四川省宜宾市2018-2019学年高考数学一诊试卷(文科) Word版含解析
四川省宜宾市2017-2018学年高考数学二诊试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜3}D．{x|1≤x＜3}2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．2017-2018学年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．104．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．110．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B1，过点A、B、B1的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（）A．a2=r2﹣ B．a=r C．a2=r2+D．a2=r2+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=________．12．已知等腰三角形ABC的底边AB的长为4，则=________．13．已知α，β，，，则=________．14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．15．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数①；②f（x）=x2﹣2x，x∈[0，3]；③f（x）=4sinx；④f（x）=e x﹣lnx．其中为“可翻倍函数”的有________（填出所有正确结论的番号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a32=9a1a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列{}的前n项和S n．17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f（x）=me x﹣x﹣2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，求的值域．2017-2018学年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜3}D．{x|1≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x≤1}，故选：A．2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可判断对应点所在象限．【解答】解：复数z==（1﹣i）﹣i=﹣i，复数对应点为（，﹣）在第四象限．故选：D．3．2017-2018学年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．10【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据样本容量即可计算中青年职工抽取的人数．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为350：500：150=7：10：3，根据分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数=7，故选：C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由于y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，它的图象的关于原点对称，故排除A；由于y=|sinx|的最小正周期为π，且它是偶函数，图象关于y轴对称，故满足条件；由于y===﹣sin2x为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除C；由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除D，故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（5）•g（﹣3）＞0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（5）•g（﹣3）＞0，可得出g（﹣3）＞0，则g（3）＞0因为a＞0且a≠1，所以必有log a3＞0，解得a＞1．所以函数f（x）=a x﹣2，在定义域上为增函数且过点（2，1），g（x）=log a|x|在x＞0时，为增函数，在x＜0时为减函数．所以对应的图象为C故选：C．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得直线2x+y﹣10=0与x轴的交点，可得c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=2b，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：直线2x+y﹣10=0经过x轴的交点为（﹣5，0），由题意可得c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程y=±x，由直线2x+y﹣10=0和一条渐近线垂直，可得：=，解得a=2，b=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：B．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判定函数f（x）的奇偶性与单调性，即可得出．【解答】解：∵，x∈R．∴f（﹣x）+f（x）=（﹣x）5++x5+ln=ln（﹣x2+x2+1）=0，∴函数f（x）是R上的奇函数，又函数f（x）在R上单调递增．则对任意实数a，b，“a+b≥0”⇔a≥﹣b⇔f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）⇔“f（a）+f（b）≥0”．∴对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件．故选：C．9．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z分别经过A，B时，直线y=﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a=1．故选：D．10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B1，过点A、B、B1的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（）A．a2=r2﹣ B．a=r C．a2=r2+D．a2=r2+1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），求出B的坐标，进一步求出B1的坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B（，1），直线AF的方程为y﹣0=（x﹣1）代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B1（，﹣1），AB的中点为（，），线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得x=，∴a=，r2=（﹣4）2+（0﹣4）2=，∴r2+1==a2，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=2﹣2+=．故答案为：．12．已知等腰三角形ABC的底边AB的长为4，则=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，进行数量积的运算便可得到，而，从而便可得出的值．【解答】解：如图，=．故答案为：8．13．已知α，β，，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知可求角α+β，的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin （α+β），sin （），由=sin [（α+β）﹣（）]利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β，，，∴α+β∈（，2π），=（，），可得：sin （α+β）=﹣=﹣，sin （）==，∴=sin [（α+β）﹣（）]=sin （α+β）cos （）﹣cos （α+β）sin（）=（﹣）×（﹣）﹣=．故答案为：．14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是三棱锥，根据三视图数据计算表面积．【解答】解：由三视图得到几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，高为1，它的四个面分别是边长为2 的等边三角形，两个直角边分别为1，2的直角三角形，腰长为，底边为2的等腰三角形，如图：所以其表面积为=4+；故答案为：15．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数①；②f（x）=x2﹣2x，x∈[0，3]；③f（x）=4sinx；④f（x）=e x﹣lnx．其中为“可翻倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．【考点】函数的值．【分析】假设是可翻倍函数，从而可得f（x0+△x）=，f（x0）+4△x=4△x+，从而化简可得4（+）=1，存在即可；从而依次判断即可．【解答】解：假设是可翻倍函数，而f（x0+△x）=，f（x0）+4△x=4△x+，故﹣=4△x，故=4△x，故4（+）=1，故x0=，△x=3•时，成立，故①正确；而f（x0+△x）=（x0+△x）2﹣2（x0+△x），f（x0）+4△x=（x0）2﹣2x0+4△x，故2x0△x+△x2﹣6△x=0，故x0==3﹣，故x0+△x=3﹣+△x=3+＞3，故②不成立；同理可得，③不正确，④正确；故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a32=9a1a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】解：（Ⅰ）由等比数列的关系可得到a1、q，即可写出通项公式，（Ⅱ）根据对数函数性质，b n=，=，再累计求前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列公比为为q，因各项为正，有q＞0由∴（n∈N*）（Ⅱ）b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n=log3（a1•a2…a n）==∴∴的前n项和=17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）一一列举即可，（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，根据概率公式计算即可，（Ⅲ）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，1，0，0），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0），（0，1，1，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，1，0，0），（0，0，1，1），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，0，0，0）（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，∴每局获奖的概率P（A）=，（III）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，∴P（B）=法2：a+b+c+d≤2⇔所掷4次中至多2次正面向上，为（Ⅱ）中A的对立事件，∴18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）整理已知等式可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理可得，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）由m与n共线可得，由正弦定理可得，结合sinB=sin（A+C），由三角函数恒等变换的应用即可求值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc，∴a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴b2+c2﹣a2=bc…由余弦定理知：∵b2+c2﹣a2=2bccosA，…∴，∵0＜A＜π，∴…（Ⅱ）∵m与n共线∴，…由正弦定理知：，…又∵在△ABC中，sinB=sin（A+C），∴，…即：，∴…19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取OC的中点H，连接FH，BH，根据中位线定理和平行公理可知四边形BEFH 是平行四边形，故EF∥BH，于是EF∥平面BOC；（II）连结DE，OE，DG，OG，通过勾股定理计算可知DE=OE=D=OG=，由三线合一得出OD⊥EF，OD⊥FG，于是OD⊥平面EFG；（III）根据中位线定理计算EG，得出△EFG是边长为的正三角形，以△EFG为棱锥的底面，则OF为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取OC的中点H，连接FH，BH，∵F，H分别是OD，OC的中点，∴FH，又∵在正方形ABCD中，E是AB的中点，∴EB，∴EB FH，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，又∵EF⊄平面BOC，BH⊂平面BOC，∴EF∥平面BOC．（Ⅱ）证明：连结DE，OE，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，∴∵侧棱OB ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ， ∴OB ⊥AB又∵OB=2，EB=1，∴，∴，∴△ODE 是等腰三角形， ∵F 是OD 的中点，∴EF ⊥OD ．同理DG=OG=，∴△ODG 是等腰三角形， ∵F 是OD 的中点，∴FG ⊥OD ．又∵EF ∩FG=F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂面EFG ， ∴OD ⊥平面EFG ．（Ⅲ）解：∵侧棱OB ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ， ∴OB ⊥BD ，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴BD=2，∴OD==2．∵F 分别是OD 的中点，∴，∵，EF ⊥OD ，，FH ⊥OD ，∴，，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，E ，G 是AB ，BC 的中点，∴EG==，∴三角形EFG 是等边三角形，∴，∴V G ﹣OEF =V O ﹣EFG ===．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E （0，4）作关于y 轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y 轴左边的交点由上到下依次为A ，B ，y 轴右边的交点由上到下依次为C ，D ，求证：直线AD 过定点，并求出定点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入，得（1+2k2）x2+16kx+24=0，由此利用韦达定理、椭圆对称性，结合已知条件能证明AD恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，∴由已知，解得，∴椭圆Γ的方程为证明：（Ⅱ）由已知可设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入，得（1+2k2）x2+16kx+24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由对称性知D（﹣x2，y2），∴AD方程为，∵y1=kx1+4，y2=kx2+4，∴AD方程可化为===∴AD恒过定点，定点为（0，1）21．已知函数f（x）=me x﹣x﹣2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，求的值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出m的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为，令，根据函数的单调性求出u（x）的最大值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）令x2﹣x1=t（t＞0），构造函数，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=m﹣2=1⇒m=3，f′（x）=3e x﹣1，f′（0）=3﹣1=2，∴所求切线方程y=2x+1，即2x﹣y+1=0（Ⅱ）由f（x）＞0，得：me x﹣x﹣2＞0，即有，令，则，令u′（x）＞0⇒x＜﹣1，u′（x）＜0⇒x＞﹣1，∴u（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，∴u（x）max=u（﹣1）=e，∴m＞e（III）由题意，，，==，令x2﹣x1=t（t＞0），又，∴g（t）在（0，+∞）上单调递减∴g（t）＜g（0）=0∴g（t）∈（﹣∞，0）∴的值域为（﹣∞，0）2017-2018学年9月7日。
四川省宜宾市月江中学2018-2019学年高二数学文模拟试卷含解析
四川省宜宾市月江中学2018-2019学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（）A.若则B. 若则C.若，，则D.若,，则参考答案：D2. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙参考答案：B【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．3. 数列的前n项和为，，则数列的前100项的和为（）。
A. B. C. D.参考答案：A略4. 设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z=2x+3y取得最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5）设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，1）=7故选：B【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5. 由给出的数列的第34项是( ).A.B. 100C.D.参考答案：C6. a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )．A．B．C．D．参考答案：B7. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（）A. 95,57 B．47,37 C．59,47 D．47，47参考答案：A略8. 下列说法中，正确的是 ( )A．当x＞0且x≠1时， B.当0＜x≤2时，x-无最大值C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当x＞0时，参考答案：D9. .设定义在(0,+∞)上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】构造函数，通过导数可知在上单调递减，则可得，整理可得结果.【详解】由题意知：即在上单调递减，即本题正确选项：A【点睛】本题考查函数值大小的比较问题，关键是能够构造出合适的函数，通过导数求得函数的单调性，从而得到函数值的大小关系.10. 已知，是椭圆的两个焦点，焦距为4.若为椭圆上一点，且的周长为14，则椭圆的离心率为（）A ．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11的值为__________．参考答案：44略12. 某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；几何体的直观图如下所示：四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为．故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．13. 已知中，，BC=3，AC=4。
四川省宜宾市高考数学模拟试卷文科一Word版含解析.doc
2015年四川省宜宾市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分，请将答案涂在答题卡上）1．设i是虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知a，b∈R，则“|a|＞|b|”是“＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．过点A（0，3），被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是（）A．y=﹣x+3 B．x=0或y=x+3C．x=0或y=﹣x+3 D．x=04．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）6．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（）A．B．和C．和D．和7．已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17 C．（x+1）2+y2=40 D．（x﹣1）2+y2=208．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=1且a1，a3，a13成等比数列，若S n是数列{a n}的前n 项和，则的最小值为（）A．4 B． 3 C．4﹣2 D．9．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（0，）C．（﹣，0）D．[﹣，+∞）10．定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，﹣]∪[，2] C．[﹣，0）∪（0，] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二．填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，只填结果，不要过程）11．定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x）=f（x+3），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}中，a n=f（n）（n∈N*），则a6+a7=．12．在△ABC中a2+b2=c2，则直线ax﹣by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为．13．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．15．若α，β为不同的平面，m，n为不同直线，下列推理：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；②若m∥α，n⊥m，则n⊥α；③若m∥n，n⊥α，n⊂β，则α⊥β；④若平面α∥β，m⊥β，n⊂α，则m⊥n；其中正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．16．（12分）（2015•宜宾模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．（1）求f（x）的解析式；（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．17．（12分）（2015•宜宾模拟）某高中组织50人参加自主招生选拔考试，其数学科测试全部成绩介于50分与150分之间（无满分），将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，70）；第二组[70，90）；…，第五组[130，150）．下图为按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m，n表示某两位同学的数学测试成绩，且m，n∈[50，70）∪[130，150），求事件“|m﹣n|＞20”的概率．18．（12分）（2015•宜宾模拟）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n﹣2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．19．（12分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．20．（13分）（2015•宜宾模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．（14分）（2015•宜宾模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．2015年四川省宜宾市高考数学模拟试卷（文科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分，请将答案涂在答题卡上）1．设i是虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：把给出的复数利用负数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数z的虚部可求．解答：解：．所以，复数z=的虚部为1．故选A．点评：本题考查了复述的基本概念，考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知a，b∈R，则“|a|＞|b|”是“＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：当a=2，b=﹣1时，满足“|a|＞|b|”，但＞1不成立，则充分性不成立．若＞1，则等价为||＞1，即|a|＞|b|，即必要性成立．故“|a|＞|b|”是“＞1”成立的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．3．过点A（0，3），被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是（）A．y=﹣x+3 B．x=0或y=x+3C．x=0或y=﹣x+3 D．x=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：设出直线的斜率，由弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，求出斜率即得直线的方程．解答：解：当直线的斜率不存在时，直线方程是x=0，截圆得到的弦长等于2，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣3=k（x﹣0），则由弦长公式得2=2，∴d=1．根据圆心（1，0）到直线的距离公式得d=1=，∴k=﹣，故直线方程为y=﹣x+3．综上，满足条件的直线方程为x=0或y=﹣x+3．故选：C．点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，弦长公式的应用．由弦长公式求出圆心到直线的距离是解题的关键，体现了分类讨论的数学思想．4．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．解答：解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k==，即为的最大值．故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．5．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g （x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），又∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f（x）=2sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y=g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键，属于中档题．6．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（）A．B．和C．和D．和考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一半，如图所示，据此可求出答案．解答：解：由三视图可知，该几何体是圆锥的一半，如图所示：∴S表面积==4；V体积==．故选A．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．7．已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17 C．（x+1）2+y2=40 D．（x﹣1）2+y2=20考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意设圆心坐标为C（a，0），由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a=1，从而得到圆心为C（1，0）且半径r=2，可得圆C的标准方程．解答：解：∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为C（a，0），又∵圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点∴半径r=|AC|=|BC|，可得=，解之得a=1，可得半径r===2，∴圆C的方程是（x﹣1）2+y2=20，故选：D点评：本题给出圆心在x轴上的圆经过两个定点A（5，2）、B（﹣1，4），求圆的标准方程．着重考查了圆的性质和圆方程的标准形式等知识，属于基础题．8．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=1且a1，a3，a13成等比数列，若S n是数列{a n}的前n 项和，则的最小值为（）A．4 B． 3 C．4﹣2 D．考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，结合函数的单调性，即可求出函数的最小值．解答：解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2t=2时，t+﹣2=4，t=3时，t+﹣2=，∴的最小值为．故选：D．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查函数的单调性，属于中档题．9．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（0，）C．（﹣，0）D．[﹣，+∞）考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．点评：本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．10．定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，﹣]∪[，2] C．[﹣，0）∪（0，] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，再由f（x）是定义在R上的奇函数，求出x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]，从而得到在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]．由g（x）为偶函数，求出g（x）的表达式，由条件可令﹣1≤log2|b|≤1．解出即可．解答：解：∵f（x）=，∴当0≤x≤1时，2x﹣1∈[0，1]，当x≥1时，∈（0，1]，即x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]，∴在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]．∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x），x＞0的g（x）=log2x，∴g（x）=log2|x|（x≠0）∵存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，∴令﹣1≤g（b）≤1．即﹣1≤log2|b|≤1．即有≤|b|≤2，∴≤b≤2或﹣2≤b≤﹣．故选：B．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值域，注意各段的情况，考查函数的奇偶性及应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．二．填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，只填结果，不要过程）11．定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x）=f（x+3），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}中，a n=f（n）（n∈N*），则a6+a7=﹣3．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；等差数列的通项公式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的周期性以及函数奇偶性的性质，将条件进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）=f（x+3），∴函数的周期是3，∵f（x）是奇函数，f（﹣2）=﹣3，∴f（0）=0，则a6+a7=f（6）+f（7）=f（0）+f（1）=0+f（1﹣3）=f（﹣2）=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数周期性进行转化是解决本题的关键．12．在△ABC中a2+b2=c2，则直线ax﹣by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为2．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线ax﹣by+c=0的距离d，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：由题意得圆心（0，0）到直线ax﹣by+c=0的距离等于d==，由弦长公式得弦长等于2=2，故答案为：2．点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，求出圆心（0，0）到直线ax﹣by+c=0的距离是解题的关键．13．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为5．考点：简单线性规划．专题：作图题；不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可．解答：解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x﹣y﹣1=0与直线y=1的交点A（2，1）时取最大值，故最大值为z=2×2+1=5故答案为：5点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．14．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．15．若α，β为不同的平面，m，n为不同直线，下列推理：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；②若m∥α，n⊥m，则n⊥α；③若m∥n，n⊥α，n⊂β，则α⊥β；④若平面α∥β，m⊥β，n⊂α，则m⊥n；其中正确说法的序号是①③④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①若α⊥β，在β内作直线a垂直于交线，则a⊥α，∵m⊥α，∴m∥a，∵n⊥β，∴n⊥a，∴m⊥n，故正确；②若m∥α，n⊥m，则n与α平行、相交，在平面内都有可能，故不正确；③若n⊥α，n⊂β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故正确；④若平面α∥β，m⊥β，则m⊥α，∵n⊂α，∴m⊥n，故正确．故答案为：①③④．点评：本题考查空间平面与平面、直线与平面、直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．16．（12分）（2015•宜宾模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．（1）求f（x）的解析式；（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意知：A=3，ω=2，由3sin（2×+φ）=﹣3，得φ+=﹣+2kπ，k∈Z，而0＜φ＜，所以确定φ的值，故f（x）=3sin（2x+）．（2）f（x）＜等价于3sin（2x+）＜，即sin（2x+）＜，可得2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），解得kπ﹣＜x＜kπ（k∈Z）．解答：解：（1）由题意知：A=3，ω=2，…（1分）由3sin（2×+φ）=﹣3，…（2分）得φ+=﹣+2kπ，k∈Z，…（3分）即φ=+2kπ，k∈Z．…（4分）而0＜φ＜，所以k=1，φ=．…（5分）故f（x）=3sin（2x+）．…（6分）（2）f（x）＜等价于3sin（2x+）＜，即sin（2x+）＜，…（7分）于是2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），…（9分）解得kπ﹣＜x＜kπ（k∈Z），…（11分）故使f（x）＜成立的x的取值集合为{x|kπ＜x＜kπ，k∈Z}．…（12分）点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•宜宾模拟）某高中组织50人参加自主招生选拔考试，其数学科测试全部成绩介于50分与150分之间（无满分），将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，70）；第二组[70，90）；…，第五组[130，150）．下图为按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m，n表示某两位同学的数学测试成绩，且m，n∈[50，70）∪[130，150），求事件“|m﹣n|＞20”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）由频率分布直方图可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，由此求得a的值．（II）分别求得成绩在[50，70）的人数，成绩在[130，150）的人数；分类讨论求得满足|m ﹣n|＞20的基本事件的个数，求得所有的基本事件的个数，即可求得事件“|m﹣n|＞20”的概率．解答：解：（I）由频率分布直方图可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，解之得：a=0.004．（II）由直方图可知，成绩在[50，70）的人数为50×20×0.003=3（人），设这3个人分别为x，y，z；成绩在[130，150）的人数为50×20×0.004=4（人），设这4个人为为A，B，C，D．当m，n∈[50，70）时，有xy，yz，xz，共3种情况；当m，n∈[130，150）时，由AB，AC，AD，BC，BD，CD，6种情况；当m，n分别在[50，70）和[130，150）内时，xA，xB，xC，xD，…，zD，12种情况，故所有的基本事件共有3+6+12=21种，故事件“|m﹣n|＞20”所包含的基本事件有12种，所以．点评：本题主要考查频率分布直方图，古典概率及其计算公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）（2015•宜宾模拟）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n﹣2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：计算题．分析：（1）由数列{a n}满足，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值．（2）由，能够证明数列{a n﹣2}是等比数列．（3）由（2）得，由此能求出{a n}前n项和S n．解答：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1﹣2=﹣1，∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）点评：本题考查数列中各项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•宜宾模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）通过长轴长是短轴长的两倍可知a=2b，再将点C（2，1）代入椭圆方程，进而计算可得结论；（II）通过CD的斜率为可设直线l方程为，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式、基本不等式计算即得结论．解答：解：（I）∵长轴长是短轴长的两倍，即2a=2•2b，∴a=2b，又∵椭圆E过点C（2，1），∴，∴，∴椭圆E的方程为：；（II）依题意，CD的斜率为，∵CD平行于直线l，∴设直线l方程为，联立，消去y、整理得：x2+2tx+（2t2﹣4）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，点C到直线l的距离，∴，当且仅当t2=4﹣t2即t2=2时取等号．∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（14分）（2015•宜宾模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程；（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=﹣2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围．解答：解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=x﹣1，所求切线方程为y=x﹣1；（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得，b=2．所求g（x）=（x∈R）．（3）∵，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）令，∵．∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，故，+∞），∵存在x＞0，不等式（*）成立，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题．。
2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷(文科)(解析版)
2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|x 2≤1}，B ={x|0<x <1}，则A ∩B =( ) A.[−1, 1) B.(0, 1) C.[−1, 1] D.(−1, 1)2. 若i 为虚数单位，则复数z =1+i 1+2i在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知等差数列{a n }前3项的和为6，a 5=8，则a 20=( ) A.40 B.39 C.38 D.374. 若向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|=4，|b →|=1，则|a →−4b →|=( )A.2B.3C.4D.55. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线与圆(x +4)2+y 2=8无交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A.(1, √2) B.(√2,+∞) C.(1, 2) D.(2, +∞)6. 已知实数x ，y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥03x +4y +12≥0 ，则z =x +2y 的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.97. 函数y =log 13(x 2−4x +3)的单调递增区间为（ ）A.(3, +∞)B.(−∞, 1)C.(−∞, 1)∪(3, +∞)D.(0, +∞)8. 宜宾市组织“歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A ，B ，C ，D 对比赛预测如下：A 说：“是甲或乙获得特等奖”；B 说：“丁作品获得特等奖”；C 说：“丙、乙未获得特等奖”；D 说：“是甲获得特等奖”．比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（ ） A.甲 B.乙C.丙D.丁9. 某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（ ）A.√2B.32C.2D.5210. 若输入S =12，A =4，B =16，n =1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.4B.5C.6D.711. 分别从写标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为（ ） A.37 B.23C.27D.1312. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，给出下列命题： ①当x ≥0时，f(x)=e −x (x +1)；②∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|<2； ③f(x)>0的解集为(−1, 0)∪，(1, +∞)； ④方程2[f(x)]2−f(x)=0有3个根． 其中正确命题的序号是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 在等比数列{a n }中，若a 2+a 4=58，a 3=14，且公比q <1，则该数列的通项公式a n =________．14. 已知y =f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x ，g(3)=3，则g(−3)=________．15. 三棱锥P −ABC 中，底面△ABC 是边长为√2的等边三角形，PA =PB =PC ，PB ⊥平面PAC ，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为________．16. 在△ABC 中，D 为AC 上一点，若AB =AC ，AD =12CD ，BD =4，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sin A =2sin B ， （1）若C =3π4，△ABC 的面积为9√24，求a 的值；（2）求sin (C−A)sin B−8sin 2C2的值．18. 每年4月15至21日是全国肿瘤防治宣传周，全国每天有超1万人确诊为癌症，其中肺癌位列发病首位，吸烟人群是不吸烟人群患肺癌的10倍．某调查小组为了调查中学生吸烟与家庭中有无成人吸烟的关系，发放了500份不记名调查表，据统计中学生吸烟的频率是0.08，家庭中成人吸烟人数的频率分布条形图如图．（1）根据题意，求出a 并完善以下2×2列联表；（2）能否据此判断有97.5%的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关？ 附表及公式：k2.7063.841 5.024 6.635 7.879K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d19. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC ，∠ADC =90∘，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，AD =2BC =2，CD =√3． （1）求证：平面BMQ ⊥平面PAD ；（2）当M 是PC 的中点时，过B ，M ，Q 的平面去截四棱锥P −ABCD ，求这个截面的面积．20. 已知抛物线C 的焦点在x 轴上，顶点在原点且过点p(2, 1)，过点(2, 0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作y 轴的垂线交C 于点N ． （1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=e x +x −2，g(x)=a ln x +x ． （1）函数y =g(x)有两个零点，求a 的取值范围；（2）当a =1时，证明：f(x)>g(x)．（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2−2cos φy =2sin φ ，（参数φ∈R ）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， (I) 求圆C 的极坐标方程；(II) 直线l ，射线OM 的极坐标方程分别是ρcos (θ−π6)=3√3，θ=π3，若射线若射线OM 分别与圆C 分别交于O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求|PQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数f(x)=|2x −1|+2|x +1|．(I) 若存在x 0∈R ，使得f(x 0)+m 2≤m +5，求实数m 的取值范围； (II) 若m 是(I)中的最大值，且a 3+b 3=m ，证明：0<a +b ≤2．参考答案与试题解析2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用二次不等式的解法求得集合A，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】集合A={x∈R|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，B={x|0<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}=(0, 1)．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】∵z=1+i1+2i =(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−i5=35−15i所对应的点为(35,−15)位于第四象限．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】设{a n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得a n．【解答】（1）设{a n}的公差为d，由已知得若a1+a2+a3=6，a5=8，⇒3a1+3d=6，a1+4d=8，解得a1=0，d=2故a20=0+(20−1)×2=38；故选：C．4.【答案】C 【考点】平面向量数量积【解析】运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．【解答】向量a→，b→的夹角为π3，且|a→|=4，|b→|=1，可得a→⋅b→=4×1×cosπ3=4×12=2，则|a→−4b→|=√(a→−4b→)2=√a→2−8a→∗b→+16b→2=√16−8×2+16=4，5.【答案】B【考点】圆与圆锥曲线的综合问题【解析】双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线与圆(x+4)2+y2=8无交点⇔圆心(2, 0)到渐近线的距离>半径r．解出即可．【解答】由圆(x+4)2+y2=8，得到圆心(−4, 0)，半径为：2√2．∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线y=±bax与圆(x+4)2+y2=8无交点，可得：√a2+b2>2√2，化为2b2>c2．c2>2a2∴e>√2．∴该双曲线的离心率的取值范围是(√2,+∞)．6.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=x+2y，平移直线过(2, 3)时z有最大值【解答】画可行域如图，z为目标函数z=x+2y，可看成是直线z=x+2y的纵截距，由{3x−y−3=0x−2y+4=0可得：A(2, 3)．画直线0=x+2y，平移直线过A(2, 3)点时z有最大值8．故z=x+2y的最大值为：8．7.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】求函数y=log13(x2−4x+3)的单调递增区，即求函数y=x2−4x+3=(x−2)2−1在定义域内的单调递减区间，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】由x2−4x+3>0，解得x>3或x<1．∴函数y=log13(x2−4x+3)的定义域为A={x|x>3或x<1}．求函数y=log13(x2−4x+3)的单调递增区，即求函数y=x2−4x+3=(x−2)2−1在定义域A内的单调递减区间，而此函数在定义域A内的单调递减区间为(−∞, 1)，∴函数y=log13(x2−4x+3)的单调递增区为(−∞, 1)，8.【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】根据题意，假设甲单位获得特等奖，则A、C、D的说法都对，符合题意，即可判断．【解答】根据题意，假设甲单位获得特等奖，则A、C、D的说法都对，符合题意；9.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状．利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】由题意可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥S−ACF；右侧是三棱柱ABC−DEF，SA=AB=1．AC=BE=√3，几何体是正四棱柱的一部分，体积为：13×12×1×√3×√3+12×1×√3×√3=2．10.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量S的值并输出n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得S=12，A=4，B=16，n=1，满足条件S≤100，执行循环体，S=0，A=8，B=8，n=2满足条件S≤100，执行循环体，S=0，A=16，B=4，n=3满足条件S≤100，执行循环体，S=12，A=32，B=2，n=4满足条件S≤100，执行循环体，S=42，A=64，B=1，n=5满足条件S≤100，执行循环体，S=105，A=128，B=12，n=6此时，不满足条件S≤100，退出循环，输出n的值为6．11.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先求出基本事件总数n=C72=21，再用列举法求出摸得的两个小球上的数字之和能被3整除包含的基本事件的个数，由此能求出摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率．【解答】分别从标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，基本事件总数n=C72=21，摸得的两个小球上的数字之和能被3整除包含的基本事件有：(1, 2)，(1, 5)，(2, 4)，(2, 7)，(3, 6)，(4, 5)，(5, 7)，共7个，∴摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为p=721=13．12.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据f(x)为奇函数，可设x>0，从而有−x<0，从而可求出f(x)=e−x(x−1)；②可分别对x<0和x>0时的f(x)求导数，根据导数符号可判断f(x)的单调性，根据单调性即可求出f(x)的值域，这样便可得出∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2；③而由f(x)解析式便可解出f(x)<0的解集，从而判断出③的正误；④从而可看出−1，1，0都是f(x)的零点，且还有一根介于(−1, 0)，即可判断．【解答】①f(x)为R上的奇函数，设x>0，−x<0，则f(−x)=e−x(−x+1)=−f(x)，∴f(x)=e−x(x−1)，∴故①错误；②当x<0时，f′(x)=e x(x+2)；∴ x <−2时，f′(x)<0，−2<x <0时，f′(x)>0； ∴ f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(−2, 0)上单调递增；∴ x =−2时，f(x)取最小值−e −2，且x <−2时，f(x)<0； ∴ f(x)<f(0)=1； 即−e −2<f(x)<1；当x >0时，f′(x)=e −x (2−x)；∴ f(x)在(0, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减； x =2时，f(x)取最大值e −2，且x >2时，f(x)>0； ∴ f(x)>f(0)=−1； ∴ −1<f(x)≤e −2；∴ f(x)的值域为(−1, e −2]∪[−e −2, 1)；∴ ∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|<2，故②正确； ③当x <0时，由f(x)=e x (x +1)<0，得x +1<0； 即x <−1，当x >0时，由f(x)=e −x (x −1)<0，得x −1<0； 得0<x <1，∴ f(x)<0的解集为(0, 1)∪(−∞, −1)，f(x)>0的解集为(−1, 0)∪(1, +∞)，故③正确； ④方程2[f(x)]2−f(x)=0，即有f(x)=0或f(x)=12， 由f(x)=0，可得x =0，1，−1；由f(x)=12，由f(−1)<12，f(0)>12，可得有一根介于(−1, 0)， 故共有4个根，故④错误．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.【答案】(12)n−1 【考点】等比数列的通项公式 【解析】设出等比数列的首项，公比q ，结合已知列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案． 【解答】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比q ，(q <1)， 可得a 1q +a 1q 3=58，a 1q 2=14， 解得a 1=1，q =12，则该数列的通项公式a n =(12)n−1． 14. 【答案】 −9【考点】函数奇偶性的性质 【解析】可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9． 【解答】∵ y =f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x ，∴ f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6 又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9． 15.【答案】 3π【考点】球的表面积和体积 球内接多面体 【解析】由题意，底面△ABC 是边长为√2的等边三角形，PA =PB =PC ，PB ⊥平面PAC ，把三棱锥P −ABC 放到正方体中，可得PA =PB =PC 是正方体的三个平面对角线．即可求解外接球半径； 【解答】由题意，底面△ABC 是边长为√2的等边三角形，PA =PB =PC ，PB ⊥平面PAC ， 把三棱锥P −ABC 放到正方体中，可得PA =PB =PC 是正方体的三个平面对角线． 可得：正方体的边长为1； 三棱锥P −ABC 外接球半径R =√1+1+12=√32． 球的表面积为：S =4πR 2=3π．16.【答案】 9【考点】 正弦定理 【解析】由已知先在△ABD 中利用余弦定理表示出cos A ，进而求得sin A 的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决． 【解答】∵ 等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 是AC 上一点，设AB =AC =3x ， 则：故cos A =9x 2+x 2−162∗3x∗x=10x 2−166x 2．所以：sin A =√1−cos 2A =√1−(10x 2−166x 2)2=√80x 2−16x 4−649x 4，△ABC 面积S =12∗3x ∗3x ∗√80x 2−16x 4−649x 4=32√−16(x 2−52)2+36≤32∗6=9，故三角形面积的最大值为9． 故先三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分. 17. 【答案】△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sin A=2sin B，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24，C=3π4，所以：12ab sin C=9√24，解得：a=3√2，b=3√22．sin(C−A) sin B −8sin2C2，=(sin C cos A−cos C sin A)sin B−4(1−cos C)，=2sin Bsin A−4=−3．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】（1）直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sin A=2sin B，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24，C=3π4，所以：12ab sin C=9√24，解得：a=3√2，b=3√22．sin(C−A) sin B −8sin2C2，=(sin C cos A−cos C sin A)sin B−4(1−cos C)，=2sin Bsin A−4=−3．18.【答案】由条形图可知，0.48+0.25+0.16+0.09+a=1，解得a=0.02；由题意填写2×2列联表，如下；…6分由表中数据，计算K2=500×(28×228−232×12)240×460×260×240≈5.644>5.024；∴有97.5的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关…12分【考点】独立性检验【解析】（1）由频率和为1列方程求得a的值，再由题意填写列联表；（2）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由条形图可知，0.48+0.25+0.16+0.09+a=1，解得a=0.02；由题意填写2×2列联表，如下；…6分由表中数据，计算K2=500×(28×228−232×12)240×460×260×240≈5.644>5.024；∴有97.5的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关…12分19.【答案】∵底面ABCD是直角梯形，AD // BC，DQ=12AD=BC，∠ADC=90∘，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，又BQ⊂平面BQM，∴平面PAD⊥平面BQM．设平面BQM交PD于N，连接NQ，MN，则四边形BQNM就是截面．由(I)知BQ // DC，DC⊂平面PCD，∴BQ // 平面PDC，∴BQ // MN，又BQ // CD，∴MN // CD，∵M是PC的中点，DN=12PD=1，∴N是PD的中点，∴MN=12CD=√32，∵BQ⊥平面PAD，QN⊂平面PAD，∴BQ⊥QN，∴四边形BQNM是直角梯形，∴截面面积为S=12×(√32+√3)×1=3√34．【考点】平面的基本性质及推论平面与平面垂直【解析】（1）根据面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，故而平面BQM⊥平面PAD；（2）由线面平行的性质可得截面与PD交点为PD的中点，截面为直角梯形，从而可得出截面面积．【解答】∵底面ABCD是直角梯形，AD // BC，DQ=12AD=BC，∠ADC=90∘，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，又BQ⊂平面BQM，∴平面PAD⊥平面BQM．设平面BQM交PD于N，连接NQ，MN，则四边形BQNM就是截面．由(I)知BQ // DC，DC⊂平面PCD，∴BQ // 平面PDC，∴BQ // MN，又BQ // CD，∴MN // CD，∵M是PC的中点，DN=12PD=1，∴N是PD的中点，∴MN=12CD=√32，∵BQ⊥平面PAD，QN⊂平面PAD，∴BQ⊥QN，∴四边形BQNM是直角梯形，∴截面面积为S=12×(√32+√3)×1=3√34．20.【答案】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px，而P(2, 1)在抛物线上，∴1=4p，即p=14，∴抛物线C的方程为：y2=12x．由题意可设l:x=ty+2，代入y2=12x，得：2y2−ty−2=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−1，y1+y2=t2，∴x1x2=(ty1+2)(ty2+2)=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=4，x1+x2=(ty1+2)+(ty2+2)=t(y1+y2)+4=t22+4，∴N(t28, t4)，NA→=(x1−t28, y1−t4)，NB→=(x2−t28, y2−t4)，∵若以AB为直径的圆M经过点N，则NA→∗NB→=(x1−t28)(x2−t28)+(y1−t4)(y2−t4)=0，∴x1x2−t28(x1+x2)+t464+y1y2−t4(y1+y2)+t216=0，∴t4+12t2−64=0，即t2=4，t=±2．∴存在直线l，l的方程：x=±2y+2．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】（1）根据待定系数法求出抛物线方程；（2）设l方程x=ty+2，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求出N点坐标，令NA→∗NB→=0计算t的值即可．【解答】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px，而P(2, 1)在抛物线上，∴ 1=4p ，即p =14，∴ 抛物线C 的方程为：y 2=12x ．由题意可设l:x =ty +2，代入y 2=12x ，得：2y 2−ty −2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−1，y 1+y 2=t2，∴ x 1x 2=(ty 1+2)(ty 2+2)=t 2y 1y 2+2t(y 1+y 2)+4=4， x 1+x 2=(ty 1+2)+(ty 2+2)=t(y 1+y 2)+4=t 22+4，∴ N(t 28, t4)，NA →=(x 1−t 28, y 1−t4)，NB →=(x 2−t 28, y 2−t4)，∵ 若以AB 为直径的圆M 经过点N ，则NA →∗NB →=(x 1−t 28)(x 2−t 28)+(y 1−t4)(y 2−t4)=0， ∴ x 1x 2−t 28(x 1+x 2)+t 464+y 1y 2−t4(y 1+y 2)+t 216=0，∴ t 4+12t 2−64=0，即t 2=4，t =±2． ∴ 存在直线l ，l 的方程：x =±2y +2． 21. 【答案】g(x)=a ln x +x ，(x >0)，g ′(x)=x+a x,(x >0)当a ≥0，g ′(x)>0，g(x)单调递增，不满足条件．当a <0，令g ′(x)>0，得x >−a ，g(x)单调递增；令g ′(x)<0，得0<x <−a ，g(x)单调递减； ∴ g(x)min =g(−a)=a ln (−a)−a ；又x →0，g(x)→+∞；x →+∞，g(x)→+∞ 要使函数y =g(x)有两个零点，g(−a)<0，a <−e 故a 的取值范围为：(−∞, −e)证明：当a =1时，欲证f(x)>g(x)，只需证明e x −ln x −2>0设ℎ(x)=e x −ln x −2，则ℎ(x)=e x −1x ，设φ(x)=e x −1x ，则φ′(x)=e x +1x 2>0， 所以函数ℎ(x)=φ(x)=e x −1x 在(0, +∞)上单调递增因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ′(1)=e −1>0，所以函数ℎ(x)=e x−1x在(0, +∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈(12,1)，使得e x 0=1x 0，即ln x 0=−x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)min =ℎ(x 0) 故ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0−2=x 0+1x 0−2>0．综上可知，f(x)>g(x)他法：证e x ≥x +1≥ln x +2，得证f(x)>g(x)，（等号不同时成立） 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极小值，然后求解结果．（2）当a =1时，欲证f(x)>g(x)，只需证明e x −ln x −2>0，设ℎ(x)=e x −ln x −2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解ℎ(x)min =ℎ(x 0)，然后推出结果． 【解答】g(x)=a ln x +x ，(x >0)，g ′(x)=x+a x,(x >0)当a ≥0，g ′(x)>0，g(x)单调递增，不满足条件．当a <0，令g ′(x)>0，得x >−a ，g(x)单调递增；令g ′(x)<0，得0<x <−a ，g(x)单调递减； ∴ g(x)min =g(−a)=a ln (−a)−a ；又x →0，g(x)→+∞；x →+∞，g(x)→+∞ 要使函数y =g(x)有两个零点，g(−a)<0，a <−e 故a 的取值范围为：(−∞, −e)证明：当a =1时，欲证f(x)>g(x)，只需证明e x −ln x −2>0设ℎ(x)=e x −ln x −2，则ℎ(x)=e x −1x ，设φ(x)=e x −1x ，则φ′(x)=e x +1x >0， 所以函数ℎ(x)=φ(x)=e x −1x 在(0, +∞)上单调递增因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ′(1)=e −1>0，所以函数ℎ(x)=e x −1x在(0, +∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈(12,1)，使得e x 0=1x 0，即ln x 0=−x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)min =ℎ(x 0) 故ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0−2=x 0+1x 0−2>0．综上可知，f(x)>g(x)他法：证e x ≥x +1≥ln x +2，得证f(x)>g(x)，（等号不同时成立）（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.【答案】（1）∵ 圆C 的参数方程为{x =2−2cos φy =2sin φ，（参数φ∈R ）．∴ (ρcos θ−2)2+(ρsin θ)2=(−2cos φ)2+(2sin φ)2=4， ∴ ρcos θ=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ．（2）∵ 直线l 的极坐标方程是ρcos (θ−π6)=3√3，射线OM 的极坐标方程是θ=π3， ∴ ρcos (π3−π6)=3√3，ρ=6，∵ 射线OM 分别与圆C 分别交于O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ， ∴ Q(6,π3)，P(2, π3)， ∴ |PQ|=6−2=4． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由圆C 的参数方程，能求出圆C 的极坐标方程．（2）推导出ρcos (π3−π6)=3√3，ρ=6，Q(6,π3)，P(2, π3)，由此能求出|PQ|． 【解答】（1）∵ 圆C 的参数方程为{x =2−2cos φy =2sin φ ，（参数φ∈R ）．∴ (ρcos θ−2)2+(ρsin θ)2=(−2cos φ)2+(2sin φ)2=4， ∴ ρcos θ=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ．（2）∵ 直线l 的极坐标方程是ρcos (θ−π6)=3√3，射线OM 的极坐标方程是θ=π3， ∴ ρcos (π3−π6)=3√3，ρ=6，∵ 射线OM 分别与圆C 分别交于O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ， ∴ Q(6,π3)，P(2, π3)， ∴ |PQ|=6−2=4． [选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】（1）f(x)=|2x −1|+|2x +2|≥|2x −1−(2x +2)|=3，∵ 存在x 0∈R ，使得f(x 0)+m 2≤m +5，∴ 3+m 2≤m +5， 即m 2−m −2≤0，解得−1≤m ≤2． （2）由(I)知：m =2，即a 3+b 3=2，∵ a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2)=(a +b)[(a −b 2)2+3b 24]=2，且(a −b 2)2+3b 24>0，∴ a +b >0．又2=a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2)=(a +b)[(a +b)2−3ab]≥(a +b)[(a +b)2−34(a +b)2]=14(a +b)3，∴ (a +b)3≤8， ∴ 0<a +b ≤2． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 函数恒成立问题【解析】（1）求出f(x)的最小值3，再解一元二次不等式即可； （2）根据立方和公式和基本不等式化简即可得出结论． 【解答】（1）f(x)=|2x −1|+|2x +2|≥|2x −1−(2x +2)|=3，∵ 存在x 0∈R ，使得f(x 0)+m 2≤m +5，∴ 3+m 2≤m +5， 即m 2−m −2≤0，解得−1≤m ≤2． （2）由(I)知：m =2，即a 3+b 3=2，∵ a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2)=(a +b)[(a −b2)2+3b 24]=2，且(a −b2)2+3b 24>0，∴ a +b >0．又2=a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2)=(a +b)[(a +b)2−3ab]≥(a +b)[(a +b)2−34(a +b)2]=14(a +b)3，∴ (a +b)3≤8， ∴ 0<a +b ≤2．。
2019年四川高考数学试卷文
选择题1、若复数z满足z(1+i)=2i，则z等于？A、1+iB、1-i（答案）C、-1+iD、-1-i解析：由z(1+i)=2i，得z=2i/(1+i)=(2i(1-i))/((1+i)(1-i))=2+2i/2=1+i的共轭复数，即1-i。
2、若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=15，则a4等于？A、1B、8C、9D、16（答案）解析：等比数列前n项和公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)，代入a1=1，S4=15，解得q=2或q=-4（舍去），所以a4=a1q(4-1)=2³=8的q的三次方，即16。
3、若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b的点积为？A、5B、10C、11（答案）D、15解析：向量点积公式为a·b=a1b1+a2b2，代入向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，得a·b=1×3+2×4=11。
4、若一个圆锥的底面半径为r，高为h，则其体积V与r，h的关系为？A、V=πr²hB、V=(1/2)πr²hC、V=(1/3)πr²h（答案）D、V=(1/4)πr²h解析：圆锥体积公式为V=(1/3)πr²h。
5、若一个正方体的棱长为a，则其表面积S与a的关系为？A、S=4a²B、S=5a²C、S=6a²（答案）D、S=8a²解析：正方体有6个面，每个面的面积为a²，所以表面积S=6a²。
6、若x，y满足x+y=4，且x，y均为正整数，则(x,y)的可能取值有？A、1组B、2组C、3组（答案）D、4组解析：由x+y=4，且x，y均为正整数，可得(x,y)的可能取值为(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3组。
7、若一个圆的半径为r，则其内接正方形的面积S与r的关系为？A、S=r²B、S=2r²（答案）C、S=4r²D、S=8r²解析：圆内接正方形的对角线等于圆的直径，即2r，正方形的面积S=(对角线长度)²/2=(2r)²/2=2r²。
2018-2019学年四川省宜宾三中高二(下)期中数学试卷(文科)(附答案详解)
2018-2019学年四川省宜宾三中高二（下）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数52+i的共轭复数是()A. 2−iB. −2−iC. −2+iD. 2+i2.若质点A按照规律s(t)=3t2运动，则在t=1时的瞬时速度为()A. 1B. 3C. 6D. 83.下列判断正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b且ab>0，则1a <1bC. 若a>b，则a n>b n(n∈N+)D. 若a>b>0且c<d<0，则ac>bd4.函数f(x)=x−lnx在x∈(0,e]上的最小值为()A. e−1B. 1C. 0D. e5.函数f(x)=|x−1|−|x+2|的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.函数y=xlnx2的大致图象为()A. B.C. D.7.若函数f(x)=e x−ax存在大于零的极值点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)8.若函数f(x)=x3−ax在区间(−1,1)上不单调，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (0,3]C. (3,+∞)D. [3,+∞)9.圆心在A(1,π3)，半径为1的圆的极坐标方程为()A. ρ=2cosθB. ρ=2cos(θ−π3) C. ρ=2cos(θ+π3)D. ρ=2cos(θ+π6)10. 已知f′(x)是函数f(x)定义在R 上的导函数，满足f(x)+f′(x)>0，且f(0)=1，则f(x)>e −x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,1)11. 已知函数f(x)={x 2+1,(x ≥0)−x 3+3x +a,(x <0)的值域为[1,+∞)，则实数a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (3,+∞)D. [3,+∞)12. 已知t 为常数，函数f(x)=(x −1)2+tlnx 有两个极值点a ，b(a <b)，则( )A. f(a)<1−2ln24B. f(a)>1−2ln24C. f(a)>1+2ln24D. f(a)<1−3ln24二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点P 的极坐标为(2,π3)，则点P 的直角坐标是______ ．14. 若不等式|x −1|+|x +1|≤m 的解集非空，则实数m 的取值范围是______ ． 15. 若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在区间(−1,1)上的极大值为______ ．16. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=−ex 2+ax(e 是自然对数的底数)，对∀x 1∈R ，都∃x 2∈(0,e]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，则a 的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知函数f(x)=x 2e x ．(1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值．18.有声书正受着越来越多人的喜爱，某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如图．有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的“年轻用户”是“爱付费用的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有38户”．(1)完成2×2列联表；爱付费用户不爱付费用户合计年轻用户非年轻用户合计(2)能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. 某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费支出和销售额的数据统计如表：(单位：万元)(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ̂=12lnx +22，经计算，对数函数回归模型的相关系数约为0.95，请说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测城市A 的广告费用支出9万元时的销售额.(精确到0.01)参考数据：∑y i 7i=1=294，∑x i 7i=1y i =2794，∑x i 27i=1=708，ln3≈1.099，√∑(7i=1x i −x −)2∑(7i=1y i −y −)2≈510． 参考公式：直线回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．相关系数：r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2．20. 已知函数f(x)=lnx −a(x +1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a =0时，证明：f(x)≤e x−1−1．21.已知函数f(x)=(x−2)e x−a．(1)讨论函数的零点个数；(2)当x∈(0,1]时，f(x)≤x−lnx−2，求a的最小整数值．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ．(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√22，求点A(2,π6)到直线l的距离．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−2|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥2，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i．∴复数52+i的共轭复数是2+i．故选：D．无求出复数52+i ，由此能求出复数52+i的共轭复数．本题考查复数的运算，考查复数的模、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，s(t)=3t2，其导数s′(t)=6t，则在t=1时的瞬时速度s′(1)=6，故选：C．根据题意，求出函数的导数，进而可得s′(1)的值，由导数的定义可得答案．本题考查导数的定义，涉及导数的计算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A：若c=0，ac2=bc2，故A错误；对于B：若a>b且ab>0，所以1ab >0，故a⋅1ab>b⋅1ab，即1a<1b，故B正确；对于C：当a=−1，b=−2时，且n=2时，显然错误，故C错误；对于D：a>b>0，所以ac<bc，由于c<d<0，所以bc<bd，所以ac<bd，故D错误；故选：B．直接利用不等式的性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：赋值法，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由f′(x)=1−1x=0得x=1．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴当x=1是函数f(x)的最小值点，f(1)=1−0=1，故f(x)的最小值是1．故选：B．求出函数f(x)的导函数，判断函数在(0,e]的单调性，继而求出最小值．本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．5.【答案】C【解析】解：f(x)=|x−1|−|x+2|={3,x<−2−2x−1,−2≤x≤1−3,x>1，其图象如图，由图可知，函数f(x)=|x−1|−|x+2|的最大值为3．故选：C．写出分段函数解析式，画出图形，数形结合得答案．本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，设f(x)=xlnx2，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−xlnx2=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除CD，在区间(0,1)上，f(x)=xlnx2<0，排除B，故选：A．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，再求出区间(0,1)上，f(x)的符号，排除B，即可得答案．本题考查函数图象的分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵y=e x−ax，∴y′=e x−a．由题意知e x−a=0有大于0的实根，由e x=a，得a=e x，∵x>0，∴e x>1．∴a>1．实数a的取值范围是：(1,+∞)．故选：D．先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值点故导函数有大于零的根．本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法，是中档题．8.【答案】A【解析】解：f′(x)=3x2−a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，不合题意，，当a>0时，令f′(x)=0，解得：x=±√3a3∵f(x)在区间(−1,1)上不单调，故f′(x)=0在(−1,1)上有解，故0<√3a3<1，解得：0<a <3，故实数a 的取值范围是(0,3)． 故选：A ．求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．9.【答案】B【解析】解：圆心A(1,π3)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为(12,√32)，半径为1，故圆的方程为(x −12)2+(y −√32)2=1，整理得：x 2+y 2−x −√3y =0，转换为极坐标方程为ρ=cosθ+√3sinθ=2cos(θ−π3)． 故选：B ．直接利用转换关系，把极坐标和直角坐标之间进行转换，再把极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：令g(x)=e x f(x)， 则g′(x)=e x [f′(x)+f(x)]>0， 故g(x)在R 递增， 而f(0)=1，故g(0)=1， f(x)>e −x 即e x f(x)>1， 则g(x)>g(0)，解得：x >0， 故选：C ．令g(x)=e x f(x)，求出函数的单调性，问题转化为g(x)>g(0)，求出x 的范围即可． 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)={x 2+1,(x ≥0)−x 3+3x +a,(x <0)的值域为[1,+∞)，当x <0时，f(x)=−x 3+3x +a ≥1，即a ≥x 3−3x +1． 令g(x)=x 3−3x +1，则g′(x)=3x 2−3， 故在(−∞,−1)上，g′(x)>0，g(x)单调递增； 在(−1,0)上，g′(x)<0，g(x)单调递减， 故当x =−1时，g(x)取得极大值为g(−1)=3， ∴a ≥3， 故选：D ．由题意可得a ≥x 3−3x +1，利用导数求得g(x)=x 3−3x +1(x <0)的极大值，可得a 的范围．本题主要考查利用导数求函数的最大值，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数f(x)=(x −1)2+tlnx ，x ∈(0,+∞)， f′(x)=2(x −1)+tx =2x 2−2x+tx，令u(x)=2x 2−2x +t ，∵函数f(x)有两个极值点a ，b(0<a <b)， ∴△=4−8t >0，解得0<t <12． a +b =1，ab =t2， 可得：0<a <12，f(a)=(a −1)2+tlna =(a −1)2+2a(1−a)lna ，f′(a)=2(a −1)+2(1−2a)lna +2(1−a)=2(1−2a)lna <0，∴函数f(a)在(0,12)上单调递减， ∴f(a)>f(12)=14+12ln 12=1−2ln24．故选：B ．函数f(x)=(x −1)2+tlnx ，x ∈(0,+∞)，f′(x)=2x 2−2x+tx，令u(x)=2x 2−2x +t ，由函数f(x)有两个极值点a ，b(0<a <b)，可得△>0，a +b =1，ab =t2，f(a)=(a −1)2+tlna =(a −1)2+2a(1−a)lna ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】(1,√3)【解析】解：∵点P 的极坐标为(2,π3)， ∴x =2cos π3=1，y =2sin π3=√3，∴点P 的直角坐标为(1,√3). 故答案为：(1,√3).利用点的极坐标和直角坐标的互化公式直接求解即可．本题考查点的直角坐标的求法，考查点的极坐标和直角坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】[2,+∞)【解析】解：不等式|x −1|+|x +1|≤m 的解集非空， 必须m ≥|x −1|+|x +1|的最小值，当x <−1时，|x −1|+|x +1|=−2x >2，所以m ≥2， 当−1≤x ≤1时，|x −1|+|x +1|=2，所以m ≥2， 当x >1时|x −1|+|x +1|=2x >2 所以m ≥2， 综上m ≥2， 故答案为：[2,+∞)．首先确定|x−1|+|x+1|的最小值，然后不等式|x−1|+|x+1|≤m的解集非空，转化为求m≥|x−1|+|x+1|的最小值即可．本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．15.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，∴f′(x)=2x(3x−a)，x∈(0,+∞)，①当a≤0时，f′(x)=2x(3x−a)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(0)=1，f(x)在(0,+∞)上没有零点，舍去；②当a>0时，f′(x)=2x(3x−a)>0的解为x>a3，∴f(x)在(0,a3)上递减，在(a3,+∞)递增，又f(x)只有一个零点，∴f(a3)=−a327+1=0，解得a=3，f(x)=2x3−3x2+1，f′(x)=6x(x−1)，x∈[−1,1]，f′(x)>0的解集为(−1,0)，f(x)在(−1,0)上递增，在(0,1)上递减，∴f(x)的极大值是f(0)=1，故答案为：1．推导出f′(x)=2x(3x−a)，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性以及由f(x)只有一个零点，解得a=3，从而f(x)=2x3−3x2+1，f′(x)=6x(x−1)，x∈(−1,1)，利用导数性质能求出f(x)在(−1,1)上的极大值即可．本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．16.【答案】2【解析】解：对∀x1∈R，都∃x2∈(0,e]，使得f(x1)≤g(x2)成立，故f(x)max≤g(x)max，f(x)=xe x ，f′(x)=1−xe x，当x∈(−∞,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，可得f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则f(x)取得最大值为f(1)=1e．g′(x)=−2ex+a(0<x≤e)．当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)max<g(0)=0，而1e>0，不合题意；当a>0时，由g′(x)=−2ex+a=0，得x=a2e，若a2e≥e，得g′(x)≤0在(0,e]上成立，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)max<g(0)=0，而1e>0，不合题意；若0<a2e<e，即0<a<2e2，则当x∈(0,a2e )时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(a2e,e)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)的最大值为g(a2e )=a24e，由{0<a<2e2a24e≥1e，解得2≤a<2e2．∴a的最小值为2．故答案为：2．把问题转化为f(x)max≤g(x)max，利用导数求得f(x)的最大值，然后分类求g(x)的最大值，即可求解a的取值范围，得到a的最小值．本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)∵f(x)=x2e x，∴f′(x)=x(x+2)e x，令f′(x)>0，解得：x>0或x<−2，令f′(x)<0，解得：−2<x<0，故f(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)由(1)得：f(x)的极大值是f(−2)=4e−2，f(x)的极小值是f(0)=0．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；(2)根据函数的单调性求出函数的极值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．18.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：(2)由列联表可计算观测值K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(24×30−40×6)230×70×64×36≈4.76>3.841，故有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关． 故答案为：有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关．【解析】(1)由已知数据可完成2×2列联表；(2)计算观测值参考临界值表可判断能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关． 本题考查独立性检验的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知可得x −=17(1+2+4+6+11+13+19)=8，y −=17(19+32+40+44+52+53+54)=42， 所以b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=2794−7×8×42708−7×82=1.7，故a ̂=y −−b ̂x −=42−1.7×8=28.4，所以y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.7x +28.4； (2)由题意可得，r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=442510≈0.87，因为0.87<0.95，所以对数函数回归模型更合适，当x =9万元时，预测A 城市的销售额为y ̂=12ln9+22=12×2×1.099+22=48.38万元．【解析】(1)先求出样本中心，然后将数据代入参考公式求解即可； (2)根据公式计算r 的值，并判断相关性，由回归方程预测数据y 的值即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：f(x)=lnx−a(x+1)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −a=1−axx，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，可得0<x<1a ，令f′(x)<0，可得x>1a，所以f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．(2)证明：当a=0时，f(x)=lnx，令g(x)=f(x)−(e x−1−1)=lnx−e x−1+1，x>0，g′(x)=1x−e x−1，g′(x)在(0,+∞)上为减函数，且g′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=0，所以f(x)−(e x−1−1)≤0，即f(x)≤e x−1−1．【解析】(1)对f(x)求导，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)令g(x)=f(x)−(e x−1−1)=lnx−e x−1+1，x>0，利用导数求出g(x)≤0，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)令f(x)=0，则a=(x−2)e x，令g(x)=(x−2)e x，则g′(x)=(x−1)e x，显然g(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且g(1)=−e，当x→−∞时，g(x)→0，当x→+∞时，g(x)→+∞，作出函数g(x)的图象如下图所示，由图可知，当a <−e 时，f(x)无零点；当a =−e 或a ≥0时，f(x)有且仅有一个零点；当−e <a <0时，f(x)有两个零点；(2)当x ∈(0,1]时，f(x)≤x −lnx −2，即(x −2)e x −a ≤x −lnx −2， 当x =1时，有−e 1−a ≤1−0−2，则a ≥1−e ，此时a 的最小整数值为−1， 下面证明：当a =−1时，(x −2)e x −a ≤x −lnx −2在(0,1]上恒成立，即(x −2)e x −x +lnx +3≤0在(0,1]上恒成立，令ℎ(x)=(x −2)e x −x +lnx +3，x ∈(0,1]，则ℎ′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x )，令m(x)=e x −1x ,x ∈(0,1]，则m′(x)=e x +1x 2>0，故函数m(x)在(0,1]上为增函数， 又m(12)=√e −2<0,m(1)=e −1>0，故存在唯一的x 0∈(12,1)，使得m(x 0)=0，即e x 0=1x 0，则lnx 0=−x 0，故当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x ∈(x 0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)max =ℎ(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0+3=1−2x 0−x 0−x 0+3=4−2(x 0+1x 0)≤4−2×2√x 0⋅1x 0=0，符合题意．综上，实数a 的最小整数值为−1．【解析】(1)令f(x)=0，则a =(x −2)e x ，接下来只需判断函数g(x)=(x −2)e x 的图象与直线y =a 的交点个数即可；(2)先由x =1时满足不等式可得a ≥1−e ，由此猜想满足条件的a =−1，再证明当a =−1时符合题意即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查不等式的恒成立问题，第二问采用先猜后证的方式解答是关键，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程x 2+y 2=2x −4y ，整理得(x −1)2+(y +2)2=5． (2)点A(2,π6)转换为直角坐标A(√3,1)， 直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x −y +1=0， 故点A 到直线l 的距离d =√3−1+1|√12+(−1)2=√3√2=√62．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −2|={1−2x ,x ≤−13,−1<x <22x −1,x ≥2． 当x ≤−1时，由f(x)≥5，得1−2x ≥5，解得x ≤−2；又x ≤−1，所以x ≤−2． 当−1<x <2时，f(x)=3≥5不成立，所以不等式无解；当x ≥2时，由f(x)≥5，得2x −1≥5，解得x ≥3；又x ≥2，所以x ≥3． 所以f(x)≥5的解集为：(−∞,−2]∪[3,+∞)．(2)因为f(x)=|x +a|+|x −2|≥|(x +a)−(x −2)|=|a +2|， 若f(x)≥2，则|a +2|≥2，解得−4≤a 或a ≥0， ∴a 的取值范围为：(−∞,−4]∪[0,+∞)．【解析】(1)分类讨论，解绝对值不等式，求得x 的范围．(2)由题意利用绝对值三角不等式，求得a 的值．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，属于中档题．。
四川省宜宾市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析
四川省宜宾市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数， 所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.2．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A B A B>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >，所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<， 因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或3 【答案】D【解析】【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7m MF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[1,)+∞ D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x =+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B.【点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.5．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）AB ．3C ．1D ．5 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.6．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝， 对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.7．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】A【解析】 试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．考点：集合的运算．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y =± B ．3y x = C ．12y x =± D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】 解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上， 则双曲线的渐近线方程为：b y x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =，∴22224c b a b ==+，即：223a b =，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：y x =. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.9．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ）A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 【答案】D【解析】【分析】首先求得12z i =-+，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.10．已知椭圆22y a +22x b=1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）AB．CD【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.【详解】 联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0， 因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得12e -=，故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.11．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r ；而当a b ⊥r r ，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以“2m =”是“a b ⊥r r ”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.12．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4 【答案】C【解析】【分析】 以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈.本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(文科)含答案解析
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4}D．{x|﹣2＜x＜5}2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．下列关于不等式的结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．56．双曲线﹣=1的右焦点到它的渐进线的距离为（）A．12 B．4 C．2D．27．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题8．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．59．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为10．设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）=g（x）D．f（x）与g（x）的大小不确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是________．12．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是________．13．已知过定点（1，0）的直线与抛物线x2=y相交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（x1﹣1）（x2﹣1）=________．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________千米/时．15．已知函数f（x）=（a∈R）．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是＜a≤e﹣1；②若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是0＜a＜；③若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有四个交点，则实数k的取值范围是﹣＜k＜0；④若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有三个交点，则k=﹣e．其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.16．已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．17．某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE 沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2），连结A′C，A′D．（1）求四棱锥A′﹣BCDE的体积；（2）在棱A′C是否存在点R，使得DR∥平面A′BE？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，是否存在一个最小的常数M，使得b1+b2+…+b n＜m对于任意的n∈N*均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．20．已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2，O为坐标原点．（1）求点F的轨迹C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON 交曲线C于点Q，且=，求m和k满足的关系式．21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（1）若a=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4}D．{x|﹣2＜x＜5}【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A，再由交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos （2x+）的图象，故选：C．4．下列关于不等式的结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞【考点】不等式的基本性质．【分析】对于A，B，C举反例即可判断，对于D，根据不等式的性质可判断．【解答】解：对于A，当c=0时，不成立，对于B，当a=2，b=﹣3时，则不成立，对于C，当a=﹣3，b=﹣1时，则不成立，对于D，根据不等式的性质，a＜b＜0，﹣=＞0，即可得到＞，则成立，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．6．双曲线﹣=1的右焦点到它的渐进线的距离为（）A．12 B．4 C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得右焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的a=2，b=2，c==4，即有右焦点为（4，0），渐近线方程为y=±x，可得右焦点到它的渐近线的距离为d==2．故选：C．7．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；B．利用复合命题的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．D．x=2，4时，命题不正确．【解答】解：当c=0时，a＞b⇏ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2⇒a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确．若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确；∵命题是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0，x=2，4时，命题不正确．故选：D．8．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．5【考点】平面向量的综合题．【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．【解答】解：由所给的方程组解得，，，∴=．故选B．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为【考点】棱柱的结构特征．【分析】判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断A，B，建立空间坐标系求出数量积来判断C和D．【解答】解：对于A，三棱锥M﹣ABD的主视图为三角形，底边为AB的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A正确；对于B，侧视图为三角形的底边为AD的长，高为正方体的高，故棱锥侧视图的面积不变，故B正确；对于C，连结AC，BD，A1C，则BD⊥AC，∵AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，又∵BD⊥CC1，于是BD⊥平面A1C1C，∵CM⊂平面A1C1C，∴BD⊥CM，故C正确；对于D，分别以AB，AD，AA1为坐标轴，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，M（a，a，1），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0）．∴=（a﹣1，a﹣1，1），=（1，0，0），∴cos＜＞=≠±，∴异面直线CM，AB所成的角不可能是．故D错误．故选：D．10．设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）=g（x）D．f（x）与g（x）的大小不确定【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图象与性质．【分析】f（x）与x轴的交点（1，0）在g（x）上，所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a与b的值，令h（x）=f（x）﹣g（x），然后利用导数研究该函数在（1，+∞）上的单调性，从而得到正确选项．【解答】解：f（x）与x轴的交点′（1，0）在g（x）上，所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，f′（x）=，g′（x）=a﹣，以上两式在x=1时相等，即1=a﹣b，又因为a+b=0，所以a=，b=﹣，即g（x）=﹣，f（x）=lnx，定义域{x|x＞0}，令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，对x求导，得h′（x）=﹣﹣==﹣∵x＞1∴h′（x）≤0∴h（x）在（1，+∞）单调递减，即h（x）＜0∴f（x）＜g（x）故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==，它的虚部为：，故答案为：．12．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是．【考点】函数的值．【分析】根据对数的运算法则可求出f（4）的值，从而可将f（f（4））从内向外去除括号，求出所求．【解答】解：由题意可得：函数f（x）=，∴f（）=log2=﹣2∴f（f（））=f（﹣2）=3﹣2+1=．故答案为：．13．已知过定点（1，0）的直线与抛物线x2=y相交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（x1﹣1）（x2﹣1）=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设过定点（1，0）的直线的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线x2=y可得x2﹣kx+k=0，故有x1+x2=k，x1•x2=k，由此求得（x1﹣1）（x2﹣1）的值．【解答】解：设过定点（1，0）的直线的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线x2=y可得x2﹣kx+k=0，∴x1+x2=k，x1•x2=k，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=1．故答案为：1．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．15．已知函数f（x）=（a∈R）．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是＜a≤e﹣1；②若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是0＜a＜；③若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有四个交点，则实数k的取值范围是﹣＜k＜0；④若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有三个交点，则k=﹣e．其中正确结论的序号是②③．【考点】分段函数的应用．【分析】作出y=|e x+1﹣|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函数图象，根据函数图象判断零点个数与a的关系；求出y=kx与y=|e x+1﹣|（x≤0）的左段图象相切时的斜率，结合图象判断交点个数与k的关系．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=lnx+a的值域为R，故f（x）在（0，+∞）上恒有一个零点，当x≤0时，令f（x）=0得|e x+1﹣|=a，作出y=|e x+1﹣|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函数图象如图所示，由图象可知：若f（x）有两个零点，则＜a≤e﹣或a=0，故①错误；若f（x）有三个零点，则0＜e＜，故②正确；令f（x）=kx﹣a得，|e x+1﹣|=kx（x≤0）或kx=lnx+2a（x＞0）．设y=mx与y=﹣e x+1（x＜0）相切，切点为（x0，y0），则，解得m=﹣．x0=﹣2，y0=．此时，直线与f（x）有三个交点，故④错误；∴当﹣＜k＜0时，由图象可知f（x）与y=kx﹣a有四个交点，故③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.16．已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）根据•=列出方程解出A；（2）使用二倍角公式化简f（x）=﹣2（sinx﹣1）2+3，根据二次函数的性质得出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵=sinA+cosA=2sin（A+）=，∴，∵A为锐角，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴f（x）=cos2x+4sinx=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣1）2+3，∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，∴当sinx=1时，f（x）有最大值3；当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣5，∴函数f（x）的值域是[﹣5，3]．17．某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．（II）由上一问求得频率，可知3，4，5组各自所占的比例样，根据分层抽样的定义进行求解；（Ⅲ）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列从而求出P（ξ≥1）的概率；【解答】解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，得到第三组的频率为0.06×5=0.3；第四组的频率为0.04×5=0.2；第五组的频率为0.02×5=0.1．（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，由（Ⅰ）可知第三，四，五组的频率分别为：0.3，0.2，0.1则分层抽样第3，抽取的人数为：×6=3第4组抽取的人数为：×6=25组每组抽取的人数为：×6=1；（Ⅲ）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2该变量符合超几何分布，∴P（ξ=i）=（i=0，1，2）∴ξ分布列是∴P（ξ≥1）=+==；18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE 沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2），连结A′C，A′D．（1）求四棱锥A′﹣BCDE的体积；（2）在棱A′C是否存在点R，使得DR∥平面A′BE？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（I）过A′作A′F⊥BE，利用等积法求出A′F，则A′F为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算；（II）延长BE，CD交于点P，过D作A′P的平行线交A′C于R，则DR∥平面A′BE．利用平行线等分线段成比例定理得出的值．【解答】解：（Ⅰ）过A′作A′F⊥BE于F．∵平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE=BE，A′F⊂平面A′BE．∴A′F⊥平面BCDE．∵∠BA′E=90°，，∴BE==2，∴A′F==．∵∴四棱锥A'﹣BCDE 的体积．（Ⅱ）延长过BE ，CD 交于P ，连结A ′P ，过D 作DR ∥A ′P 交A ′C 于R ， ∵DR ⊄平面A ′BE ，A ′P ⊂平面A ′BE ， ∴DR ∥平面A ′BE ， ∵，∴，∴，∴，∴在棱A ′C 存在点R ，使得DR ∥平面A ′BE ， 这时．19．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足8S n =a +4a n +3（∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，是否存在一个最小的常数M ，使得b 1+b 2+…+b n ＜m 对于任意的n∈N *均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出； （II ）利用等差数列的前n 项和公式、“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵，∴8S n ﹣1=+4a n ﹣1+3，（n ≥2），∴，∴∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=4（n ≥2），∴数列{a n }是以4为公差的等差数列． 又∵， ∴，而a 1＜3，∴a1=1．∴a n=4n﹣3（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴，∵，∴存在，使b1+b2+…+b n＜m对于任意的正整数n均成立．20．已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2，O为坐标原点．（1）求点F的轨迹C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON 交曲线C于点Q，且=，求m和k满足的关系式．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．【解答】解：（Ⅰ）设点F（x，y），点P（x'，y'），因为点P在x轴上的射影为H，所以H （x'，0）．又因为，所以点F是线段PH的中点，即有…因为点P是圆x2+y2=4上任意一点，所以（x'）2+（y'）2=4，所以．所以点F的轨迹C的方程为…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立解方程组：，…∴，即，…∴．又点N是线段AB中点，由中点坐标公式，得，…又，得，…将代入椭圆方程，得，化简得2m2=16k4+8k2+1﹣8k2m2…21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（1）若a=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）法一：分离参数，问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可；法二：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）=xlnx﹣3x（x＞0），有f'（x）=lnx+1﹣3=lnx﹣2，…∵令f'（x）≥0，即lnx﹣2≥0，∴x≥e2∴函数f（x）的单调增区间[e2，+∞）…（2）解法一：若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞（k+a﹣1）x﹣k恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，…设函数，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0…∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．∴h（x）的最小值为…∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数．得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3…解法二：（按同比例给分）令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），∴g'（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k．当2﹣k≥0时，即k≤2时，g'（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*∴k=1或k=2．当2﹣k＜0时，即k＞2时，g'（x）=0⇒x=e k﹣2，∴g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增，∴恒成立，∴k＞e k﹣2，而k∈N*，∴k=3．综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．2020年9月7日。
2019年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)(解析版)
2019年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．（0，+∞）2．（5分）已知向量，，若，则x＝（）A．2B．﹣2C．1D．﹣13．（5分）若点P（﹣3，4）是角α的终边上一点，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）若a，b∈R，且a＞|b|，则（）A．a＜﹣b B．a＞b C．a2＜b2D．5．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得lg cos x0＞0；命题q：∀x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q6．（5分）古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少吃布？已知1匹＝40尺，1丈＝10尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺7．（5分）若函数f（x）＝，则不等式f（x）+1＜0的解集是（）A．B．C．D．8．（5分）已知x＞1，y＞1，且lg x，，lg y成等比数列，则xy有（）A．最小值10B．最小值C．最大值10D．最大值9．（5分）已知点A，B，C在函数f（x）＝的图象上，如图，若AB⊥BC，则ω＝（）A．1B．πC．D．10．（5分）若函数f（x）＝lnx﹣﹣ax﹣b在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．C．[0+∞）D．[1+∞）11．（5分）“a＞b＞e”是“alnb＞blna”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要12．（5分）设函数f（x）＝x2+2x﹣e x的极大值点是x0，则（）A．B．C．D．f（x0）∈（2，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是．14．（5分）若函数f（x）＝x3+（t﹣1）x﹣1的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线平行于x轴，则t＝．15．（5分）已知函数f（x）＝3x+4sin x﹣1，若f（﹣a）＝5，则f（a）＝．16．（5分）已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝4，点P，Q分别在边BC，CD上，且∠P AQ＝，则•的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6﹣2a1，a14分别是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{b n}的前n项和S n，若S n＞39，求n的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝x，将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）在上的单调递减区间及值域．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c sin B＝3a tan A．（1）求的值；（2）若a＝2，当角A最大时，求△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线是4x+y﹣5＝0，且x＝是函数f（x）的一个极值点．（1）求实数a，b，c的值；（2）若函数f（x）在区间（m﹣6，m）上存在最大值，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的方程f（x）＝lnx有唯一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，求n的值．选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．2019年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．【解答】解：∵；∴；∴x＝﹣2．故选：B．3．【解答】解：∵点P（﹣3，4）是角α的终边上一点，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，则sin2α＝2sinαcosα＝﹣，故选：A．4．【解答】解：∵a＞|b|，∴当b≥0时，a＞b；当b＜0时，﹣b＞0，∴a＞﹣b＞0＞b．所以无论b取何值都有a＞b，故选：B．5．【解答】解：命题p：∃x0∈R，使得lg cos x0＞0，∵﹣1≤cos x≤1，∴lg cos x≤0，∴命题p为假命题，命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，∴p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q真命题，6．【解答】解：根据题意知：该数列为等差数列，则：设公差为d，由于：a1＝5所以：＝9×40+30，解得：d＝．故选：C．7．【解答】解：函数f（x）＝，则不等式f（x）+1＜0，可得：，可得x＜0，，解得0＜x．不等式f（x）+1＜0的解集是：．故选：B．8．【解答】解：∵lg x，，lg y成等比数列，∴＝（lg x）（lg y），即（lg x）（lg y）＝，又x＞1，y＞1，∴lg x＞0，lg y＞0，∴lg x+lg y，当且仅当lg x＝lg y时，即x＝y取等号，∴lg x+lg y＝lg（x y）≥，则xy≥，即xy有最小值是，故选：B．9．【解答】解：在RT△ABC中，设AO＝x，则AC＝4x，由射影定理可得：AB2＝AO•AC，即：AO2+OB2＝AO•AC，可得：x2+（）2＝x•4x，解得：x＝1，或﹣1（舍去），可得：AC＝4，由函数图象可得：T＝4＝，解得：ω＝．10．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），故f′（x）＝+﹣a＝，若f（x）在（0，+∞）递增，则﹣ax2+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，a＝0时，显然成立，a≠0，只需a≤（+）min，而y＝+在（0，+∞）递减，故a＜0，综上，a≤0，故选：A．11．【解答】解：设f（x）＝，f′（x）＝，0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，又∵a＞b＞e，∴＜，即alnb＞blna，即a＞b＞e⇒alnb＞blna，∵0＜a＜b＜e⇒alnb＞blna∴alnb＞blna推不出a＞b＞e，∴“a＞b＞e”是“alnb＞blna”的充分不必要条件．故选：A．12．【解答】解：对函数y＝f（x）求导得f′（x）＝2x+2﹣e x，令g（x）＝2x+2﹣e x，则g′（x）＝2﹣e x，令g′（x）＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＞0；当x＞ln2时，g′（x）＜0．所以，函数y＝g（x）的单调递增区间为（﹣∞，ln2），单调递减区间为（ln2，+∞）．所以，函数y＝g（x）在x＝ln2取得最大值，即g（x）max＝g（ln2）＝2ln2＞0．∵g（﹣1）＜0，，，g（2）＜0．即f′（﹣1）＜0，，，f′（2）＜0．由零点存在定理可知，函数y＝f（x）的极小值点在区间内，极大值点x0在区间内，由于，所以，，所以，＝．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线l0：x+2y＝0把直线向上平移可得过点（1，3）时x+y最小当x＝1，y＝3时，z＝x+2y取最大值7，故答案为7．14．【解答】解：函数f（x）＝x3+（t﹣1）x﹣1的导数为f′（x）＝3x2+t﹣1，可得f（x）的图象在x＝﹣1处的切线的斜率为2+t，由切线平行于x轴，可得2+t＝0，解得t＝﹣2，故答案为：﹣2．15．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+4sin x﹣1，则f（﹣x）＝﹣3x﹣4sin x﹣1，则f（x）+f（﹣x）＝﹣2，则有f（a）+f（﹣a）＝﹣2，又由f（﹣a）＝5，则f（a）＝﹣7；故答案为：﹣7．16．【解答】解：设∠P AB＝θ，则∠DAQ＝30°﹣θ，（0°＜θ＜30°），则•＝||||cos＝＝＝＝＝＝，∵60°＜2θ+60°＜120°，∴，∴，∴，即最小值16（2﹣）故答案为：16（2﹣）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d＞0），由a4＝7，得a1+3d＝7，①又∵a2，a6﹣2a1，a14是等比数列{b n}的前三项，∴，即，化简得d＝2a1，②联立：①②解得a1＝1，d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）∵b1＝a2＝3，b2＝a6﹣2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{b n}的前三项，∴等比数列{b n}的公比为3，首项为3．∴等比数列{b n}的前n项和．由S n＞39，得，化简得3n＞27，解得n＞3，n∈N*．18．【解答】解：（1）＝＝＝＝，将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到＝sin（2x﹣）的图象，即．（2）由，可得．当，即时，函数g（x）单调递减．∴g（x）在上单调递减区间为．当≤2x﹣≤，即≤x≤时，g（x）单调递增，∵g（x）的增区间为．g（x）在上单调递增，在上单调递减，∴．又，∴，即g（x）在上的值域为．19．【解答】解：（1）∵2c sin B＝3a tan A，∴2c sin B cos A＝3a sin A，由正弦定理得2cb cos A＝3a2，由余弦定理得，化简得b2+c2＝4a2，∴．（2）因为a＝2，由（1）知b2+c2＝4a2＝16，且由余弦定理得，即，且．根据重要不对等式有b2+c2≥2bc，即8≥bc，当且仅当b＝c时，“＝”成立，∴．∴当角A取最大值时，，bc＝8．∴△ABC的面积．20．【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+b．∵曲线y＝f（x）在点x＝0处的切线为4x+y﹣5＝0，∴切点为（0，5），f'（0）＝﹣4即b＝4．①由f（0）＝5，得c＝5．∵是函数f（x）的一个极值点，∴．②联立①②得a＝2，b＝﹣4．∴a＝2，b＝﹣4，c＝5．（2）由（1）得f（x）＝x3+2x2﹣4x+5，则f'（x）＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）当f'（x）＞0时，x＜﹣2或；当f'（x）＜0时，．∴f（x）在x＝﹣2处取得极大值即f（﹣2）＝13．由x3+2x2﹣4x+5＝13得x3+2x2﹣4x﹣8＝0，∴（x+2）2（x﹣2）＝0即x＝﹣2或x＝2．要使函数f（x）在区间（m﹣6，m）上存在最大值，则m﹣6＜﹣2＜m≤2，即﹣2＜m≤2．21．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣a．当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0解得x＞lna；由f'（x）＜0解得x＜lna，综上所述：当a≤0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减．（2）由已知可得方程lnx﹣e x+ax﹣a＝0有唯一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*．设h（x）＝lnx﹣e x+ax﹣a（x＞0），即h（x）＝0有唯一解x0，x0∈（n，n+1），n∈N*．由，令，则，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，即h'（x）在（0，+∞）上单调递减．又x→0时，h'（x）→+∞；x→+∞时，h'（x）→﹣∞，故存在x0∈（0，+∞）使得．当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上单调递增，x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）h（x）在（0，x0）上单调递减．又h（x）＝0有唯一解，则必有由消去a得．令，则＝．故当x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增．由φ（1）＝﹣e＜0，，即存在x0∈（1，2），使得φ（x0）＝0即h（x0）＝0．又关于x的方程f（x）＝lnx有唯一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，∴x0∈（1，2）．故n＝1．选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），将t＝2y代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，将ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝4ρcosθ，得x2+y2﹣4x＝0，即曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）设A，B的参数分别为t1，t2．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设P（x0，y0），则则．所以点P到原点O的距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当时，f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2，由f（x）≥2解得x≤﹣4，综合得x≤﹣4；当时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，由f（x）≥2解得，综合得；当x≥1时，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，由f（x）≥2解得x≥0，综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，∴当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3，即|x﹣m|≤x+4，∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3，4]上恒成立，显然当x＝3时，2x+4取得最小值10，即m的取值范围是[﹣4，10]．。
四川省宜宾市第一责任区2018年高考数学三诊试卷文科 含解析
2018年四川省宜宾市第一责任区高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B=（0，+∞），则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（3，+∞）C．[0，+∞）D．[3，+∞）2．i为虚数单位，则复数=（）A．2﹣3i B．﹣2﹣3i C．3﹣2i D．﹣2+3i3．命题p：∃x0＞1，使得﹣x18+2x0﹣1≥0，则¬p为（）A．∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1≤0 B．∃x0＞1，使得﹣x18+2x0﹣1＜0C．∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1＜0 D．∀x≤1，使得﹣x2+2x﹣1＜04．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．11 B．12 C．13 D．145．已知cos=，则1﹣cos2α的值为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．37．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的交点为A，B，且直线AB，过两曲线的公共焦点F，则双曲线的离心率为e（）A．B． +1 C．2D．2+28．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．9．设不等式组表示的平面区域为D，点A（2，0），点B（1，0），在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|≥|MB|的概率是（）A． B． C． D．10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M为直线x=﹣2上的一动点，过点M向抛物线y2=4x 的作切线，切点为B，C，以点F为圆心的圆与直线BC相切，则该圆面积的取值范围为（）A．（0，π）B．（0，π]C．（0，4π） D．（0，4π]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg20﹣lg2﹣=．12．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积是13．某家庭用分期付款的方式购买一辆汽车，价格为15万元，购买当天先付5万元，以后每月这一天都交付1万元，并加付欠款的利息，月利率为1%．若交付5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一期，共10期付完，则全部货款付清后，买这辆汽车实际用的钱为万元．14．如图：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+2μ的最大值是．15．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；③函数f（x）=ln（x2+）可以是某个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=，b=1，求△ABC的面积S．17．甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发10个红包，每个红包金额在[1，5]产生．已知在每轮游戏中所产生的10个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计10个红包金额的中位数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲抢到来自[2，4）中3个红包，求其中一个红包来自[2，3），另2个红包来自[3，4）的概率．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=AC=PB=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAC的体积．19．已知数列{a n}的首项a1=5，且a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．20．已知椭圆C： +=1（2＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，过点B的直线与椭圆交于另一点D，与直线y=﹣2交于点M．（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，求三角形AMD的面积S的值；（Ⅱ）若直线AM、AD的斜率之积为﹣，求椭圆C的方程．21．设函数f（x）=，g（x）=﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞1，都有f（x）＞g（x﹣1）恒成立，求a的取值范围．2018年四川省宜宾市第一责任区高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B=（0，+∞），则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（3，+∞）C．[0，+∞）D．[3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣3≥0，即x≥3，∴A=[3，+∞），∵B=（0，+∞），∴A∩B=[3，+∞），故选：D．2．i为虚数单位，则复数=（）A．2﹣3i B．﹣2﹣3i C．3﹣2i D．﹣2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子分母同时乘以分母的共轭复数，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：B．3．命题p：∃x0＞1，使得﹣x18+2x0﹣1≥0，则¬p为（）A．∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1≤0 B．∃x0＞1，使得﹣x18+2x0﹣1＜0C．∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1＜0 D．∀x≤1，使得﹣x2+2x﹣1＜0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0＞1，使得﹣x18+2x0﹣1≥0，则¬p为：∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1＜0．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】程序框图．【分析】框图首先给变量x，y，z赋值，然后判断z≤10是否成立，成立则执行x=y，y=z，z=x+y，不成立则跳出循环，输出z的值，依次循环执行．【解答】解：框图首先给变量x，y，z赋值，x=0，y=1，z=2，判断2≤10成立，执行x=1，y=2，z=3；判断3≤10成立，执行x=2，y=3，z=5；判断5≤10成立，执行x=3，y=5，z=8；判断8≤10成立，执行x=5，y=8，z=13；判断13≤10不成立，跳出循环，输出z=13．故选C．5．已知cos=，则1﹣cos2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵已知cos==﹣sinα，∴sinα=﹣，则1﹣cos2α=1﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α=，故选：B．6．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A7．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的交点为A，B，且直线AB，过两曲线的公共焦点F，则双曲线的离心率为e（）A．B． +1 C．2D．2+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）和双曲线有共同的焦点，∴，∵直线AB过两曲线的公共焦点F，∴，即（c，2c）为双曲线上的一个点，∴，∴（c2﹣a2）c2﹣4a2c2=a2（c2﹣a2），∴e4﹣6e2+1=0，∴，∵e＞1，∴e=，故选：B．8．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先求出其定义域，得到{x|x≠0}，根据函数的奇偶性排除B、C两项，再证明当x ＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项，从而可得正确的选项是A．【解答】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项故选A9．设不等式组表示的平面区域为D，点A（2，0），点B（1，0），在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|≥|MB|的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：设M（x，y），∵|MA|≥|MB|，∴（x﹣2）2+y2≥2（x﹣1）2+2y2，∴x2+y2≤2，联立，解得x=y=，如图所示，三角形的高为，边OA=2，∴S△OBC=×2×=，=π×2=，圆落在三角形内的面积为S扇形∴点M满足|MA|≥2|MO|的概率是P===，故选：C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M为直线x=﹣2上的一动点，过点M向抛物线y2=4x 的作切线，切点为B，C，以点F为圆心的圆与直线BC相切，则该圆面积的取值范围为（）A．（0，π）B．（0，π]C．（0，4π） D．（0，4π]【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可知，当点M为（﹣2，0），此时圆的面积最大，设出切线方程，联立方程组，根据△=0，求出k2=，再求出x的值，问题得以解决．【解答】解：由题意可知，当点M为（﹣2，0），此时圆的面积最大，设过点（﹣2，0）的抛物线的切线方程为y=k（x+2），由得到k2（x+2）2=4x，即k2x2+4（k2﹣1）x+4k2=0∴△=16（k2﹣1）2﹣14k4=0，解得k2=，把k2=代入k2（x+2）2=4x得到（x﹣2）2=0，解得x=2，则F到直线BC距离为2﹣1=1，即圆的半径为1．此时面积为π，则该圆的面积的取值范围为（0，π]．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg20﹣lg2﹣=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg20﹣lg2﹣=lg10﹣=1﹣=．故答案为：．12．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是底面为正三角形，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，明确底面积和高，求体积．【解答】解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为2，一条侧棱垂直底面正三角形的三棱锥，三棱锥的高为2，所以其体积为；故答案为：．13．某家庭用分期付款的方式购买一辆汽车，价格为15万元，购买当天先付5万元，以后每月这一天都交付1万元，并加付欠款的利息，月利率为1%．若交付5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一期，共10期付完，则全部货款付清后，买这辆汽车实际用的钱为15.55万元．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】每月付1万元，分10次付完，设每月付款数顺次组成数列{a n}，可得付款数{a n}组成等差数列，公差d=0，01，再利用等差数列的前n项和公式，求得结论．【解答】解：购买时付了5万元，欠款10万元．每月付1万元，分10次付完，设每月付款数顺次组成数列{a n}，则a1=1+10×0.01=1.1，a2=1+（10﹣1）×0.01=1.18，a3=1+（10﹣2）×0.01=1.18，a4=1+（10﹣3）×0.01=1.18类推，得a10=1+（10﹣9）×0.01=1.01，∴5+10+（0，01+0，18+…+0，1）=15.55；故答案为：15.55．14．如图：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+2μ的最大值是．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可分别以AB，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并根据条件可确定A，C，D，E四点的坐标，并设，从而可求出向量的坐标，带入便可以得出，这样便可得出，由两角和的正弦公式即可得出，并且α为锐角，从而便可得出λ+2μ的最大值．【解答】解：分别以AB，AD为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），D（0，1），E（1，0），C（2，1），P（cosθ，sinθ）（0≤θ≤）；∴，，带入得：（cosθ，sinθ）=λ（1，﹣1）+μ（1，1）；∴；∴；∴=，其中，且；∴时，λ+2μ取最大值．故答案为：．15．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；③函数f（x）=ln（x2+）可以是某个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是①②（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故②正确；作函数f（x）=ln（x2+）的大致图象，从而判断．函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故②正确；函数f（x）=ln（x2+）的大致图象如下，，故其不可能为圆的“优美函数”；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如下，，故答案为：①②．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=，b=1，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦定理．【分析】（1）由图象求出A、T，利用周期公式求出ω，把点代入解析式列出方程，结合条件求出φ的值；（2）根据（1）化简f（A）=1，根据A的范围和特殊角的正弦值求出A，结合条件和正弦定理求出B，由内角和定理求出C，即可求出三角形的面积．【解答】解：（1）由图象可知A=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，，∴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍又∵函数图象过，∴，∴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（2）∵，∴，∵0＜A＜π，∴，∴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍在△ABC中，由正弦定理，解得，∴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍17．甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发10个红包，每个红包金额在[1，5]产生．已知在每轮游戏中所产生的10个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计10个红包金额的中位数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲抢到来自[2，4）中3个红包，求其中一个红包来自[2，3），另2个红包来自[3，4）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，求出a值，再根据中位数的定义即可求出；（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．【解答】解：（Ⅰ）由题可得：（0.1+0.2+0.3+a）×1=1，∴a=0.4，设中位数为x，则有0.1+0.2+0.3（x﹣3）=0.5，∴，即中位数为．（Ⅱ）由频率分布直方图可得，金额在[2，3）的红包个数为10×0.2=2个，设为A1，A2，金额在[3，4）的红包个数为10×0.3=3个．设为B1，B2，B3．则从金额在[2，4）的红包内抢到3个的情况有：（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，B3），（A1，B1，B2，），（A2，B1，B2），（A1，B2，B3），（A2，B2，B3），（A1，B1，B3），（A2，B1，B3），（B1，B2，B3），共10种，其中1个红包来自[2，3），另2个红包来自[3，4）的情况有：（A1，B1，B2，），（A2，B1，B2），（A1，B2，B3），（A2，B2，B3），（A1，B1，B3），（A2，B1，B3），共6种．∴其中一个红包来自[2，3），另2个红包来自[3，4）的概率18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=AC=PB=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结MO，由O为AC的中点，M为PD的中点，可得MO∥PB，然后利用线面平行的判断得答案；求解．（Ⅱ）由已知解直角三角形求得PO，把三棱锥P﹣MAC的体积转化为V P﹣ADC【解答】（Ⅰ）证明：如图，连结MO，在△PDB中，∵O为AC的中点，M为PD的中点，∴MO∥PB，MO=，又MO⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，∴PB∥平面ACM；（Ⅱ）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OB，又△ABC为等边三角形，且边长为2，∴BO=，在Rt△POB中，PB=2，BO=，可得PO=1，∴=．19．已知数列{a n}的首项a1=5，且a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由a n+1=2a n+1，变形为：a n+1+1=2（a n+1），且a1+1=6≠0，利用等比数列的通项公式及其定义即可得出；（II）由na n=n（3•2n﹣1），数列{na n}的前n项和S n=3（2+2×22+3×23+…+n×2n）﹣（1+2+3+…+n），利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】（I）证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），且a1+1=6≠0，∴=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴数列{a n+1}是以6为首项，2为公比的等比数列，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴a n+1=（a1+1）•2n﹣1=6•2n﹣1=3•2n，∴a n=3•2n﹣1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（II）∵na n=n（3•2n﹣1），数列{na n}的前n项和S n=3（2+2×22+3×23+…+n×2n）﹣（1+2+3+…+n），令T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，∴2T n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣（n﹣1）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴S n=3（n﹣1）•2n+1﹣+6．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍20．已知椭圆C： +=1（2＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，过点B的直线与椭圆交于另一点D，与直线y=﹣2交于点M．（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，求三角形AMD的面积S的值；（Ⅱ）若直线AM、AD的斜率之积为﹣，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，得到A，B，D的坐标，写出直线MD的方程，求得M坐标由S=S△ABD+S△ABM得答案；（Ⅱ）设直线MD的方程为y=kx﹣b（k≠0），分别联立MD所在直线方程与椭圆方程和y=﹣2，求得M，D的坐标，由直线AM、AD的斜率之积为﹣得到b值，则椭圆C的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，A（0，1），B（0，﹣1），D（2，0），∴直线MD的方程为，可得M（﹣2，﹣2），﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴S=S△ABD+S△ABM=．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（Ⅱ）A（0，b），B（0，﹣b），设直线MD的方程为y=kx﹣b（k≠0），则：联立，解得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍联立，解得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍∴．∴b3+2b2+3b﹣6=（b﹣1）（b2+3b+6）=0，解得b=1．∴椭圆C的方程为．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍21．设函数f（x）=，g（x）=﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞1，都有f（x）＞g（x﹣1）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，二次求导，得到导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的具体范围即可．【解答】解：（I）令u（x）=x﹣lnx﹣1，，∴u（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，∴u（x）≥u（1）=0，∴f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单增，无单调减区间..﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（Ⅱ）因为∀x＞0，f（x）≥g（x﹣1）成立，即对x＞0恒成立，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（1）当0≤a≤1时，φ'（x）≥0，则φ（x）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（1）=0，满足题意．．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（2）当a＞1时，令φ'（x）＜0，则，∴φ（x）在上单调递减，∴x∈时，∴φ（x）＜φ（1）=0，不满足题意..﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3）当a＜0时，令φ'（x）＞0，则，∴φ（x）在上单调递增，在上单调递减，．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍容易证明：lnx＜x﹣1（x＞1），取时，，∴，不满足题意．综上所述：a的取值范围[0，1]．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2018年9月6日。
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2018-2019学年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，最
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。 只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5} C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5} 2．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，
3xn+1的平均数和方差分别为（ ） A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9
3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．下列关于不等式的结论中正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5 6．双曲线﹣=1的右焦点到它的渐进线的距离为（ ） A．12 B．4 C．2 D．2 7．下列说法错误的是（ ） A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件 B．若p∨q是假，则p∧q是假
C．“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0” D．“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真
8．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1， •=0，且，则
等于（ ） A． B． C．2 D．5 9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确
的是（ ） A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变 B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变
C．异面直线CM，BD所成的角恒为
D．异面直线CM，AB所成的角可为 10．设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（ ） A．f（x）＞g（x） B．f（x）＜g（x） C．f（x）=g（x） D．f（x）与g（x）的大小不确定
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．复数的虚部是________．
12．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是________． 13．已知过定点（1，0）的直线与抛物线x2=y相交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两
点，则（x1﹣1）（x2﹣1）=________． 14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘
轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________千米/时． 15．已知函数f（x）=（a∈R）． ①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是＜a≤e﹣1；
②若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是0＜a＜；
③若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有四个交点，则实数k的取值范围是﹣＜k＜0；
④若y=f（x）的图象与y=kx﹣a的图象有三个交点，则k=﹣e．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 16．已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角． （1）求角A的大小； （2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域． 17．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：
第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95）， 第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率； （Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2），连结A′C，A′D． （1）求四棱锥A′﹣BCDE的体积； （2）在棱A′C是否存在点R，使得DR∥平面A′BE？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足8Sn=a+4an+3（∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，是否存在一个最小的常数M，使得b1+b2+…+bn＜m对于任意的n∈N*均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由． 20．已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2，O为
坐标原点． （1）求点F的轨迹C的方程； （2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON交曲线C于点Q，且=，求m和k满足的关系式． 21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）． （1）若a=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间； （2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值． 2016年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5} C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5} 【考点】交集及其运算． 【分析】先求出集合A，再由交集定义求解． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}， 集合B={x|﹣2＜x＜5}， ∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}． 故选：B．
2．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，
3xn+1的平均数和方差分别为（ ） A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1的平均数为，方差为32•σ2． 【解答】解：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∴=5，
∴+1=3×5+1=16， ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2， ∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1的方差是32×2=18． 故选：C．
3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos
（2x+）的图象， 故选：C． 4．下列关于不等式的结论中正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 【考点】不等式的基本性质． 【分析】对于A，B，C举反例即可判断，对于D，根据不等式的性质可判断． 【解答】解：对于A，当c=0时，不成立， 对于B，当a=2，b=﹣3时，则不成立， 对于C，当a=﹣3，b=﹣1时，则不成立，
对于D，根据不等式的性质，a＜b＜0，﹣=＞0，即可得到＞，则成立， 故选：D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5 【考点】程序框图． 【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果． 【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1； S=2×1﹣1=1，k=2； S=2×1﹣2=0，k=3； S=2×0﹣3=﹣3，k=4； S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10． 故选A．