二元一次方程与二次函数
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系(1)
班级：组别：姓名：
课题二次函数与二元一次方程的关系(1)
（主备人陈永审核：）
学习目标：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解一元二次方程的根是二次函数图像与x轴交点的横坐标，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
3.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
4、已知抛物线与轴交于A(-1, 0)和(1, 0)并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________
二、知识探究
活动一：阅读分析课本51页内容：回答下列问题
3、若二次函数y=ax ＋bx＋c的函数值恒为正，则需满足
课前
自主完成
组内
交流自研过程中的疑问
组内
交流自研过程中的疑问
小组代表展示，其他同学理解
3、在探索过程中让学生敢于尝试、自主探究，培养学生独立思考的习惯及合作交流意识。
学习重点：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程
学习难点：理解一元二次方程的根在二次函数中的意义。
问题和任务
方法要求
问题
质疑
一、复习导入：
1、一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根的判别式是
有哪几种情况？
2.抛物线y = x + 2x - 4的对称轴是_______,开口方向是______,顶点坐标是___________.
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值？
四、总结提升：
1、本节课你有哪些收获？
2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？
专题12 二次函数(解析版)
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=- （2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾y x O已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
二次函数全章整理
二次函数的认识与待定系数法、配方法要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。
要点三、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系要点四、待定系数法求函数关系式1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。
4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。
要点五、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。
配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。
九年级数学知识点归纳图表
九年级数学知识点归纳图表数学作为一门学科，在九年级的学习中显得尤为重要。
九年级数学知识点的归纳总结不仅对于学生复习备考有着重要的指导作用，也能够帮助他们更好地理解和掌握数学的基础概念与方法。
为了更好地呈现这些数学知识点，接下来将通过图表的形式来进行归纳。
1. 代数- 多项式的加减乘除- 二元一次方程- 二次函数与图像- 一次函数与图像- 判定与求解方程式- 不等式- 线性规划- 质因数分解- 最大公约数和最小公倍数- 幂次方2. 几何- 角和中线、垂线、角平分线的性质 - 三角形- 四边形- 直角三角形及其应用- 二次曲线- 向量及其应用- 平行线及其性质- 勾股定理和其应用- 相似- 圆的性质及其判定定理- 射线与角度- 集合3. 概率与统计- 随机事件- 概率的定义- 事件间的关系- 随机事件的数学描述- 抽样调查和统计图- 数据的分析和处理以上是九年级数学的基本知识点的归纳总结，其中代数、几何和概率与统计是高中数学的基本内容，掌握好这些知识点将为学生日后学习打下坚实的基础。
在代数部分中，多项式的加减乘除是十分基础的内容。
通过学习多项式的运算，学生可以熟悉各种运算法则，并能够进行多项式的化简和提取公因式等计算。
同时，二元一次方程和二次函数与图像也是九年级代数部分的重点内容。
通过学习与这些内容相关的知识点，学生可以掌握解方程和绘制曲线图的方法。
在几何部分中，重点内容主要涵盖了三角形、四边形和圆的性质及其判定定理。
学生通过学习这些知识点，可以掌握各种基本几何图形的性质和判定方法，并能够灵活运用于解题中。
最后，概率与统计部分是九年级数学的收尾部分。
学生通过学习概率事件的数学描述、抽样调查和统计图以及数据的分析和处理等知识点，可以了解到概率与统计在日常生活中的应用，并能够进行一些简单的概率计算和数据统计。
总而言之，九年级数学知识点的归纳总结为学生的学习提供了一个清晰的指导框架。
通过图表形式的呈现，学生可以更加直观地了解到各个知识点之间的联系与重点内容。
九年级下册数学沪科版知识点总结
九年级下册数学沪科版知识点总结在九年级下册的数学学习中，我们接触到了许多新的数学知识点，这些知识点需要我们理解和掌握，以便在接下来的学习和考试中取得好成绩。
在本文中，我将对九年级下册数学沪科版的知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程函数是九年级下册数学学习的重点之一。
我们学习了函数的概念、函数的表示和函数的运算。
在函数的表示中，我们熟悉了函数的自变量和因变量的关系，并且学会了用图表、公式和文字来表示函数。
在函数的运算中，我们学会了如何进行函数的加减乘除和复合运算，并且通过例题和练习题加深了对函数的理解和应用。
方程是函数的另一个重要概念。
九年级下册的数学学习中，我们学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组和一元一次不等式组。
在解方程和不等式的过程中，我们通过变形、移项和化简等方法，将未知数的值求解出来。
这些方法在求解实际问题中也有很大的应用价值。
二、几何形体九年级下册的数学学习中，我们学习了三角形和平行四边形的性质，并且深入研究了三角形的相似、面积和勾股定理等内容。
在学习三角形相似性质时，我们学会了如何判定两个三角形是否相似，并且通过相似三角形的比例关系解决实际问题。
在学习三角形的面积时，我们掌握了如何计算三角形的面积，并且通过面积公式解决了一些实际问题。
在学习勾股定理时，我们了解了直角三角形的性质，并且学会了应用勾股定理求解各种问题。
三、统计与概率统计与概率是数学中非常实用和重要的一部分。
九年级下册的数学学习中，我们学习了用统计图描述数据分布和统计数据的分析。
通过学习统计图，我们能够清晰地看到数据的分布和规律，从而更好地理解和分析数据。
在学习概率时，我们了解了事件、样本空间和概率的概念，并通过计算机实验和数理统计的方法求解概率问题。
四、数与代数在九年级下册的数学学习中，我们扩展了数的概念，并且学习了无理数和实数的性质。
我们了解了无理数无限不循环小数的特点，并且学会了将无理数和实数进行比较。
《二次函数》第一课时教学反思
《二次函数》第一课时教学反思《二次函数》第一课时教学反思作为一位优秀的老师，我们需要很强的教学能力，对学到的教学新方法，我们可以记录在教学反思中，我们该怎么去写教学反思呢？下面是小编收集整理的《二次函数》第一课时教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。
《二次函数》第一课时教学反思1二次函数是初中阶段研究的一个具体、重要的函数，在历年来中考题中都占有较大的分值。
二次函数不仅和学生前面学习的一元二次方程有着密切的联系，而且对培养学生“数形结合”的数学思想有着重要的作用。
而二次函数的概念是后面学习二次函数的基础，在整个教材体系中起着承上启下的作用。
本节课的内容是让学生理解二次函数的概念，会判断一个函数是否是二次函数，并能够用二次函数的一般形式解决实际问题。
为此，先让学生复习了函数及一次函数的相关内容，然后设计具体的问题情境让学生自己推导出一个二次函数，并观察、总结它与一次函数的不同，在此基础上逐步归纳出二次函数的一般表达式，最后通过习题巩固二次函数的概念并解决一些简单的数学问题。
我个人认为，本节课的成功之处是：一是在教学设计上“步步为营”，学生的思维能力“层层提高”。
在教学设计上，根据内容的需要，我合理设计具有针对性的问题，借助学生已有的知识展开教学，通过解决问题，充分激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性和主动性。
二是在学习的过程中，不仅注重对学生知识的教授，更注重教给学生学习和思考的方法，提高学生独立发现问题、解决问题的能力，让学生时时体验到成功的快乐。
三是在整个教学过程中，注重不同层次学生的发展，不同的学生的个体差异，再加上受教学目的等因素的限制，导致一些学有余力的学生会感到吃不饱现象，因此在后面的练习设计中，也有针对性的习题，对这部分学生提高也是很有帮助的。
不足之处表现在：1、由于学生对一次函数的遗忘，因此复习占用的太多的时间，导致课后练习没完成。
2、学生自学环节，要求不够细致，学生学的不够深入只是看了教材，而未挖掘出教材以外的东西。
初中数学教材中方程(组)与函数的关系
初中数学教材中方程（组）与函数的关系作者：魏向春来源：《中小学教学研究》2009年第11期初中数学教材中方程(组)、函数二者同属于数与代数的范畴。
从难易程度和由特殊到一般的规律上的顺序:方程(组)即等式→函数,符合认知规律。
下面我们恰恰由一般到特殊即由共性到个性进行分析,即函数→方程(组)。
方程(组) 方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程二元二次方程方程组:二元一次方程组函数一次函数(含正比例函数)二次函数反比例函数一、一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)的关系1.一次函数■2.一元一次方程当一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量y=0时,表达式为kx+b=0(k≠0),就成为了一元一次方程,方程的解为x=-■,图象是直线x=-■,平行于y轴。
直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的坐标为(-■,0),横坐标的值即为一元一次方程kx+b=0的解。
例如:一次函数y=x+1,当y=0时,x+1=0,是一元一次方程,方程的解为x=-1,图象是直线x=-1,平行于y轴。
直线y=x+1与x轴的交点的坐标为(-1,0),横坐标的值x=-1即为一元一次方程x+1=0的解。
3.二元一次方程当把一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量x、y当作未知数时,就成为了二元一次方程,变形为kx-y+b=0(k≠0)时,图象是直线y= kx+b,这条直线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解,同样把二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成直线y=kx+b(k≠0),也正是因为每条直线上有无数个点,所以二元一次方程的解有无数个。
4.二元一次方程组对于变量x、y,某一变化过程同时满足两种关系:y= k1x+b1 和y=k2 x+b2,即构成了二元一次方程组函y= k1x+b1 y=k2 x+b2 一方面其解是这两条直线的交点坐标,另一方面这两条直线的交点坐标即为此方程组的解。
二元一次方程求顶点公式
二元一次方程求顶点公式二元一次方程求顶点公式是一个非常基础而又重要的数学知识点，不仅在中学阶段的数学教育中出现频率较高，也在高中数学中被广泛运用。
二元一次方程的标准式为：ax²+bx+c=0。
其中，a、b、c均为实数，且a≠0。
这个方程形式中，x²为2次项、x为1次项、常数项为常数项。
如果要用数学公式表示，则可表示成f（x）=ax²+bx+c。
二元一次方程所代表的是抛物线，这个抛物线通常是凸向上或者凸向下的。
对于这个抛物线，有一个非常重要的点——顶点，它通常位于抛物线的最高点或最低点。
顶点是抛物线的最高点或者最低点，并且是其对称轴上的唯一点。
而问题在于如何确定这个顶点的坐标。
我们可以通过一定的公式来计算出来。
这个计算顶点的公式，通常被称为二元一次方程求顶点公式。
二元一次方程求顶点公式的推导二元一次方程的标准式表示为f（x）=ax²+bx+c。
我们可以通过对其进行变形，将其表示成一个更加简单的形式，即f（x）=a（x-h）²+k，其中，h和k分别代表顶点的坐标。
而这个顶点在对称轴上，对称轴的方程为x=h。
成为这个形式后，我们可以很容易地直接读出顶点的坐标。
其中，h即为顶点的横坐标，k即为顶点的纵坐标。
接下来就是推导的过程：y=ax²+bx+c;y-c=ax²+bx;y-c=a(x²+bx/a);完成平方，两端加上（b/2a）²：y-c+a(b/2a)²= a(x+b/2a)²;再将（b/2a）²换成上文的k:y=a(x+b/2a)²+c-k将a(x+b/2a)²再展开得：y=ax²+bx/2+a(b/2a)²+c-k;y=ax²+bx/2+ab²/4a+c-k;y=a(x²+b/2a+x²/4a)+c-k;y=a{(2ax+b)²-b²}/4a+c-k;y=a{(2ax+b)²-b²+4ac-4ak}/4a;y={(2ax+b)²-4ac+4ak}/4a;y={(2ax+b)²/4a}+(4ak-4ac)/4a;y={(2ax+b)²/4a}+(4a(k-c))/4a;y=(x+b/2a)²+4a(k-c)/4a;y=(x+b/2a)²+4(k-c)/a（k-c的值见最后）由此可以得出，顶点的横坐标为-h=b/2a，纵坐标为-k=4(k-c)/a。
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城赵中学数学“六步导学案”
初二年级 课型：新授 主备： ----------- 校审：------------ 主讲：---------------- 2013 年 11月 28日
课题 5.6 二元一次方程组应用—二元一次方程与一次函数 合 作 探 究 【探究】方程与函数的相互转化 1．解方程组125yxyx 2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y=5x和12xy,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像． 3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？ 【归纳】 二元一次方程的解和相应的两条直线的关系： 教师点拨
学
习
目
标
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以
互相转化的数学思想和方法．
重点
二元一次方程和一次函数的关系；
难点
数形结合和数学转化的思想意识．
自
主
感
悟
1．方程x+y=5的解有多少个？50yx；05yx；32yx
是这个方程的解吗？
2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝5x的图像
上吗？
3．在一次函数y=5x的图像上任取一点，它的坐标适合方程
x+y=5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数
y=5x的图像相同吗？
问题反馈
展
示
交
流
【探究】
二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况
1、在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图
象（教材124页图5-2）有怎样的位置关系？
2、方程组21yxyx解的情况如何？你发现了什么？
【归纳小结】
例1：已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），
求方程组: xyyx213的解．
教师点拨
学
以
致
用
1、有一组数同时适合方程 x + y = 2 和 x + y = 5 吗？一次函数xy2与
xy5
的图象之间有什么关系？
2、求两条直线23xy与42xy和x轴所围成的三角形面积．
3、如图，两条直线1l与2l的交点
坐标可以看作哪个方程组的解？
小
结
提
升
1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；
2．方程组和对应的两条直线的关系：
3．解二元一次方程组的方法有3种：
第４