江苏省盐城市、南京市2021届高三年级二模数学试题(详解版)
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i 2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝ ”是“A✶ U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a⋅c＝b⋅c＝2，则c的模为A．1 B． 2 C．2 D．224．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()RN VN-．已知新冠病毒在某地的基本传染数R＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为A．40% B．50% C．60% D．70%5．计算2cos10sin20cos20︒-︒︒所得的结果为A．1 B． 2 C． 3 D．26．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为A ．12－50B ．17－50C ．21－00D ．35－007．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．28．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且当x ＞0时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式(x 2－1)f (x )＜0的解集为A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m //α，n //β，α⊥β，则m ⊥n 或m //nC ．若m //α，α//β，则m //β或m ⊂βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n ⊂α 10．已知a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若a －b ＝1，则a －b ＜1B ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1C ．若2a －2b ＝1，则a －b ＜1D ．若22log log 1a b -=，则a －b ＜1 11．已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |,则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴C ．f (x )的增区间为2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．f (x )的值域为⎡⎣ 12．已知*n N ∈，n ≥2，p ＋q ＝1，设()22k n kn f k C q-=，其中k ∈N ，k ≤2n ，则 A ．()201nk f k ==∑ B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若np ＝4，则f (k )≤f (8)D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑第II 卷 (非选择题 共90分)三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)14．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，右焦点为F ，以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于B ，C 两点，若直线BC 过点F ，则R 的值为 ▲ ．15．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2．若点E 、F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为 ▲ ．16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点()()00x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n+1， 记l n+1与x 轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r 的的n ＋1次近似值．设()31f x x x =+-(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为 ▲ ；设33321n n n n x x a x +=+，n ∈N *，数列{}n a 的前n 项积为T n ．若任意n ∈N *，T n ＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①b ＝3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问 题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin B A C C --=，c ＝3， ▲ ？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设()221log n n b a =+，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求123100c c c c ++++的值．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万 元所获得的利润y 近似满足：y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49，求A ，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，……，(x n ，y n )，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-． ②线性相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱． 参考数据：对项目A 投资的统计数据表中111ni ii x y==∑，212.24ni i y ==∑， 4.4≈2.1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C. (1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线C ：24y x =于A ，B 两点． (1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若→AT ＝2→TB ，求实数m 的值；(2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[]0π，，a ∈R ． (1)当a ＝12时，求证：f (x )≥0；(2)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围．南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数 学 试 题(总分 150 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题 共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数 z 1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3＋4i ，则 z 1z 2＝A ．25B ．－25C ．7－24iD ．－7－24i 【答案】A【解析】＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A. 2．设集合 A ，B 是全集 U 的两个子集，则“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A ∩B ＝∅，而显然可得 A ⊆∁U B ，又 A ⊆∁U B ，可得 A ∩B ＝∅，所以“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的充要条件，故选择 C.3．已知 a ，b 是相互垂直的单位向量，与 a ， b 共面的向量 c 满足 a ·c ＝b ·c ＝2，则 c 的模为A ．1 【答案】DB ． 2C ．2D ．2 2【解析】不妨设 a ，b 分别为平面直角坐标系中 x 轴，y 轴上的单位向量，则 a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设 c ＝(x ,y )，则 a ·c ＝x ＝2，b ·c ＝y ＝2，所以 c ＝(2,2)，所以|c |＝ 22＋22＝2 2，故选择 D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 1 时， 每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假 设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中 有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种 率至少为()A ．40% 【答案】CB ．50%C ．60%D ．70%R 0 V【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0＝N N 2.5，所以 2.5(1－V)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥N 2cos10º－sin20º 5．计算所得的结果为 cos20ºA ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】C【解析】cos10° ＝ c os(30° － 20°) ＝ c os30°cos20° ＋ sin30°sin20°＋ 1sin20°. 故 22cos10°－sin20°3cos20° ＝＝ 3，故选择C. cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位 作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数 码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间 画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 71 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50C ．21-00D ．35-00【答案】B7π 6 7πS 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π12意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.x 2 y 27 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若|AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为3 A ．4 B ． 15C ．2D ．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝ 知 B 点的4a 215 (c －2) () 21 a横坐－ ＝1， a 2 b 2c结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.，可得a ＝f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0，＋ ＞x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1(x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ， 增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ， 故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //nC. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂βD. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α【答案】ACD 【解析】略10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BCa 2－b 2 1【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝a ＋b 1 ＜ ，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b －log 2b ＝1＝log a，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴π，k ⊥Z D ．f (x )的值域为[1，4 8]C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π＝1， π＝4 8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝＋ |cos x |≤(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝ ＋24|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π(k ∈Z )时，取2 “＝”，D 正确；故选择ABD.k * k 2n － k12．已知 n ⊥N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q，其中 k ⊥N ，k ≤2n ，则2n 2nA ． ∑ f (k )＝1k =02nB ． ∑ kf (k )＝2npqk =0n1 nC ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)D ． ∑ f (2k ) f (2k －1)＜ ＜∑ 2 k =0k =1 【答案】AC2n2n2n 2n －1k k － k k 2n k － 1 k 2n k －p k q 2n －1－k ＝ 【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －12n －1 k =0 k =0 k =1 k =0k k 2n k－f (k ) C p qp (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误； ＝ ＝ ， ＝ ， ≤1≤ k － qkf (k ) f (k －1) 1 k — ＋ －1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )qk k =01 n＝ ＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲ 种．（用数字填写答案） 【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种. 4 3 x 2 y 2 14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交 于 B ，C 两点．若直线 B C 过点 F ，则 R 的值为 ⊥ ．13【答案】2【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐 33 2＝ .标为(1， ±2）,R ＝ (2－1)2＋(0 －2) 15．在四棱锥 P －ABCD 中，P A ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 P A ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线段长为▲ ． 【答案】 6【解析】注意到⊥P AC ，⊥PBC ，⊥PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心O为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1P C GC 6l ＝2 R 2－d 2＝ 6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ⊥N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为 r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n，n ⊥N *，数列{a n }≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为 ▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ⊥N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．3【答案】4，2【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3(2)f (x 0)＝； 42 x 3＋1 0x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝,可得出0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 03 2 32x ＋1 n －1 1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1x n －1 n －1 ,即 a ＝ ，所以 n ⊥N * {x }的递推关系式为 x ＝, ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1 2 3 x n 3x n 2x ＋1n －1 n －1 n －1 x 11 3 1 ，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－ ，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以 时 T n ＝2 8 2 x n ＋11x 1 当 n ≥1 时，x ⊥(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题 中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在⊥ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3sin C ，c ＝3，?解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝π又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A π 2π所以 B ＝3或 3 ，ππ 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝2π π若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3，1 1 S ⊥ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3×若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π， 所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，π所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝1若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值． 解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，－1n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，a 22＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3n此时，对任意 n ⊥N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a * n 1－ ≠0， ＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 na n －1以 r ＝－1．(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺 序构成的数列．故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝ －2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百 万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a^的斜率和 项目 A 投资金额 x（单位：x 百万元）12345所获利润 y（单位：y 百万元）0.30.30.50.91n∑ x i y i －nx · y— －i=截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝n ∑ i i =1n∑ x i y i －nx · y i =1 — －②线性相关系数 r ＝．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以n ( n∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2 －2 2－2 )i =1i =1上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．n n参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．2i i i i =1 i =1解(y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5∑ i ＝1 5∑ 22i =1 5 ∑2 2i =1 5∑ x i y i －5 x · y — －i =1 则b ^ ＝^－ ^ ^ － ＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ， 5 ∑ i i =15∑ x i y i －5 x · y— －2 2＝ ＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2－2 ( )i ＝1i ＝1答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，则总利润为：y ＝0.16x －0.49＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)x ＋1 y ＝1.89－0.04x －0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65x ＋1当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ． （1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；4（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为 ，求 BP 的长．5z C 1C 1B 1B 1A 1A 1PxCCBOAy （第 20 题图）A （第 20 题图）解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ，所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ， 因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平 面 ABC ；(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，→ → - - 所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0，- →→ λ， 3λ) ，则CP ＝ C B ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0所以 n ＝(1， 3，－1)，设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →则 sin θ＝|cos<n ， C P >| ＝(1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)||12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2＝ 2 3 1 1 4 ＝ ，得 4λ －2λ＋ ＝0，解得 λ＝ ， 2 4 4 55× 4λ2－2λ＋41 1所以 BP ＝ BB 1＝ .4 221.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． -(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆． 解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，- - → → 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2， 将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0， 所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ， 所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8， 所以实数 m 的值为－8．(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0， 所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4所以 MN 中点为 ( ，－2)，2y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为 ＝ ＝2－n ，2 8 8所以 MN 中点为(2－n ，－2)， 所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4因为 k MN ＝ ＝ ＝ ， y 2－y 2x 3－x 4 3 4y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝ 4· ＝ ， y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2y 3＋y 1 y 3＋y 2 3因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16＝ ＝ ＝－1，y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n 3 所以⊥AMB ＝90º，同理⊥ANB ＝90º， 所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称， 所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0， 即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高 中数学－解析几何系统解析》. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ⊥[0，π]，a ⊥R ． 1 (1)当 a ＝2 时，求证：f (x )≥0；(2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围． 1 1解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1， ＝2时， 1f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])， 所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0， 所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．1 1≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号， 此时函数 f (x )仅有 1 个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．当x∈ π[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．当x∈[0，2]因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0⊥(0，)．2当x⊥(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x⊥(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1⊥(x0，π)．当x⊥(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x⊥(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是1(2，＋∞)．18。
江苏省南京市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
江苏省南京市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立 【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.2．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.3．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725 B ． 725- C ． 1725- D ．725【答案】D【解析】【分析】用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=． 故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．4．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率k ==±．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．5．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）A ．25B ．1325C ．35D ．1925【答案】D【解析】【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A 种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P =-=. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )A ．1,2m n ==-B ．1,2m n =-=C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=- 【答案】A【解析】【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n .【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)， 又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n -+，所以1,2m n ==-.故选：A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ）A ．10B ．32C ．40D ．80【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理通项公式1r r n rr n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n rr n T C a b -+=，可得结果.【详解】由题可知：515r r rr T C x a -+=当0r =时，常数项为51T a =又()5x a +展开式的二项式系数和为52由5522a a =⇒=所以5152r r rr T C x -+=当2r =时，223235280T C x x ==所以2x 项系数为80故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.8．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d .【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 9．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系. 详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，103111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．10．已知函数()ln a f x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x a x +，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意.当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种， 所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.12．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+【答案】A【解析】【分析】 根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】 10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=. ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->.故选：A .【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省南京市盐城市高考数学二模试卷
2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．（5分）设集合A={x|��2＜x＜0}，B={x|��1＜x＜1}，则A∪B= ． 2．（5分）若复数z=（1+mi）（2��i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为． 3．（5分）将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是． 4．（5分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．5．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．6．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于． 7．（5分）如图，正三棱柱ABC��A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A��A1EF的体积是．2第1页（共27页）8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象过点（��，��），则φ的值为．）的最小正周期为π，且它的9．（5分）已知f（x）=，不等式f（x）≥��1的解集是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线2��=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是．11．（5分）在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且则AC的长为．12．（5分）已知圆O：x+y=1，圆M：（x��a）+（y��a+4）=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．213．（5分）已知函数f（x）=ax+x��b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|��2��t＜x＜��2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠?，则��的最大值是． 14．（5分）若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y��2ex）（lny��lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分）．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（14分）已知α为锐角，cos（α+（1）求tan（α+（2）求sin（2α+）的值；）的值．）=．2222=2，AD=，16．（14分）如图，在三棱锥P��ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；第2页（共27页）（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．17．（14分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（��a，0），B（0，），且=．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P（��3，0），直线l过点（0，��），求直线l的方程；②若直线l过点（0，��1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．*19．（16分）对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N）个数x0，x1，x2，…，xn，使得a=x0＜x1＜x2＜…＜xn��1＜xn=b，记S=|f（xi+1）��f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．（1）若函数f（x）=��2x+1，给定区间为[��1，1]，求S的值；（2）若函数f （x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；2（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx��x 在区间[1，e]上具有性质V．第3页（共27页）20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（��1）Sn+p（p为常数，p≠0）．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An={a2n��1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE?CE=EF?EA．nn[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知a，b是实数，如果矩阵A=（3，4）．（1）求a，b的值．（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（��θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．2所对应的变换T把点（2，3）变成点（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．解不等式：|x��2|+x|x+2|＞2．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．第4页（共27页）26．（10分）设（1��x）=a0+a1x+a2x+…+anx，n∈N，n≥2．（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；（2）设bk=|的值．ak+1（k∈N，k≤n��1），Sm=b0+b1+b2+…+bm（m∈N，m≤n��1），求|n2n*第5页（共27页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试有答案
南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学2021． 03考前须知：1．本试卷共 4 页，包括填空题〔第1 题~第 14 题〕、解答题〔第 15 题~第 20 题〕两局部．本试卷总分值为 160 分，考试时间为120 分钟．．．．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．1的定义域为▲ ．1．函数 f(x)＝ ln 1－ x－－ ▲．2．假设复数 z 满足 z(1－ i)＝ 2i 〔 i 是虚数单位〕， z 是 z 的共轭复数，那么z ·z ＝3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，那么甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众 4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研，假设在“不喜欢戏剧的男性青年观众〞的人中抽取了 8 人，那么 n 的值为▲．5．根据如下图的伪代码，输出S 的值为▲．S ← 1I ← 16．记公比为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．假设 a 1＝ 1， S 4－ 5S 2＝0，WhileI ≤8S ← S ＋ I那么 S 5 的值为▲．I ← I ＋ 2 πEnd While 7．将函数 f(x)＝ sinx 的图象向右平移y ＝ g(x)的图象，PrintS个单位后得到函数3那么函数 y ＝ f(x)＋g(x)的最大值为 ▲．〔第 5 题图〕8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2＝ 6x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥ l ， Aπ 3π ，那么 cos α的值为 ▲ ．9．假设 sin(α－ )＝ 5 ， α∈ (0， )6 210． α， β为两个不同的平面， m ， n 为两条不同的直线，以下命题中正确的选项是▲〔填上所有正确命题的序号〕 ．①假设 α∥ β， m α，那么 m ∥β；②假设 m ∥α， nα，那么 m ∥n ；③假设 α⊥ β， α∩ β＝ n ， m ⊥ n ，那么 m ⊥ β； ④假设 n ⊥ α， n ⊥ β， m ⊥ α，那么 m ⊥ β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝ 0 与直线 l 2： x ＋ ky － 2＝ 0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y － 4＝ 0 的距离的最大值为▲ ．12．假设函数 f(x)＝x2－mcosx ＋m 2＋ 3m － 8 有唯一零点，那么满足条件的实数 m 组成的集合为▲．13．平面向量→ → → →▲．AC ＝(1 ，2)， BD ＝ (－ 2， 2)，那么 AB ?CD 的最小值为14．函数 f(x)＝ lnx ＋ (e － a)x － b ，其中 e 为自然对数的底数．假设不等式b的最f(x)≤ 0 恒成立，那么 a 小值为 ▲ ．．．．．．．．．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD ＝ 6， BD ＝3， DC ＝ 2．〔1〕假设 AD ⊥ BC ，求∠ BAC 的大小；AAπ〔2〕假设∠ ABC＝4，求△ ADC 的面积．BD CBDC〔第 15 题图 1〕 〔第 15 题图 2〕数学试卷第 2 页共16 页如图，四棱锥P－ABCD 中， AD ⊥平面 PAB， AP⊥ AB．（1〕求证： CD ⊥ AP；（2〕假设 CD ⊥PD，求证： CD∥平面 PAB；D CABP〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB， BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米，其中a≥ b．（1〕当 a＝ 90 时，求纸盒侧面积的最大值；（2〕试确定 a， b， x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．D CA B〔第 17 题图〕22如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆 C ： x＋ y＝1 经过点 (b ， 2e)，其中 e 8 b 2为椭圆 C 的离心率．过点 T(1， 0)作斜率为 k(k ＞ 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点 (A 在 x 轴下方 )．〔1〕求椭圆 C 的标准方程；〔2〕过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求AT · BT 的值；MN 2→ 2 →〔3〕记直线 l 与 y 轴的交点为 P ．假设 AP ＝ 5 TB ，求直线 l 的斜率 k ．yMBOT xPNA19．〔本小题总分值 16 分〕〔第 18 题图〕函数 f (x)＝ e x － ax － 1，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R ．（ 1〕假设 a ＝ e ，函数 g (x)＝ (2－e)x ．①求函数 h(x)＝ f (x)－ g (x)的单调区间；②假设函数F(x)＝f (x)，x ≤m ，的值域为 R ，求实数m 的取值范围；g (x)， x ＞m（ 2〕假设存在实数 x 1， x 2∈ [0， 2]，使得 f(x 1)＝ f(x 2)，且 | x 1－x 2| ≥ 1，求证： e － 1≤ a ≤e 2－e ．20．〔本小题总分值16 分〕数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { b n } ， { c n } 满足 (n ＋ 1) b n ＝ a n ＋ 1－S n，n(n ＋ 2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋2 S n，其中 n ∈ N* ．－ n2〔1〕假设数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，求数列 { c n } 的通项公式；〔 2〕假设存在实数 λ，使得对一切n ∈N* ，有 b n ≤ λ≤ c n ，求证：数列{ a n } 是等差数列．南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2021．03考前须知：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在 A 、B、C 、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计卷卡指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，△ ABC 的顶点 A， C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M．（1〕假设 BC 是圆 O 的切线，且 AB＝ 8，BC＝ 4，求线段 AM 的长度；（2〕假设线段 BC 与圆 O 交于另一点 N，且 AB＝ 2AC，求证： BN＝ 2MN ．CC NOOA M BA M B〔第 21(A) 图〕B．选修 4— 2：矩阵与变换3 0设 a， b∈R．假设直线l ：ax＋ y－ 7＝0 在矩阵A=－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋ y－ 91＝ 0．求实数a， b 的值．C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程3在平面直角坐标系x＝1＋5t，x＝ 4k2，xOy 中，直线 l ：(t 为参数 )，与曲线 C：y＝4k(k 为参数 )交4y＝5t于 A， B 两点，求线段AB 的长．数学试卷第 5 页共16 页D ． 修 4— 5：不等式a ≠b ，求 ： a 4＋ 6a 2b 2＋ b 4＞ 4ab( a 2＋ b 2)．【必做 】第22 、第 23 ，每 10 分，共20 分． 在答 卷卡指定区域内作答．解答 写出．．．．．．．．文字 明、 明 程或演算步 ．22．〔本小 分10 分〕如 ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面四 形ABCD 菱形， A 1A ＝ AB ＝ 2，π∠ABC ＝ ，E ， F 分 是 BC ， A 1C 的中点．3（ 1〕求异面直 EF ， AD 所成角的余弦 ；（ 2〕点 M 在 段 A 1D 上，A 1M＝ λ．假设 CM ∥平面 AEF ，求 数 λ的 ． A 1DA 1D 1B 1C 1FMADBEC〔第 22 题图〕23．〔本小 分10 分〕n(n ＋ 1)有〔 n ≥2， n ∈ N* 〕个 定的不同的数随机排成一个下 所示的三角形数 ：* ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 1 行**⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 2 行 * * *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 3 行⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯** ⋯⋯⋯⋯ * * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 n 行M k 是第 k 行中的最大数，其中 1≤ k ≤ n ， k ∈ N* ． M 1＜ M 2＜⋯＜ M n 的概率 p n ．（ 1〕求 p 2 的 ；2（ 2〕 明： p n ＞C n＋1 ．(n ＋ 1)!南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空 〔本大 共14 小 ，每小5 分， 70 分 .〕21． (－∞， 1) 2． 2 3． 34． 30 5．17 6． 31 7． 38． 64 3－ 3 10．①④11． 3 212． {2}9． 109113．－ 414．－ e二、解答 〔本大 共6 小 ，90 分．解答 写出必要的文字 明， 明 程或演算步 〕15．〔本小 分14 分〕解：〔 1〕 ∠ BAD ＝ α，∠ DAC ＝ β．因 AD ⊥ BC ， AD ＝ 6， BD ＝ 3，DC ＝ 2，所以 tan α＝1， tan β＝ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分231 1所以 tan ∠ BAC ＝ tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝ 2＋3＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1－ tan αtan β111－×32π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又∠ BAC ∈ (0， π)，所以∠ BAC ＝ ．4〔 2〕 ∠ BAD ＝α．π在△ ABD 中，∠ ABC ＝ ， AD ＝ 6，BD ＝3．4由正弦定理得AD ＝ BD， 解得 sin α＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分π sin α4sin 4因 AD ＞ BD ，所以 α 角，从而cos α＝ 1－ sin 2α＝14． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4πππ因此 sin ∠ADC ＝ sin(α＋ )＝ sin αcos ＋cos αsin 44 42 2 14 1＋ 712 分＝ 2 ( 4 ＋ 4 )＝4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△ADC 的面 S ＝ 1×AD × DC · sin ∠ ADC2＝ 1× 6× 1＋ 7 3 7)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 2× ＝ (1＋4 216．〔本小分 14 分〕明：〔1〕因 AD⊥平面 PAB ，AP? 平面 PAB，所以 AD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又因 AP⊥ AB ， AB∩ AD ＝ A， AB? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 AP⊥平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 CD? 平面 ABCD ，所以 CD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2〕因 CD⊥ AP， CD⊥ PD，且 PD∩ AP＝P， PD ? 平面 PAD，AP ? 平面 PAD ，所以 CD⊥平面 PAD．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 AD⊥平面 PAB， AB?平面 PAB，所以 AB⊥ AD ．又因 AP⊥ AB， AP∩ AD ＝ A， AP? 平面 PAD， AD ? 平面 PAD ，所以 AB⊥平面 PAD ．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由①②得 CD ∥AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 CD / 平面 PAB， AB? 平面 PAB，所以 CD∥平面 PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．〔本小分 14 分〕解：〔 1〕因矩形板 ABCD 的面 3600，故当 a＝ 90 ， b＝ 40，从而包装盒子的面S＝ 2× x(90－ 2x)＋ 2× x(40－2x)＝－ 8x2＋260x， x∈ (0，20)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 S＝－ 8x2＋260x＝－ 8(x－65)2＋4225，42故当 x＝65，面最大，最大4225平方厘米．42答：当 x＝6542256 分4，盒的面的最大 2 平方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2〕包装盒子的体2bV＝ (a－ 2x)(b－ 2x) x＝ x[ab－2(a＋ b)x＋ 4x ]， x∈ (0，2)， b≤60．⋯⋯⋯⋯⋯8 分V＝ x[ab－ 2(a＋b) x＋ 4x2] ≤x(ab－ 4abx＋ 4x2)＝x(3600－ 240x＋4x2)＝4x 3－ 240x 2＋ 3600x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当且 当a ＝b ＝ 60 等号成立．f (x)＝ 4x 3－ 240x 2＋ 3600x ， x ∈ (0， 30)．f ′(x)＝ 12(x － 10)(x － 30)．于是当 0＜x ＜10 ， f ′(x)＞0，所以 f (x)在 (0， 10)上 增；当 10＜x ＜ 30 ， f ′(x)＜ 0，所以 f (x)在 (10， 30)上 减．因此当 x ＝ 10 ， f (x)有最大 f (10)＝ 16000， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分此 a ＝ b ＝60， x ＝ 10．答：当 a ＝b ＝ 60， x ＝10 盒的体 最大，最大16000 立方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．〔本小 分 16 分〕222 2解：〔 1〕因xyb 4e8 ＋b 2＝ 1 点 (b ， 2e)，所以8 ＋ b 2＝ 1．2c 2 c 2b 2c 2因 e ＝ a 2＝ 8 ，所以8＋2b2＝ 1．2 2222b8－ b因 a ＝ b ＋ c ，所以8＋2b 2 ＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分整理得 b 4－ 12b 2 ＋32＝ 0，解得 b 2＝ 4 或 b 2＝ 8(舍 )．所以 C 的方程x22＋y＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84（ 2〕 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ．因 T(1，0) ， 直 l 的方程 y ＝ k(x － 1)．y ＝ k(x － 1)， 立直 l 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，消去 y ，得(2k 2＋1)x 2－ 4k 2 x ＋2k 2 －8＝ 0，x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2所以2k ＋ 12k 2 －8x 1 x 2＝ 2 ．2k ＋ 1因 MN ∥ l ，所以直 MN 方程 y ＝ kx ，y ＝ kx ， 立直 MN 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，2228消去 y 得 (2k ＋ 1)x ＝ 8，解得 x ＝ 2k 2＋ 1．因 MN ∥ l ，所以 AT · BT (1－ x 1)· (x 2－ 1)MN 2 ＝ (x － x N ) 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 (1－ x 1) ·(x 2－ 1)＝－ [x 1x 2－ (x 1＋ x 2) ＋ 1]＝7，22k ＋ 12232，(x M － x N ) ＝ 4x ＝22k ＋ 1AT · BT (1 －x 1)· (x 2－ 1)72k 2＋ 1710 分所以 MN 2 ＝(x M － x N )2＝ 2k 2＋ 1· 32 ＝ 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 3〕在 y ＝ k(x － 1)中，令 x ＝ 0， y ＝－ k ，所以 P(0，－ k)，从而 → →AP ＝ (－ x 1,－ k －y 1 )， TB ＝ (x 2－ 1， y 2)．因→ 2 →22 2 12 分AP ＝5 TB ，所以－ x 1＝ (x 2－1) ，即 x 1＋x 2＝ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 55x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2由(2) 知，2k ＋ 1x 1x 22k 2－8＝2．2k ＋1x 1＋ x 2＝4k 2，2－2 16k 2－2由2k ＋ 14k ＋ 2，x 2 ＝ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2 2 解得 x 1＝2 1) 3(2k 2 ＋1)3(2k ＋x 1＋ x 2＝ ，55因 x 1x 2＝2k 2－ 8－ 4k 2＋ 2 16k 2－ 2 ＝ 2k 2－ 82， 所以 2 × 22 ，2k ＋ 13(2k ＋ 1) 3(2k ＋ 1) 2k ＋ 1整理得50k 4－ 83k 2－ 34＝ 0，解得 k 2＝ 2 或 k 2＝－1750 (舍 ) ．又因 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．〔本小 分 16 分〕解：〔 1〕当 a ＝ e ， f (x)＝ e x － ex － 1．① h (x)＝ f (x)－ g (x)＝e x － 2x －1， h ′(x)＝ e x －2．由 h ′(x)＞ 0 得 x ＞ ln2，由 h ′(x)＜ 0 得 x ＜ ln2 ．所以函数 h(x)的 增区(ln2 ，＋∞ )， 减区 (－∞， ln2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分② f ′(x)＝ e x － e ．当 x ＜ 1 ， f ′(x)＜0，所以 f (x)在区 (－∞， 1)上 减；当 x ＞ 1 ， f ′(x)＞0，所以 f(x)在区 (1，＋∞ )上 增．1°当 m ≤ 1 ， f (x)在 (－∞， m]上 减， 域[e m －em －1，＋∞ )，g(x)＝ (2 －e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)，因 F(x)的 域R ，所以 e m － em － 1≤ (2－ e)m ，即 e m － 2m － 1≤ 0．〔 * 〕由①可知当 m ＜ 0 ， h(m)＝ e m － 2m － 1＞ h(0)＝ 0，故〔 * 〕不成立．因 h(m)在 (0， ln2)上 减，在(ln2 ， 1)上 增，且h(0) ＝ 0， h(1)＝ e － 3＜ 0，所以当 0≤m ≤ 1 ， h(m)≤0 恒成立，因此0≤ m ≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2°当 m ＞ 1 ， f (x)在 (－∞， 1)上 减，在(1， m]上 增，所以函数 f (x)＝ e x － ex －1 在 (－∞， m] 上的 域 [f (1) ，＋∞ )，即 [－ 1，＋∞ )．g( x)＝ (2－ e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)．因 F(x)的 域 R ，所以－ 1≤ (2－ e)m ，即 1＜ m ≤ 1．e － 2合 1°， 2°可知， 数 m 的取 范 是 [0， 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e －2]．〔 2〕 f ′(x)＝e x － a ．假设 a ≤ 0 ， f ′(x)＞ 0，此 f(x)在 R 上 增．由 f(x 1)＝ f( x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－x 2|≥ 1 相矛盾，所以 a ＞ 0，且 f( x)在 (－∞， lna] 减，在 [ln a ，＋∞ )上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分若 x 1，x 2∈ ( －∞， lna] ， 由 f (x 1) ＝f (x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－ x 2|≥ 1 相矛盾，同不能有 x 1 ，x 2∈ [ln a ，＋∞ )．不妨 0≤x 1＜x 2≤2， 有 0≤ x 1＜ lna ＜ x 2≤ 2．因 f( x)在 (x 1， lna)上 减，在(lna ， x 2)上 增，且f (x 1)＝ f (x 2)，所以当 x 1≤ x ≤ x 2 ， f (x)≤f (x 1)＝ f (x 2)．由 0≤ x 1＜ x 2≤ 2，且 |x 1－ x 2 |≥ 1，可得 1∈ [x 1 ， x 2]，故 f (1)≤ f (x 1)＝ f (x 2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分又 f (x)在 (－∞， ln a] 减，且 0≤ x 1＜ lna ，所以 f (x 1)≤ f (0)，所以 f (1) ≤ f (0)，同理 f (1)≤ f (2)．e － a － 1≤ 0，2即e － a － 1≤ e 2－ 2a － 2，解得 e －1≤ a ≤ e － e － 1，所以 e － 1≤a ≤ e 2－ e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分20．〔本小 分16 分〕解：〔 1〕因 { a n } 是公差2 的等差数列，所以 a ＝ a ＋ 2(n － 1)，S n＝a ＋n － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n1n 1从而 (n ＋ 2) c n ＝ a 1＋ 2n ＋a 1＋ 2(n ＋ 1)4 分－ (a 1＋ n － 1)＝ n ＋ 2，即 c n ＝ 1． ⋯⋯⋯（2〕由 ( n＋ 1)b n＝ a n＋1－S n，n得n(n＋ 1) b n＝ na n＋1－ S n，(n＋ 1)(n＋ 2) b n＋1＝ (n＋1)a n＋2－ S n＋1，两式相减，并化得a n＋2－ a n＋1＝ (n＋ 2) b n＋1－nb n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而a n＋1＋ a n＋2n＝a n＋1＋ a n＋21－ (n＋ 1) b n](n＋ 2) c n＝－S－ [a n＋2n2＝a n＋2－an＋1＋(n＋1) b n2＝(n＋ 2) b n＋1－nbn＋(n＋1)b n 21＝2(n＋ 2)( b n＋ b n＋1)．11)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因此 c n＝ ( b n＋ b n＋21因一切 n∈N*，有 b n≤ λ≤ c n，所以λ≤ c n＝ (b n＋ b n＋1 )≤ λ，2故 b n＝λ， c n＝λ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以 (n＋ 1)λ＝ a ＋－S n，！未找到引用源。
江苏省南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题纯word解析版
江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试卷参考答案
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．36 14．132 15． 6 16．34，2（第一问2分，第二问3分） 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：在△ABC 中，B ＝π－(A ＋C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )．因为sin B －sin(A －C )＝3sin C ，所以sin(A ＋C )－sin(A －C )＝3sin C ， ············· 2分 即sin A cos C ＋cos A sin C －(sin A cos C －cos A sin C )＝3sin C ，所以2cos A sin C ＝3sin C ． ······································································· 4分 在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6． ····································································· 6分选择① 方法1因为A ＝π6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋9－33b ．又因为b ＝3a ，所以2b 2－93b ＋27＝0，解得b ＝33，或b ＝332，此时△ABC 存在． ················································································· 8分 当b ＝33时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934．当b ＝332时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938． ········ 10分方法2因为b ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＝3sin A ＝3sin π6＝32．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，或B ＝2π3，此时△ABC 存在． ····························· 8分当B ＝π3时，C ＝π2，所以b ＝c cos A ＝332，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938．当B ＝2π3时，C ＝π6，所以b ＝c sin Bsin C＝33，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934． ···················· 10分选择②因为a ＝3cos B ，所以a ＝3×a 2＋9－b 26a，得a 2＋b 2＝9，所以C ＝π2，此时△ABC 存在． ································································· 8分因为A ＝π6，所以b ＝3×cos π6＝332，a ＝3×sin π6＝32，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab ＝938． ················································· 10分选择③ 由a sin A ＝c sin C ，得a sin C ＝c sin A ＝32， ·························································· 8分 这与a sin C ＝1矛盾，所以△ABC 不存在． ················································ 10分18．(本小题满分12分) 解：（1）方法1因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4＋r ，故a 2＝2． 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝8＋r ，故a 3＝4．因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1a 3，化简得2＋r ＝1，解得r ＝－1， ············· 3分 此时S n ＝2n －1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1－1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，a n ＝2n －1，所以r ＝－1满足题意． ·········································································· 5分 方法2因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋r －2n －1－r ＝2n －1． ······································· 3分 因为{a n }是等比数列，所以2＋r ＝1，解得r ＝－1． ····································· 5分 （2）因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ． ········································· 7分 因为a 1＝1，a 2＝2＝b 1，a 3＝4＝b 2，a 4＝8＝b 4，a 5＝16＝b 8，a 6＝32＝b 16，a 7＝64＝b 32，a 8＝128＝b 64，a 9＝256＝b 128， ········································· 9分 所以c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋b 3＋···＋b 107)－(a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8) ······················· 11分 ＝107×(2＋214)2－2(1－27)1－2＝11302． ··············································· 12分19．(本小题满分12分)解：（1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有－x ＝3，－y ＝0.6，n∑i =1x i 2＝55．所以^b ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－yn∑i =1x i 2－n －x2＝11－5×3×0.655－5×32＝0.2， ·················································· 4分 ^a ＝－y －^b －x ＝0.6－0.2×3＝0，所以回归直线方程为：^y ＝0.2x ． ······························································· 6分线性相关系数r ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－y(n ∑i =1x i 2－n －x 2) (n∑i =1y i 2－n －y 2)＝11－5×3×0.6( 55－5×32)(2.24－5×0.62)＝24.4≈0.9524＞0.95这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程^y＝0.2x 对该组数据进行拟合合理． ········································································ 8分（2）设对B 项目投资x (1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7－x )百万元．所获总利润y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49＋0.2(7－x ) ············································· 10分＝1.93－ [0.04(x ＋1)＋0.49x ＋1]≤1.93－20.04(x ＋1)×0.49x ＋1＝1.65，当且仅当0.04(x ＋1)＝0.49x ＋1，即x ＝2.5时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． ······· 12分20．(本小题满分12分)（1）证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ．因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D ． ················································ 2分 在直角三角形B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝3． 在三角形B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ． ··············································· 4分 又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC ． ························· 6分 （2）解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，1，0)，B (0，－1，0)，C (3，0，0)，B 1(0，0，3)，因此BB 1→＝(0，1，3)，AC →＝(3，－1，0)，AA 1→＝BB 1→＝(0，1，3)． 因为点P 在棱BB 1上，则设BP →＝λBB 1→＝λ(0，1，3)，其中0≤λ≤1．则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1→＝(－3，－1＋λ，3λ)． ······························ 8分 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0， n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0．取x ＝1，y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)． ……………………………………………………10分 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos ＜n ，CP →＞＝n·CP →|n |×|CP →|＝－235×3＋(λ－1)2＋3λ2 ＝－45，（第20题图）化简得16 λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以BP ＝λBB 1＝12． ·········································································· 12分21．(本小题满分12分)解：由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4y ＋4m ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ．因为直线l 与C 相交，所以△＝16－16m ＞0，得m ＜1． ···························· 2分 （1）由AT →＝2TB →，得y 1＋2y 2＝0， ······················································· 4分所以4＋y 2＝0，解得y 2＝－4，从而y 1＝8，因为y 1y 2＝4m ，所以4m ＝－32，解得m ＝－8． ······································ 6分（2）设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，则y 4－y 3x 4－x 3＝y 4－y 3y 424－y 324＝4y 4＋y 3＝－1，解得y 4＝－4－y 3． 又y 4＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，于是－4－y 3＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，解得x 4＝－4－2m －x 3． ······························· 8分又点N 在抛物线上，于是(－4－y 3)2＝4(－4－2m －x 3)．因为y 32＝4x 3，所以y 32＋4y 3＋16＋4m ＝0， ··········································· 10分 于是MA →·MB →＝(x 1－x 3)(x 2－x 3)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 124－y 324)(y 224－y 324)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[(y 1＋y 3)(y 2＋y 3)＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[y 1y 2＋y 3(y 1＋y 2)＋y 32＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16(4m ＋4y 3＋y 32＋16)＝0，因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆． ··············· 12分22．(本小题满分12分)解：（1）当a ＝12时，f (x )＝e x －12x sin x －x －1，则f ′(x )＝e x －12(x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋12x sin x －cos x ．因为x ∈[0，π]，所以e x ≥1，12x sin x ≥0，因此f ′′(x )≥1－cos x ≥0， ··················· 2分所以f ′(x )在[0，π]上单调递增，于是f ′(x )≥f ′(0)＝0，因此f (x )在[0，π]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0． ····································· 4分 （2）由（1）知，当a ≤12时，f (x )≥e x －12x sin x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，此时函数f (x )仅有1个零点． ··································································· 6分 当a ＞12时，因为f (x )＝e x －ax sin x －x －1，所以f ′(x )＝e x －a (x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋a (x sin x －2cos x )． 当x ∈[π2，π]时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．当x ∈[0，π2]时，f ′′′(x )＝e x ＋a (3sin x ＋x cos x )．因为e x ＞0，a (3sin x ＋x cos x )≥0，所以f ′′′(x )＞0，所以f ′′(x )单调递增．又f ′′(0)＝1－2a ＜0，f ′′(π2)＝e π2＋π2a ＞0，因此f ′′(x )在[0，π2]上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(0，π2)． ································ 8分当x ∈(0，x 0)时，f ′′(x )＜0，所以f ′(x )单调递减； 当x ∈(x 0，π2)时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(x 0)＜f ′(0)＝0，f ′(π)＝e π＋a π－1＞0，因此f ′(x )在[0，π]上存在唯一的零点x 1，且x 1∈(x 0，π)．······························ 10分 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞0，所以f (x )单调递增． 又f (0)＝0，f (x 1)＜f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1＞0，所以f (x )在(x 1，π)上存在唯一零点，因此f (x )在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是(12，＋∞)． ··························································· 12分。
江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试数学试题
C．若 ，则 或 D．若 ，则 或
10．已知 ，下列选项中正确的为（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．已知函数 ，则（）
A． 是周期函数B． 的图象必有对称轴
C． 的增区间为 D． 的值域为
12．已知 ， 设 ，其中 则（）
A． B．
C．若 ，则 D．
【点睛】
关键点睛：本题考查与三角函数相关函数的性质问题，解题的关键是判断出函数的周期和对称轴.
12．AC
【分析】
根据二项式定理判断A，利用组合数公式 结合二项式定理判断B，设 是 中最大项，列不等式组 ，求解后判断C，举反例判断D．
【详解】
A． ，A正确；
B． ，
所以
（除非 ），B错；
C．设 是 中最大项，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，解题思路如下：
（1）根据题意，画出相应的图形；
（2）利用定义找出三角形的边长；
（3）利用余弦定理找出边的关系，找出离心率的关系式；
（4）结合双曲线的离心率的取值范围作出取舍，求得结果.
8．B
【分析】
构造新函数 ，利用导数确定 的单调性，从而可得 时 的正负，利用奇函数性质得出 时 的正负，然后分类讨论解不等式．
所以外接球的球心O为PC的中点，
则 ,
取EF的中点G,
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以球心到直线的距离为 ，
所以 ，
所以所截得的线段长为 ，
故答案为： .
16．
【分析】
（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.
江苏省南京市、盐城市2021届高三第二次模拟考试数学试题含附加题(图片版,答案有解析)
南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数学2019.03.20 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上。
1. 已知集合A ={x |1 <x < 3}, B ={x | 2 <x < 4}，则A ∩B = .【答案】{x |1 <x < 4}【解析】画数轴可得。
【点评】考察集合并集，属于简单题。
2.若复数z 满足【答案】-2za + 2i=i (i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为.【解析】 z =i (a + 2i)=ai - 2, a =-2【点评】复数，简单题3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人，则第三组中人数为.【答案】18【解析】1⨯(0.24+0.16)=0.4 ，总人数： 20 ÷ 0.4=50 （人），第三组： 50 ⨯ 0.36=18【点评】考察频率分布直方图，属于简单题。
4.右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为.【答案】16i = 1, s = 1 i = 3, s = 4【解析】i = 5, s = 9 i = 7, s = 16【点评】考察算法流程图，属于简单题。
5. 现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 .【答案】 35C 1C 1 3⨯ 2 3 【解析】 P = 3 2 = = 2 10 5【点评】考察排列组合与概率，属于简单题。
6. 等差数列{a n }中， a 4 = 10 ，前 12 项的和 S 12 = 90，则a 18 的值为 .【答案】-4【解析】S 12 = (a 4 + a 9 )⨯ 6 ⇒ a 9 = 5 ⇒ d = -1⇒ a 18 = -4【点评】考察等差数列，属于简单题。
江苏省(南京市、盐城市、镇江市)2021届高三第二次大联考数学试卷(含全解析)
江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x ＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则A ．f (a )＜f (b )＜f (c )B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x−=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值；(2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC －B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f′(x )的最大值不小于0．(1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
南京市、盐城市高三二模数学试题(解析版)
一、填空题1.【题文】函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．【结束】5.【题文】已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．【结束】7.【题文】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．【结束】10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．【结束】12.【题文】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．考点：分段函数图像【结束】13.【题文】在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．【结束】14.【题文】设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．证PA⊥平面PBC．从而可得PA⊥BE．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)． （1）若x 1＝35，求x 2； （2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法二(构造直角三角形)：即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分 k M以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ u u u r u u u r 的最大值．因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；②设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba的取值范围．当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分【结束】21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.【结束】21.【题文】B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．21.【题文】C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．考点：极坐标与直接坐标互化【结束】21.【题文】D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【结束】22.【题文】（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．【结束】23.【题文】（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．考点：赋值法求函数值，数学归纳法【结束】。
江苏省南京市、盐城市2021届高三第二次模拟考试(1)
江苏省南京市、盐城市2021届高三第二次模拟考试参考公式：圆锥的侧面积公式：S= n r,其中r为圆锥底面圆的半径，I为圆锥的母线长.一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.1. 集合A = {x|x = 2k+ 1 , k€ Z}, B = {x|x〔x —5〕v 0}，贝U A PB = _________ .2. 复数z= 1 + 2i，其中i为虚数单位，那么z2的模为 ______________ .3. 如图是一个算法流程图，假设输出的实数y的值为一1，那么输入的实数x的值为___________〔第 3 题〕4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟仰卧起坐〞工程训练情况，统计了所有女生1分钟仰卧起坐〞测试数据伸位：个〕，并绘制了如图频率分布直方图，那么1分钟至少能做到 30个仰卧起坐的初三女生有 ___________ 个.5. ___________________________________________________________ 从编号为1, 2, 3, 4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽 得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为 _________________________________________ .6.函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2,当x € (0, 1］时，f(x) = x + ,那么f(a)的值为 ________n7. 假设将函数f(x) = sin(2x + 3)的图象沿x 轴向右平移$ (冷0)个单位长度后所得的图象与 f(x)的图象关于x 轴对称，那么$的最小值为 __________ .8. 在△ABC 中，AB = 2任，AC = Q 5,/ BAC = 90 °那么△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所 形成的几何体的外表积为 __________ . 9.数列｛a n ｝为等差数列，数列｛b n ｝为等比数列,满足｛a 1, a 2, a s ｝ = ｛b 1, b 2, b a ｝ = ｛a , b ,—2｝，其中a >0, b >0，贝U a + b 的值为 _________ 10. 点P 是抛物线x 2= 4y 上动点，F 是抛物线的焦点, 最小值为 _________11. x , y 为正实数，且 xy + 2x + 4y = 41，贝U x + y 的最小值为 _____________ . 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C : (x — m)2+ y 2= r 2(m > 0).过原点 O 且相互垂直的两条直线丨1和|2,其中11与圆C 相交于A , B 两点，12与圆C 相切于点D.假设AB = OD ，那么 直线11的斜率为 __________ .13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB + 2AC|= 3|BC|.假设MBC 面积的最大值为 2，那么边BC 的 长为 ________ .1 14. 函数f(x) = e x — x — b(e 为自然对数的底数，b € R).假设函数g(x) = f(f(x) — ?)恰有4个 零点，那么实数b 的取值范围是 ________ .二、解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题总分值14分)如图，在三棱锥 PABC 中，点D , E 分别为 AB , BC 的中点，且平面 PDE 上平面 ABC.PF点A 的坐标为(0,— 1)，那么PA 的(1) 求证：AC //平面PDE;⑵假设PD= AC = 2, PE= .3,求证：平面PBC丄平面ABC.16. (本小题总分值14分)在△ABC中，角A, B , C所对的边分别为a, b, c,且a= bcos C+ csin B.⑴求B的值；17 7(2) 设/ BAC的平分线AD与边BC交于点D.AD十,cos A =-莎，求b的值.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米•为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE,湖面上的点B在线段AC 上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧(圆C上实线局部)上再修建栈道DE，记/ CBD为0.(1) 用0表示栈道的总长度f( 0,)并确定sin 0取值范围；(2) 求当0为何值时，栈道总长度最短.(1) 求椭圆C 的方程；(2) ABMN 是椭圆C 的内接三角形.① 假设点B 为椭圆C 的上顶点，原点 O ^△BMN 的垂心，求线段 MN 的长; ② 假设原点O 为ABMN 的重心，求原点 O 到直线MN 距离的最小值.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :12, 且过点(0,f ( x )函数f(x) = x3—x2—(a—16)x, g(x) = aln x , a€ R.函数h(x) = ---- —g(x)的导函数x5h'(在匠,4］上存在零点.(1) 求实数a的取值范围；(2) 假设存在实数a,当x€ ［0 , b］时，函数f(x)在x = 0时取得最大值，求正实数b的最大值；(3) 假设直线l与曲线y= f(x)和y = g(x)都相切，且I在y轴上的截距为一12,求实数a的值.无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列｛a n｝的前a n项和, 即T n= a i + a2 + …+ a n.⑴假设数列｛a n｝为等比数列，且a i= 1, S4= 5S2，求T3的值；(2) 假设数列｛a n｝为等差数列，且存在唯一的正整数n(n > 2)使得?<2，求数列｛a n｝的通a n项公式；(3) 假设数列｛T n｝的通项为T n= " "，求证：数列｛a n｝为等差数列.2021届高三模拟考试试卷数学附加题〔总分值40分，考试时间30分钟〕21. 【选做题】在A , B , C三小题中只能选做两题，每题10分，共20分•假设多做，那么按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. 〔选修42:矩阵与变换〕1 矩阵M =[2 2 1i]，MN= [0〔1〕求矩阵N ;〔2〕求矩阵N的特征值.B. 〔选修44:坐标系与参数方程〕x = 2t,在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 1 2〔t为参数〕，以原点O为极点，y=尸x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为P cos〔—n= . 2.假设直线I交曲线C于A , B两点，求线段AB的长.C. 〔选修45:不等式选讲〕a>0,求证:【必做题】第22, 23题，每题10分，共20分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购置每满400元的商品即可抽奖一次•抽奖规那么如下：抽奖者掷各面标有1〜6点数的正方体骰子1次，假设掷得点数大于4,那么可继续在抽奖箱中抽奖；否那么获得三等奖，结束抽奖.抽奖箱中装有2个红球与m(m>2,m€ N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，假设2个球均为红球，那么获得一等奖；假设2个球为1个红球和1个白球，那么获得二等奖；否那么，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同).(1) 假设m= 4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 假设一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，假设商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值.23•集合A n={1 , 2,…，n}, n€ N*, n?2将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1,M2,…，M m)，其中m = 2n.记集合M k中元素的个数为a k, k € N*, k Wm,规定空集中元素的个数为0.(1) 当n= 2时，求a1+ a2+…+ a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不管n(n >为何值，总存在有序集合组(M1, M2,…，M m),满足任意i € N*, i <m- 1，都有|a i —a+1|= 1.参考答案1. {1 , 3}2. 53. —14. 3255. 26. 07. n8. 6 5n9. 5 10. 一扌11. 8 12.—51 , c、13. 2 14. (1, 2+ ln 2)15. 证明：(1)因为点D, E分别为AB , BC的中点，所以DE // AC.(2分) 因为AC?平面PDE,DE?平面PDE，所以AC //平面PDE.(4分)1(2)因为点D , E分别为AB , BC的中点，所以DE= ^AC.因为AC = 2,所以DE = 1.因为PD = 2, PE= .3,所以PD2= PE2+ DE2,因此在A PDE中，PE丄DE.〔8分〕又平面PDE丄平面ABC，且平面PDE^平面ABC = DE , PE?平面PDE,所以PE丄平面ABC.(12分)因为PE?平面PBC，所以平面PBC丄平面ABC.(14分)16. 解：〔1〕因为a= bcos C+ csin B ,a b c由 = = ，得sin A = sin Bcos C + sin Csin B . 〔2 分〕sin A sin B sin C因为sin A = sin[ —〔B + C〕] = sin〔B + C〕= sin Bcos C + cos Bsin C,所以sin Bcos C + cos Bsin C = sin Bcos C + sin Csin B,即cos Bsin C = sin Csin B . 〔4 分〕因为O v C v n所以sin C工,所以sin B = cos B.n所以sin B工0从而cos B MQ所以tan B= 1,所以B = 4.〔6分〕(2)因为AD是/ BAC的平分线，设/ BAD = 0,所以A = 2 0.因为cos A= —25,所以cos 2 0 cos A= —25,7 9即2cos20-仁-二，所以cos20= 25.25’因为0v A v n所以0v 0v n所以cos = 5,所以sin 1 —cos20= |.n0 = sin j cos 0+ cos n sin 0=乎 x〔+ £〕=在A ABD 中，sin / ADB = sin〔B + 0 〕sin：7 *2 八1。