平面向量的线性运算(解析版)

专题一 平面向量的线性运算1．向量的线性运算首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量2．多边形法则一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．3．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．4．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 考点一 向量的线性运算C 形式1C形式2【方法总结】利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法向量AD →＝f (AB →，AC →)的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量AD →用AB →，AC →的表示．(2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到AD →＝f (AB →，AC →)与AD →＝g (AB →，AC →)的方程组，再进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A 解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A ．(2) (2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →D ．12BC →答案 A 解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．(3) (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →答案 A 解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →．(4)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A ．29AB →＋89AC → B ．29AB →－89AC → C ．29AB →＋79AC →D ．29AB →－79AC →答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13BC →)－AC →＝13⎣⎡⎦⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →． (5)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝32a －b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b ．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 C 解析 ①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT→＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C ． (6)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于M ，设OA →＝a ，OB →＝b ．则用a和b 表示向量OM →＝___________．答案 OM ＝17a ＋37b 解析 设OM ＝m a ＋n b ，则AM ＝OM －OA ＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ．AD ＝OD －OA ＝12OB －OA ＝－a ＋12b ．又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴存在实数t ，使得AM ＝t AD ，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ．∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b ．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1．①．又∵CM ＝OM －OC ＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ，CB ＝OB －OC ＝b －14a ＝－14a ＋b ．又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴存在实数t 1，使得CM ＝t 1CB ，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1，②．由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM ＝17a ＋37b ． 另解 因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①，因为C ，M ，B三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋(1－λ24)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎨⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b ．(7)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b答案 B 解析 如图，根据题意，得AB →＝12AC →＋12DB →＝12(a －b )，AD →＝12AC →＋12BD →＝12(a ＋b )．令AF →＝tAE →，则AF →＝t (AB →＋BE →)＝t ⎝⎛⎭⎫AB →＋34 BE → ＝t 2a ＋t 4b ．由AF →＝AD →＋DF →，令DF →＝sDC →，又AD →＝12(a ＋b )，DF →＝s2a －s 2b ，所以AF →＝s ＋12a ＋1－s2b ，所以⎩⎨⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF →＝23a ＋13b ，故选B ．另解 如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，故DF →＝13AB →，则AF →＝12a ＋12b ＋13 (12a －12b )＝23a ＋13b ．(8)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b答案 B 解析 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，∴GF →＝14AD →，易知△AHD ∽△FHG ，从而HF →＝14AH →，∴AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ，∴AH →＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B ．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C 解析 BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋CE →)＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋13CB →)＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →．(10)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D 解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a ．【对点训练】1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →1．答案 A 解析 由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →． 2．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →等于( )A ．23AB →－13AC → B ．13AB →＋23AC → C ．23AB →＋13AC →D ．13AB →－23AC →2．答案 C 解析 由平面向量的三角形法则，得AD →＝AB →＋BD →．又因为点D 是BC 边上靠近B 的三等分 点，所以AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于( ) A ．23b ＋13c B ．35c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c3．答案 A 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b ．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( )A ．23AB →＋13AC → B ．23AB →－13AC → C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →4．答案 C 解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →．故选C ．5．设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A ．12AD → B ．32AD → C ．12AC → D ．32AC →5．答案 D 解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →．6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( ) A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB →6．答案 C 解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →．7．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ．若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．答案 A 解析 PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A ．8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0．其中正确命题的序号为________．8．答案 ②③④ 解析 BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0．所以正确命题的序号为②③④．9．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝09．答案 CD 解析 如图，因为点D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，所以EF →＝12CB →＝－12BC →，故A 不正确；BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(CB →＋BA →)＝BC →－12BC →－12AB →＝－12AB →＋12BC →，故B 不正确；FC →＝AC →－AF →＝AD →＋DC →＋F A →＝AD →＋12BC →＋F A →＝AD →＋FE →＋F A →＝AD →＋FB →＋BE →＋F A →＝AD →＋BE →，故C正确；由题意知，点G 为△ABC 的重心，所以AG →＋BG →＋CG →＝23AD →＋23BE →＋23CF →＝23×12(AB →＋AC →)＋23×12(BA→＋BC →)＋23×12(CB →＋CA →)＝0，即GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选CD ．10．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示向量AO →为____________．10．答案 AO →＝13(a ＋b ) 解析 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①，又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②，所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a BCA EF G＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0．又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b ．所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 另解 因为B ，O ，F 三点共线，所以AO →＝λ1AB →＋(1－λ1)AF →＝λ1a ＋12(1－λ1)b ，①，因为D ，O ，C 三点共线，所以AO →＝λ2AC →＋(1－λ2)AD →＝λ2b ＋12(1－λ2)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12(1－λ1)＝λ2，λ1＝1－λ22，解得⎩⎨⎧λ1＝13，λ2＝13.故AO →＝13(a ＋b )．11．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于( )A ．12AB －13AD B ．14AB ＋12ADC ．13AB ＋12DAD ．12AB －23AD11．答案 D 解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →．因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →．因为点F为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →．所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．12b －aB ．12a －bC ．－12a ＋bD ．12b ＋a12．答案 C 解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝____________．(用a ，b 表示)13．答案 －14a ＋14b 解析 由AN →＝3NC →得，AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ． 14．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝_________．(用e 1，e 2表示)14．答案 －23e 1＋512e 2 解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2．15．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b15．答案 B 解析 设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →．而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝ μ⎝⎛⎭⎫a －12b ．因此，μ⎝⎛⎭⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ．由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25．故AH →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ．16．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →＝( )A ．－23AB →＋AD → B ．－23AB →＋43AD →C ．－13AB →＋23AD → D ．－23AB →－AD →16．答案 A 解析 因为在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，所以BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋13AB →＝－23AB →＋AD →，故选A ．考点二 根据向量线性运算求参数 【方法总结】利用平面向量的线性运算求参数的一般方法向量方程AD →＝xAB →＋yAC →中x ，y 的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x ，y ． (2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程组，再进行求解．(3)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD →＝xAB →＋yAC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于于x ，y 的方程组，再进行求解．(4)对于求x ＋y 的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法，见《平面向量特训之满分必杀篇》第一讲平面向量的等和线．【例题选讲】[例1](1)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A 解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13． (2)(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12 解析 由题意，得DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．(3)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3C ．1m ＋1n 是定值，定值为2D ．2m ＋1n是定值，定值为3答案 D 解析 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ．由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3．故选D ．法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →．又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →．又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →．比较系数知λm ＝23，(1－λ)n＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D ． (4)如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．43答案 A 解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →．因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89．(5)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．23答案 A 解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0)．AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233．(6)如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋nb ，则m ＋n ＝________．答案 67 解析 根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ．∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67．(7)如图所示，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30°，若|AD →|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则mn等于( )A ．13B ．3C ．33D ．3答案 B 解析 如图，过点P 作P E ⊥AB 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，则结合图形及题设得AP →＝AF →＋AE →＝mAD →＋nAB →，所以可得|AF →|＝m ，|PF →|＝|AE →|＝3n ．又∠DAP ＝30°，在Rt △APF 中，t a n ∠F AP ＝t a n 30°＝|PF →||AF →|＝33，则33＝3n m ，化简得m n ＝3．故选B ．优解：如图所示，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60°，又∠DAP ＝30°，所以∠DP A ＝90°．由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14DB →＝AD →＋14(AB →－AD →)＝34AD →＋14AB →．又AP →＝mAD →＋n AB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3．故选B ．(8)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →．因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C ．优解：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E(4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0．由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms 2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23.∴2r ＋3s ＝3．(10) (2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．答案 3 解析 以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75．又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝45，则x B＝|OB →|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45，由OC →＝mOA →＋nOB →，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3．【对点训练】1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．1．答案 23 解析 由图知CD →＝CA →＋AD →，①．CD →＝CB →＋BD →，②．且AD →＋2BD →＝0．①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23．2．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．2．答案 －2 解析 由于BD ＝2DC ，则BC →＝－3CD →，其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →，那么BC →＝－ 3CD →可转化为AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2． 3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23 B ．43C ．－3D ．03．答案 D 解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →．又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D ． 4．在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________．4．答案 3 解析 由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y＝14．故xy＝3．5．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →．若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝______． 5．答案 12 －16 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，∴x＝12，y ＝－16．6．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ， 若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．6．答案 2 解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n2AN →．∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1．则m ＋n ＝2．7．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．12B ．13C ．2D ．37．答案 B 解析 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →．∵ 点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB →＋AC →)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13． 8．如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为 ( )A ．－12B ．12C ．－14D ．148．答案 A 解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝⎛⎭⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →，则λ＝ 14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12． 9．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．9．答案311 解析 设BP →＝kBN →，k ∈R ．因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311．10．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．410．答案 B 解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n (25AC →－AB →)＝(1－n )AB →＋n 5AC →．又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1. 11．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．111．答案 A 解析 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 12．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．2312．答案 D 解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →．故λ＋μ＝12＋16＝23．13．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →．延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________．13．答案 －15 解析 设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →，∴AE →＝x 3AB →＋x 2AC →．由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65．根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x 2．因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15． 14．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－114．答案 A 解析 由题意得AE →＝AD →＋12AB →＝BC →＋AB →－12AB →＝AC →－12AB →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A ．15．如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A ．43B ．53C ．158D ．215．答案 B 解析 因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ (AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ) AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B ．16．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A ．58B ．14C ．1D ．51616．答案 A 解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A ．17．如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．17．答案 29 解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →，∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29． 18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．1218．答案 B 解析 ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．19．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－319．答案 A 解析 AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →．因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12．20．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G ．若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．20．答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →．因为 CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12．21．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8321．答案 B 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85．22．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．5422．答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．23．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．2B ．52C ．3D ．423．答案 C 解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角 坐标系(图略)，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m＝3n ，即mn＝3，故选C ．考点三 根据向量线性运算求参数的取值范围(最值) 【方法总结】向量线性运算求参数的取值范围(最值)问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将参数表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →．若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．答案3＋223 解析 连接AD ．因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223．(2)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．答案 [1，3] 解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B (1,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3．则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝⎛⎭⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎨⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3．令g (θ)＝3cos θ－33sin θ，易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【对点训练】1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫0，13C ．⎝⎛⎭⎫－12，0D ．⎝⎛⎭⎫－13，0 1．答案 D 解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →．∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0． 2．在△ABC 中，点D 满足BD →＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________．2．答案 12 解析 因为BD →＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →．又AE →＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE →∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝⎛⎭⎫0≤λ≤12．所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12．当λ＝12时，t 的最小值是12．3．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ， 若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为__________．3．答案 解析 因为点O 是BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)．又因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝m 2AM →＋n 2AN →．又因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m 2＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，故mn 的最大值为14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．4．答案 19 解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19．5．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则 5λ＋3μ的最大值为______． 5．答案102解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵ AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．6．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若 AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________．6．答案 2 解析 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋2y )2－34 (3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2．7．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．7．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝ λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 8．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案 (－1，0) 解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．9．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．29．答案 B 解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝ x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2． 10．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________．．10．答案 2 解析 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．。