学报Vol.43 No.8JOURNAL OF GUIZHOU MEDICAL UNIVERSII 'Y2018.8C T 检查中iDose 4迭代重建与滤波反投影重建技术在肺部病变筛查中的应用+刘建军1吕发金2罗猛3* *(1.双流区第一人民医院，四川成都610200; 2.重庆医科大学附属第一医院，重庆400016; 3.贵州省人民医院胸外科，贵州贵阳550002)[摘要]目的：分析CT 检查中山0364迭代重建(AIR)与滤波反投影重建技术（FBP)在体检人群肺部病变筛查中的应用。
方法：分析行常规体检的1 600例临床资料,按照体检表尾号分为A IR 组（658例）和FBP 组（942例）；两组体检者又根据CT 检查时的管电流分为25、0及100 mA • s 组，对比不同管电流检查时肺部有效辐射剂量,并比较不同管电流及重建方式下获得的扫描图像的平均CT 标准差、信噪比（SN R)、噪声比（CNR )及图像 质量。
结果：25 mA • s 组、50 mA • s 组有效辐射剂量较100 mA • s 组显著降低，差异有统计学意义（P <0. 05), 不同管电流及重建方式下各组平均CT 标准差差异无统计学意义（P >0. 05);50 mA • s 条件下，获得的A IR 图 像的SNR 、CNR 较FB P 时增高;25及50 mA • s 条件下，获得的FB P 图像质量评分较100 mA • s 条件下降低 (P <0.05);25及50 mA • s 条件下,获得的A IR 图像质量评分较FB P 时增高，差异有统计学意义（P <0.05)。
结论：体检人群肺部病变筛查中FB P 降低辐射剂量后图像质量明显下降，而AIR 在降低肺组织有效辐射剂量时不影响扫描图像质量。
[关键词]辐射剂量；迭代重建；滤波及投影重建；图像质量；计算机体层成像；肺部病变 [中图分类号]R563 [文献标识码]A [文章编号]1000-2707(2018)08-0954^04D O I ：10.19367/j. cnki. 1000-2707. 2018. 08. 018Application of iDose4 Iterative Reconstruction in CT Examinationand Filtered Back-Projection in Screening of Lung LesionsL I U J ianjun1, L V F a j i n 2 , L U O M e n g 3(i. The First Peoples Hospital of Shuangliu, Chengdu 610200, Sichuan, China ；2. The First Affiliated Hospital ofChongqing Medical University, Chongqing 400016, Sichuan , China ；3. Department of Thoracic Surgery ,the Peoples Hospital of Guizhoo , Guiyang 550002 , Guizhoo , China)[Ab strac t ] O b jectiv e ： T o analyze the application of iDose4 iterative reconstruction (A I R ) in C T examination ad filtered back-projection (F B P ) in screening of lung lesions in physical check. M eth- 〇d s ： T he clinical data of 1,600 people w h o received routine physical check were retrospectivelyanalyzed. Th e y were divided into A I R group (658 cases) and F B P group (942 cases) according to the end n u m b e r of report form. Meanwhile , both groups were further divided into 25 , 50 and 100 m A • s groups according to the tube electricity current inC T examination. T h eeffective radiation d osesofunder different tubecurrents werecompared between the twogroups. T h e average C T standardtion ,signal to noise ratio (S N R ) , contrast noise ratio (C N R ) and image quality obtained under different tube currents and reconstruction methods were also compared.R esults ： T h e effective radiationdose in 25 m A • s group and 50 m A • s group were significantly lowered than that in 100 m A • s1基金项目]四川省卫生和计划生育委员会科研课题（17PJ 298)** 通信作者 E -mail :luomengl 225@163. com 网络出版时间：018 -08 -21 网络出版地址：http :/7kns . cnki . net/kcms /detail /52. 1164. R .20180821.0/9. 010. html8期 刘建军等C T检查中iD〇se4迭代重建与滤波反投影重建技术在肺部病变筛查中的应用group,difference was statistically significant ( P <0. 05 ). There w as no significant difference in them e a n C T standard deviation between different tube currents and reconstruction m o d e s(P>0.05).U n d e r50 m A • s, S N R and C R of A I R images were higher than those of F B P,difference w as statistically significant (P <0. 05 ).Un d e r 25 m A • s and 50 m A • s,the image quality scores of F B P werelower than that under 100 m A • s (P <0. 05) , while the image quality scores of A I R were higher thanthat under 100 m A • s (P <0. 05) .C o n c l u s i o n：T h e image quality decreased significantly after F B Pdecreased the radiation dose in the screening of lung lesions in physical examination populatio ever, A I R can reduce the effective radiation d ose of the lung tissue without affecting the image quality.[K e y w o r d s]radiation dos e;iterative reconstruction；filtering and projection reconstruction；imagequality;computed tomography ；lung lesions计算机体层成像（C T)图像在密度、空间分辨率上均有明显优势，且操作快捷，为临床疾病诊治提供了高价值影像学依据。
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滤波反投影法重建CT 图像实验指导书一、 实验目的1． 了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT 图像的原理；2． 掌握滤波反投影法重建CT 图像的原理和基本方法。
二、 实验器材装有MATLAB 程序的PC 机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。
三、 实验原理CT 图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系数。
图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。
在介绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。
1． 中心切片定理密度函数(,)f x y 在某一方向上的投影函数()g R θ的一维傅立叶变换函数()g θρ是原密度函数(,)f x y 的二维傅立叶变换函数(,)F ρθ在(,)ρθ平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。
图1 中心切片定理2．傅立叶变换法如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据中心切片定理，变换后的数据将充满整个(,)u v 平面。
一旦频域函数(,)F u v 或(,)F ρβ的全部值都得到后，将其做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数(,)f x y ，即所要重建的图像。
上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。
图中指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。
根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。
在不同投影角下所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要求的空间域中的密度函数。
为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。
图2 傅立叶变换重建图像的过程采用傅立叶变换法重建图像时，投影函数的一维傅立叶变换在频域中为极坐标形式，把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算工作量较大。
此外，在极坐标形式的频域数据中，离原点较远的频率较高的部分数据比较稀疏，当这些位置上的数据转换到直角坐标下时，需经插补，这将引入一定程度的误差。
即，在重建的图像中，高频分量可能有较大失真。
3．直接反投影法直接反投影法把每次测得的投影数据“原路”反投影到投影线的各个像素上。
即指定投影线上所有各点的值等于所测得的投影值。
如图3所示的例子中，被探查物体只是在原点位置上的一个致密点。
在一个角度上测量到其投影值时，就把这个值赋给投影线上的所有点。
于是，从不同角度进行反投影后的重建图像是由以原点为中心的一系列辐射线。
显然，原点位置上的分布密度最高；愈往四周，密度愈低。
这当然可以说是粗略地把图像恢复出来了。
但问题是除了密度最大的中心点，四周出现了逐渐变浅的云晕状阴影。
图3直接反投影重建法研究发现，反投影后重建的密度函数(,)b f x y 与实际的密度函数(,)f x y 满足如下卷积关系 1(,)(,)(1)b f x y f x y r =** 上式说明了直接反投影法造成图像模糊的原因。
一个以δ函数形式出现的密度函数用直接反投影法重建后成了一个带“长尾巴”的1/r 形式的图像，如图4所示。
图4直接反投影重建法造成的伪像为了得到真实的重建密度函数，必须设法消除1/r 的影响。
一种可能的方法是把式(1)转换到频域。
因为时域中两个函数的卷积的傅立叶变换是这两个函数分别的傅立叶变换的乘积，因此式(1)相应的频域表达式为1(,)(,)(2)b F F ρβρβρ=式中(,)b F ρβ和(,)F ρβ分别是(,)b f x y 与(,)f x y 的傅立叶变换，1/ρ为1/r 的傅立叶变换。
从公式(2)可得1(,)[(,)](3)b f x y F ρρβ-=从式(3)可知，为了获得真实的密度函数(,)f x y ，可以先求出反投影函数(,)b f x y 的傅立叶变换(,)b F ρβ，在频域中对(,)b F ρβ加上权重ρ后求其逆傅立叶变换，就能得到所要的密度函数(,)f x y ，如图5所示。
用这样的方法重建图像当然是可行的，但它还是没有避免计算二维傅立叶变换的问题。
两次二维傅立叶变换所花费的时间还是相当可观的。
图5 直接反投影法的图像校正4．滤波反投影法直接反投影法重建的图像是模糊的。
虽然这种模糊的图像可以经过修正后再现原始的密度函数，但修正的过程是很费时的。
这就是先反投影，后修正重建方法存在的问题。
滤波反投影法采用先修正、后反投影的做法，同样可得到原始的密度函数。
其基本方法是：在某一投影角下取得了投影函数（一维函数）后，对此一维投影函数作滤波处理，得到一个经过修正的投影函数；然后再将此修正后的投影函数作反投影运算，得到所需的密度函数。
这一方法中要解决的主要问题是如何修正投影函数才能使之在反投影后能重建原密度函数。
图6给出了滤波反投影法重建图像的流程图。
图6 滤波反投影法滤波反投影法重建图像有以下几个步骤：（1）对某一角度下的投影函数作一维傅立叶变换；（2）对（1）的变换结果乘上一维权重因子 ；（3）对（2）的加权结果作一维逆傅立叶变换；（4）用（3）中得出的修正过的投影函数做直接反投影；（5）改变投影角度，重复（1）~（4）的过程，直到完成全部180度的反投影。
5．滤波函数滤波函数的选取是滤波反投影法的关键问题。
在实际系统中选择滤波函数时还要考虑许多其他因素，包括系统的带宽、信噪比与分辨率等。
下面介绍两中不同类型的滤波函数。
（1）R-L 滤波函数R-L 滤波函数的基本出发点是认为实际的二维图像函数总有一个频率上限，所以频域中的滤波函数ρ可表示为 0,()(4)0R L H ρρρρ-⎧≤=⎨⎩其滤波函数如图7所示。
图7 R-L 滤波函数连续的R-L 卷积函数为22000()[2sin (2)sin ()](5)R L h R c R c R ρρρ-=-离散化的R-L 卷积函数为22221,04()0,(6)1,R L n T h nT n n n Tπ-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩为偶数为奇数图8（a ）（b ）分别为连续形式、离散形式的R-L 卷积函数。
图8 R-L 卷积函数，（a ）连续形式，（b ）离散形式R-L 滤波函数的特点是函数形式简单，重建的图像轮廓清晰。
存在的问题是：由于在频域中用矩形函数截断了滤波函数，在相应的空域中造成振荡响应，即所谓的Gibb’s 现象。
另外，如果投影数据中含有噪声，则重建的图像质量也不够满意。
（2）S-L 滤波函数与R-L 滤波函数不同的是，S-L 滤波函数在频域中不用矩形函数去截断ρ滤波函数，而是用一些比较平滑的窗函数来约束滤波函数。
例如，可以令窗函数()W ρ为00()sin ()()22W c rect ρρρρρ= 于是可得S-L 滤波函数为 00()sin ()()(7)22S L H c rect ρρρρρρ-=其滤波函数如图9所示。
图9 S-L 滤波函数对应的卷积函数为200020414sin(2)1()()(8)21(4)S L R R h R R ρρπρπρ--=-其离散化的卷积函数为 2222()(9)(41)S L h nT T n π-=--图10（a ）（b ）分别为连续形式、离散形式的S-L 卷积函数。
图10 S-L卷积函数，（a）连续形式，（b）离散形式用S-L滤波函数重建的图像中振荡相应较小，对含噪声的数据重建出来的图像质量也较R-L滤波函数重建的图像质量要好。
但是，S-L滤波函数重建的图像在高频响应方面不如R-L滤波函数好，这是因为S-L滤波函数在高频段偏离了理想的滤波函数 。
滤波反投影法无需等待所有数据采集完毕后再作处理。
当扫描系统在作机械运动时，每当在一个角度上获得了投影函数后，计算机马上就可对其进行傅立叶变换等处理。
这样，一旦扫描结束后只要再作数毫秒的处理就可得到重建的图像。
四、实验步骤1．运行MA TLAB程序，打开start_imgreclab.m文件，运行该M文件，显示滤波反投影法图像重建演示软件主界面，如图11所示。
图11 滤波反投影法图像重建演示软件主界面2．鼠标点击主界面中“Open ”按钮，弹出文件选择对话框，选择sinogram1.mat 数据后，显示正弦图，如图12所示。
投影数据是以正弦图的方式存放在sinogram1.mat 数据文件中。
横坐标为投影角，纵坐标为某一投影角下的投影值。
所以正弦图可以看成由不同角度下采集的投影函数值一行行叠放起来的数据集。
Sinogram 12040608010012014016018050100150200250300350400450500图12 sinogram1.mat 数据文件中存放的投影数据3．打开Filter 下面的下拉框，可选择Ram-Lak (Ramp)，Shepp-Logan ，Ram-Lak Cosine ，Ram-Lak Hamming ，Ram-Lak Hann ，Special 滤波器，也可以不用滤波器，选择None 。
4．打开Interpolation 下面的下拉框，可选择不同的插值方式，有Linear （线性）, Nearest （最近邻）,Spline （样条）,Cubic （三次）插值方式。
5．Number of Projections 下面的文本框可输入投影数据的数目，其最大值不能超过180。
6．图13为180个投影角、不用滤波、线性插值重建得到的图像，可以看到该图像非常模糊。
图14为同样条件下，采用Ram-Lak 滤波后重建得到的图像，可见为一清晰的头部断面图像。
因此，滤波反投影重建算法要优于直接反投影重建算法。
Sinogram 1: 180 projections, None filter, Linear interpolation5010015020025030035050100150200250300350图13 180个投影角、不用滤波、线性插值重建得到的图像Sinogram 1: 180 projections, Ram-Lak (Ramp) filter, Linear interpolation5010015020025030035050100150200250300350图14 180个投影角、采用Ram-Lak 滤波、线性插值重建得到的图像7．图15为180个投影角、采用Ram-Lak Hamming 滤波、三次插值重建得到的图像。
仔细比较图14与图15，可以看到图15比图14略微清晰，原因是三次插值比线性插值效果要好，但三次插值计算量比线性插值要大很多。
Sinogram 1: 180 projections, Ram-Lak Hamming filter, Cubic interpolation5010015020025030035050100150200250300350图15 180个投影角、采用Ram-Lak Hamming 滤波、三次插值重建得到的图像8．图16为30个投影角、采用Ram-Lak Hamming 滤波、三次插值重建得到的图像。