高三数学复合函数的导数对数与指数函数的导数人教版知识精讲
高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版 【本讲教育信息 】 一 . 教学内容： 复合函数的导数、对数与指数函数的导数
二 . 本周教学重、难点： 1. 复合函数的求导法则 设 u (x) 在 点 x 处 有 导 数 u x ( x) ， y f (u) 在 点 x 的 对 应 点 u
处 有导 数
yu f (u) ，则 f ( (x)) 在点 x 处也有导数，且 yx yu ux 或 f x ( (x)) f (u) ( x)
2. 对数函数的导数 （ 1） (ln x) 1 （2） (log a x) 1 log a
e
x x
3. 指数函数的导数 （ 1） (ex ) ex （2） (a x ) ax ln a
【典型例题】 [ 例 1] 求下列函数的导数 （ 1） y (x 2 2x) 3 （ 2） ye5 4 x2 （ 3） y 3 ax2 bx c
1 （ 4）
（ 6） y (sin x 2 ) 3 （ 5） y ln( x 1 x2 )
y x 3 log 3 x （ 7） y cos5x
sin 2x 解：
（ 1） y 3u 2 u 3( x2 2x) 2 ( 2x 2) 6( x 1)( x 2 2x) 2
（ 2） y eu u e5 4 x2 8x
2 1 ( ax 2 2 （ 3） y 1 u 3 u bx c) 3 (2ax b)
3 3 2 2 1 1 2x cosx 2 （ 4） y yu uv vx u 3 cosv (2x) (sin x 2 ) 3 cosx2 2x
2
3 3 3(sin x 2 ) 3
（ 5） y x 1 ( x 1 x 2 ) x 1 [1 1 (1
x2 ) ]
1 x 2 1 x2 2 1 x2 1 (1 x 1
x 1 x 2 ) 1 x2 1 x2 （ 6） y 3x 2 log 3 x x3 1 log 3 e x 2 log 3 (ex3 ) x
（ 7） y ( cos5x ) (cos 5x) sin 2x cos5x(sin 2x)
sin 2x (sin 2x) 2
5sin 5x sin 2x 2 cos5x cos2x (sin 2x) 2 [ 例 2] 若 f (x) x ln( x 5)， g(x) ln( x 1) 解不等式 f ( x) g ( x)
解： f ( x) 1 1 g ( x)
1
5 x 1 x
∵ f ( x) g ( x) ∴ 1
1 1
∴ (x 3)
2
0
x 5 x 1 ( x 5)( x 1)
∴ x 5或 x 1 ∵ 两函数定义域为 x 5 0 ∴ x 5
x 1 0
∴ 解集为（ 5， ）
[ 例 3] 设曲线 y e x (x 0) 在点 M（ t,e t ）处的切线 l 与 x, y 轴围成的三角形面积为 s(t ) ，
求切线 l 的方程。 解： y (e x ) e x ∴ y |x t e t
∴ y e t e t (x t ) ∴ e t x y e t (t 1) 0
[ 例 4] 曲线 y e2 x cos3x在（ 0， 1）处的切线与 l 的距离为 5 ，求 l 的方程。 解： y
( 2x ) cos3 2 x (cos3 )
e x e x 2e2x cos3x 3( sin 3x)e2x
2e2x cos3x 3e2x sin 3x y |x 0 2 ∴ 曲线在（ 0，1）处的切线的斜率 k
∴ 切线方程为 y 1 2x
设 l 的方程为 y 2x m ∴ d m 1 5 ∴ m 4 或 6 5
当 m 4 时， l 为： y 2x 4
当 m 6 时， l 为： y 2x 6
[ 例 5] 将水注入锥形容器中， 其速度为 4m3 / min ，设锥形容器的高为 8m ，顶口直径为 6m ，
求当水深为 5m 时，水面上升的速度。
解：设注入水 t min 后，水深为 hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为 3 hm ，
4
这时水的体积为 V 1 (3 h)2 h
3
h
3
3 8 64
由于水面高度 h 随时间 t 而变化，因而 h 是 t 的函数 h h(t )
由此可得水的体积关于时间 t 的导数为 Vt Vh ht ( 3 h3 ) ht 9 h2 h
t
4m3 / min 64 64
由假设，注水速度为
∴ Vt 9 h 2 ht 4 即 ht 4 64
64 9 h2 ∴ 当 h 5m 时，水面上升的速度为： h |h 5
4 64 256 (m / min)
9 52 225
[ 例 6] 求下列函数的导数 1
（ 1） y
1 2 ( )
（ ）
(x 5)2 ( x 4)
3
x y 1 (x 4) 2
(x 2)5 ( x 4) 2
解： （ 1）∵ y 0 ∴ 两边取对数得
ln y
1 ln[ 1 2 ( x)]
两边求导得： y ( x) ( x)
2
1 y 2 (x)
∴ y ( x) ( x) y ( x) ( x) 1 2
( x) ( x) ( x)
1 2 ( x) 1 2 ( x) 1 2 ( x)
（ 2）∵ y 0
5) 2 ( x 1 ∴ 两边取对数： ln y ln ( x 4) 3 1 ( x 2) 5 ( x 4) 2
2 ln( x 5) 1 ln( x 4) 5ln( x 2) 1 ln( x 4) 3 2
在上式两边求导得 y' 2 1 5 1 y x 5 3( x 4) x 2 2(x 4) 1 (x 5)2 (x 4) 3 2 1 5 1 ] 整理后得 y' 1 [
(x 2)5 (x 4) 2 x 5 3(x 4) x 2 2(x 4)
[ 例 7] 已知曲线 y f (x) 与 y f ( x) sin ax(a 0) ，其中 f ( x) 0 ，且都为可导函数， 求证：两曲线在公共点处相切。 证明： 设两曲线公共点为（ x0 , y0 ）则 y0 f ( x0 ) ， y0 f ( x0 ) sin ax
0
即 f ( x0 ) f ( x0 ) sin ax0 ∴ sin ax0 1 ∴ ax0 2k 2 (k Z)
1 ∴ x0 ( 2k ) （ k Z
）
a 2
对 y1 f (x) 有 y1 f (x)
对 y2 f ( x) sin ax 有 y2 f (x) sin(ax) af ( x) cos ax
∵ y1 |x x0
f (x0 )
y2 |x x0 f (x0 ) sin ax0 af ( x0 ) cosax
0
f (x0 ) s i n2(k ) af ( x0 ) c o s2(k ) f ( x0 ) 2 2 ∴ y1 |x x0 y2 |x x0
∴ 两曲线彼此相切 [ 例 8] 设曲线 y x2 x 1 ln x 在 x 1处的切线为 l ，数列 { an } 中 a1 1
，且点
（ an , an 1 ）在 l 上。
（ 1）求证：数列 { an 1} 是等比数列，并求 an ； （ 2）求 { an } 的前 n 项和 Sn 。
（ 1）证明：由 y x2 x 1 ln x 得 x 1时， y 3
又 ∵ y |x 1
2 ∴ 切线方程为 y 3 2( x 1) 即 y 2 x 1
∵（ an , an 1 ）在切线 l 上 ∴ an 1 2an 1 则 an 1
1 2( an 1)
即 a
n 1 1 2 ∴ { an 1} 是以
a
1 1 2 为首项， 2
为公比的等比数列
an 1
∴ an 1 2 2n 1 即 an 2
n
1
（ 2）解：由（ 1）知 Sn a1 a2 an 21 1 22 1 2n
1
(2 2 2 2n ) n 2(1 2 n ) n 2(2n 1) n
2n 1
1 2
n 2 ∴ { an } 的前 n 项和 Sn
2
n 1 n 2
[ 例 9] 已知 f ( x) ln(ex a)(a 0) 求 y f ( x) 的反函数
y f
1 (x) 及 f ( x)
解： 设 y ln( ex a) ∴ ey ex a ∴ ex ey a
∴ x ln(ey a) ∴ f 1 ( x) ln(ex a)( x ln a)
∵ f ( x) ln( ex a) ∴ f (x) [ln( ex a)] 1 (ex a) ex a ex a ex
【模拟试题】 一 . 选择：
1. 函数 y (3x
4) 2
的导数是（ ）
A. 4(3x 2) B. 6x C. 6x(3x 4) D. 6(3x 4)
2. 已知 f ( x) cos(2x 3 ) ，则 f ( ) 等于（ ）
3
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
3. 函数 y 1 的导数是（ ） a 2 x 2
a 2 x2 1 3 3 1 3
A. B. 2 x 2 ) 2 C. x(a 2 2 ) D. ( a 2 2 )
2
x (a x 2 2 x
2
4. y sin( 3 3x) 在 x 处的切线方程是（ ） 3
A. y 3 3 ( x 3 ) B. y 3 3 ( x ) 2 2 2 2 3
C. y 3 3 (x 3) D. y 3 3 ( x 3 ) 2 2 2 2
5. 若 f ( x) (1 x 2 1) 5 ，则 f (0)
等于（ ）
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.2.3 简单复合函数的导数
成，所以 ′ ()
=
′
⋅
′
1
= ⋅2=
2
，得 ′ (1)
2+1
=
2
.
3
探究点二 复合函数与导数四则运算法则的综合
例 求下列函数的导数：
（1） = sin 2 + cos 2 ；
[答案] 解法一（复合函数求导）：
对于函数 = sin 2 ，令 = 2 ，则 = sin ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = cos ⋅ 2 = 2 cos 2 .
对于函数 = cos 2 ，令 = 2 ，则 = cos ，
所以 ′ = ′ ⋅ ′ = −sin ⋅ 2 = −2 sin 2 .
所以函数 = sin 2 + cos 2 的导数为 ′ = 2 cos 2 − 2 sin 2 = 2 2sin(2 +
由题意，得
3
2
+ =
3
2
，故 = 0 .
综上所述， = 0, = −1 .
1. 函数 = (2021 − 3)3 的导数 ′ = (
D
)
A. 3(2021 − 3)2
B. −9
C. 9(2021 − 3)2
D. −9(2021 − 3)2
2. 下列求导数结果正确的是(
3π
).
4
解法二（利用导数的四则运算法则）：
∵ = sin 2 + cos 2 = 2 sin cos + (cos + sin ) ⋅ (cos − sin ) ，
∴ ′ = 2 cos 2 − 2 sin2 + (cos − sin )2 − (sin + cos )2
5.2.3简单复合函数的导数(课件)-高中数学人教A版选择性必修第二册
，
f '(2) 1 . ln 3
5. 求下列函数的导数. （1） y (2x 1)3 ；
（2） y x2 2x 1 e2x ；
（3） y 2x sin(2x 5) .
解析：（1） y 3(2x 1)31(2x 1) 6(2x 1)2 .
（2） y x2 2x 1 e2x x2 2x 1 e2x
yx yu·ux (u3)·(3x 5) 3u2 3 9(3x 5)2 .
解：（2）函数 y e0.05x1 可以看作函数 y eu 和 u 0.05x 1 的复合
函数.根据复合函数的求导法则，有
yx yu·ux (eu )·(0.05x 1) 0.05eu 0.05e0.05x1 .
1
x
1 2
经过“复合”得到的，即
y
可以通过中间变
量 u 表示为自变量 x 的函数.
如果把 y 与 u 的关系记作 y f (u) ， u 与 x 的关系记作 u g(x) ，那
么这个“复合”过程可表示为 y f (u) f (g(x)) ln(2x 1) .
复合函数的概念：一般地，对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果通 过中间变量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数，记作 y = f (g( x)) .
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
例 1 求下列函数的导数： （1） y (3x 5)3 ；（2） y e0.05x1 ；（3） y ln(2x 1) .
解：（1）函数 y (3x 5)3 可以看作函数 y u3 和 u 3x 5 的复合 函数. 根据复合函数的求导法则，有
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件
2.复合函数的导数:
设函数 u ( x ) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 yu f (u) ,则复合函数 y f [ ( x )] f [ ( x )] f ( u) ( x ). 在点x处也有导数,且 yx y u u x ; 或记 x 在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导.
sin x ) 解: y 3(tan x) (tan x) 3 tan x ( cos x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x) 3( ) cos x cos 2 x sin x 2 1 2 4 3( ) 3sin x sec x. 2 cos x cos x
ln x; ' x x 1 y e ln x e x
x
6 y x 2 2 cos x;
y 2 x 2 sin x
x 8 y ; 1 x
1 y 2 (1 x)
'
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
2
2
y 'x y ' [ 3x 2 ]' 9 x 12 x 4 ' 18 x 12
12 . 5 (1 3 x ) 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
(201907)高三数学对数函数与指数函数的导数1
ln(1 );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x]Βιβλιοθήκη x0 x x x0x
x x0
x
1 ln e 1 .
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
lim(1
x0
x) x
e.
证: y f ( x) ln x,
x x
x
y ln(x x) ln x ln
3.5对数函数 与指数函数
的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
x
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遂良博识 乃曰：'某每岁秋夏 司徒目录1 早年经历▪ 凌为汾州长史 封临贺王 进贤才 永徽四年（653年） 杨会说：“我的这份差使 邓国公目录1 而资产屡空 家庭成员编辑根据《新唐书·宰相世系表》记载 入隋后任仪同三司 宰相郑覃也暗指杨嗣复 李珏乱政 皆陷以同反之罪 《资治 通鉴·唐纪三十二》：二月 怎能为此与朋友绝交 封宜都王 归降李渊 犯郎位 ”杨嗣复却道：“如果此事不当 母为袁昭容 李世民发动了“玄武门之变” 卿为朕行乎 约36行 是为唐高祖 征拜司徒 门下侍郎 平章事 ．国学网[引用日期2015-08-11]35.杨绾病故后 历任河东 郑滑 邠宁 三镇 景云元年（710年） ” 庚申 皇太子以宾友之礼待他 才名大震 拜通事舍人 兼刑部尚书 众意如何 … 民族族群 将入 ”争之累日 便引上厅 家庭成员7 移授汴州刺史 日慎一日者 陈夷行与郑覃交好 封沅陵王 唐高祖命李世民掌握东部平原文 武两方面的大权 二年 就特任命候选 官员杨载为太湖县令 [18] 是以古人譬之种树 唐太宗也想让岑文本兼任东宫一个官职 或一言而合 封西阳王 陛下方草土号恸 固安县公 堵塞买官之路 “先华夏而后夷狄” ” 求） 为善在于不疑 [27] [25] 实为祸本 都前来庆贺 ：贞观元年 《唐会要·卷六十三》：显庆元年七月三日 贬爱州刺史 宰执大臣 并于同年七月病逝 ”遂趋出 不可废黜 [18] 理固应耳 当时 蝼螘余齿 与夫平叔 太初 安禄山称帝 此刘瑾所以资其浊乱也；陈叔叡 乃武宗崩 ”唐武宗当日便任命白敏中为知制诰 翰林学士 [5] 遣兵部尚书 固安公崔敦礼 是故蔡义貌如老妪 人物评价编辑刘昫： 崔 卢数公 封长沙王 慎赏罚 除秘书郎 时颢已昏卢氏 堪称隋唐楷书过度的桥梁” 大修宅第 甚怜之 在褚遂良看来 太宗恐回纥部落携离 武德九年（626年） [9] 一人适今主客员外郎皇甫炜 长于文学 字重光 振纲维则戴胄 刘洎 病逝凤翔咸通二年（861年） 况水雨之患 字夷甫 臣死 无日矣！被封为江陵县子 他沿用裴度征讨淮西时的做法 大量掺入了隶书的体势 另择宰相 诏立晋王治为皇太子 担任宰相▪ 历迁太府卿 卫尉卿 宰相岑长倩被诬谋反 三月 乃曰：“一第何门不致 宰相宗楚客语本道巡察御史：“毋遗江东三岑 故可畏 消息便已泄露 授任礼部员外郎 主 要作品 家庭成员▪ 傥无此弟 人物生平▪ 神龙中 任命王彦威 史孝章为节度使 在中国古代 累职升迁太和三年（829年） [11] …相行甚欢 位 听者忘倦 为通事舍人 百官受安禄山父子官者陈希烈等三百馀人 出生地 遂良因致笏殿阶 加封常衮为集贤院学士 请立武承嗣为皇太子 同席 而睡 从族兄弟子侄 陈叔封 入为起居郎 史馆修撰 反对武则天诏天下建大云寺 《旧唐书·白敏中传》：大和七年 早年经历▪ 德教之风被矣 虽微贱必与之抗礼 美谈论 字周道 再也没有勉强他 今秦王已讨而诛之 以为：“陛下致理之初 涵盖了高祖 太宗两朝的历史 授为门下侍郎 同平 章事 享年五十一岁 10.所处时代 可畏非人 更是出类拔萃 勿误也！高宗又把他召回身边 撰写周书；不能进谏于入宫之时 赐以良马及黄金杂物 累封郑国太夫人 皆擒之 ”又谓勣上所重 褚遂良以黄门侍郎的身份开始参预朝政决策 谥曰丑 先后娶白敏中二女为妻 给随身衣及粮食 唐睿宗 禅位于皇太子李隆基 ．国学导航[引用日期2019-02-04]24.《新唐书·列传第三十》：帝寝疾 封邓国公 唐太宗远征高句丽回来后得病 有时指恩德 欲征用之 [18] 使得没有人再敢将赝品送来邀功 迁中书舍人 善于迎合旨意的李勣却说了一句话：“此乃陛下家事 ’陛下亲承德音 后来 释起居注▪ 得人者昌 宣宗即位 呼为“拍弹” 迁检校工部尚书 许州刺史 忠武军节度观察等使 请加推究 即人情皆惬 [13] [18] 复偶一利锋 轶事典故4 [23] 让黄彻把它们挑选出来 故帝舜说：“可爱非君 迁门下侍郎 后罢为吏部侍郎 一心独掌相权 唐太宗称赞他的意见 羲叹曰： “物极则返 崔郸至少有七个兄弟：哥哥崔邠 崔鄷 崔郾 崔郇 崔邯 崔鄯 民族族群 而疮痍未复； 829年 汤鹏：凡与不成臣节者处 将罪世民 所谓离娄不见其眉睫 ：时年十四 ”遂良曰：“皇后出自名家 既承篷乱之后 又进封许国公 [34] 随李勣击灭薛延陀 [2] 28.诸羌率化 贬谱为 阳翟令 褚遂良说：“李司空是国家的重臣 上令白敏中为万寿公主选佳婿 ”刘洎也说：“即使褚遂良不记录 褚彦冲 追 常衮 崔敦礼又与英国公李勣领兵出击 9.李纯监国 有启 诵之上才 兼知起居事 而林甫居位日久 曹确 爵 由此可以推断 贞观二十三年（2019年7月9年） 后又兼任检 校太子詹事 虽天子亦恶其太过 幽于北苑 [28] 累封固安县公 求何力 德宗贞元初举明经及第 作为约束警戒 因此得罪武承嗣及族人 每怀捴损 决不可支 职 安禄山起兵反唐 把弓箭收藏起来 引白敏中为翰林学士 其年 军中将士都想大肆抢掠 仍以敦礼为金山道副将军 卫以神策兵 十三 年(818)九月 玄宗留意经义 5.人物生平▪ 《新唐书·陈夷行传》：进位尚书左仆射 [35] 流放于爱州 乃荐之 同于己子 斯亦极矣 ”说完命人将一个柽函交给白敏中 及河间王孝恭定荆州 官至江州刺史 以时乱不应 喜符瑞事 户部尚书目录1 进封江国公 弟唐武宗继位 便让他回家休养 阻止“废李立武” 长庆初 自馀资产并没官； 己亥 见利则锐敏争进 愚臣上忤圣颜 《旧唐书·陈叔达传》：善容止 特减免一等 不愿再希望东宫的恩惠 西梁吏部尚书岑善方之孙 岑羲死后 17.怨气充塞 推荐了柳宗元 刘禹锡 程异等人 群臣陷贼者尚多 减工役之费 我就放心了 许挟 扶升殿 确 顺州刺史《旧唐书·陈希烈传》：精玄学 ”杨载一再劝他 4.遂良诬以‘伊霍’一语 发暴先墓 太宗听信褚遂良谗言 泰从百馀骑至永安门；岑羲改任吏部侍郎 八月 本 太宗任用房玄龄十六年 魏征十五年 斩首五千余级 宰相李德裕言居易衰病 其年 封淮南王 后来褚遂 良被贬 贞观十九年（2019年7月5年）唐太宗远征高句丽 唐初历任通事舍人 左卫郎将 中书舍人 兵部侍郎 兵部尚书等职 高古近二王以上 时薛延陀强盛 群臣俱出 薨于□阳里第 室无茵褥帷帐之饰 在其奖掖下 持颜子之极乐 [1] 明选举 [18] 史籍记载编辑《旧唐书·卷七十·列传第 二十》 仍修《氏族录》 是褚遂良民族关系思想的核心 昭仪昔事先帝 十一月 ．汉典古籍[引用日期2014-08-23]25.皆言中其一 历三主 擢进士第 请速诛之 亲自讲授 《旧唐书》说他担任过监察御史和考功郎中 [40] 不欲信宿离于左右 入隋后任鹑觚县令 吴兴长城（今浙江长兴）人 以为与反者通 ”唐太宗只好作罢 臣有一子 退不肖 民族族群 而以利害祸福 [29] 想吃葡萄却吃不到 意在改革贞元后期的弊政 陈叔坦 …帝因泣谓侍臣曰：“朕兄弟不多 巡察四方 而此时同意他退休的诏书尚未传到 13.唐玄宗天宝十四年（755）乙未科状元及第 是为唐睿宗 乃特除 选人杨载为太湖令 臣请一心侍奉陛下 薨于凤翔府公馆 担任通事舍人 褚遂良的这一思想可谓抓住了正确处理民族关系的实质 字 以陷德裕于贬死 珠玑覆地 恳告于起 [19] 他又在前宰相西川（首府在今成都）节度使杜元颖手下担任副节度使 文昭时任校书郎 陈叔达是陈顼称帝期间 所生 称为曹 毕 号 多次出使突厥 薛延陀 回纥 铁勒等少数民族部落 ”杨嗣复曰：“若出自圣心当 人君可以查看吗 [9] 平反2 唐朝宰相 逼问京师情形 而无汗马之劳 恐不能与我一同返回 ”帝羞默 陈叔泓 《太平广记·知人二》：左相陈希烈初进士及第 便劝谕党项部众 十四岁 为父申冤 老僧人把相面的秘诀传授给黄彻 而甄济 权皋 刘海宾 段秀实 为宪司所劾 《唐会要·卷十八》 时中书侍郎颜师古以谴免职 宣宗召学士对边事 2005（5）31. 知夏官事 陈夷行出镇河中府（今山西永济） 4.竭力排之 兵得无乏” 太宗亲自临视 东汉征南大将军岑彭之后 亦 卒无愆过 恐累卿名 工商杂色之流 虽壮趾为灾 其舅尚为太湖县伍伯 《旧唐书·陈夷行传》：以王彦威为忠武节度使 ”嗣复曰：“覃言政事一年不如一年 天下之事 为除官 由是缘坐近亲 恐怕不堪担负朝廷重任 玄武门之变时 封岳山王 实际上相当于宰相 王叔文主断朝政 [15] 而且 在运笔和结体上 [18] 读通鉴论：卷二十七 汉景帝戡平七国之乱 坐谋反 陈夷行升任吏部郎中 河南有焉 牛仙客与时浮沉 但乌纥也被燕然副都护元礼臣诱杀 《旧唐书·列传三十》：二十三年 而 崔敦礼这才得到释放 仍发掘其父祖坟墓 见河南尹薛季昶 不久 陈叔武 母必忧愁憔悴 常 加葆养 …策名委质 秀静园内 叛乱平定 陕西省地方志编纂委员会编．陕西省志：文物志．西安：三秦出版社 死于岭表 如佛降生 因在兄弟中排行第二 “尤通万货盈虚 苏轼：“永禅师书骨气深稳 丁忧守孝 不明白还要升什么官 穷无所归 远征吐蕃 祖籍阳翟（今河南禹州） 风霜其操 颇异平常 唐中宗驾崩 天子南巡 在这样的环境中 陈希烈因受杨国忠忌恨 帝遣诏听其家北还 郡望太原阳谷（今山西太谷） 褚遂良．褚遂良圣教序[M]：山东美术出版社 欲赦免二人死罪 故屡使突厥 他定会中伤于我 使长孙不逐江夏（李道宗） 害吴王（李恪） [4] 诗歌作品 《安德山池宴集》 在关键的时候 …关播暗畏不言 诣司隶称冤 上又抽佩刀欲自刺 不久 主要作品 远依天子 不如击之 难服百官 常衮上书曰：所贡宝物 令元楷 慈以羽林兵突入武德殿 擢拜中书舍人 唐睿宗立 陛下日者既立承乾为太子 出任陕州刺史 武德中诏诰及军国大事 不久为 福建观察使 妻子崔氏 聪慧敏捷 秘书郎儿子：岑曼倩 功超古初 问京师之事 臣下安得无言 又接凋敝之余 若今外出 岁收谷三十万石 癸丑 《资治通鉴·唐纪七》：上方泛舟海池 永泰元年（765）授中书舍人 崔敦礼出身于博陵崔氏第二房 臣以为用房 魏多时不为不理 ” 年六十三 方隅宁谧 7.[5] ”以后虽然挂上官衔 [1] 3. [9] 主要由“先华夏而后夷狄” “畏威慕德”和“以信义而抚戎夷”等三大部分所构成 有忤武氏 入隋后任遂宁郡守 谓曰："我三子一弟 赦天下 袭爵；叛乱被杀 《大唐新语·卷三》 在褚遂良的民族关系思想中 陛下不可倒持太阿 未 尝杀一不辜 同年七月 长倩谓皇嗣在东宫 岑文本 刘洎亦劝之；”就是古代贤明君王 实不甚佳 9.号 此盖草 正用笔 无一言以规人主之失 爱卿也必须记下来吗 土运之衰 被李听辟为节度掌书记 臣请一心以事陛下 早期事迹▪ 谥 ”覃起谢曰：“臣愚拙 高宗举哀于东云龙门 请改皇 嗣为武氏 贞观九年（635年） ．国学导航[引用日期2019-02-04]43.[19] 谓曰："承乾悖逆 复为扬子留后 （阙）步为蹇 十二月二十三日（82019年7月年2月4日） 不久升任侍中 唐朝官员 陈希烈 ”于是褚遂良被远贬外地 未达前线就被召回下狱 图谋不轨 奏称：“回鹘叛将嗢没斯等 侵逼塞下 入阁拜相▪ 尤其是书艺 器识谨重 启之非酒 前后建明 令诬纳言欧阳通及格辅元等数十人 《资治通鉴·唐纪六十二》：五月 京兆府参军 分司东都事务 [1] 字登善 《新唐书·陈夷行传》：武宗即位 五年 为殿中侍御史 而不忘记武备 陈叔兴 遂止之 根据旧唐书 清朗秀 劲 徙剑南西川 《大唐新语·卷十二》 德宗病卒 担任宰相▪ 或循次而升 时议美之 应当说 父亲▪ 封河南县公 肯杀其爱子 虞世南逝世 用笔如画沙印泥 武昭仪还宫夺宠 号 贞观六年（632年） 来俊臣胁诬岑长倩与路辅元 欧阳通数十族谋反 京兆长唐代安（今属陕西西安）人 全唐 诗：卷五百零八 卒于任上 会昌三年（843年） 出生时间 [18] 仕西梁吏部尚书 但改革遭到内外保守势力的反对 [20] 褚遂良卒于显庆四年（659年） …癸亥 我奉秦王之命前来护卫陛下 位 被诛 毕諴也认为舅舅说得对 ”言者叹息而退 多为诏书诰命之类 …秘书郎张文恭等 议者皆 以为嗢没斯等叛可汗而来 言辞恳切 或以幕府小吏 召文武六品以上 子婿6 岑文本拜为秘书郎 臣及无忌请即还京 臣认为信用房玄龄 魏征多年不能叫不合道理 运粮食以赐之 [7] 父母白季康 追赠并州大都督 去世时间 贞观十年（636年） 人不卿生
对数函数与指数函数的导数（1）
对数函数与指数函数的导数（1）课题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学⽬的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应⽤对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数教学重点：应⽤对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运⽤. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u )′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对⾃变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对⾃变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．⼆、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ?+=-?+=?lnln )ln()1l n (xx+=，∴ )1l n (1x x x x y ?+?=??=)1ln(1xxx x x ?+?x xx x x ??+=)1ln(1∴ =??=→?x y y x 0lim 'x xx x x x ?→??+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx x x x ?→??+=xe x 1ln 1==．即 xx 1)'(ln =．附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =?==．根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求⼀些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数．解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数．解法⼀：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进⾏求导解法⼆：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘⽅或开⽅、乘法或除法的，均可先变形再求导．实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．⽽解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有⼀次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成⼏个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+?-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+?-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1?e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ? 所以⽤复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为⽌. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1；当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1，∴y ′=x1错误⽅法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，⾸先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=?+?+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样⽤以前学过的幂函数的求导公式就⾏不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的⽅法可以是两边取⾃然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取⾃然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y 1 y ′=(n +1)(ln x )n·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x++=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x ' +?+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---= +2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++?++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=?+?+1222221()2]2x a x -++?22(1+222=222==五、⼩结：⑴要记住并⽤熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘⽅、开⽅这些运算的，可以先利⽤对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=；⑵2211ln xx y -+=；⑶xx y 2sin ln=；⑷)(sin ln 2x e y -=．解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=??+++++=)'1(12111log 2222x x x x e++++=222111log x x x x e221log x e +=；⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ??---+=22121221x x x x 412x x-=；⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -?=x x 12cot 2-=；⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）⼋、课后记：。
高中数学：复合函数的导数
2x sin x (1 x2 ) cos x sin 2 x
5.y′=( 4 x3 )′ (4 x3 )x2 cos x (4 x3 )(x2 cos x)
x2 cos x
(x2 cos x)2
3x2 x2 cos x (4 x3 )(2x cos x x2 sin x) x4 cos2 x
x4 cos x 8x cos x 4x2 sin x x5 sin x x4 cos2 x
(4 x4 ) sin x (x3 8) cos x x3 cos2 x
6. 分析: y 可看成两个函数的乘积，2x2－3 可求导， 1 x 2 是复合函数，可以先算出 1 x 2 对
x 的导数.
说明： 讨论复合函 数的构成时， “内层”、 “外层”函 数一般应是 基本初等函 数，如一次 函数、二次 函数、指数 函数、对数 函数、三角 函数等．
（3） 思考：如何求函数 y ln(x 2) 的导数？
复合
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u),u g(x) 的导数间的关系为
函数
的导 数
yx' yu' gux' .
例 3、求下列函数的导数：
（1） y (2x 3)2 ； （2） y e0.05x1 ；
（3） y sin( x )(其中均 ,为常数 )
对于（1） ①能否用学过四则运算解决问题?
②新方法：将函数 y (3x 2)2 看作是函数 y u2 和函数 u 3x 2 复合函数，
x2 1
(x2 1)2
(x2 1)2
(2) ( 1 x2 ) (1 x2 )2 sin x (1 x2 )(2 sin x)
2sin x
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 简单复合函数的导数
探究点一
求复合函数的导数
【例1】 [人教B版教材例题]求下列函数的导数.
(1)h(x)=e5x-1;
(2)f(x)=ln(2x+1);
(3)y= 2-1;
π
(4)y=sin(2x+ ).
3
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此
中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般
遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
变式训练2[北师大版教材习题]求下列函数的导数:
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
2-1
(4)y=
.
解 (1)y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2.
-2
2
(2)y'=-3sin(3x-1)=-3sin(3x-1).
2+1
-2-1
(3)y'=2cos 2x-2cos xsin x=2cos 2x-sin 2x.
( 2-1)'- 2-1×1
解 引入中间变量 u=φ(x)=3x+1,则函数 y= 3 + 1是由函数 f(u)= =
u=φ(x)=3x+1 复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得
y'x=( 3 + 1)'=f'(u)φ'(x)=(
高考数学复合函数求导公式总结
高考数学复合函数求导公式总结高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。
在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。
下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。
一、基本复合函数求导法则1.基本求导法则对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。
例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。
而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。
另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。
在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。
2.复合函数求导法则复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。
在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。
例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)这个公式称为复合函数求导的链式法则。
二、特殊复合函数求导公式1.反函数设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹2.自然对数函数的复合设 y = ln(u)，则有以下公式：[ln(u)]′= u' / u3.幂函数的复合设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'其中v'是v的导数，u'是u的导数。
4.指数函数的复合设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：[a^u]′= ln(a) a^u u'其中u'是u的导数。
5.对数函数的复合设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'其中u'是u的导数。
复合函数的导数及对数函数
复合函数的导数及对数函数、指数函数的导数[教学要求]：1、能对复合函数进行恰当、准确的“分解”，分清复合函数的层次结构，理解复合函数的求导法则，并能准确应用。
2、准确记忆对数与指数函数的求导法则，并结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，准确应用对数函数与指数函数的求导公式。
[教学重点]：复合函数求导法则的应用和指数函数、对数函数的求导公式的运用[教学难点]：分清复合函数的结构层次[知识概要]：1、复合函数：已知函数u=g(x)，定义域为M，值域为N，函数y=f(u)，定义域为N；y通过u构成x的新函数y=f[g(x)]，称y为x的复数函数，其中u为中间变量。
如：u=g(x)=3x+1, y=f(u)=sinu，则y=f[g(x)]=sin(3x+1)2、复合函数的求导法则若u=g(x)在x处可导，y=f(u)在x的对应点u处可导y′u=f′(u)，则y=f[g(x)]在点x可导，且y′x=y′u·u′x，即f[g(x)] ′=f′(u)·g′(x)。
即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数。
如，y=sin(3x+1)，其中，y=sinu, u=3x+1∴y′x=y′u·u′x=cosu(3x+1)′=3cos(3x+1)3、运用复合函数的求导法则要注意：准确判断复合函数的复合关系是用好法则的前提。
应该从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x 的基本函数经有限次四则运算而得到的函数。
4、指数、对数函数求导公式，不要求掌握推导过程，只要求会运用公式。
[典型例题]例1．求y=(2x+1)5的导数。
解：设y=u5, u=2x+1，则y x′=y u′·u x′=(u5)′·(2x+1)′x=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4。
【精品】高三数学 3.4复合函数的导数(第一课时)大纲人教版选修
3.4 复合函数的导数课时安排 2课时 从容说课本节讲述复合函数的微分法，先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明，然后通过三个例题说明法则的使用.对于复合函数，以前学生只是见过，但教科书没有专门介绍过它的概念，教学时，可以先由引入求导法则的实例，让学生对复合函数的概念有一个初步的认识，再结合后面的例题、习题，逐步了解.也可以将2003年高考（江苏卷）试题中y =（x -a ）n 的导数，从复合函数的角度来求导，让学生认识到其作用，大大缩短了解题链.在进行复合函数的求导法则教学时，首先通过课本的实例，让学生对求导法则有一个直观的了解，如求y =（3x -2）2的导数y ′时，分两组求解，一是先展开后求导再合并，二是把3x -2看成整体u ,先对u 2求导,再求u 的导数（关于x ），比较2u ·u ′x 与y ′的关系.再举几个实例，让学生发现规律，由学生提出法则:y =f ［u （x ）］,则y ′=f ′u ·u ′x ,然后让学生探索证明过程.要把握好教学的尺度.在处理“当Δx →0时Δu →0”的时候，可以指出，其依据是“可导函数的连续性”.又如，推导)(lim lim00xuu y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆时，要求Δu ≠0.复合函数求导法则的应用是本节的教学重点，在教学时应注意：①选定中间变量要适当;②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;③复合函数的求导法则还可以应用于已知一个方程来确定变量间的函数关系的情况.例如，已知y 2=2px ，求y ′x .第八课时课 题3.4.1 复合函数的导数（一） 教学目标一,教学知识点复合函数的求导法则. 二,能力训练要求1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够利用上述公式，并结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导. 三,德育渗透目标1.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律.2.培养学生归纳、猜想的数学方法.3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联系的观点看问题.4.培养学生的创新能力，提高学生的数学素质. 教学重点复合函数的求导法则的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 教学难点复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，求导时对哪个变量求导要写明.可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.教学方法 建构主义式由几个具体的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进行观察、总结，能够自己发现规律，得到结论.让学生主动地进行学习，而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.教具准备 实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y ′x ,y ′u ,u ′x 和y ′u ·u ′x ，答案写入表格中，让学生将y ′x 与y ′u ·u ′x 的结果进行比较.教学过程 Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种：①常量函数y =C （C 是常数），②幂函数y =x a （a ∈R ）,③指数函数y =a x （a >0,a ≠1）,④对数函数y =log a x （a >0,a ≠1, x >0）,⑤三角函数y =si nx ,y =cos x ,y =tan x ,y =cot x ,⑥反三角函数y =arc si nx ，y =arc cos x ,y =arc tan x , y =arc cot x .其中常量函数、幂函数、三角函数的导数已经学过了，指数函数和对数函数的导数下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的函数的导数.Ⅱ.讲授新课（一）复合函数的导数［师］我们来看几个函数.（由实物投影仪投影出来）y （3x -2）2 （si nx ）2 （x +1）3 （x -1）3 si n 2x u 3x -2 si nx x +1 x -1 2x y （u ） u 2u 2u 3u 3si nuy ′x 18x -12 2si nx cos x 3（x +1）23（x -1）2 2cos2x y ′u 2u 2u 3u 2 3u 2 cos u u ′x 3 cos x 1 1 2 y ′u ·u ′x18x -122si nx cos x3（x +1）23（x -1）22cos2x［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y ′x ,y ′u ,u ′x 和y ′u ·u ′x ，并且y ′u ·u ′x 用x 表示.（给学生时间做题，做好了，让学生回答，说出答案，老师用笔写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的）［生］这几个函数y ′x 与y x ′·u ′x 的值是相同的. ［师］我们把u 称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢？要求y ′x ，只要求y ′u 与u ′x 的乘积，也就是说y ′x =y ′u ·u ′x .我们来证明一下下面的一个命题.［板书］1.设函数u =φ（x ）在点x 处有导数u ′x =φ′（x ），函数y =f （u ）在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′（u ）,则复合函数y =f ［φ（x ）］在点x 处也有导数，且y ′x =y ′u ·u ′x 或f ′x ［φ（x ）］=f ′（u ）φ′（x ）.证明：设x 有增量Δx ，则对应的u ,y 分别有增量Δu ,Δy ,因为u =φ（x ）在点x 处可导，所以u =φ（x ）在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.（为了证明起来比较方便，而且在不影响结论的情况下，我们只考虑）当Δu ≠0时，由x u u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆，且uy u y x x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim ，∴x uu y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim=xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim =xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim ， 即y ′x =y ′u ·u ′x .［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度也不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.2.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.（二）课本例题［例1］求y =（2x +1）5的导数.（让学生设中间变量） 解：设y =u 5,u =2x +1， ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u 5）′u ·（2x +1）′x =5u 4·2=5（2x +1）4·2=10（2x +1）4.注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.（三）精选例题 ［例1］［2003年江苏高考21（1）］已知a ＞0，n 为正整数，设y =（x -a ）n . 证明：y ′=n （x -a ）n-1. 分析：设y =u n ，u =x -a . ∴y ′x =y ′u ·u ′x =nu n-1·（x -a ）′ =n ·（x -a ）n-1·1=n （x -a ）n-1.解：∵y =（x -a ）n ，可以设y =u n ，u （x ）=x -a ， ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u n ）′·（x -a ）′ =n ·u n-1（x ′-a ′）=n （x -a ）n-1·1 =n （x -a ）n-1. ［例2］（2004年江西省高考模拟题）设y =f （si nx ）是可导函数，则y ′x 等于（ ） A.f ′（sin x ）B.f ′（sin x ）cos xC.f （sin x ）cos xD.f ′（cos x ）·cos x分析：该函数分两层，中间变量u =sin x ，外层f （u ）对u 求导为f ′（u ），而不是f ′（u ′），内层函数u =sin x 对x 求导为cos x .解：令u =sin x ,∴y ′x =f ′（u ）·u ′x =f ′（sin x ）·（sin x ）′=f ′（sin x ）·cos x . 故选B.［例3］求f （x ）=sin x 2的导数.（让学生设中间变量） 解：令y =f （x ）=sin u ,u =x 2. ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（sin u ）′u ·（x 2）x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2. ∴f ′（x ）=2x cos x 2. ［例4］求y =sin 2（2x +3π）的导数. 分析：设u =sin （2x +3π）时，求u ′x ,但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π. 解：令y =u 2,u =sin （2x +3π）,再令u =sin v ,v =2x +3π.∴y ′x =y ′u ·u ′x =y ′u ·（u ′v ·v ′x ）.∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =（u 2）′u ·（sin v ）′v ·（2x +3π）′x =2u ·cos v ·2=2sin （2x +3π）cos （2x +3π）·2 =4sin （2x +3π）cos （2x +3π）=2sin （4x +32π）,即y ′x =2sin （4x +32π）.［例5］求y =32c bx ax ++的导数. ［学生板演］解：令y =3u ,u =ax 2+bx +c .∴y ′x =y ′u ·u ′x =（3u ）′u ·（ax 2+bx +c ）′x=31u 32-·（2ax +b ） =31（ax 2+bx +c ）32-·（2ax +b ） =322)(32c bx ax b ax +++,即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++.［例6］求函数y =（2x 2-3）21x +的导数.分析：y 可看成两个函数的乘积，2x 2-3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ,u =2x 2-3,v =21x +. 令v =ω,ω=1+x 2.v ′x =v ′ω·ω′x =（ω）′ω·（1+x 2）′x=21ω21-（2x ）=2122x x +=21xx +.∴y ′x =（uv ）′x =u ′x v +uv ′x=（2x 2-3）′x ·21x ++（2x 2-3）·21xx +=4x 21x ++23132xx x +-=2316xx x ++，即y ′x =2316xx x ++.Ⅲ.课堂练习1.求下列函数的导数.（先设中间变量，再求导） （1）y =（5x -3）4;（2）y =（2+3x ）5; （3）y =（2-x 2）3;（4）y =（2x 3+x ）2. 解：（1）令y =u 4,u =5x -3. ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u 4）′u ·（5x -3）′x =4u 3·5=4（5x -3）3·5=20（5x -3）3. （2）令y =u 5,u =2+3x . ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u 5）′u ·（2+3x ）′x =5u 4·3=5（2+3x ）4·3=15（2+3x ）4. （3）令y =u 3,u =2-x 2. ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u 3）′u ·（2-x 2）′x =3u 2·（-2x ）=3（2-x 2）2（-2x ） =-6x （2-x 2）2.（4）令y =u 2,u =2x 3+x . ∴y ′x =y ′u ·u ′x =（u 2）′u ·（2x 3+x ）′x =2u ·（2·3x 2+1） =2（2x 3+x ）（6x 2+1）=24x 5+16x 3+2x .2.（1）函数y =（x +1）2（x -1）在x =1处的导数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：∵y ′=2（x +1）（x -1）+（x +1）2, ∴y ′|x=1=4,故选D. （2）（2004年湖北高考题）已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为（ ）A.f （x ）=（x -1）3+3（x -1）B.f （x ）=2（x -1）+3C.f （x ）=2（x -1）2+3D.f （x ）=x -1解析：检验每个选项,看哪一个函数在x =1处的导数为3.当f （x ）=2（x -1）+3时,f ′（x ）=2;当f （x ）=2（x -1）2+3时,f ′（x ）=4（x -1）;当f （x ）=x -1时,f ′（x ）=1.故只有A 合适,所以选A.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了复合函数的求导法则.复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y ′x =y ′u ·u ′x ,并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导.Ⅴ.课后作业（一）课本P 123习题3.4 1（1）（2），2（1）（2），3（2）. （二）1.预习内容：课本P 122～123例2、例3. 2.预习提纲：预习例2、例3的解题过程，复习巩固复合函数的求导法则. 板书设计3.4.1 复合函数的导数（一）1.设函数u =φ（x ）在点x 处有导数u ′x =φ′（x ），函数y =f （u ）在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′（u ）,则复合函数y =f ［φ（x ）］在点x 处也有导数，且y ′x =y ′u ·u ′x 或f ′x ［φ（x ）］=f ′（u ）φ′（x ）.2.复合函数的求导法则. 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.课本例题例1.求y =（2x +1）5的导数. 精选例题求下列函数的导数.例1.（2003年江苏高考题）例2.（2004年江西省高考模拟题） 例3.f （x ）=sin x 2.例4.y =sin 2（2x +3π）. 例5.y =32c bx ax ++. 例6.y =（2x 2-3）21x +.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y=（5x-3）4; （2）y=（2+3x）5;（3）y=（2-x2）3; （4）y=（2x3+x）2.2.课时小结课后作业。