2016黄浦区二模数学试题及答案解析(文理合卷)

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上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：排列组合二项式定理一、排列组合1、（崇明县2016届高三二模）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有种不同的组建方案（结果用数值表示）．2、（奉贤区2016届高三二模）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．3、（虹口区2016届高三二模）在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.4、（普陀区2016届高三二模）已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .参考答案1、1202、343、1254、10二、二项式定理1、（崇明县2016届高三二模）设0a ≠，n 是大于1的自然数，1n x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++．若13a =，24a =，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）在621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．(用数值回答)3、（虹口区2016届高三二模）若二项式(2n x -展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为__________.4、（黄浦区2016届高三二模）在代数式2521(425)(1)x x x --+的展开式中，常数等于 5、（闵行区2016届高三二模）若6x⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234lim n n na a a a a a →∞+++=+++ . 6、（浦东新区2016届高三二模）已知61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的第五项系数为152，则正实数a ＝ .7、（普陀区2016届高三二模）在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 . 8、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）试写出71x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________． 9、（杨浦区2016届高三二模）61(x 的展开式中，常数项为 . 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）记n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．参考答案1、32、5813、644、155、1 6 7、28 8、35x9、15 10、5。

2016年上海中考数学二模18题专题训练汇编

二模18题汇编【题型一】旋转类型（崇明2015二模18）如图，Rt中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是【参考答案】（黄浦2015二模18）如图，Rt△中，，将△绕点逆时针旋转，旋转后的图形是△，点的对应点落在中线上，且点是△的重心，与相交于点，那么【参考答案】（杨浦015二模18）如图，将☐绕点旋转到☐的位置，其中点、、分别落在点、、处，且点、、、在一直线上，如果点恰好是对角线的中点，那么的值是【参考答案】（长宁、金山2015二模18）如图，在中，，，将绕着点旋转得，点的对应点，点的对应点，如果点在边上，那么点和点之间的距离等于【参考答案】（闸北2015二模18）如图，底角为的等腰绕着点顺时针旋转，使得点与边上的点重合，点与点重合，联结、，若，，则【参考答案】（嘉定、宝山2015二模18）如图，等边的边长为6，点在边上，且，将绕点顺时针方向旋转，点与点的对应点分别记作点与点，联结交于点，那么的值为【参考答案】【题型二】翻折类型（奉贤2015二模18）如图，在中，，，，点在上，将△沿直线翻折后，点落在点处，边交边于点，如果∥，那么的值是【参考答案】（静安、青浦2015二模18）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为【参考答案】（闵行2015二模18）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为【参考答案】（普陀2015二模18）如图①，在矩形中，将矩形折叠，使点落在边上，这时折痕与边和边分别交于点、点，然后再展开铺平，以、、为顶点的△称为矩形的“折痕三角形”，如图②，在矩形中，，，当“折痕△”面积最大时，点的坐标为【参考答案】xyDCA（B ）O②①（松江2015二模18）如图，已知梯形中，∥，，，，是上一点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则【参考答案】（徐汇2015二模18）如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么的长是【参考答案】（浦东2015二模18）在中，，，，点在边上，，垂足为点，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为点，当为直角时，的长是【参考答案】【题型三】平移（虹口2015二模18）已知中，，（如图所示），将沿射线方向平移个单位得到，顶点、、分别与、、对应，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是【参考答案】或。

2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB 的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调﹣1递增，则x的取值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M （x 0，2）代入抛物线方程，解得x 0．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离=x 0+1．【解答】解：把点M （x 0，2）代入抛物线方程可得：=4x 0，解得x 0=3．∴点M 到抛物线焦点的距离=x 0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q （q ＞0）的等边数列前n 项和为S n ，则S n =2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q （q ＞0）的等边数列前n 项和为S n ，且S n =2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R= cm ．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm 的体积，即可求出R 的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，所以，，所以R=（cm ）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式【分析】T r+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．T′k+1=，（r=0，1，…，6），【解答】解：T r+1==2k x r﹣2k，令的展开式的通项公式T′k+1令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直， ∴PA ⊥平面ABC ， ∵DE ⊥平面ABC ， ∴DE ∥PA ，∴=，∴F 与C 重合．∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ， ∴C 是平面PBE 和平面ABC 的公共点，又B 是平面PBE 和平面ABC 的公共点， ∴BC 是面PBE 与面ABC 的交线．（2）∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴V B ﹣PADE =S 梯形ADEP •AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC 的法向量=（0，0，1），∴cos ＜＞===，∴面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小为arccos ．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n 2﹣214n ﹣1998≤9． ∴13447＜（n ﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n ∈Z ，∴n ﹣107=116或n ﹣107=﹣116． ∴集合M 有两个元素． ∴集合M 有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n }，{b n }满足，a 1＞0，b 1＞0；（1）求证：{a n •b n }是常数列；（2）若{a n }是递减数列，求a 1与b 1的关系；（3）设a 1=4，b 1=1，当n ≥2时，求a n 的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，故问题得以证明；（2）根据{a n }是递减数列，得到（a 1﹣b 1）2＞0，a n ＞b n ，得到a 1＞b 1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ，=，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞，∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n ≥2时，a n +1﹣2=（a n +）﹣2=＞0， ∴a n +1＞2，∴a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）==， ∵a n ＞2，∴a n +1﹣a n ＜0，∴{a n }是递减数列，∴a n ﹣a 2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。

上海市四区2016届高三二模数学试卷

上海市四区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1. 设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B =2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则||z = 3. 设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是4. 计算：222lim (1)n nn P C n →∞+=+5. 在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为6. 已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ=7. 设定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解集是8. 在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px = （0p >）的焦点，则抛物线C 的方程为9.（文）已知x 、y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（理）直线11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为 10.（文）在26()k x x+（k 为实常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则k = （理）记1(2)nx x+（*n N ∈）展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n =11.（文）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于12的概率是（理）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ=12.（文）已知数列{}n a 满足212...3n a a a n n +++=+（*n N ∈），则22212 (231)n a a a n +++=+（理）已知各项均为正数的数列{}n a 2...3n n +=+（*n N ∈），则12 (231)n a a a n +++=+ 13.（文）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为（理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14.（文）对于函数()f x =0b >，若()f x 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为（理）已知0a >，函数()af x x x=-（[1,2]x ∈）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是二. 选择题15. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 下列命题正确的是（）A. 若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；B. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；C. 直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l ；17. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值是（）A. 1B. 2C.D.218.（文）已知直线:2l y x b =+与函数1y x=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则函数()S f b =是（）A. 奇函数且在(0,)+∞上单调递增B. 偶函数且在(0,)+∞上单调递增C. 奇函数且在(0,)+∞上单调递减D. 偶函数且在(0,)+∞上单调递减（理）已知函数3|log |03()sin()3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（）A. (60,96)B. (45,72)C. (30,48)D. (15,24)三. 解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点；（文）（1）求证：AC ⊥平面11BCC B ；（2）求异面直线1B D 与AC 所成角的大小；（理）（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小；（结果用反三角函数值表示）20.（文）已知函数()2cos21f x x x +-（x R ∈）；（1）写出函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=，且4a c +=，试求b 的值；（理）已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--（0ω>，x R ∈），且函数()f x 的最小正周期为π；（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=，且4a c +=，试求b 的值；21. 定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界；（1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出 ()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）（文）若函数11()1()()24x xg x a =+⋅+在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（理）若函数()124x x g x a =++⋅在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；22.（文）设椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距；（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线x a =±，y b =±所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OP mOC nOD =+，求证：22m n +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足于BFM ∆与BFN ∆的面积的比值为2，求直线l 的方程；（理）如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、 B 两点，与y 轴交于点P ；（1）若PA AB =，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求面积ABF ∆的最大值；23.（文）已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n a b +=，121n n nb b a +=-；（1）求1b 、2b 、3b 、4b ；（2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式；（3）设12231...n n n S a a a a a a +=+++，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围；（理）已知正项数列{}n a 、{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且110a =，215a =；（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（3）设12111...n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (2,1]-2. 13. (3,1)4.32 5. 23π 6. 7. (,2][0,2]-∞- 8. 24y x = 9.（理）(0,1)（文）6-10.（理）5（文）2 11.（文）37 12. 226n n +13.（理）{48,51,54,57,60}（文）{24,27,30} 14.（理）6+4-二. 选择题15. B 16. D 17. C 18.（理）B （文）B三. 解答题19.（文）（1）略；（2）2arccos3；（理）（1）略；（2）2arccos 3； 20.（文）（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，增区间[,]36k k ππππ-+；（2）3B π=，3ac =，4a c +=，b =（理）（1）()2sin(2)16f x x π=+-；（2）3B π=，b =21.（1）有界，{|1}M M ≥；（2）（文）[5,1]-；（理）11[,]28--；22.（文）（1）22143x y +=；（2）2212m n +=；（3）1)y x =-；（理）（1）4y x =-；（2）0FA FB k k +=，略；（3 23.（文）（1）134b =，245b =，356b =，467b =；（2）23n n b n +=+；（3）1a ≤；（理）（1）略；（2）(3)(4)2n n n a ++=，2482n n b n =++；（3）1a ≤；四区理科参考答案一．填空题（每小题4分，满分56分）1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，…（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分）所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分）（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设CB 与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分）故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分）因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k ． ………………………（4分）（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k ． ………………………………………………………（2分）21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k kk ． …………………………………………（5分）所以，BFO AFP ∠=∠． …………………………………………………（6分）（3）由△0>，得042>-k ，所以21221214)(321||||21x x x x x x PF S S S PAF PBF ABF -+⋅⋅=-⋅=-=∆∆∆ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………（3分）令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故tt t t k k S ABF163181631843418222+=+=+-=∆ 433163218=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）． ………（5分）所以，△ABF 面积的最大值是433． ……………………………………………（6分） 23．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由已知，12++=n n n a a b ① 121++=n n n b b a ②， ………………（1分）由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………（2分）将③代入①得，对任意*N ∈n ，2≥n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}nb 是等差数列． …………………………（4分）（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ，……（1分）所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………（3分）所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………（4分）所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………（5分）2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………（6分）（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………（1分）所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分）故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分）所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………（4分）设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分）当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。

上海市十三校2016届高三第二次联考数学试题(文)含答案解析

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=log x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；定义法；二项式定理．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=•（2x）6﹣r•=•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：•23•=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；反三角函数的运用．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1与DE所成角的大小．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），=（﹣2，2，0），=（0，﹣2，1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ===，∴θ=arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z 最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=log x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，得到x1=5﹣，x2=5﹣，再根据f（x）与g（x）互为反函数得到x3=y2=，x4=y1=，问题得以解决．【解答】解：函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，∴x1=5﹣，x2=5﹣，∵f（x）=（）x的图象与g（x）=log x关于y=x对称，∴x3=y2=，x4=y1=，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++=10．故答案为：10．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g（x）互为反函数，属于中档题11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=502．【考点】数列递推式．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=1知，数列{a n}都是正数，故数列{a n}是递增数列，从而可得a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，从而解得．【解答】解：∵a1=1，∴a2﹣a1∈{a1}，∴a2﹣a1=1，故a2=2，a3﹣a2∈{a1，a2}，∴a3﹣a2=1，a3﹣a2=2，∴a3=3或a3=4；同理可得，a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，故a﹣b=512﹣10=502，故答案为：502．【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，同时考查了等比数列与等差数列的应用．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，计算即可得到所求个数．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），可得=（2，0），若i=1，则•=2（+1），可得4，2，2，1，3；若i=2，则•=2（﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i=3，则•=2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i=4，则•=2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i=5，则•=2（+），可得﹣1，3，1，1，2；若i=6，则•=2（﹣），可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；数系的扩充和复数．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可；（2）写出复数z1，z2对应的向量，代入等式（）•（）=0，展开数量积即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．（1）z1•z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得2θ=，∴cos2θ=﹣；（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（）•（）=0，∵=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（）•（）=λ（）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数为实数的条件，训练了向量的数量积的应用，是中档题．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；构造法；等差数列与等比数列．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=1•2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+[（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2016，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2016，故（2m﹣1）=2016﹣m，而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C 、D 是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C 、D 的“特征直线”分别为l 1、l 2，直线l 1、l 2相交于点M （a ，b ），且与y 轴分别交于点E 、F ．求证：点M 在线段CE 上的充要条件为r（a ，b ）=（其中x c 为点C 的横坐际）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】新定义；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G 的“特征直线”的斜率为2，求得G 的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C （m ，n ），D （s ，t ），求得直线l 1、l 2的方程，求得交点M ，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l 的斜率为1，即有直线l 的方程为y ﹣1=x ﹣2，即为y=x ﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x ，可得点G 的“特征直线”的斜率为2，即有G 的横坐标为4，可设G 的坐标为（4，4），可得点G 的“特征直线”方程为y ﹣4=2（x ﹣4），即为y=2x ﹣4，点Q （a ，b ）为线段GH 上的点，可得b=2a ﹣4，（0≤a ≤4），方程x 2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r （a ，b ）=2；（3）设C （m ，n ），D （s ，t ），即有直线l 1：y+n=mx ，l 2：y+t=sx ，联立方程，由n=m 2，t=s 2，解得x=（m+s ），y=ms ，即有a=（m+s ），b=ms ，则方程x 2﹣ax+b=0的根为x 1=m ，x 2=s ．可得E （0，﹣ m 2），点M 在线段CE 上，则b=ma ﹣m 2=ms ，则=λ（λ≥0），即（m+s ）﹣m=λ（0﹣（m+s ）），即有（s ﹣m ）（m+s ）≤0，即s 2≤m 2，即|s|≤|m|，则r （a ，b ）=；以上过程均可逆，即有点M 在线段CE 上的充要条件为r （a ，b ）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x ）表示不小于x 的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）当x ∈（，2）时，求μ（x+log 2x ）的取值的集合；（2）如函数f （x ）=有且仅有2个零点，求实数a 的取值范围；（3）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ]（n ∈N +）上的值域为M a ，集合M a 中的元素个数为a n ，求证：．【考点】函数零点的判定定理；函数的值域．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）当x ∈（，2）时，（x+log 2x ）∈．即可得出μ（x+log 2x ）的取值的集合．（2）当x ∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x ∈（1，2]时， =∈[1，2）；…，当x ∈（n ﹣1，n ]时， =∈[1，）；函数f（x）=有且仅有2个零点，即可得出实数a的取值范围是．（3）当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．可得xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．可得M n中元素的个数个数，可得a n=，可得．【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．（2）当x∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，=∈[1，2）；当x∈（2，3]时，=∈[1，）；…，当x∈（n﹣1，n]时，=∈[1，）；函数f（x）=有且仅有2个零点，∴实数a的取值范围是．（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．∴xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，∴M n中元素的个数为1+2+…+n）=，可得a n=，．【点评】本题考查了新定义、函数的性质、等差数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

21．（12 分）已知函数 f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）若不等式 f（x）＜6 的解集为（﹣1，3），求 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在 x0∈R，使 f（x0）≤t﹣f（﹣x0），求 t 的取值范围． 22．（12 分）已知椭圆 C：在椭圆 C 上；（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C1：＝1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O：x +y ＝的两条切
≤R，
）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝，若将圆锥的倒
17．（5 分）如图，圆锥形容器的高为 h，圆锥内水面的高为 h1，且置，水面高为 h2，则 h2 等于（）
A． h
B．
2
C．
2
h
D．
h
18．（5 分）设 x1、x2 是关于 x 的方程 x +mx+m ﹣m＝0 的两个不相等的实数根，那么过两点 A（x1， A．相离 C．相交三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 19．（12 分）已知函数 f（x）＝2sinxcosx+2cos x．（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）将函数 y＝f（x）图象向右平移（x）＝1 的解．
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，②存
＝0 上，证明：数列{Sn}∈W，并写出实数 a、b 的取值范围；（3）设数列{dn}∈W，且对满足条件②中的实数 b 的最小值 b0，都有 dn≠b0 （n∈N ），求证：数列{dn}一定是单调递增数列．
+
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2016 年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（理科）
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2016年高考数学二模试卷

2015-2016学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•临沂月考）已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．22．（5分）（2015•浙江模拟）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|3．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）（2012•武昌区模拟）若=（）A．B．C．D．5．（5分）（2015秋•临沂期中）已知命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）（2015•青岛一模）“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件7．（5分）（2015秋•临沂期中）设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）（2015秋•临沂期中）某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为（）A．6 B．34 C．44 D．549．（5分）（2015秋•临沂期中）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．8 D．1010．（5分）（2015秋•临沂期中）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2}二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．（5分）（2014•抚州校级一模）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．12．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=的定义域是．13．（5分）（2015秋•临沂期中）一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是cm2．14．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为．15．（5分）（2015秋•临沂期中）定义在R上函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程. 16．（12分）（2015秋•临沂期中）在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．17．（12分）（2015秋•临沂期中）如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面ABB1A1⊥平面AB1C．18．（12分）（2015秋•临沂期中）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0 2f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．19．（12分）（2015秋•临沂期中）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．20．（13分）（2015秋•临沂期中）设f（x）=e x（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．21．（14分）（2015秋•临沂期中）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．22.（2016春•湖北月考）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．2015-2016学年山东省临沂市高三（上）11月质检数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．C；4．D；5．C；6．C；7．B；8．D；9．A；10．C；二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．；12．（1，2）；13．1200；14．1；15．（-∞，1）；三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程.16．；17．；18．；19．；20．；21．；。

浦东新区2016二模数学试卷

浦东新区2016二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．2016的相反数是（）（A ）12016；（B ）-2016 ；（C ）12016-；（D ）2016．2．已知一元二次方程2320x x ++=，下列判断正确的是（）（A ）该方程无实数解；（B ）该方程有两个相等的实数解；（C ）该方程有两个不相等的实数解；（D ）该方程解的情况不确定． 3．下列函数的图像在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大的是（）（A ）1y x=-；（B ）21y x =- ；（C ）1y x = ；（D ）1y x =--．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）（A ）12；（B ）13；（C ）14；（D ）16． 5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）（A ） 15，17；（B ）14，17；（C ）17，14；（D ）17，15．6．如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点M 是△ABC 的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（）（A ）23；（B ）13；（C ）14；（D ）49．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：1－31＝． 8．不等式12x -<的解集是． 9．分解因式：282a -= ．ABCMN第6题图10．计算：()()322a b b a -+-=r r r r．113=的解是．12．已知函数()f x =，那么f = ．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为米． 14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O 1、⊙O 2的半径长分别为2和R ，如果⊙O 1与⊙O 2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为． 17．定义运算“﹡”：规定x ﹡y by ax +=（其中a 、b 为常数），若1﹡1＝3，1﹡(1)-＝1，则1﹡2＝．18．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20．点D 在边AC 上，DE ⊥AB ，垂足为点E ，将△ADE 沿直线DE 翻折，翻折后点A 的对应点为点P ，当∠CPD 为直角时，AD 的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：1012sin 4520168+2-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：228224x x x x x ++=+--． 21．（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 上一点，∠AOC =90°，OA =4，OC =3，求弦AB 的长． 22．（本题满分10分，每小题5分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示：（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（本题满分12分，第(1)、（2）小题各6分）如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA = ∠D ．（1）求证：∆EAC ∽∆ECB ；（2）若DF = AF ，求AC ︰BC 的值．24．(本题满分12分，每小题4分)如图，二次函数242y ax ax =-+的图像与y 轴交于点A ，且过点(36)B ，．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，试求CAB ∠的正切值；（3）若在x 轴上有一点P ，使得点B 关于直线AP 的对称点1B 在y 轴上，试求点P 的坐标．第24题图25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=o ，6BC =，点D 为斜边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点．联结DE ，过点E 作DE 的垂线与边BC 交于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ．（1）如图1，当8AC =，点G 在边AB 上时，求DE 和EF 的长；（2）如图2，若12DE EF =，设AC x =，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）若23DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求AC 的长．GFEC B第25题图2A BC D EFG 第25题图1浦东新区2015学年第二学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．328．3x < 9．2(2)(2)a a +- 10．a b --r r 11．4x =- 12． 313． 18 14．4515． 720． 16． 1或5 17．4 18．358三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=21-+……………………………………（8分）＝1＋2分） 20．（本题满分10分）解方程：228224x x x x x ++=+--解：去分母得：()()2228x x x -++=……………………………………（4分）整理得：220x x +-=……………………………………（2分）解得：11x =，22x =-……………………………………（2分）经检验11x =是原方程的根，22x =-是原方程的增根………………………（1分）原方程的根为1x =……………………………………（1分） 21．（本题满分为10分）解：过点O 作OD ⊥AB 于D在Rt △AOC 中，222OA OC AC +=，AC = 5……………………………………（2分）在Rt △AOC 中，4COS 5OA OAC AC ∠== ；……………………………………（2分）在Rt △ADO 中，COS DAOAD AO∠=， ……………………………………（2分）所以AD OA AO AC =，165AD =.……………………………………（1分）因为在⊙O 中，OD ⊥AB ，所以AB =2AD =5162⨯，……………………………………（2分）所以AB =325．……………………………………（1分） 22.（本题满分10分，每小题5分）解： ⑴ 设函数解析式为y =kx +b ，将(0，10)、(40，6)分别代入y =kx +b得⎩⎨⎧+==.406,10b k b …………………………（2分）解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.10,101b k …………………………（1分）所以y =110x -+10(0≤x ≤40)…………………………（1+1分） ⑵ 由(110x -+11)x =210 …………………………（2分）解得x 1=30或x 2=70，…………………………（1分）由于0≤x ≤40所以x =30…………………………（1分）答：该产品的生产数量是30吨…………………………（1分）23．（本题满分12分，第(1)、（2）小题各6分）（1）证明：因为，四边形ABCD 是平行四边形，所以，∠B = ∠D ，……………（2分）因为∠ECA = ∠D ，所以∠ECA = ∠B ，………………（2分）因为∠E = ∠E ，所以△ECA ∽△ECB ………………（2分）(2)解：因为，四边形ABCD 是平行四边形，所以，CD ∥AB ，即：CD ∥AE 所以CD DFAE AF=………………（1分）因为DF=AF ，所以，CD=AE ， ………………（1分）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以，AB=CD ，所以AE=AB ，所以，BE =2AE ， …（1分）因为△ECA ∽△EBC 所以AE CE ACCE BE BC==………………（1分）所以2212CE AE BE BE =⋅=，即：2CE BE =………………（1分）所以AC BC =．………………（1分）24.(1) 将点(3,6)B 代入解析式242y ax ax =-+，可得：6912 2.a a =-+，解之得.34-=a ………………（2分）所以二次函数解析式为2416233y x x =-++．………………（1分）点A 的坐标为（0，2）．………………（1分）（2）由题意， (1,6)C ， 2BC =， 5AB =， 4tan 3CBA ∠=． ………………（1分）过点C 作CH AB ⊥于点H ．∴85CH =， 65BH =， 195AH =………………（2分） ∴8tan 19CAB ∠=．………………（1分） (3) 由题意， 15AB AB ==，从而点1B 的坐标为(0,3)-或(0,7)．………………（2分） ① 若点1(0,3)B -，设(,0)P x ，由1PB PB =，有2222(3)63x x -+=+，解得: 6x =，即(6,0)P ………………（1分）② 若点1(0,7)B ，设(,0)P x ，由1PB PB =，有2222(3)67x x -+=+，解得: 23x =-，即2(,0)3P -………………（1分）综合知，点P 的坐标为(6,0)或2(,0)3-．25.(1) 如图， ∵152AD AB == ∴315544DE FG ==⨯=．………………（2分） 33154544416BG FG ==⨯=∴453551616DG =-=．即1535,416DE EF ==．………………（2分）（2）过点D 作DH AC ⊥于点H ，从而3DH =．易得△DHE ∽△ECF ，由12DE EF =，可得26EC DH ==， 162EH x =-． ………………（3分）所以22223(6)64524x x DE x =+-=-+． ………………（1分）∴22212902x y DE EF DE x =⋅==-+．………………（1分）(3) 由题意，点G 可以在边BC 或者AB 上．①如左图若点G 在边BC 上，从而由3DE =，可知92EF =，于是29AC EF ==；……（2分） ②如右图，若点G 在边AB 上．记AD DB a ==，矩形边长2,3DE b EF b ==，由△ADE ∽△FGB ，可得AD FGDE GB =，即223a b b a b=-，化简可得22340a ab b --=，因式分解后有:4a b =，即2AD DE =．而由△ADE ∽△ACB ，所以2AC BC =，从而12AC =．………………（3分）综上知，AC 的值为9或12.B。

2016年杨浦二模(文理)解析

2016年杨浦区二模2016.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1、函数2()1x f x x +=-的定义域为_________ 2、已知线性方程组的增广矩阵为113 34a --⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =__________3、计算2123lim1n n n →∞++++=+________4、若向量a 、b 满足1=a ，2b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________5、若复数1234,12,z i z i =+=- 其中i 是虚数单位，则复数12z z i+的虚部为______6、61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_______7、已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c a bb--=，则角C 的大小是_______8、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为_______9、（理）在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到(1,)π距离的最大值为_______（文）已知变量,x y 满足5300x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，，则23x y +的最大值为__________10、（理）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到的球中的最大号码，则ξ的数学期望是______（文）已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如右图所示，则其左视图的面积是_________11、已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||=||PM PF ______12、现有5位教师要带3个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有_______（用数字作答） 13、（理）若关于x 的方程5445x x m x x⎛⎫+--= ⎪⎝⎭在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为_______ （文）若关于x 的方程5454x x m x x⎛⎫+--= ⎪⎝⎭在(0,)+∞内恰有四个相异实根，则实数m 的取值范围为__________14、课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法. 祖暅原理也可用来求旋转体的体积. 现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式. 请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于_______图2图1oyxRhRh二、选择题（本大题满分20分）15、下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（） A 、2xy = B 、ln y x = C 、13y x = D 、1y x x=+ 16、已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“3πα<”是“3k <”的（）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件17、设,,x y z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是（） A 、2211x x x x+≥+ B 、312x x x x +-+≤+- C 、1||2x y x y-+≥- D 、||||||x y x z y z -≤-+- 18、（理）已知命题：“若,a b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线,a b 之间的距离”为真命题. 根据上述命题，若,a b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与,a b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（） A 、0条 B 、1条 C 、多于1条，但为有限条 D 、无数多条（文）空间中n 条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n 至多等于（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19、（本题满分12分，其中第一小题6分，第二小题6分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.（1）证明: 1DC BC ⊥；（2）求三棱锥1C BDC -的体积；20、（本题满分14分，其中第一小题8分，第二小题6分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠．设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值；21、（本题满分14分，其中第一小题6分，第二小题8分）已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中R a ∈（1）根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）已知0a >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；（理）22、（本题满分16分，其中第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的焦距为23，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形. 若直线l 与椭圆C 交于()11,A x y 、()22,B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：3455OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H . （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .（文）22、（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：*112,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N ，且对一切*n ∈N ，均有12(2)n a n b b b =.（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设*()n nn n na b c n a b -=∈N ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求正整数k ，使得对任意*n ∈N ，均有k n T T ≥（理）23、（本题满分18分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题8分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：*11,(1)(1),n n a na n a n n n λ+==+++∈N ，且对一切*n ∈N ，均有12(2)n a n b b b =.（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设*()n nn n na b c n a b -=∈N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切*n ∈N ，均有4n T T ≥恒成立. 若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由；（文）23、（本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的焦距为23，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形。

2016高三二模难题数学

10
10
大于数学期望，其反面情况是没有抽中任何奖品，∴ P
1
C62 C120
2 3
；
13.（文）设函数
f
(x)
|
ax x2 2x
|
x 1（其中 a 0 ， a 1），若不等式 f (x) 3 的解 x 1
集为 (,3]，则实数 a 的取值范围为
【解析】若 0 a 1，结合图像可知，解集不可能
4 32 23 4 【附】 y sin( x) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) 在[0,1] 上的图像，已按适当比例伸展；
3. 杨浦
13.（文）若关于 x 的方程 (5x 5根，则实数
x
x
m 的取值范围为
【解析】设 f (x) (5x 5) | 4x 4 | ，分区间讨
4. 奉贤
13.（理）在棱长为 1 的正方体 ABCD ABCD 中，若点 P 是棱上一点，则满足 PA PC 2 的点 P 的
个数
【解析】假设 P 在 AA 上，易得 AC PA PC AA AC ，即 3 PA PC 1+ 2 ，必然存在一点 P ，使得 PA PC 2 ；当然，如果愿意，也可以算出 P 点位置，设 AP x ，那么 AP 1 x ，∵ AC 2 ，∴ PC x2 2 ，即 x2 2 1 x 2 ，解得 x 0.5 ，即 P 为 AA 中点，同理， AD 、 AB 、 CD 、 CB 、 CC 的中点也满足，∴共有 6 个；
∴点P(a,b) 构成的区域如图所示，面积为 4 ；
18.（理）已知点列 An (an ,bn ) (n N *) 均在函数 y ax (a 0, a 1) 上，点列 Bn (n, 0) 满足| An Bn | | An Bn1 | ，若{bn}中任意连续三项能构成三角形三边，则 a 的范围为（）

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1
上海市黄浦区2016届高三二模数学试卷
2016.04
一. 填空题

1. 已知集合{1,3,21}Am，集合2{3,}Bm，若BA，则实数m
2. 计算：131lim32nnnn
3. 函数3()1fxx的反函数1()fx
4. 函数2()(sincos)fxxx的最小正周期为
5.（文）直线210xy与直线1y的夹角为（结果用反三角函数值表示）
（理）在极坐标系中，直线(cos2sin)1与直线sin1的夹角大小为
（结果用反三角函数值表示）
6. 已知菱形ABCD，若||1AB，3A，则向量AC在AB上的投影为
7. 已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边
形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体
所有棱长均为1，则其体积V

8. 已知函数32()lg(1)fxxxx，若()fx
的定义域中的a、b满足()()3fafb
()()3fafb，则()()fafb

9.（文）数列{}na中，若13a，1nnaa*()nN，则{}na的通项公式na
（理）在代数式2521(425)(1)xxx的展开式中，常数等于
10.（文）在代数式2521(425)(1)xxx的展开式中，常数等于
（理）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为
11.（文）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为
（理）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、
2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是
12.（文）满足约束条件||2||2xy的目标函数zyx的最大值是
（理）设离散型随机变量可能取到值为1、2、3，()Pakb(1,2,3)k，若的数
学期望73E，则ab
13.（文）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别
标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是
2

（理）正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组24033|1|||||yxyxxaxb
有且只有一组解，则a的最大值为
14.（文）正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组24033|1|||||yxyxxaxb
有且只有一组解，则a的最大值为
（理）已知数列{}na中，若10a，2iak*1(,22,1,2,3,)kkiNik，则满足

2100ii
aa
的i的最小值为

二. 选择题
15. 已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111,0laxbyc，2222,0laxbyc，

那么“11220abab”是“两直线1l、2l平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16.（文）若12i（i为虚数单位）是实系数方程20xbxc的一个复数根，则（）
A. 2b，3c B. 2b，5c
C. 2b，3c D. 2b，5c

（理）若1mizi（,mRi为虚数单位）在复平面上的点不可能是位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
17. 若ABC的三条边a、b、c满足():():()7:9:10abbcca，则ABC（）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
18.（文）全集={(,)|,}UxyxRyR，集合SU，若S中的点在直角坐标平面内形成
的图形关于原点、坐标轴、直线yx均对称，且(2,3)S，则S中元素个数至少有（）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
（理）若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]fxxxxx的定义域与区间[0,1]的交
集由n个开区间组成，则n的值为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

三. 解答题
19. 如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：
三根细钢管相交处的节点P与凳面圆形的圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分两钢管上下两段
3

的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆周的三等分点，
18AB
厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；

20. 已知函数()sincosfxaxbx，其中a、b为非零实常数；
（1）若()24f，()fx的最大值为10，求a、b的值；
（2）若1a，6x是()fx图像的一条对称轴，求0x的值，使其满足0()3fx，且
0
[0,2]x
；

21. 已知函数2()1xxfxax，其中1a；
（1）证明：函数()fx在(1,)上为增函数；
（2）证明：不存在负实数0x使得0()0fx；

22.（文）对于双曲线22(,)22:1abxyCab(,0)ab，若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则
称P在的(,)abC外部；若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC的内部；
（1）证明：直线310xy上的点都在(1,1)C的外部；
（2）若点M的坐标为(0,1)，点N在(1,1)C的内部或(1,1)C上，求||MN的最小值；
（3）若(,)abC过点(2,1)，圆222xyr(0)r在(,)abC内部及(,)abC上的点构成的圆弧长
等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
4

（理）已知数列{}na的通项公式为12()()nanknk，其中12,kkZ；
（1）试写出一组12,kkZ的值，使得数列{}na中的各项均为正数；
（2）若11k、*2kN，数列{}nb满足nnabn，且对任意*mN(3)m，均有3mbb，
写出所有满足条件的2k的值；
（3）若120kk，数列{}nc满足||nnncaa，其前n项和为nS，且使0ijcc
*
(,,)ijNij
的i和j有且仅有4组，1S、2S、„、nS中至少3个连续项的值相等，其

它项的值均不相等，求12,kk的最小值；

23.（文）已知数列{}na的通项公式为12()()nanknk，其中12,kkZ；
（1）试写出一组12,kkZ的值，使得数列{}na中的各项均为正数；
（2）若11k、*2kN，数列{}nb满足nnabn，且对任意*mN(3)m，均有3mbb，
写出所有满足条件的2k的值；
（3）若120kk，数列{}nc满足||nnncaa，其前n项和为nS，且使0ijcc
*
(,,)ijNij
的i和j有且仅有4组，1S、2S、„、nS中至少3个连续项的值相等，其

它项的值均不相等，求12,kk的最小值；

（理）对于双曲线22(,)22:1abxyCab(,0)ab，若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P
在的(,)abC外部；若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC的内部；
（1）若直线1ykx上的点都在(1,1)C的外部，求k的取值范围；
（2）若(,)abC过点(2,1)，圆222xyr(0)r在(,)abC内部及(,)abC上的点构成的圆弧长
等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线2||1xymx(0)m上的点都在(,)abC的外部，求m的取值范围；
5

参考答案
一. 填空题
1. 1 2. 13 3. 3(1)x 4.  5.（文）1arctan2（理）1arctan2
6. 32 7. 332 8. 3 9.（文）123n（理）15 10.（文）15（理）103
11.（文）103（理）114 12.（文）2（理）16 13.（文）114（理）2016
14.（文）2016（理）128

二. 选择题
15. B 16.（文）D（理）D 17. C 18.（文）C（理）C

三. 解答题
19. 29.13hcm，三根细管总长度100.90cm；
20.（1）1a，3b或3a，1b；（2）()2sin()3fxx，00x或3或2；
21. 证明略；
22.（文）（1）略；（2）62；（3）22283brb，22r；
（理）（1）120kk；（2）7、8、9、10、11；（3）15k，26k；
23.（文）（1）120kk；（2）7、8、9、10、11；（3）15k，26k；

（理）（1）(,2)(2,)；（2）22283brb，22r；（3）bma；