陕西省西安市第一中学12-13学年高二上学期期末考试数学理试题
陕西省西安市第一中学高二数学上学期期末试题 文【会员独享】.doc
西安市第一中学-第一学期期末高二（文）数学选修1-1测试题（卷）一、选择题 ：（本大题共10个小题每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.命题“若1=x ，则0232=+-x x ”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是【 】 A 、0 B 、2 C 、3 D 、42. 已知命题甲：()()0x m y n --<，命题乙：x m y n ><且，则甲是乙的【 】 A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、充分不必要条件D 、必要不充分条件3.抛物线x y 82-=的焦点坐标是 【 】A 、（2，0）B 、（- 2，0）C 、（4，0）D 、（- 4，0） 4.椭圆2225161x y +=的焦点坐标为【 】 A 、（-3，0） B 、1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、3,020⎛⎫-⎪⎝⎭，3,020⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,20⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,20⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则实数m 等于【 】 A 、23或38 B 、23C 、38D 、83或326.过点()2,2-P 且与1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是【 】 A ．14222=-x y B ．12422=-y x C ．12422=-x y D ．4222=-y x 7.如果函数()x f y =的图象如右图，那么导函数的图象可能是【 】8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，),(b a 内极值点有【 】A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9.若直线l 过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则弦AB 的长为【 】A 、2B 、4C 、6D 、810.下列说法正确的是 【 】A 、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大.B 、函数在闭区间上的最大值一定是极大值.C 、对于函数12)(23+++=x px x x f ，若6||<P ，则)(x f 无极值.D 、函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11.命题：,0x R x ∀∈>的否定是________________12.已知动点M ),(y x 满足|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则M 点的轨迹曲线为 . 13.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 14.给出下列命题：二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11． 12. 13. 14.三、解答题 :(本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本大题满分8分）已知命题p ：}{12a x x <∈；q ：}{22a x x <∈（I ）若“q p ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （II ）若“q p ∧”为真命题，求实数a 的取值范围.16.（本大题满分12分）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(的图象过点()3,0，且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数. （I ）求)(x f 的解析式； （II ）求)(x f 在R 上的极值.17.（本大题满分12分）已知双曲线)0.0(1:2222>>=-b a by a x C 与椭圆1141822=+y x 有共同的焦点，点)7,3(A 在双曲线C 上.（I ）求双曲线C 的方程；（II ）以()2,1P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程.18.(本大题满分12分）已知定点()0,2-A ，动点B 是圆22:(2)64F x y -+=（F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ． （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）是否存在过点()4,0-E 的直线l 交P 点的轨迹于点T R ,，且满足167OR OT ⋅=（O 为原点）．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．高二数学（文）选修1-1测试题参考答案一选择题：BDBDAAACCC二填空题：11. ,0x R x ∃∈≤ 12.抛物线 13. ()+∞,2 14.①③ 三解答题：15.解：若P 为真，则}|{12a x x <∈，所以a <21，则1>a若q 为真，则}|{22a x x <∈，即4>a ………4分 （1）若“q p ∨”为真，则1>a 或4>a ，则1>a ……6分（2）若“q p ∧”为真，则1>a 且4>a，则4>a ……8分 16.（1）)(x f 的图象过点)3,0(，3)0(==∴d f（第18题图）331)(23+++=∴cx bx x x f ，c bx x x f ++='∴2)(2 又由已知得3,1=-=x x 是0)(='x f 的两个根，⎩⎨⎧-=-=∴⎩⎨⎧=⨯--=+-∴3131231c b c b 故3331)(23+--=x x x x f ………8分 （2）由已知可得1-=x 是)(x f 的极大值点，3=x 是)(x f 的极小值点 =∴极大值)(x f 314)1(=-f =极小值)(x f 6)3(-=f …………12分 17.解：（1）由已知双曲线C 的焦点为)0,2(),0,2(21F F -由双曲线定义a a AF AF 271725,2||||||21=+-+∴=- 2,4,222=∴==∴b c a∴所求双曲线为12222=-yx …………6分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，因为A 、B 在双曲线上⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴2222222121y x y x①－②得0))(())((21212121=+--+-y y y y x x x x 21,21421212121=∴==++=--∴AB k y y x x x y y∴弦AB 的方程为)1(212-=-x y 即032=+-y x 经检验032=+-y x 为所求直线方程. …………12分 18.解：（1）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8. 故|PA|+|PF|=8>|AF|=4∴P 点轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆.……………3分设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x22112x y p ∴+=点轨迹方程为16. ……………… 6分（2）假设存在满足题意的直线L.易知当直线的斜率不存在时, 0OR OT ⋅<不满足题意.故设直线L 的斜率为1122, R(,), T(,)k x y x y .12121616, .77OR OT x x y y ⋅=∴+=………………………………7分 22224(34)32160.11612y kx k x kx x y =-⎧⎪+-+=⎨+=⎪⎩由得………………………8分2221>0,(-32)4(34)160.4k k k ∆-+⋅>>由得解得……………………①.1212223216, .3434k x x x x k k ∴+=⋅=++…………………10分 212121212(4)(4)4()16.y y kx kx k x x k x x ∴⋅=--=-++……………9分22121222216161281616.3434347k k x x y y k k k +=+-+=+++故2 1.k =解得…②. 由①、②解得 1.k =± 4.l y x ∴±-直线 的方程为=………………11分:4040.l x y x y ++=--=故存在直线或满足题意……12分。
陕西西安第一中学12-13学年高二下期末考试--数学文讲解
西安市第一中学2012-2013学年度第二学期期末考试高二年级数学（文科）试题一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共计48分。
每小题只有一个选项符合题意）1、以实数x ，x -，||x ，2x ，33x -为元素所组成的集合最多含有（ ）A 、2个元素B 、3个元素C 、4个元素D 、5个元素 2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A 、55x y =与2x y = B 、x y =与 33x y =C 、1)3)(1(-+-=x x x y 与3+=x y D 、1=y 与 0x y = 3、在从集合A 到集合B 的映射中,下列叙述中正确的个数是（ ）（1） A 中的每一个元素在B 中都有象 （2） A 中的两个不同元素在B 中的象必不同 （3） B 中的元素在A 中可以没有原象 （4） B 中的某一元素在A 中的原象可能不止一个 （5） A 中元素象的集合即为BA 、1B 、2C 、3D 、4 4、函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A 、B 、0C 、0或D 、或2 5、“y x≠”是“y x sin sin ≠”的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要 6、已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、1或-1或0 7、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ） A 、一条直线 B 、两条直线 C 、一条射线 D 、两条射线 8、函数y =的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、,2)21(-)21,-(-⋃∞9、如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接,AE BE ， APE ∠的平分线与,AE BE 分别交于点,C D ，若030AEB ∠=，则PCE ∠=（ ） A 、30 B 、 45 C 、60 D 、 7510、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为（ ）A 、92元B 、94元C 、95元D 、88元 11、函数xxx y +=的图象是（ ）12、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线的方程为320x y -+=.则曲线C的点的个数为（ ）A 、B 、2C 、3D 、4二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分。
陕西省西安市长安区第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
陕西省西安市长安区第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出坐标得答案．【详解】解：∵，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】集合,集合,∴故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查指数函数的单调性，比较基础．3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5,10]内的频数为( )A. 50B. 40C. 30D. 20【答案】D【解析】【分析】计算出第一个小矩形的面积，即得出这一组的频率，用频率与样本容量100相乘得到这一组的频数．【详解】解：如图，第一个小矩形的面积为0.04×5＝0.2，样本落在[5,10]内的频数为0.2×100＝20，故选：D．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，矩形的面积表示此组的频率，属于基础题.4.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.5.下列命题中正确的个数是( )①命题“任意”的否定是“任意；②命题“若，则”的逆否命题是真命题；③若命题为真，命题为真，则命题且为真；④命题“若，则”的否命题是“若，则”.【答案】B【解析】【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断，②根据逆否命题的等价性进行判断，③根据复合命题真假关系进行判断，④根据否命题的定义进行判断．【详解】①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“存在x∈（0，+∞），2x≤1”；故①错误；②命题“若，则”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故②错误；③若命题p为真，命题￢q为真，则q为假命题，则命题p且q为假命题．故③错误；④命题“若，则”的否命题是“若，则”正确，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，但难度不大．6.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，当时，，所以切线方程是，整理为，故选B.考点：导数的几何意义7.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( ).A. B. 4 C. D. 6【答案】C【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．8.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对．【详解】在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中：令底面A′B′C′D′＝A、令m＝AA′，n＝A′B′，满足m⊥，m⊥n，但n∥不成立，A错误；B、令m＝AB，n＝AD，满足m∥，m⊥n，但n⊥不成立，B错误；C、令m＝AB，n＝BC，满足m∥，n∥，但m∥n不成立，C错误；故选：D．【点睛】本题主要考查立体几何的线面平行、线面垂直的关系，画图处理这方面的选择题，可以说是事半功倍，本题属于基础题．9.“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由，解得x＞﹣1，此时“”不成立，即充分性不成立，若“”，则“”成立，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．10.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：解:A图显示的定义域为是错误的；C图中指数函数图象下降，显示，对数函数的图象上升，显示，两者矛盾，是错误的；D图中指数函数的图象上升，显示，对数函数的图象下降，显示，两者矛盾，是错误的；因为函数与函数互为反函数，它们的图象应关于直线对称，所以B图是正确的，故选B. 考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、互数反函数的两个函数图象间的关系.11.从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A. B. C. D.【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【详解】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），对应的区域的面积为12．∴∴π．故选：B．【点睛】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．12.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )A. -2019B. 0C. 2D. 2019【答案】B【解析】【分析】由题意可得函数f（x）为周期为4的周期函数，f（1）＝2，f（2）＝0，f（3）＝﹣2，f（4）＝0，由此能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）的值．【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足．∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x）＝f（x+4），则函数f（x）为周期为4的周期函数，∵f（0）＝0，f（1）＝2，∴f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝f（1+2）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝504×0+2+0﹣2＝0．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.如图，已知双曲线的左右焦点分别为,，是双曲线右支上的一点，与轴交于点的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 ( )A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】由|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|＝2，结合|F1F2|＝4，即可得出结论．【详解】由题意，∵|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM＝AN，F1M＝F1Q，PN＝PQ，∵|AF1|＝|AF2|，∴AM+F1M＝AN+PN+NF2，∴F1M＝PN+NF2＝PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|＝F1Q+PQ﹣PF2＝F1M+PQ﹣PF2＝PQ+PF2+PQ﹣PF2＝2PQ＝2，∵|F1F2|＝4，∴双曲线的离心率是e＝＝2．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于中档题.14.已知是定义在区间内的单调函数，且对任意，都有，设为的导函数，，则函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，求出f（x）＝lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数单调性求出函数的零点个数即可．【详解】对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）＝＞0，故g（x）＝lnx+e﹣，则g′（x）＝+＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）＝e﹣1＞0，g（）＝﹣1＜0，存在x0∈（，1），使得g（x0）＝0，故函数g（x）有且只有1个零点，故选：B．【点睛】本题考查导数的运算和零点存在性定理的应用，关键是通过换元求出f（x）解析式，属于中档题．二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）15.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________．【解析】【分析】设该组数据为x1，x2，…，x n；则新数据为x1+20，x2+20，…，x n+20；从而分别求平均数与方差，比较即可．【详解】设该组数据为x1，x2，…，x n；则新数据为x1+20，x2+20，…，x n+20；∵28，∴20+28＝48，∵S2[（x1）2+（x2）2+…+（x n）2]，[（x1+20﹣（20））2+（x2+20﹣（20））2+…+（x n+20﹣（20））2]，＝S2＝4，故答案为：48,4．【点睛】本题考查了平均数与方差的性质，考查了计算能力，属于基础题.16.在的展开式中，的系数为____________.【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，即可求得结果．【详解】的展开式的通项为C5r x5﹣r（﹣1）r，令5﹣＝-1求得r＝4，∴的系数为＝故答案为：．【点睛】本题考查二项展开式通项公式的应用，考查展开式中某项系数的求法，属于简单题．17.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18.已知正方体的棱长为1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为，求出一个正四棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．则其中一个正四棱锥的高为h．∴该多面体的体积V．故答案为：．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．【答案】【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，由此解得p的值．【详解】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，解得p＝，故选：．【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．20.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点. 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是__________.【答案】（2，4）【解析】设直线的方程为，，把直线的方程代入抛物线方程，整理可得：则，，则线段的中点由题意可得直线与直线垂直，且当时，有即，整理得把代入到可得，即由于圆心到直线的距离等于半径即，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条当时，这样的直线恰有条，即，综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。
陕西省西安市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
陕西省西安市2019-2020学年高二上学期期末考试数学数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：北师大版选修2-1.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“()00,x ∃∈+∞，001x e x =+”的否定是（ ）A.()00,x ∃∈+∞，001x e x ≠+B.()00,x ∃∉+∞，001x e x =+C.()0,x ∀∈+∞，1x e x ≠+D.()0,x ∀∉+∞，1x e x =+ 2.准线方程为1y =的抛物线的标准方程是（ ）A.22x y =B.22y x =C.24x y =−D.24y x =−3.已知向量()0,2,1a =，()1,1,b m =−，若a ，b 分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则m =（ ） A.1− B.1 C.2− D.24.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且其中一条渐近线的方程为2y x =，则双曲线C 的离心率为（ ）B.2 C.25.若抛物线()220x py p =>上一点(),1P m 到其焦点F 的距离为2p ，则p =（ ） A.23 B.43C.2D.1 6.已知下列命题：①到两定点()1,0−，()1,0距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；②0x N ∃∈，200210x x −−≤；③已知()2,3,a m =，()2,6,8b n =，则“a ，b 为共线向量”是“6m n +=”的必要不充分条件.其中真命题的个数（ ）A.0B.1C.2D.37.已知命题:p 若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，则直线l 与抛物线C 相切，命题:q 若5m >，则方程22131x y m m +=−+表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ） A.()p q ∨⌝ B.()p q ⌝∧ C.p q ∧ D.()()p q ⌝∧⌝8.如图，在长方体1111ABCD A BC D −中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB y AD z AA =++，则x y z ++=（ ）A.43 B.23 C.13D.1 9.“方程22114x y m m +=−−表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ） A.()2,3m ∈ B.()1,4m ∈ C.()0,4m ∈ D.()4,m ∈+∞10.已知抛物线2:6C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为5，则AF BF +=（ ）A.8B.11C.13D.1611.在空间直角坐标系O xyz −中，四面体SABC 各顶点坐标分别为()2,2,4S ，()6,6,4A ，()6,6,0B ，()2,6,4C ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A.12πB.16πC.32πD.48π12.已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是（ ）A.22,33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭B.22,44⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭C.33,33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭D.33,44⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量()2,3,4a =，()1,,2b m =−，若//a b ，则m =________.14.命题“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +−≤”为假命题，则a 的取值范围为________.15.在正方体1111ABCD A BC D −中，M ，N 分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为________.16.双曲线22:13y C x −=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，12tan 43F PF ∠=，O 为坐标原点，则OP =________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.（10分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点()23,3−，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程. 18.（12分）已知:p 对于x R ∀∈，函数()()2ln 46f x kx x k =−+有意义，:q 关于k 的不等式()2220k m k m −++≤成立.（1）若p ⌝为假命题，求k 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围. 19.（12分）如图，在正四棱锥S ABCD −中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =. （1）证明：//SB 平面P AC .（2）求直线BC 与平面P AC 的所成角的大小.20.（12分）如图，几何体AMDCNB 是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD 为正方形，MA MD ⊥，平面MAD ⊥平面ABCD . （1）证明：平面MAB ⊥平面M DC .（2）若MA MD =，求二面角M AD N −−的余弦值.21.（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，其准线过点()2,1−−. （1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线焦点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为22，求直线l 的方程.22.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3e =，且圆221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.参考答案1.C 特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为()0,x ∀∈+∞，1x e x ≠+.2.C 根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =，故其标准方程为24x y =−.3.C 由题可知，a b ⊥，则20a b m ⋅=+=，即2m =−.4.D由题可知2a b =，则c e a ===5.A 122p PF p =+=，解得23p =. 6.B 对于①，由于两定点()1,0−，()1,0的距离为2，故到两定点()1,0−，()1,0的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.对于②，取00x N =∈，满足200210x x −−≤，故②正确.当a ，b 为共线向量时，则存在实数λ，使得a b λ=，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，则6m n +=.当6m n +=时，a ，b 不一定为共线向量，故“a ，b 为共线向量”是“6m n +=”的充分不必要条件，故③错误. 7.B 由题意可得命题p 是假命题，命题q 是真命题，则()p q ⌝∧是真命题. 8.B 111211233333DP DB DD AB AD AA =+=−+，所以13x =，13y =−，23z =，所以23x y z ++=. 9.A22114x y m m +=−−表示双曲线，则()()140m m −−<，所以14m <<，故选A. 10.C 设()11,A x y ，()22,B x y ，因为AB 的中点的纵坐标为5，所以1210y y +=，则12123331322AF BF y y y y +=+++=++=.11.D 由题意计算可得4AB =，4AC =，4SC =，BC =()0,0,4AB =−，()4,0,0AC =−，()04,0CS =−，所以0AB CS CS AC CS ⎧⋅=⎪⇒⊥⎨⋅=⎪⎩平面ABC ，故四面体SABC 是底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱SC 垂直底面ABC 的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长所以该四面体外接球的表面积(2448S ππ=⋅=.12.C 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，1ABk =− .又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减，得121212122y y y y x x x x −+⋅=−−+，即002y x =.又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得,33m ⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭. 13.32−因为//a b ，所以()2:3:41::2m =−，解得32m =−. 14.(),1−∞ 若“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +−≤ ”为假命题，可得当[]1,2x ∈时，2ln x x a +>恒成立，只需()2minln a x x <+.又函数2ln y x x =+在[]1,2上单调递增，所以1a <.15.16以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz −，令2AB =，则()10,2,2D ，()2,1,1O ，()0,1,0M ，()1,2,2N ，故()1,1,2MN =，()12,1,1OD =−，所以1111cos ,6MN OD MN OD MN OD ⋅==，故异面直线MN 与1OD所成角的余弦值为16.16.因为12tan F PF ∠=12sin F PF ∠=，121cos 7F PF ∠=.由余弦定理可得，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，即2212122167PF PF PF PF +−⋅⋅=. 又因为122PF PF −=，所以127PF PF ⋅=， 则12F PF 面积为12121sin 2PF PF F PF ⋅⋅⋅∠=. 设()00,P x y ，又12F PF面积为0c y ⋅=，0y =代入C 的方程得202x =，所以PO ==17.解：（1）由题意知，212a =，13c a =， 2分 所以6a =，2c =，所以22232b a c =−=. 4分又因为双曲线E 的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的方程为2213632x y +=. 5分 （2）双曲线E 的标准方程为()2211221110,0x y a b a b −=>>， 6分由题可知双曲线E 的焦点坐标为()2,0，()2,0−，所以22114a b +=. 8分又双曲线E过点(，所以22111231a b −=，解得213a =，211b =. 所以双曲线E 的标准方程为2213x y −=. 10分 18.解：（1）因为p ⌝为假命题，所以p 为真命题，所以2460kx x k −+>对x R ∈恒成立. 2分 当0k =时，不符合题意； 3分 当0k ≠时，则有2016240k k >⎧⎨∆=−<⎩，则3k >. 5分 综上，k的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 6分 （2）由()2220k m k m −++≤，得()()20k k m −−≤. 7分 因为p 是q 的必要不充分条件，所以关于k 的不等式()()20k k m −−≤的解集是集合3⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭的真子集， 9分所以3m >. 12分 19.（1）证明：连接OP ，因为O ，P 分别为BD 和SD 的中点，所以//OP SB ， 2分 又OP ⊂平面P AC ，SB ⊄平面P AC ，所以//SB 平面P AC . 4分（2）解：如图，以O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz −.设OD SO OA OB OC a =====，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，(),0,0C a −，0,,22a a P ⎛⎫−⎪⎝⎭，则()2,0,0CA a =，,,22a a AP a ⎛⎫=−−⎪⎝⎭，(),,0CB a a =. 6分 设平面P AC 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0n CA ⋅=，0n AP ⋅=， 所以20220ax ay az =⎧⎨−+=⎩，令1y =，得()0,1,1n =， 8分所以1cos ,2CB n CB n CB n⋅===， 9分 所以,60CB n =︒， 10分故直线BC 与平面P AC 的夹角为906030︒−︒=︒. 12分20.（1）证明：因为平面MAD ⊥平面ABCD ，且相交于AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥平面MAD . 1分 所以CD MA ⊥. 2分 又MA MD ⊥，MDCD D =，所以MA ⊥平面MDC . 4分因为MA ⊂平面MAB ，所以平面MAB ⊥平面MDC . 5分（2）解：以N 为坐标原点，分别以NC ，NB 所在的直线为x ，y 轴，过N 作与平面NBC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系N xyz −，如图所示.设1NC =，则()0,0,0N ，(A ，(D， 6分所以(NA =，(ND =. 7分设平面NAD的一个法向量()1,,n x y z =，则110NA y N x n n D ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 8分令1z =，得()1n =. 9分 又平面MAD 的一个法向量()20,0,1n =， 11分所以12cos ,5n n ==. 11分 由图可知二面角M AD N −−为钝角，所以所求二面角M AD N −−的余弦值为 12分21.解：（1）由题意得，抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22y px =， 2分 因为准线过点()2,1−，所以22p=，即4p =. 4分 所以抛物线C 的方程为28y x =. 5分（2）由题意可知，抛物线C 的焦点为()2,0F .当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l的距离为，不合题意； 7分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =−，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l的距离为， 过点P 的直线平行直线():2l y k x =−且与抛物线C 相切. 8分 设该切线方程为y kx m =+，代入24y x =，可得()222280k x km x m +−+=.由()2222840km k m ∆=−−=，得2km =.由=224m k =， 10分又2km =，解得21k =，即1k =±.因此，直线l 方程为20x y ±−=. 12分22.（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =. 1分又离心率2e ==，所以21314a −=，则24a =. 3分故椭圆C 的方程为2214x y +=. 4分 （2）证明：椭圆221:1164x y C +=， 当直线l 的斜率不存在时.这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =，即MN =，则122OMNSMN =⨯⨯=. 6分 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++−=， 7分 由0∆=，可得2241m k =+. 8分联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++−=.设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122841kmx x k +=−+，()21224441m x x k −=+. 9分则MN ==. 10分因为原点到直线l的距离d ==12OMNS MN d =⋅= 11分 综上所述，OMN 的面积为定值 12分。
陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题解析版
长安一中2020—2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.243ii -=+（） A.1255i - B.1255i + C.2155i + D.2155i - 2.“220x x +=”是“0x =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是（）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.合情推理得到的结论是正确的C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理得到的结论是错误的4.一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是22s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为（） A.4B.6C.8D.105.某双曲线的一条渐线近方程为32y x =，且上焦点为，则该双曲线的方程是（） A.22164x y -=B.22164y x -= C.221188x y -=D.221188y x -=6.设(, )P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A.221164x y +=B.221416x y += C.22148x y -=D.22184x y -= 7.用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x>成立”时，假设正确的是（）A.不存在实数0x ，使030x>成立 B.至多存在一个实数0x ，使030x>成立 C.至少存在两个实数0x ，使030x>成立 D.任意实数x ，030x>恒成立8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1CC 的中点，连结1B M ，1BC 交于点P ，则（）A.12233AP AB AD AA =++ B.12233AP AB AD AA =++ C.12233AP AB AD AA =++D.11122AP AB AD AA =++9.已知函数()f x 的导函数是()f x '，()f x '的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 在()2,1--上单调递减B.函数()f x 在3x =处取得极大值C.函数()f x 在()1,1-上单调递减D.函数()f x 共有4个极值点10.在三棱锥P ABC -中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且PA PB PC ==，M ，N 分别为AC ，AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A.-B.11.若函数2()ln f x x m x =-在(0,1]上为减函数，则实数m 的取值范围是（） A.[2,)+∞B.(2,)+∞C.(,2]-∞D.(,2)-∞12.已知抛物线方程为24y x =，直线:0l x y ++=，抛物线上一动点P 到直线l 的距离的最小值为（）A.2B.2-C.4D.22-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“x ∀∈R ，20x x +≤”的否定是______.14.函数3()5f x x x =-+的图象在点(1,(1))P f 处的切线方程是______.15.如图，中心均为坐标原点O 的双曲线与椭圆在x 轴上有共同的焦点1F ，2F ，点M ，N 是双曲线的左、右顶点，点A ，B 是椭圆的左、右顶点.若1F ，M ，O ，N ，2F 将线段AB 六等分，则双曲线与椭圆的离心率的乘积为______.16.定义在R 上的函数()f x 满足：2()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()25(5)10f x f x x +≥-+的解集为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知:p 对任意实数x 都有21ax ax >--恒成立，:q 关于x 的方程2230x x a -+=有实数根.若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.19.（本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=和直线:2l y x m =+. （1）当椭圆C 与直线l 有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形P AD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是P A ，PD 上的点，且AD BC ∥，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP △沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：MN ∥平面P AD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值. 21.（本小题满分12分）已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R .（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a . 22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点P ，Q 是抛物线C 上异于点O 的两个不同的动点，当直线PQ 过点F 时，PQ 的最小值为8. （1）求抛物线C 的方程；（2）若OP OQ ⊥，证明：直线PQ 恒过定点.参考答案及评分细则1.A2(2)(43)12432555i i i i i ---==-+.故选A. 2.B 方程220x x +=的解集为102x x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∣或，所以“220x x +=”是“0x =”的必要不充分条件.故选B.3.CA 项错，因为类比推理是特殊到特殊的推理；BD 项错，因为合情推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的；C 项正确，因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理.故选C.4.B 22s t '=+，所以当2t =时，6s '=.即物体在2t =时的瞬时速度为6.故选B.5.D 设该双曲线的方程为22(0)94y x λλ-=>，则94=26λλ+，=2λ，所以该双曲线方程为221188y x -=.故选D.6.B 由题意可知，点(),P x y 到点1F 的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，所以28a =，4a =，因为c =，所以2221612=4b a c =-=-，所以点P 的轨迹方程为221416x y +=.故选B. 7.A 根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定.故选A. 8.B 因为11BPB C PM △∽△，点M 是棱1CC 的中点，所以1112BB BP C P C M==， 所以AP AB BP AB =+=+()11122223333BC AB BC BB AB AD AA =++=++.故B. 9.C 函数()f x 在()2,1--上单调递增，故A 错误；函数()f x 在()1,3上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；函数()f x 在()1,1-上单调递减，故C 正确；函数()f x 共有3个极值点，3x =-，1x =是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误.故选C.10.D 以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-， 设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选D.11.A 由题意得，()20mf x x x'=-≤在(0,1]x ∈上恒成立，所以22m x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，因为22x 在(]0,1的最大值为2，所以2m ≥.故选A.12.D 设抛物线上的动点20,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点P 到直线l的距离d==.∵0y ∈R ，∴min 22d =.故选D. 13.0x ∃∈R ，2000x x +>命题“x ∀∈R ，20x x +≤”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +>”.14.230x y -+=由3()5f x x x =-+，则2()31f x x '=-，(1)2f '=，(1)5f =，所以切线方程为230x y -+=.15.43令||ON t =，则22OF t =，||3OB t =，所以椭圆的离心率212||3OF e OB ==， 双曲线的离心率222||OF e ON ==.所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为1243e e =. 16.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦因为2()()2f x f x x -+=，所以22())()0(f x f x x x --+-=-，令2()()g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数.又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减.而不等式2225(5)10()()(5)(5)()(5)f x x f x x f x x g x g x f x ≥-+⇔-≥---⇔≥-+， 所以5x x ≤-，所以52x ≤.17.解：若p 为真，则0a =或240a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a ≤<； 若q 为真，则980a -≥，即98a ≤. 因为“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，所以p 与q 一真一假. 若p 为真，q 为假，则948a <<； 若q 为真，p 为假，则0a <， 综上可知，实数a 的取值范围为9(,0),48⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 18.解：（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值， ∴()10f '=，解得23a =（经检验，符合题意）. （2）由（1）知32()2f x x x x =-+， 则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=-- 令()0f x '=， 得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.19.解：（1）联立22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得221716440x mx m ++-=.因为椭圆C 与直线l 有公共点， 所以()22(16)417440m m ∆=-⨯⨯-≥ 解得m ≤≤所以实数m 的取值范围是[. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则121617mx x +=-，2124417m x x -=，所以12||AB x =-==17=.由（1）可知，若椭圆C 与直线l 有两个交点，则0∆>， 所以2[0,17)m ∈.所以当0m =时，||AB 20.（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，AD BC ∥. 所以ME PA ∥，EN AD ∥.因为PA ⊂平面P AD ，ME ⊄平面P AD ， 所以ME ∥平面P AD ， 同理，EN ∥平面P AD . 又因为MENE E =，ME ，NE ⊂平面MNE ，所以平面MNE ∥平面P AD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以MN ∥平面P AD .（2）解：因为在等腰直角三角形P AD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PBAB B =，PB ，AB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =.所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-. 设()1111,,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则220n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =. 所以1212212cos ,4n n n n n n ⋅===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是3-. 21.解：（1）()fx 的定义域为(0,)+∞，244()44a x x a f x x x x-+'=+-=.因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02af -+'==，解得8a =-， 所以24484(2)(1)()x x x x f x x x---+'==，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞. （2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x--'=+--=， 令()0g x '=，得4ax =或1x =. ①当14a≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； ②当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当4ae ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数，所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-. 综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.22.（1）解抛物线C 的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线PQ 过点F ，则直线PQ 的斜率一定不为0， 不妨设直线PQ 的方程为2p x my =+， 代入22y px =，得2220y pmy p --=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21212122,2y y pm x x m y y p pm p +=+=++=+.所以()212||||||2122p pPQ PF QF x x p m =+=+++=+. 所以，当0m =时，min ||28PQ p ==，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）证明：由题意设直线PQ 的方程为( 0)x ky t t =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x x ky t⎧=⎨=+⎩，得2880y ky t --=.由题意得264320k t ∆=+>.所以128y y k +=，128y y t =-.因为OP OQ ⊥，所以()()12121212OP OQ x x y y ky t ky t y y ⋅=+=+++ ()()2212121k y y kt y y t =++++()222818t k k t t =-+++280t t =-=所以8t =（0t =不符合题意，故舍去）所以直线PQ 的方程为8x ky =+，所以直线PQ 恒过定点()8,0.。
陕西省西安市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
一、单选题1．已知实数、，那么是的（ ）条件．a b ||||||a b a b +=-0ab <A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为，2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤所以必要性不成立；当时，满足，但，所以必要性不成立；1,2a b ==-0ab <||||||a b a b +≠-所以是的既不充分也不必要条件.||||||a b a b +=-0ab <故选:D ． 2．若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ） x y 020x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩2z x y =-A ．B ．1C ．D ．21-2-【答案】A【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此来求得的最小值. 20x y -=z 【详解】，解得，设， 020x y x y -=⎧⎨+-=⎩1x y ==()1,1A 平移基准直线到可行域边界处时，20x y -=()1,1A 取得最小值.2z x y =-1211-⨯=-故选：A3．已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）{}n a {}n b 354a b +=598a b +=47a b +=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为，，354a b +=598a b +=所以，355912a b a b ++=+即 ，355912a a b b ++=+根据等差数列的性质可知，3559472212a a b b a b ++=+=+所以.476a b +=故选:B.4．已知，，则，之间的大小关系是（ ） ()110m a a a=++>()31x n x =<m n A ．B ．C ．D ．m n >m n <m n =m n ≤【答案】A 【分析】利用基本不等式及其指数函数的单调性即可求解.【详解】∵，∴，当且仅当时，等号成立,即，0a >1113m a a =++≥=1a =3m ≥又∵，∴，即，1x <1333x n =<=3n <则，m n >故选：.A5．在中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若，则（ ） ABC A 4,30a b A ===︒B =A ．B ．或C ．D ．或30︒30︒150︒60︒60︒120︒【答案】D【分析】根据，利用正弦定理求解.4,30a b A ===︒【详解】解：在中，，ABC A 4,30a b A ===︒由正弦定理得， sin sin a b A B =所以， sin sin b A B a ⋅===所以或，B =60︒120︒故选：D6．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）2y x ax b =++()0,b 10x y -+=a b +=A ．2B ．0C ．D ．1-2-【答案】A【分析】求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到0x =1a =()0,b 10x y -+=1b =．a b +【详解】由得，2y x ax b =++2y x a '=+又曲线在点处的切线方程为，2y x ax b =++()0,b 10x y -+=故当时，0x =1y a '==又点在上，则，故．()0,b 10x y -+=1b =2a+b =故选：A ．7．抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（ ）()220x py p =>M ()2,1-M A ．B ．C ．D ． 3211716【答案】B 【分析】将点坐标代入抛物线可得，则所求距离为. M p 12p +【详解】在抛物线上，，解得：，点到焦点的距离为. ()2,1M - 42p ∴=2p =∴M 122p +=故选：B.8．函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，()y f x =()f x '()f x (2)a f ='(4)b f ='，则下列数值排序正确的是（ ） (4)(2)2f f c -=A ．B ．C ．D ． b a c <<a b c <<a c b <<c b a <<【答案】C【分析】利用导数的几何意义判断.【详解】由函数图象知：，()()()42(2)442f f f f -''<<-所以，a cb <<故选：C 9．已知椭圆的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（ ） 221(0)y x m m+=>m =A ．2 B ．1 C ． D ．4 14【答案】D【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.【详解】由条件可知，，，且，解得：.2a m =21b =22=⨯4m =故选：D10．已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：()f x ()f x '①在区间上有2个极值点()f x (2,3)-②在处取得极小值()f x '=1x -③在区间上单调递减()f x (2,3)-④的图像在处的切线斜率小于0()f x 0x =正确的序号是（ ）A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④ 【答案】B【分析】根据导函数的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断()f x '①②③，对于④：由于的图像在处的切线斜率为，从而可由导函数的图像判断.()f x 0x =()0f '【详解】根据的图像可得，在上，，所以在上单调递减， ()f x '()2,3-()0f x '≤()f x ()2,3-所以在区间上没有极值点，故①错误，③正确；()f x ()2,3-由的图像可知，在单调递减，在单调递增，故②正确；()f x '()f x '()2,1--()1,1-根据的图像可得，即的图像在处的切线斜率小于0，故④正确. ()f x '()00f '<()f x 0x =故选：B.11．函数在上大致的图象为（ ） ()sin ex x f x =[],ππ-A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.()f x []0,π【详解】对任意的，， []π,πx ∈-()()()sin sin e e x x x x f x f x ---==-=-所以，函数在上的图象关于原点对称，排除AC 选项， ()sin ex x f x =[],ππ-当时，，则， 0πx ≤≤()sin e x x fx =()cos sin e x x x f x -'==因为，由可得，则， ππ3π444x -≤-≤()0f x '<π3π044x <-≤ππ4x <≤由可得，则， ()0f x ¢>ππ044x -≤-<π04x ≤<所以，函数在上单调递增，在上单调递减，排除D 选项. ()f x π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭π,π4⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：B.12．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式R ()f x ()f x '()e x f x '<()22e 2f =+的解集是（ ）()ln 2f x x >+A ． B ． C ． D ．()20,e ()0,2()2,e -∞(),2-∞【答案】A【分析】设，求导可得在上单调递减，再根据转化为()()e 2x g x f x =-+()g x R ()ln 2f x x >+，再结合的单调性求解即可.()ln 4g x >()g x【详解】设，则.()()e 2x g x f x =-+()()e x g x f x '-'=因为，所以，即，()e x f x '<()e 0x f x '-<()0g x '<所以在上单调递减.()g x R 不等式等价于不等式，即.()ln 2f x x >+()ln 24f x x -+>()ln 4g x >因为，所以，所以.()22e 2f =+()()222e 24g f =-+=()()ln 2g x g >因为在上单调递减，所以，解得()g x R ln 2x <20e x <<故选：A二、填空题13．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______.x ∃∈R 22x m ->m 【答案】(),2-∞【分析】求得的最大值，结合题意，即可求得结果.22y x =-【详解】的最大值为，根据题意，，即的取值范围是.22y x =-22m >m (),2-∞故答案为：.(),2-∞14．已知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则1l ()2100mx y m ++=>C 2214x y -=m =__________.【答案】4【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.C 【详解】对双曲线：，其渐近线方程为， C 2214x y -=12y x =±对直线：，且斜率为， 1l ()2100mx y m ++=>02m -<根据题意可得，解得. 1122m -⨯=-4m =故答案为：. 415．设是公差不为的等差数列，且成等比数列，则___ {}n a 011a =248,,a a a 1291011a a a a ++= 【答案】 910【详解】分析：由题意先求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.{}n a详解：∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴（1+3d ）2=（1+d ）（1+7d ），解得d=1，或d=0（舍），∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ． ∴ 129101111111111191112239102239101010a a a a ++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯故答案为 910点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)；（2）； （3）()1111nn k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k =；（4） ；此外，需()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16．已知钝角三角形的三边a =k ，b =k +2，c =k +4，则k 的取值范围是___________. 【答案】26k <<【分析】先解不等式，再结合两边之和大于第三边求解.cos 0C <【详解】解：∵，且为钝角三角形，c b a >>ABC A ∴为钝角，C ∠∴， ()()()()222222224412cos 022222k k k a b c k k C ab k k k k ++-++---===<++∴，解得，24120k k --<26k -<<由两边之和大于第三边得，∴.24k k k ++>+2k >∴.26k <<故答案为：26k <<三、解答题17．设．2:3,:11180p a x a q x x <<-+≤(1)若，“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；1a =(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){23}x x ≤<(2)或{0a a ≤23}a ≤≤【分析】（1）先分别求得p 为真命题和q 为真命题的实数x 的取值范围，再根据p 且q 为真命题，利用集合的交集运算求解；（2）记，根据p 是q 的充分不必要条件，由是B 的真子集求解.{3}C x a x a =<<C 【详解】（1）解：当时，p 为真命题，实数x 的取值范围为，1a ={13}A x x =<<，211180(2)(9)029x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤q 为真命题，实数x 的取值范围为，{}29B x x =≤≤∵p 且q 为真命题所以实数x 的取值范围为；{23}A B x x ⋂=≤<（2）记{3}C x a x a =<<∵p 是q 的充分不必要条件所以是B 的真子集，C 当时，，满足题意；0a ≤C =∅当时，，解得； 0a >239a a ≥⎧⎨≤⎩23a ≤≤综上所述：实数a 的取值范围为或{0a a ≤23}a ≤≤18．已知函数.()29f x x x =+-(1)解不等式；()15f x <(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.x ()f x a <a 【答案】(1)；{}311x x <<(2).9a >【分析】（1）根据零点分段法可得，然后分段解不等式，即得；()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩（2）由题可得，然后求函数的最小值即得.()min a f x >【详解】（1）因为函数，()29f x x x =+-所以，()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩∵，()15f x <所以或或， 931815x x ≥⎧⎨-<⎩091815x x ≤<⎧⎨-<⎩018315x x <⎧⎨-<⎩解得，311x <<所以原不等式的解集为；{}311x x <<（2）由，可得()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (),9-∞()9,+∞当时，函数有最小值为 9，9x =()f x ∴.9a >19．如图，已知平面四边形，，，，，ABCD 45A∠=︒75ABC ∠=︒30BDC ∠=︒2BD =CD =（1）求；CBD ∠（2）求的值.AB 【答案】（1）；（2.60︒【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求. 2BC 90DCB ∠=︒CBD ∠（2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值.120ADB ∠=︒AB 【详解】（1）在△中，由余弦定理，有， BCD 2222cos301BC BD CD BD CD =+-⋅︒=，即，222BC CD BD ∴+=90DCB ∠=︒.60CBD ∴∠=︒（1）在四边形中，，ABCD 756015ABD ∠=︒-︒=︒∴，120ADB ∠=︒在△中，由正弦定理，则ABD sin120sin 45AB BD =︒︒sin120sin 45BD AB ⋅︒==︒20．已知函数且．()2()4(),R f x x x a a =--∈(1)0f '-=(1)求a 的值；(2)讨论函数的单调性；()f x (3)求函数在上的最大值和最小值．()f x [2,2]-【答案】(1) 12a =(2)调递增区间为，单调递减区间为 4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)最大值为，最小值为 925027-【分析】(1)求导得，代入，得可得答案；2()324f x x ax '=--(1)0f '-=(2)由题意可得，分别解，，即可得函数的单调递增、减区()(34)(1)f x x x '=-+()0f x '>()0f x '<间；(3)根据导数的正负，判断函数在上的单调性，即可得答案.[2,2]-【详解】（1）解：因为函数，()2()4(),R f x x x a a =--∈∴，()22()2()4324f x x x a x x ax =-+-=--'由，得，(1)0f '-=3240a +-=解得； 12a =（2）解：由（1）可知，2()34(34)(1)f x x x x x ==-'--+解不等式，得或， ()0f x '>43x >1x <-所以函数的单调递增区间为， ()f x 4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭解不等式，得， ()0f x '<413x -<<所以函数的单调递减区间为； ()f x 41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）解：当时，函数与的变化如下表所示： 22x -≤≤()f x ()f x '令， 解得或， ()0f x '=43x ==1x -x[)2,1-- =1x - 41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 43x = 4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ ()f x '+ 0 - 0+ ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增因为，； 9(1)2f -=(2)0f =所以当时，函数取得极大值； =1x -()f x 9(1)2f -=又因为，， (2)0f -=450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极小值， 43x =()f x 450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，最小值为． ()f x 925027-21．已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2222:1(0)x y C a b a b+=>>(0,1)A -(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在实数m ，使直线与椭圆有两个不同的交点M 、N ，并使，若存:l y x m =+||||AM AN =在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2213x y +=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；（2）首先求线段的中垂线方程，根据点在中垂线上，求，并判断是否满足.MN A m 0∆>【详解】（1）椭圆的一个顶点为得 2222:1(0)x y C a b a b+=>>(0,1)A -1b =椭圆上任一点到两个焦点的距离之和即2a =a 所以椭圆的方程为 2213x y +=（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点()()1122,,,M x y N x y∵||||AM AN =所以，点A 在线段的中垂线，下面求的方程MN l 'l '联立方程去y ，可得 2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩2246330x mx m ++-=由，解得()222(6)443312480m m m ∆=-⨯⨯-=-+>22m -<< 1232m x x +=-设的中点为，有 MN ()00,P x y 120003244x x m m x y x m +==-=+=则的方程为即 l '344m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭2m y x =--由于点A 在直线的中垂线上，解得MN l '2m =又∵22m -<<所以不存在实数m 满足题意．22．已知函数．()31f x x ax =-+(1)当时，过点作曲线的切线l ，求l 的方程；1a =()1,0()y f x =(2)当时，对于任意，证明：．0a ≤0x >()cos f x x >【答案】(1)或 1y x =-+()2314y x =-(2)证明见解析【分析】（1）易知不在上，设切点，由导数的几何意义求出切线方程，将()1,0()f x ()3000,1x x x -+代入求出对应，即可求解对应切线方程；()1,00x （2）构造，求得，再令，通过研()()31cos 0g x x ax x x =-+->()23sin g x x a x '=-+()()u x g x '=究正负确定单调性，再由正负研究最值，进而得证.()u x '()g x '()g x '()g x 【详解】（1）由题，时，，，1a =()31f x x x =-+()231f x x '=-设切点，则切线方程为，()3000,1x x x -+()()()320000131y x x x x x --+=--该切线过点，则，即，()1,0()()3200001311x x x x -+-=--3200230x x -=所以或．又；；，． 00x =032x =()01f =()01f '=-32328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32324f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭所以，切线方程为或； 1y x =-+()2314y x =-（2）设，则，()()31cos 0g x x ax x x =-+->()23sin g x x a x '=-+令，则，()()()23sin 0u x g x x a x x '==-+>()6cos u x x x '=+可知，时，；时，， π02x <<()0u x '>π2x ≥()0u x '>故时均有，则即在上单调递增，，0x >()0u x '>()u x ()g x '()0,∞+()0g a '=-因为时，则，，故在上单调递增， 0a ≤()00g a '=-≥()()00g x g ''>≥()g x ()0,∞+此时，．()()00g x g >=所以，当时，对于任意，均有． 0a ≤0x >()cos f x x >。
2022-2022年高二上半年数学期末考试题带答案和解析(陕西省西安市长安区第一中学)
2022-2022年高二上半年数学期末考试题带答案和解析（陕西省西安市长安区第一中学）选择题命题“若，则”的否命题是（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】A【解析】因为否命题是将原命题的条件和结论同时否定，所以命题“若，则”的否命题是若，则，故答案为：根据命题的否定的定义将原命题的条件和结论同时否定即可得出结论。
选择题某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法【答案】C【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．选择题双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】不妨取双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线，由点到直线的距离公式得，所以答案是：D.选择题设，若，则等于( )A.B.C.D.【答案】B【解析】，则，．故选B．【考点精析】利用基本求导法则对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．选择题为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A. 的平均数B. 的标准差C. 的最大值D. 的中位数【答案】B【解析】根据平均数，最大值，中位数，标准差的含义知，只有标准差是衡量一组数据稳定性的数字特征，所以答案是：B.【考点精析】通过灵活运用平均数、中位数、众数和极差、方差与标准差，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据；标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题．选择题如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A.3，5B.5，5C.3，7D.5，7【答案】A【解析】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．【考点精析】解答此题的关键在于理解茎叶图的相关知识，掌握茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少．选择题某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，A符合题意；年接待游客量逐年增加，B不符合题意；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C不符合题意；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，D不符合题意；故答案为：A.本题主要考查根据折线图来分析命题的真假，根据折线图的变化趋势，依次判断选项的正误。
陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){}{|320},15A x x x B x x =-+<=∈-≤≤∣N，则A B = （）A ．[)1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．(]2,5-D ．{}0,1,22．若复数z 满足1z i +=.则复数z 在复平面内的点的轨迹为（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为（）A ．116B ．14C ．18D ．14．已知圆M 经过()()1,1,2,2P Q -两点，且圆心M 在直线:10l x y -+=，则圆M 的标准方程是（）A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(3)(4)13x y -+-=C ．22(3)(2)25x y +++=D ．22(3)(2)25x y ++-=5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L)与时间t （单位：h ）之间的关系式为0e(0)tP P t λ-= ，其中0P 为初始污染物含量，0,P λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了80%的污染物．如果废气中污染物的含量不超过00.04P 时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h6．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2221:(4)(1)(0)C x y r r ++-=>上存在点P ，且点P 关于直线1y x =+的对称点Q 在圆222:(4)4C x y -+=上，则r 的取值范围是（）A ．(3,7)B ．[3]7，C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．双曲线22221x y C a b-=：的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作斜率为正且与C 的某条渐近线垂直的直线l 与双曲线C 在第一象限交于A ，12cos 53F AF ∠=，则C 的离心率为（）.A ．32B C D 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC BC ⊥，1AC BC ==，点D 在上底面111A B C （包含边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球半径的取值范围为（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．98⎡⎢⎣⎦C ．93,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（）A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +的最小值是1C ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，()+⋅ OA OB OP 为定值D ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C ，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +-=，则下列描述正确的为（）A ．点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB ．若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C ．若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D ．若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB 三、填空题12．已知ABC V 的三个顶点(6,3),(2,5),(7,4)A B C --，则边AB 的中线所在直线的一般式为.13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数.当02x <<时，()()2log 1f x x =+，则()101f =.14．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l '表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为1−s 0，()()2,00F c c >，由1F 发出的光经椭圆两次反射后回到1F 经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：椭圆C 的离心率为；点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ，2F 在l 上的射影H 在圆228x y +=上，则椭圆C 的方程为．四、解答题15．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,1，[)1,2，…，[)8,9分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =．(1)求直方图中a ，b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.(1)求c ；(2)若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .17．在平面直角坐标系xOy 中，已知,P Q 两点的坐标分别为(，，直线,PN QN 相交于点N ，且它们的斜率之积是12-.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若点N 的轨迹与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为1-，求线段AB 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3,BC E =为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =.(1)求证：AE ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AE D --的正弦值；(3)设点G 在PB 上，且34PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy '=+⎧⎨'=+⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ⎫⎪⎪⎝⎭.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为α，β，求证：αβ+为定值.。
陕西省西安市第一中学10-11学年高二上学期期末试题(数学理)
西安市第一中学2010-2011学年度第一学期高二数学期末考试试题选修2-1、2-2模块一.选择题（本大题共10个小题，共30分。
在每一小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的。
在答题卷上的相应区域内作答。
）1．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。
其中使用逻辑联结词的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.用反证法证明命题：“三角形的三内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A 假设三内角都不大于60度； B 假设三内角都大于60度； C 假设三内角至多有一个大于60度； D 假设三内角至多有两个大于60度。
3．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④4．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BD BC AB 2121++等于（ ） A ．B ．GAC ．AGD ．MG5．在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）CD CBA ．221169x y += B ．2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y += 7．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( )A ．)45,23(B ．(1，1)C ．)49,23( D ．(2，4) 8．若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ） A.221B.84C.3D.21 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上， 且13AM =，且动点P 到直线11A D 的距离与 点P 到点M 的距离的平方差为4，则动点P 的 轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线10．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积最小值为（ ）A.83B. C. D.43二.填空题（本大题共5题，每小题4分，共20分。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
陕西省西安市长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A. 12B. 2C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先求出z 的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-，所以z =故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 2.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】 【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可. 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.3.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A. 30辆B. 1700辆C. 170辆D. 300辆【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()++⨯=，0.030.0350.02100.85∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有⨯=（辆），故选B.20000.851700【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝422n n +，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上（） A. k 2＋1B. (k ＋1)2C. ()()421412k k +++D. (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】试题分析：当n=k时，等式左端=212k ++⋯+，当n=k+1时，等式左端=22222121231k k k k k ++⋯++++++++⋯++（）（）（）（），增加了2k+1项．故选D ． 考点：数学归纳法．5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A. 2aB.212a C.214a D.24a 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD u u u r u u u u u u r u u r u u u ru r ⋅=+⋅,再利用两个向量的数量积的定义求得结果.【详解】解：11()22AB AC AE AF AD u u u r u u u u u u r u u r u u u ru r ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD u u ur u u u r u u u r u u u r =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+= 故选C【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A. 4B. 42C. 2D. 22【答案】A 【解析】先根据题意画出图形：得到积分上限为2，积分下限为0曲线3y x =与直线4y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为()234x x dx -⎰而()23240214284404x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰故曲边梯形的面积为4 故选A7.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图9.已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( )A. [1，＋∞)B. (－∞，1]C. (1，＋∞)D. (－∞，－3]【答案】A 【解析】q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，所以p 是q 的必要不充分条件，即{}{}{}2230|31x x a x x x x xx ≠⊂=-＋－或，所以1a ≥故选A10.已知正四棱柱ABCD- A1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A. 2 B.C.D. 1【答案】D 【解析】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC Q 平面BDE ， 1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE V 中，BE DE BD ====BD 边上的高2==，所以122BDE S =⨯=V 1133A BDE BDE V S h -==⨯V ，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得:13⨯=解得:1h = 考点：利用等体积法求距离11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)与直线0l y m ++=交于1122(,),(,),M x y N x y 其中11220,0,0,0,x y x y >>><，若0OM OQ +=u u u u v u u u v,且30MNQ ∠=o ,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y x =±C. 2y x =±D. y =【答案】B 【解析】()11M x y ，，()22N x y ， 0OMOQ→+→=Q()Q x y ∴--，，MN K =3NQ K =-2121y y x x +∴=+联立方程22221x y a b y m⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得212223x x b a +=-121212121223y y m m m x x x x x x +--∴===-+++223= 22a b =，1ba=± 则渐近线方程为y x =± 故选B点睛：本题考查了双曲线与直线的综合题目，依据条件给出Q 点坐标，利用角度转化为直线斜率问题，从而求出a b 、关系，计算出双曲线的渐近线方程，计算较大，需要转化，难度较大．12.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60 【解析】 【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.14.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm. 【答案】3 【解析】试题分析：设圆柱的高为h ，半径为r 则由圆柱的体积公式可得，πr 2h=27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而S 全面积=πr 2+2πrh==（法一）令S=f （r ），结合导数可判断函数f （r ）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径 （法二）：S 全面积=πr 2+2πrh==，利用基本不等式可求用料最小时的r解：设圆柱的高为h ，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr 2h=27πS 全面积=πr 2+2πrh==（法一）令S=f （r ），（r ＞0）=令f′（r ）≥0可得r≥3，令f′（r ）＜0可得0＜r ＜3∴f （r ）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f （r ）在r=3时取得最小值 （法二）：S 全面积=πr 2+2πrh====27π当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，S 最小即用料最省 故答案为3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．15.设函数()'f x 是奇函数()()f x a R ∈的导函数， ()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使不等式()0f x >成立的x 的取值范围是_____． 【答案】(,1)(0,1)-∞-U 【解析】试题分析：当0x >时，令()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x-=⇒''=>，又(1)(1)(1)01f g f ==--=，所以当0x >时，由()01g x x >⇒>，满足()0f x >；因为()()f x g x x=为(,0)(0,)-∞⋃+∞偶函数，因此当0x <时，由()010g x x <⇒-<<，满足()0f x >；从而使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞考点：利用导数研究函数性质，利用导数解不等式16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：22221x y a b-=(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O 、A 、B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 【答案】32【解析】双曲线1C ：()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为b y x a =±与抛物线2C ：22x py =联立， 可得0x =或2pbx a=±取2222pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则22244AC b a k ab -= OAB Qn 垂心为2C 的焦点22414b a b ab a -⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭2254a b ∴=()22254a c a ∴=- 32c e a ∴==综上所述，答案为32点睛：本题考查的是双曲线的方程与性质，抛物线的性质以及两直线垂直，意在考查学生生的逻辑推理能力和计算能力．首先要根据已知求出双曲线的渐近线方程与抛物线的焦点坐标，然后利用两直线垂直，即可建立关于a ，b 的方程，最后表示出c ，求得离心率．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知:p “直线0x y m +-=与圆22(1)1x y -+= 相交”；q ：“方程240mx x m -+-=有一正根和一负根”.若p 或q 为真， 非p 为真，求实数m 的取值范围.【答案】214m +≤< 【解析】试题分析：先求出命题p ，q 的等价条件，然后利用若p q ∨为真，非p 为真，求实数m 的取值范围． 解析：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝＜1. ∴－＋1＜m ＜＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4， ∴或解得0＜m ＜4.又∵¬p 为真，∴p 假. 又∵p 或q 为真，∴q 为真. 由数轴可得＋1≤m ＜4.故m 的取值范围是＋1≤m ＜4.18.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切． (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f(x)在上的最大值．【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.（2）f (x )max ＝12-. 【解析】 【分析】（1）对f (x )进行求导()'fx ， 欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x =处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a ，b 的方程求解即可；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值.【详解】(1)f ′(x )＝－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切，∴'(1)211(1)2f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得(2)由(1)知，f (x )＝ln x －x 2，f ′(x )＝－x ＝，当≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的， ∴f (x )max ＝f (1)＝－点睛：本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想.19.已知过抛物线()220y px p => 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且9AB = . （1）求抛物线的方程;（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+u u u v u u u v u u u v，求λ的值.【答案】（1）y 2＝8x .（2）λ＝0，或λ＝2. 【解析】【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出12x x +，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式12AB x x p =++，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 试题解析：(1)直线AB 的方程是y ＝2（x-p 2），与y 2＝2p x 联立，消去y 得8x 2－10p x ＋22p ＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝54p .由抛物线定义得|AB |＝54p ＋p ＝9，故p=4 (2)由(1)得x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4，从而A (1，－22)，B (4，42)． 设OC u u u v＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y ＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式12AB x x p =++，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.20.如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）33-【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u v的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，)2,0,0CB =u u uv ，2222PA ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u uv . 设(),,n x y z =r是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,2n =--r.设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u uu v r u u u v r 即220,0.x z y =⎪=⎩可取()1,0,1m =r. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-r rr rr r ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-【名师点睛】高考对空间向量与立体几何考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.21.一张坐标纸上涂着圆E ：22(1)8x y ++=及点P （1，0），折叠此纸片，使P 与圆周上某点P '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP '交于点M ． （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 的两个不同交点为A ，B ，且l 与以EP 为直径的圆相切，若23,34OA OB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v ，求△ABO 的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）62[,]43.【解析】试题分析：()1折痕为PP '的垂直平分线，则MP MP ='，推导出E 的轨迹是以E ，P 为焦点的椭圆，且21a c ==，,由此能求出M 的轨迹C 的方程；()2l 与EP 为直径的圆22x 1y +=相切，从而221m k =+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()222124220k xkmx m +++-=，由此利用根的判别式，韦达定理，向量的数量积，弦长公式，三角形面积公式，能求出AOB n 的面积的取值范围．解析：（1）折痕为PP ′的垂直平分线，则|MP |=|MP ′|，由题意知圆E 的半径为2，∴|ME |+|MP |=|ME |+|MP ′|=2＞|EP |，∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且a =，c =1，∴b 2=a 2﹣c 2=1， ∴M 的轨迹C 的方程为2212xy +=．（2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切， 则O 到l 即直线AB 的距离：=1，即m 2=k 2+1，由，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2=0，∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，又=x 1x 2+y 1y 2=，∴，∴，==，设μ=k 4+k 2，则，∴=，，∵S △AOB 关于μ在[，2]单调递增， ∴，∴△AOB 的面积的取值范围是[，]．22.已知()221()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0xg xx-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326 '()x xh xx--+=，设，则在x∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3 ()'()(1)(2)2 f x f x g h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立．【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.。